1、 第 1 页 / 共 16 页 第第 16 讲：函数模型及其运用讲：函数模型及其运用 一、课程标准 1.利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数 增长等不同函数类型增长的含义. 2.收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例，了解函数 模型的广泛应用. 二、基础知识回顾 1.指数、对数、幂函数模型性质比较 函数 性质 yax (a1) ylogax (a1) yxn (n0) 在(0，) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随 x 的增大逐渐表
2、现 为与 y 轴平行 随 x 的增大逐渐表现 为与 x 轴平行 随 n 值变化 而各有不同 2.几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)axb(a、b 为常数，a0) 二次函数模型 f(x)ax2bxc(a，b，c 为常数，a0) 与指数函数 相关的模型 f(x)baxc(a，b，c 为常数，a0 且 a1，b0) 与对数函数 相关的模型 f(x)blogaxc(a，b，c 为常数，a0 且 a1，b0) 与幂函数 相关的模型 f(x)axnb(a，b，n 为常数，a0) 3. 解函数应用题的步骤 第一步：阅读理解题意读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反
3、映的实际背景， 第 2 页 / 共 16 页 在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题 第二步：引用数学符号，建立数学模型一般地，设自变量为 x，函数为 y，必要时引入其他相关辅助 变量，并用 x、y 和辅助变量表示各相关量，然后根据已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他 相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题，实现问题数学化，即所谓建立数学模 型 第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果 第四步：将所得结果再转译成具体问题的解答 三、自主热身、归纳总结 1、 某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少
4、水中杂质 20%，要使水中杂质减少到原来 的 5%以下，则至少需要过滤的次数为(C ) (参考数据 lg20.301 0，lg50.699) A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】C 【解析】 由题意可得(120%)nlog0.80.0513.42，故至少过滤 14 次故选 C. 2、 小孟进了一批水果，如果他以每千克 1.2 元的价格出售，那他就会赔 4 元，如果他以每千克 1.5 元的价 格出售，一共可赚 8 元现在小孟想将这批水果尽快出手，以不赔不赚的价格卖出，那么每千克水果应定 价为(B ) A. 1.1 元 B. 1.3 元 C. 1.5 元 D. 2.0 元 【答
5、案】B 【解析】 设共有水果 x 千克，则 1.2x41.5x8，得 x40，不赔不赚的价格为 40 1.24 40 1.3 元故 选 B. 3、.某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是_. 【答案】30 第 3 页 / 共 16 页 【解析】 一年的总运费与总存储费用之和为 y6 600 x4x 3 600 x 4x2 3 600 x 4x240， 当且仅当 3 600 x 4x，即 x30 时，y 有最小值 240. 答案 30 4、一辆公交车从 A 站出发匀速开往 B
6、 站在行驶时间相同的前提下，如果车速是 60 千米/小时，就会超过 B 站 0.2 千米；如果车速是 50 千米/小时，就还需行驶 0.8 千米才能到达 B 站 （1）求 A 站和 B 站相距多少千米？行驶时间是多少？如果要在行驶时间点恰好到达 B 站，行驶的速度是多 少？ （2）图是这辆公交车线路的收支差额 y（票价总收入减去运营成本）与乘客数量的函数图象目前这条 线路亏损，为了扭亏，有关部门举行了提高票价的听证会乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管 理，降低运营成本，以此举实现扭亏公交公司认为：运营成本难以下降，公司已尽力，提高票价才能扭 亏根据这两种意见，可以把图分别改画成图和图 （
7、a）说明图中点 A 和点 B 的实际意义； （b）你认为图和图两个图象中，反映乘客意见的是_，反映公交公司意见的是_ 【答案】(1) A 站和 B 站相距 5.8 千米，行驶时间是 0.1 小时，如果要在行驶时间点恰好到达 B 站，行驶的 速度是 58 千米/小时 (2)（a）A 点表示公交公司的该条公交路线的运营成本为 1 万元；B 点表示当乘客量为 1.5 万人时，公交公 司的该条公交路线收支恰好平衡； （b）反映乘客意见的是图；反映公交公司意见的是图； 【解析】 （1） 设 A,B 两站相距 千米， 行驶时间是 小时， 依题意得， 解得 （千米/小时） ，即如果要在行驶时间点恰好到达 B
