1、重庆市沙坪坝区重庆市沙坪坝区 2020 级高三级高三 6 月份月份教学质量检测考试教学质量检测考试数学数学（文科文科） 2020.6 注意事项注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题一、选择题：本题共本题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合只有一个选项是符合
2、 题目要求的题目要求的 1sincos 1212 A 1 4 B 1 2 C 3 2 D 31 2 2设复数 4 i iiz ，则z A1i B1i C1i D1i 3用列举法表示集合 35 ( , ) 3 xy Ax y xy ，则下列表示正确的是 A2,1xy B2, 1 C2, 1 D1,2 4已知xy，则下列不等式一定成立的是 A 11 xy B33 xy C 11 33 xy D 22 ln1ln1xy 5据孙子算经中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯，侯、公，共五级若要给有 巨大贡献的 2 人进行封爵，假设每种封爵的可能性相等，则两人被封同一等级的概率为 A 1 5
3、B 2 5 C 3 5 D 4 5 6已知直线 l，m 和不重合的平面，以下为/ /的充分条件的是 A， Bl，l C/ /l，/ /m D内有不共线的三点到的距离相等 7已知函数( ) xx f xee，则不等式212fxf x的解集为 A(1), B(1,) C1,1 D(), 1 8为迎接学校的文艺汇演，某班准备编排一个小品，需要甲、乙、丙、丁四位同学扮演主角、配角小生、 快递员四个角色，他们都能扮演其中任意一个角色，下面是他们选择角色的一些信息：甲和丙均不扮 演快递员，也不扮演配角；乙不扮演配角；如果甲不扮演小生，那么丁就不扮演配角若这些信息 都是正确的，由此推断丙同学选择扮演的角色是
4、 A主角 B配角 C小生 D快递员 9以双曲线 2 2 11 3 y x 右焦点为圆心，与双曲线的渐近线相切的圆方程为 A 23 (2)3xy B 22 (2)9xy C 22 (2)3xy D 22 (2)3xy 10 水车在古代是进行灌溉引水的工具， 是人类的一项古老的发明， 也是人类利用自然和改造自然的象征 如 图是一个半径为 R 的水车，一个水斗从点(2 2, 2 2)M出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋 转一周用时 60 秒，经过 t 秒后，水斗旋转到点,N x y，其纵坐标满足( )sin()yf tRt， 0,0,| 2 t ，则函数 f t的解析式为 A( )2sin 30
5、4 f tt B( )2sin 304 f tt C( )2sin 604 f tt D( )2sin 306 f tt 11疫情期间，某医药公司用 A、B 两种原材料生产甲、乙两类抗病毒药物，每生产一件甲药需要 4 个单位 A 材料，耗时 1 小时，每生产一件乙药需要 4 个单位 B 材料，耗时 2 小时，该厂每天最多可以从原材 料厂家进货 16 个单位 A 材料和 12 个单位 B 材料，若生产一件甲药可以获利 2 万元，生产一件乙药可 以获利 3 万元，每天工作时间按 8 小时计算，需合理安排两种药物的生产以获得最大利润，则每天的 最大利润是 A12 万元 B13 万元 C14 万元 D
6、15 万元 12已知 P 是函数 1 ( )(1) 2 x f xex图象上的动点，点2,1A， 1, 1B ，O 为坐标原点，若存在实 数，使得OAOPOB成立，则的最小值是 A1 B 54 2 e e C 2 1 e e D 2(2) 1 e e 二二、填空题填空题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分 13已知向量a，b的夹角为60，| | 2ab，则|ab_ 14如图，某圆锥的轴截面是边长为 2 的等边三角形，则该圆锥的体积为_。 15 已知 1 F， B 分别是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左焦点和上顶点， 点 O 为坐标原点，
7、过(,0) 2 a M的 作垂直于 x 轴的直线与椭圆 C 在第一象限的交点为 P， 且 1 / /POFB， 则椭圆 C 的离心率为_. 16在ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 2 sincos4sincACB，sin 3 4 B ，D 是线段 AC 上一点，且 2 3 BCD S，则 CD AC _。 三、解答题三、解答题：共共 70 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分） 为了打好“精准扶贫攻坚战” ，某村书记打算带领该村农民种植新品种蔬菜，可选择的种植量有三种： 大量种植、适量种植，少量种植根据收
