1、 第 1 页 / 共 10 页 第第 2 讲：充要条件与量词讲：充要条件与量词 一、课程标准 1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义并能正确判断两个命题之间的关系 2.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 二、基础知识回顾 1、 充分条件与必要条件 （1）充分条件、必要条件与充要条件的概念 若 pq，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件 p 是 q 的充分不必要条件 pq 且 qp p 是 q 的必要不充分条件 pq 且 qp p 是 q 的充要条件 pq p 是 q 的既不充分也不必要条件 pq 且 qp （2
2、）从集合的角度： 若条件 p，q 以集合的形式出现，即 Ax|p(x)，Bx|q(x)，则由 AB 可得，p 是 q 的充分条件，请写出 集合 A，B 的其他关系对应的条件 p，q 的关系 提示 若 AB，则 p 是 q 的充分不必要条件； 若 AB，则 p 是 q 的必要条件； 若 AB，则 p 是 q 的必要不充分条件； 若 AB，则 p 是 q 的充要条件； 若 AB 且 AB，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件 2、全称量词与全称命题 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词 (2)全称命题：含有全称量词的命题 (3)全称命题的符号表示： 形如“对 M 中
3、的任意一个 x，有 p(x)成立”的命题，用符号简记为xM，p(x) 3、存在量词与特称命题 (1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词 第 2 页 / 共 10 页 (2)特称命题：含有存在量词的命题 (3)特称命题的符号表示： 形如“存在 M 中的元素 x0，使 p(x0)成立”的命题，用符号简记为x0M，p(x0) 三、自主热身、归纳总结 1、命题“xR，x2x0”的否定是( ) Ax0R，x20 x00 Bx0R，x20 x00 CxR，x2x0 DxR，x2x0 【答案】B 【解析】由全称命题的否定是特称命题知命题 B 正确故选 B. 2、“(x1)(x2
4、)0”是“x1”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】B. 【解析】选 B 若 x1，则(x1)(x2)0 显然成立，但反之不成立，即若(x1)(x2)0，则 x 的值也可 能为2. 3、使不等式 1 10 x 成立的一个充分不必要条件是( ) A 2x B0 x C1x 或1x D10 x 【答案】AC 【分析】不等式 1 10 x ，即 1 0 x x ，(1)0 x x，解得x范围，即可判断出结论 【解答】解：不等式 1 10 x ，即 1 0 x x ，(1)0 x x，解得0 x ，或1x 使不等式 1 10 x 成立的一个充分不必
5、要条件是：2x 及1x ，或1x 4、 命题“x0，1，x210”是_命题(选填“真”或“假”) 【答案】 真 【解析】 取 x1，则 x210，所以为真命题 5、“2, 6 xkkZ ”是“ 1 sin 2 x ”成立的 条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、 “既不充分又不必要”） 第 3 页 / 共 10 页 【答案】充分不必要 【解析】根据正弦函数sinyx的图象，由 1 sin 2 x 可得，2 6 xk ，或 5 2, 6 xkkZ ，故 “2, 6 xkkZ ”是“ 1 sin 2 x ”成立的充分不必要条件. 6、(一题两空)已知 p：|x|m(m0)，q：1x4
6、，若 p 是 q 的充分条件，则 m 的最大值为_；若 p 是 q 的必要条件，则 m 的最小值为_ 【答案】1 4 【解析】由|x|m(m0)，得mxm. 若 p 是 q 的充分条件 m m4 0m1. 则 m 的最大值为 1. 若 p 是 q 的必要条件 m m4 m4. 则 m 的最小值为 4. 四、例题选讲 考点一、充要条件、必要条件的判断 例 1、 已知直线 l，m，平面 ，m，则“lm”是“l”的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充 要”或“既不充分又不必要”) 【答案】 必要不充分 【解析】根据直线与平面垂直的定义：若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面