8、 站，行驶的速度是（千米/小时）.（2） （a）A 点表示公 交公司的该条公交线路的运营成本为 万元；B 点表示当乘客量为万人时，公交公司的该条公交线路收支 恰好平衡； （b）反映乘客意见的是图，反映公交公司意见的是图. 5、水库的蓄水量随时间而变化，现用 t 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄 第 4 页 / 共 16 页 水量(单位：亿立方米)关于 t 的近似函数关系式为 V(t) 1 2 4 (1440)?e50,010 410)(341)50,10t12 x tt tt ， （ 该水库的蓄求 量小于 50 的时期称为枯水期以 i1ti 表示第 1 月份(i1，2
9、，12)，同一年内共有_个月份是枯 水期 【答案】5 【解析】 当 0t10 时， V(t)0， 解得 t10， 又 0t10，故 0t4. 当 10t12 时，V(t)4(t10)(3t41)5050，化简得(t10)(3t41)0，解得 10 t 41 3，又 10t12，故 10t12.综合得 0t4 或 10t12.故知枯水期为 1 月，2 月，3 月，11 月，12 月共 5 个月 6、 某景区提供自行车出租， 该景区有 50 辆自行车供游客租赁使用， 管理这些自行车的费用是每日 115 元 根 据经验，若每辆自行车的日租金不超过 6 元，则自行车可以全部租出；若超出 6 元，则每超
10、过 1 元，租不 出的自行车就增加 3 辆为了便于结算，每辆自行车的日租金 x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总 收入必须高于这一日的管理费用， 用 y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管 理费用后得到的部分) (1)求函数 yf(x)的解析式； (2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？ 解 (1)当 x6 时，y50 x115， 令 50 x1150，解得 x2.3， x 为整数，3x6，xZ. 当 x6 时，y503(x6)x1153x268x115. 令3x268x1150，有 3x268x1150，结合 x 为整数得 6x20
11、，xZ. f(x) 50 x115（3x6，xZ）， 3x268x115（6x20，xZ）. (2)对于 y50 x115(3x6，xZ)， 显然当 x6 时，ymax185； 对于 y3x268x115 3 x 34 3 2 811 3 (6x20，xZ)， 当 x11 时，ymax270. 1 2 4 (1440)?e50 x tt 第 5 页 / 共 16 页 270185，当每辆自行车的日租金定为 11 元时，才能使一日的净收入最多 四、例题选讲 考点一 运用函数图像刻画变化过程的实际问题 例 1、 .(2020 遵义模拟)如图， 有一直角墙角， 两边的长度足够长， 若 P 处有一棵树
12、与两墙的距离分别是 4 m 和 a m(0a12)不考虑树的粗细，现用 16 m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃 ABCD，设此矩形花 圃的最大面积为 u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数 uf(a)(单位：m2)的图象大致是( ) 【答案】B 【解析】设 AD 的长为 x m，则 CD 的长为(16x)m，则矩形 ABCD 的面积为 x(16x)m2.因为要将点 P 围在 矩形 ABCD 内，所以 ax12.当 0a8 时，当且仅当 x8 时，u64；当 8a12 时，ua(16a)画出 函数图象可得其形状与 B 选项接近，故选 B. 变式 1、 高为 H，满缸水量为 V 的鱼缸的轴截面
13、如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞 中流出，若鱼缸水深为 h 时水的体积为 v，则函数 vf(h)的大致图象是( ) 【答案】B 【解析】 由题意知，水深 h 越大，水的体积 v 就越大. 当 h0 时，v0，故可排除 A，C； 当 h0，H时，不妨将水“流出”设想为“流入”. 每当 h 增加一个单位增量 h 时，根据鱼缸形状可知，函数 v 的变化，开始其增量越来越大，经过中截面后 增量越来越小，故 vf(h)的图象是先凹后凸的，故选 B. 变式 2、（2019 秋菏泽期末） 如图， 某湖泊的蓝藻的面积y（单位： 2) m与时间t（单位： 月） 的关系满足 t ya， 则下列说法正确的是
14、( ) 第 6 页 / 共 16 页 A蓝藻面积每个月的增长率为100% B蓝藻每个月增加的面积都相等 C第 6 个月时，蓝藻面积就会超过 2 60m D若蓝藻面积蔓延到 2 2m， 2 3m， 2 6m所经过的时间分别是1t，2 t， 3 t，则一定有 123 ttt 【答案】ACD 【解析】 ：由图可知，函数 t ya图象经过(1,2)，即 1 2a ，则 2a ，2ty； 1 222 ttt 不是常数，则蓝藻每个月的面积是上个月的 2 倍，则每个月的增长率为100%，A对、B错； 当6t 时， 6 26460y ，C对； 若蓝藻面积蔓延到 2 2m， 2 3m， 2 6m所经过的时间分别
15、是 1 t， 2 t， 3 t，则 312 22,23,26 ttt ， 1212 2222 36 tttt ，则1 23 ttt，D对； 故选：ACD 变式 3、 某企业生产 A，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图 1； B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图 2(注：利润和投资单位：万元) 图 1 图 2 (1)分别将 A、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)已知该企业已筹集到 18 万元资金，并将全部投入 A，B 两种产品的生产 若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？ 问：如果你是厂长，怎样分配这 18 万元投资，才能使该