8、集到的市场信息，得到该地区该品种蔬菜年销量频率分布直方图 如下图所示同时该书记调查了其他地区采取三种不同种植量的农民在不同市场销量等级下的平均收入如 表 1（表中收入单位：万元） ： 种植量 销量等级 大量 适量 少量 好 9 4 中 8 7 4 差 -4 0 2 但表格中有一格数据被墨迹污损，好在当时调查的数据频数分布表还在，其中大量种植的 100 户农民 在市场销量好的情况下收入情况如表 2： 收入（万元） 11 11.5 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 频数（户） 5 10 15 10 15 20 10 10 5 （1）若该地区年销量在 10 千吨以下表示销量差，在
9、 10 千吨至 30 千吨之间表示销量中，在 30 千吨以 上表示销量好，试根据频率分布直方图计算销量分别为好、中，差的概率（以频率代替概率） ； （2） 根据表 2 所给数据， 请计算在市场销量好的情况下， 大量种植的农民每户的平均收益， 并补全表 1 18 （12 分） 已知数列 n a的前 n 项和11 n Sn n，其中 * nN （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 * 2232 , kk a aak N为等比数列 n b的前三项，求数列 n b的通项公式 19 （12 分） 图 1 是直角梯形 ABCD，/ /ABDC，90D，2AB ，3DC ，3AD ，点 E 在 DC
10、上， 2CEED，以 BE 为折痕将BCE折起，使点 C 到达 1 C的位置，且 1 6AC ，如图 2 （1）证明：平面 1 BC E 平面 ABED； （2）求点 B 到平面 1 AC D的距离 20 （12 分） 设函数 2 ( ),f xkxlnxx kR （1）当1k 时，判断函数 f x的单调性； （2）当0k 时，若( )( ,) b f xax a b x R恒成立，求 1a eb 的最大值 21 （12 分） 已知抛物线 2 :2(0)T xpy p的焦点为 F，B、C 为抛物线 T 上两个不同的动点，当 B，C 过 F 且与 x 轴平行时，BC 长为 1 （1）求抛物线 T
11、 的标准方程； （2）分别过 B，C 作 x 轴的垂线，交 x 轴于 M，N，若2 MNFBCF SS，求 BC 中点的轨迹方程 请考生在第请考生在第 22、23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答，如果多做如果多做，则按所做的第一题记分则按所做的第一题记分作答时用作答时用 2B 铅笔在答铅笔在答 题卡上把所选题目的题号涂黑题卡上把所选题目的题号涂黑 22 （10 分） 选修 4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 3 ,0 2 2sin 6 1, 2 （1）求曲线 C 与极轴所在直线围成图形的面积； （2）设曲线 C 与曲线 1 sin 2 交于 A，B 两点，求
12、AB 23 （10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知0a ，0b （1）若1ab，求 14 ab 的最小值； （2）求证 ab ab ba 参考答案、提示及评分细则参考答案、提示及评分细则 一、选择题一、选择题：本题共本题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合只有一个选项是符合 题目要求的题目要求的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A C B C A B D A C A C D 10解析：易知2R ，因旋转一周用时 60 秒，即 2 60T ， 30 又由题意知(0)2f 2sin
13、()2 ， 4 ( )2sin() 304 f tt 12解析：设,P x y，由OAOPOB得 2 1ex x 解得 3 e 3e 1 e x x x x x 3(1) 1 x x e xe ，记 3(1) ( )1 x x e h x xe ， 则 2 33 ( )0 () x x xe h x xe ，所以 h x单调递减， 所以 min 2(2) ()(1) 1 e h e . 二、填空题二、填空题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分 132 3 14 3 3 15 3 3 16 4 9 16解析：由题 22 sincossincos4sincAAaC
14、CB， 结合正弦定理、余弦定理得： 222222 2222 428 22 bcaabc c aa cbacbb bcab 4ac ，从而 13 22 sin ABC SacB， 4 9 BC S CD ACS D ABC 三、解答题三、解答题：共共 70 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17解析： （1）由频率分布直方图可知，市场销量好的概率为 1 (0.020.02) 50.2P ， 市场销量中的概率为 2 (0.020.030.030.02)50.5P 市场销量差的概率为 3 (0.020.04) 50.3P （2）在市场销量好的情况下，表