7、垂 直现在是直线与平面内给定的一条直线垂直，而不是任意一条，故由“lm”推不出“l”，但是由定义知“l ”可推出“lm”，故填必要不充分 变式 1、“a1”是“直线 axy10 与直线(a2)x3y20 垂直”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】直线 axy10 与直线(a2)x3y20 垂直的充要条件为 a(a2)1 (3)0，解得 a1 或 3，故“a1”是“直线 axy10 与直线(a2)x3y20 垂直”的充分不必要条件. 第 4 页 / 共 10 页 变式 2、.设 xR，则“1x2”是“|x2|1”的( )
8、A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】 A 【解析】由|x2|1，得 1x3，所以 1x21x3；但 1x31x2. 所以“1x2”是“|x2|0 (1)若 m1，则 p 是 q 的什么条件？ (2)若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围 分析：问题(1)考查的仍是充要条件的判定，需要从“充分”和“必要”两个方面考察，并且用集合方法处理； 问题(2)考查充要条件的应用，根据“若 p 是 q 的充分不必要条件”，得出所对应集合的关系，从而求出实数 m 的取值范围 【解析】 (1)因为 p： x x20， x100 x|2x10，
9、 q：x|1mx1m，m0 x|0 x2， 显然x|0 xx|2x10， 所以 p 是 q 的必要不充分条件 第 6 页 / 共 10 页 (2)由(1)，知 p：x|2x10，因为 p 是 q 的充分不必要条件， 所以 m0， 1m2， 1m10， 1m2与1m10不同时相等. 解得 m9，即 m9，) 变式 1、 设 p：实数 x 满足 x24ax3a20.若 a0 且 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围. 【解析】由 p 得(x3a)(xa)0，当 a0 时，3ax0，则2x3 或 x2，则 x4 或 x2. 设 p：A(3a，a)，q：B(，4)2，)， 又 p 是
10、q 的充分不必要条件. 可知 AB，a4 或 3a2，即 a4 或 a2 3. 又a0，a4 或 2 3a0， 即实数 a 的取值范围为(，4 2 3，0 . 变式 2、已知 Px|x28x200，非空集合 Sx|1mx1m.若 xP 是 xS 的必要条件，求 m 的取 值范围. 【解析】 由 x28x200，得2x10， Px|2x10. xP 是 xS 的必要条件， 则 SP. 1m2， 1m10， 解得 m3. 又S 为非空集合，1m1m，解得 m0. 综上，可知 m03 时，xP 是 xS 的必要条件. 方法总结：充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上解题时需注意： (1
11、)把充分条件、 必要条件或充要条件转化为集合之间的关系， 然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等 式(或不等式组)求解 考点三、含有量词的命题 第 7 页 / 共 10 页 例 3、已知函数 f(x)3x22xa22a，g(x) 19 6x 1 3，若对任意 x11,1，总存在 x20,2，使得 f(x1) g(x2)成立，求实数 a 的取值范围 【解析】 f(x)3x22xa(a2)，则 f(x)6x2，由 f(x)0 得 x 1 3. 当 x 1， 1 3时，f(x)0， 所以f(x)minf 1 3a 22a1 3. 又由题意可知，f(x)的值域是 1 3，6 的子集， 所以 f16，
12、a22a 1 3 1 3， f16， 解得实数 a 的取值范围是2,0 变式 1、若命题“xR，x2mxm0”是假命题，则实数 m 的取值范围是_ 【答案】4,0 【解析】“xR，x2mxm0”是假命题，则“xR，x2mxm0”是真命题即 m24m0， 4m0 变式 2、若命题“x0R，使得 3x202ax010”是假命题，则实数 a 的取值范围是_ 【答案】 ： 3， 3 【解析】命题“x0R，使得 3x2 02ax010”为真命题， 当 a0,4x0 不恒成立，故不成立；当 a0 时， a0， 164a22，所以实数 a 的取值范围是(2，) 方法总结：理解全称量词与存在量词的含义是求解本