16、企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？ 【解】 (1)设甲、 乙两种产品分别投资 x 万元(x0)， 所获利润分别为 f(x)、 g(x)万元， 由题意可设 f(x)k1x， 第 7 页 / 共 16 页 g(x)k2x，根据图像可解得 f(x)025x(x0)，g(x)2 x(x0) (2)由(1)得 f(9)2.25，g(9)2 96， 总利润 y8.25(万元) 设B 产品投入 x 万元， A产品投入(18x)万元， 该企业可获总利润为 y万元， 则y 1 4(18x)2 x， 0 x18. 令 xt，t0，3 2，则 y 1 4(t 28t18)1 4(t4) 234 4. 当 t
17、4 时，ymax 34 48.5，此时 x16，18x2. 当 A、B 两种产品分别投入 2 万元、16 万元时，可使该企业获得最大利润 8.5 万元 方法总结：通过问题中的文字信息和图表信息可以挖掘出实际问题中蕴含的数学关系式判断函数图像与 实际问题变化过程相吻合的常用方法是： (1)构建函数模型法：根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图像 (2)验证法：根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图像的变化 趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案 考点二 应用所给函数模型解决实际问题 例 2、(2019 南京、盐
18、城一模）盐城市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”， 对环境进行了大力整治，目前盐城市的空气质量位列全国前十，吸引了大量的外地游客某旅行社组织了 一个旅游团于近期来到了黄海国家森林公园，数据显示，近期公园中每天空气质量指数近似满足函数 f(x) mlnxx 600 x x21446(4x22，mR)，其中 x 为每天的时刻，若凌晨 6 点时，测得空气质量指数为 29.6. (1) 求实数 m 的值； (2) 求近期每天时段空气质量指数最高的时刻(参考数值：ln61.8) 思路分析 第(2)问，导函数 f(x)m x1600 144x2 （x2144）2的代数变形成为本题
19、的难点，发现公因式 12x 是解决本题的关键 规范解答 (1)由 f(6)29.6，代入 f(x)mlnxx 600 x x21446(4x22，mR)，解得 m12.(5 分) (2)由已知函数求导，得 f(x) 12x x 600 144x2 （x2144）2(12x 令 f(x)0，得 x12.(9 分) 列表得 第 8 页 / 共 16 页 x 4，12) 12 (12，22 f(x) 0 f(x) 极大值 所以函数在 x12 时取极大值也是最大值，即每天时段空气质量指数最高的时刻为 12 时. (12 分) 答：(1)实数 m 的值为 12；(2)空气质量指数最高的时刻为 12 时(
20、14 分) 变式 1、候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度 v(单位：m/s)与其耗氧量 Q 之间的关系为 vablog3 Q 10(其中 a、b 是实数)据统计，该种鸟类在静止的时 候其耗氧量为 30 个单位，而其耗氧量为 90 个单位时，其飞行速度为 1 m/s. (1)求出 a、b 的值； (2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？ 【解】 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为 0 m/s，此时耗氧量为 30 个单位，故有 ablog3 30 10 0，即 ab0；当耗氧量为 90 个
21、单位时，速度为 1 m/s，故 ablog3 90 101，整理得 a2b1. 解方程组 ab0， a2b1，得 a1， b1. (2)由(1)知，v1log3 Q 10.要使飞行速度不低于 2 m/s，则有 v2，即1log3 Q 102，即 log3 Q 103，解得 Q270. 若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s，则其耗氧量至少要 270 个单位 变式 3、 为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用 20 年的隔热层，每厘 米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满 足关系：C(
22、x) k 3x5(0 x10，k 为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元，设 f(x)为隔热层建 造费用与 20 年的能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小？并求最小值. 解 (1)当 x0 时，C8，k40， C(x) 40 3x5(0 x10)， f(x)6x 20 40 3x56x 800 3x5(0 x10). 第 9 页 / 共 16 页 (2)由(1)得 f(x)2(3x5) 800 3x510. 令 3x5t，t5，35， 则 y2t 800 t 1022t 800 t 1070(当且仅当 2t