15、 2 中的 100 户农民收入的平均值为： 1 (11 5 11.5 1012 15 12.5 1013 15 13.5 20 100 x 14 1014.5 1015 5)13（万元） 所以在市场销量好的情况下，大量种植的农民每户的平均收益为 13 万元，故表 1 如下： 种植量 销量等级 大量 适量 少量 好 13 9 4 中 8 7 4 差 -4 0 2 18解析：由(1)1 n Sn n，当2n 时， 1 11 n Sn n ，两式相减得： 1 (1)(1)2 nnn aSSn nn nn ， 当1n 时， 11 3aS3， 故数列 n a的通项公式为 3(1) 2 (2) n n a
16、 n n （2）由（1）知， 2 4a ， 2 24 k ak ， 32 64 k ak 所以 2 (24)4(64)kk， 2 2kk，且 * k N，故2k ， 所以等比数列 n b的首项为 12 4ba，公比 4 2 2 a q a ， 11* 1 2 nn n bbqn N 19解析： （1）证明：如图，在图 1 中，连接 AE，由已知得2AE ， / /CEBA且CEBAAE， 四边形 ABCE 为菱形，连接 AC 交 BE 于点 F，CFBE， 又在Rt ACD中， 2 2 332 3AC ， 3AFCF 在图 2 中， 1 6AC ， 222 11 AFC FAC， 1 C FA
17、F， 1 C F 面 ABED，且 1 C F 平面 1 BC E， 平面 1 BC E 平面 ABED; （2）解：如图 连接 DF，则在DEF中易知3DF 所以 1 Rt C FE中， 22 11 6C DC FDF， 故 1 C AD中，3AD ， 11 6CC DC A 取 AD 中点 N，则 1 C NAD且 22 11 321 6 42 C NC AAN 1 1 11213 7 3 2224 ADC SADNC 设点 B 到平面 1 AC D的距离为 h，在三棱锥 1 CABD中， 11 CABDB AC D VV ，即 11 1111 3232 ABADC FADC Nh 所以
18、1 1 234 7 721 2 ABC F h C N 即点 B 到平面 1 AC D的距离为 4 7 7 20解析： （1）当1k 时，函数为 2 ( )lnf xxxx， 2 121(21)(1) ( )21(0) xxxx fxxx xxx ， 令 0fx得1x ，判断知： 当0,1x时 0fx，故 f x在0,1单调递减， 当,()1x， 0fx，故 f x在(1,)单调递增； （2）当0k 时，原不等式等价于ln0 b xa x 恒成立， 令ln( )x b h xa x ， 22 1 ( )(0) bxb xx xx h x 当0b时，0 x 时， ln ( ) xxbax h x
19、 x ， h x ，不满足题意 当0b时，由 0h x得xb， 且当0,xb时 0h x， h x单调递减； 当,()xb时 0h x， h x单调递增， 故当 min ( )( )ln1h xh bba ， 故只需ln10ba 1 ln1 a baeb 1 0 a eb ，故 1a eb 的最大值为 0 21解析： （1）由题意当 BC 过 F 且与 x 轴平行时，有( ,) 2 p B p，(,) 2 p Cp， 则21BCp，抛物线 T 的方程为 2 xy； （2）设 22 1122 ,B x xC x x，设 BC 与 y 轴交于点0,Qm，则 12 1 | 2 MNF SOFxx，
20、12 1 | 2 BCF SQF xx 故由2 MNFBCF SS得：2OFQF 11 2| 44 m ， 3 8 m 或者 1 8 m 即 1 (0, ) 8 Q或 3 (0, ) 8 Q 设 BC 的中点,R x y，则 12 2 BC kxxx 当 1 (0, ) 8 Q时，由/ /QRBC得： 2 1 2 8 xy， 2 1 2 8 yx 当 3 (0, ) 8 Q时，同理可得： 2 3 2 8 yx， 故 BC 中点的轨迹方程为 2 1 2 8 yx或 2 3 2 8 yx 22解： （1）由于 C 的极坐标方程为 3 ,0 2 2sin 6 1, 2 由cosx，siny得：曲线
21、C 的极坐标方程为： 当03x时，330 xy 当10 x 时， 22 1(01)xyy 则曲线 C 与极轴所在直线围成图形是半径为 1 的 1 4 圆周及一个两直角分别为 1 与3的直角 三角形， 围成图形的面积 13 42 S （2）由 1 1 sin 2 得 5 1, 6 A ，其直角坐标 3 1 , 22 ， 1 sin 2 化直角坐标方程为 1 2 y ， 3 2sin 6 化直角坐标方程为33xy， 3 1 , 22 B ， 33 |3 22 AB . 23解： （1） 144 ()()1452 49 ba ab abab 当且仅当： 4ba ab ，即2ba，且1ab 故 1 3 a ， 2 3 b 时取等 （2）证明：因为：() ab ab ba ， ()()a ab ba bb aaabbab abab 2 ()()() () 0 abababab abab 所以() ab ab ba 成立.
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