13、题的关键，此类问题求解的策略是“等价转化”， 五、优化提升与真题演练 1、设 x0，yR，则“xy”是“x|y|”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 第 8 页 / 共 10 页 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】xyx|y|(如 x1，y2). 但 x|y|时，能有 xy. “xy”是“x|y|”的必要不充分条件. 2、 【2019 年高考全国卷理数】设 ， 为两个平面，则 的充要条件是（ ） A 内有无数条直线与 平行 B 内有两条相交直线与 平行 C， 平行于同一条直线 D， 垂直于同一平面 【答案】B 【解析】由面面平行的判定定理知：内有两条相交
14、直线都与平行是的充分条件； 由面面平行的性质定理知， 若， 则内任意一条直线都与平行， 所以内有两条相交直线都与平 行是的必要条件. 故 的充要条件是 内有两条相交直线与 平行. 故选 B 3、 (2018 北京卷)设 a，b 均为单位向量，则“|a3b|3ab|”是“ab”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】|a3b|3ab|(a3b)2(3ab)2a26a b9b29a26a bb2，又|a|b|1， a b0ab，因此|a3b|3ab|是“ab”的充要条件. 4、.(2018 浙江卷)已知平面 ，直线 m，n
15、满足 m，n，则“mn”是“m”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若 m，n，mn，由线面平行的判定定理知 m.若 m，m，n，不一定推出 mn， 直线 m 与 n 可能异面，故“mn”是“m”的充分不必要条件. 5、下列命题中的真命题是( ) Ax R ， 1 20 x B * xN ， 2 (1)0 x Cx R ，1lgx DxR ，tan2x 第 9 页 / 共 10 页 【答案】ACD 【解答】指数函数2ty 的值域为(0, ) 任意xR，均可得到 1 20 x 成立，故A项正确； 当 * xN时， 1xN
16、，可得 2 (1)0 x，当且仅当1x 时等号 存在 * xN，使 2 (1)0 x不成立，故B项不正确； 当1x 时， 01lgx 存在xR，使得1lgx 成立，故C项正确； 正切函数 tanyx 的值域为R 存在锐角x，使得tan2x 成立，故D项正确 6、给出下列四个条件： 22 xtyt；xt yt ； 22 xy； 11 0 xy 其中能成为x y 的充分条件的 是( ) A B C D 【答案】AD 【解答】解：由 22 xtyt可知， 2 0t ，故x y 故是 由xt yt 可知，0t ，当0t 时，有x y ；当0t 时，有x y 故不是 由 22 xy，则| | |xy ，
17、推不出x y ，故不是； 由 11 0 xy 由函数 1 y x 在区间(0, )上单调递减，可得0 xy ，故是 7、 设向量 a(sin2，cos)，b(cos，1)，则“ab”是“tan 1 2”的_条件(填“充分不必要”“必要 不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 【答案】必要不充分 【解析】若 ab，则 cos2sin20，即 cos22sincos0.得 cos0 或 tan 1 2.所以“cos0 或 tan 1 2”是“tan 1 2”的必要不充分条件，即“ab”是“tan 1 2”的必要不充分条件 8、记不等式 x2x60 的解集为集合 A，函数 ylg(xa)的定义域为
18、集合 B若“xA”是“xB”的充分条 件，则实数 a 的取值范围为 【答案】, 3 第 10 页 / 共 10 页 【解析】：由 2 60 xx得32x ，即 3,2A ，又由0 xa得xa，即,Ba，因为 “xA”是“xB”的充分条件，所以3,2, a，故3a 。 9、条件 p：1xa，若 p 是 q 的充分不必要条件，则 a 的取值范围是_ 【答案】(，1) 【解析】p：x1，若 p 是 q 的充分不必要条件，则 pq，但 q/ p，也就是说，p 对应的集合是 q 对应的集 合的真子集，所以 a1. 10、若命题 p：存在 xR，ax24xa2x21 是假命题，则实数 a 的取值范围是_ 【答案】2，) 【解析】若命题 p：存在 xR，ax24xa0， 1642aa10， 解得 a2. 11、已知函数 f(x)x 4 x，g(x)2 xa，若x 1 1 2，1 ，x22,3，使得 f(x1)g(x2)，则实数 a 的取值范围 是_ 【答案】 【解析】 依题意知 f(x)maxg(x)max. f(x)x 4 x在 1 2，1 上是减函数， f(x)maxf 1 2 17 2. 又 g(x)2xa 在2,3上是增函数，g(x)max8a， 因此 17 28a，则 a 1 2.
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