23、 800 t ，即 t20 时等号成立)， 此时 x5，因此 f(x)的最小值为 70. 隔热层修建 5 cm 厚时，总费用 f(x)达到最小，最小值为 70 万元. 方法总结： 求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数 (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数 (3)利用该模型求解实际问题 考点三 构建函数模型解决实际问题 例 3、 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况 在一般情况下， 大桥上的车流速度 v(单位： 千米/小时)是车流密度 x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时，造成堵塞，此时车 流
24、速度为 0 千米/小时；当车流密度不超过 20 辆/千米时，车流速度为 60 千米/小时，研究表明：当 20 x200 时，车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数 (1)当 0 x200 时，求函数 v(x)的表达式； (2)当车流密度 x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)x v(x)可 以达到最大，并求出最大值(精确到 1 辆/小时) 【解】 (1)由题意可知当 0 x20 时，v(x)60；当 20 x200 时，设 v(x)axb，显然 v(x)axb 在20， 200上是减函数，由已知得 200ab0， 20ab0， 解得 a 1 3，
25、b 200 3， 故函数 v(x)的表达式为 v(x) 60，0 x20， 1 3（200 x），20 x200. (2)依题意并由(1)可得 f(x) 60 x，0 x20， 1 3x（200 x），20 x200. 当 0 x0)时，销售量 q(x)(单位：百台)与 x 的关系满足：若 x 不超过 20，则 q(x) 1260 x1；若 x 大于或等于 180，则销售量为零；当 20 x180 时，q(x)ab x(a，b 为实常数) (1) 求函数 q(x)的表达式； (2) 当 x 为多少时，总利润(单位：元)取得最大值，并求出该最大值 规范解答 (1)当 20 x180 时，由 ab
26、 2060， ab 1800 得(2 分) 故 q(x) 1 260 x1， 0x20， 903 5x，20180. (4 分) (2) 设总利润 f(x)x q(x)， 由(1)得 f(x)(6 分) 当 0x20 时，f(x) 126 000 x x1 126 000 126 000 x1 ，f(x)在(0,20上单调递增， 所以当 x20 时，f(x)有最大值 120 000. (8 分) 当 20x180 时，f(x)9 000 x300 5 x x，f(x)9 000450 5 x， 令 f(x)0，得 x80. (10 分) 当 20x0，f(x)单调递增， 当 80x180 时，
27、f(x)180 时，f(x)0 第 15 页 / 共 16 页 答：当 x 为 80 时，总利润取得最大值 240 000 元(14 分) 易错警示 本题易错在忽视了题目中所给单位“百台”导致 14 分全部扣完应用题的数据上要注意两个方面： 一题目所给单位是什么？如百台，千件；二是数据的值比较大，计算要谨慎，而这两类问题多出自函数应 用题 5、(2019 苏北四市期末）如图，OA 是南北方向的一条公路，OB 是北偏东 45 方向的一条公路，某风景区的 一段边界为曲线 C.为方便游客观光，拟过曲线 C 上某点 P 分别修建与公路 OA，OB 垂直的两条道路 PM， PN，且 PM，PN 的造价分
28、别为 5 万元/百米、40 万元/百米建立如图所示的平面直角坐标系 xOy，则曲线 C 符合函数 yx 4 2 x2 (1x9)模型，设 PMx，修建两条道路 PM，PN 的总造价为 f(x)万元题中所涉及 长度单位均为百米 (1) 求 f(x)的解析式； (2) 当 x 为多少时，总造价 f(x)最低？并求出最低造价 规范解答 (1) 在如图所示的直角坐标系中，因为曲线 C 的方程为 yx 4 2 x2(1x9)，所以设点 P 坐标为 x，x 4 2 x2 ， 直线 OB 的方程为 xy0，(2 分) 则点 P 到直线 xy0 的距离为 x x 4 2 x2 2 4 2 x2 2 4 x2，
29、(4 分) 又 PM 的造价为 5 万元/百米，PN 的造价为 40 万元/百米 则两条道路总造价为 f(x)5x40 4 x25 x 32 x2(1x9)(8 分) (2) 因为 f(x)5x 32 x2，所以 f(x)5 1 64 x3 5x364 x3 ，(10 分) 令 f(x)0，得 x4，列表如下： x (1,4) 4 (4,9) f(x) 0 F(x) 单调递减 极小值 单调递增 第 16 页 / 共 16 页 所以当 x4 时， 函数 f(x)取极小值， 这个极小值也是函数 f(x)的最小值， 且最小值为 f(4)5 4 32 4230.(13 分) 答：(1) 两条道路 PM ，PN 总造价 f(x)为 f(x)5 x 32 x2(1x9)； (2) 当 x4 时，总造价最低，最低造价为 30 万元. (14 分)
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