1、 第 1 页 / 共 11 页 第第 17 讲：导数的概念及其运算讲：导数的概念及其运算 一、课程标准 1.了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵 2.通过函数图象直观地理解导数的几何意义 3.能根据导数定义，求函数 yc，yx，yx2，y1 x的导数 4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 二、基础知识回顾 1. 导数的概念 设函数 yf(x)在区间(a， b)上有定义， 且 x0(a， b)， 若 x 无限趋近于 0 时， 比值y x f（x0 x）f（x0） x 无限趋近于一个常数 A， 则称 f(x)在 xx0处可导
2、， 并称该常数 A 为函数 f(x)在 xx0处的导数， 记作 f(x0) 若函数 yf(x)在区间(a，b)内任意一点都可导，则 f(x)在各点的导数也随着 x 的变化而变化，因而是自变量 x 的函数，该函数称作 f(x)的导函数，记作 f(x) 2. 导数的几何意义 函数 yf(x)在点 x0处的导数的几何意义，就是曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率，过点 P 的切线 方程为 yy0f(x0)(xx0) 3. 基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)C(C 为常数) f(x)0 f(x)x f(x)x 1 续表 基本初等函数 导函数 f(x)sinx f
3、(x)cosx f(x)cosx f(x)sinx f(x)ex f(x)ex f(x)ax(a0) f(x)axlna f(x)lnx f(x)1 x f(x)logax(a0，且 a1) f(x) 1 xlna 第 2 页 / 共 11 页 4. 导数的运算法则 若 f(x)，g(x)存在，则有： (1)f(x)g(x)f(x)g(x)； (2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)； (3) f（x） g（x） f（x）g（x）f（x）g（x） g2（x） (g(x)0) 5. 复合函数的求导法则 (1)一般地，对于两个函数 yf(u)和 ug(x)，如果通过变量 u，y 可以
4、表示成 x 的函数，那么称这个函数为 函数 yf(u)和 ug(x)的复合函数，记作 yf(g(x) (2)复合函数 yf(g(x)的导数和函数 yf(u)，ug(x)的导数间的关系为 yxyuux，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积 三、自主热身、归纳总结 1、知函数 f(x) x x2，则函数在 x1 处的切线方程是( ) A.2xy10 B.x2y20 C.2xy10 D.x2y20 【答案】A 【解析解析】 、 由 f(x) x x2，得 f(x) 2 （x2）2， 又 f(1)1，f(1)2. 因此函数在 x1 处的切线方程为 y12(x1)，
5、即 2xy10. 2、 函数 f(x)2xcosx 在点( 2，f( 2)处的切线方程为( ) A. 3xy 20 B. xy 20 C. 3xy3 2 0 D. xy 20 【答案】B. 【解析】 f(x)2xcosx，f( 2)，f(x)2sinx，f( 2)1，在点( 2，f( 2)处的切线方程为 yx 2，即为 xy 20.故选 B. 3、 设 M 为曲线 C：y2x23x3 上的点，且曲线 C 在点 M 处切线倾斜角的取值范围为 3 4 ， ，则点 M 横坐标的取值范围为(D ) 第 3 页 / 共 11 页 A. )1， B. ，3 4 C. 1，3 4 D. 1，3 4 【答案】
6、D 【解析解析】 、 由题意 y4x3， 切线倾斜角的范围是 3 4， ， 则切线的斜率 k 的范围是 )1，0 ， 14x 30，解得1x0 时，h(x)0， h(x)在(0，)上是单调增函数，h(x)0 最多只有一个根. 又 h 1 e2 e21 e2ln 1 e210， x01 e2. 由 f(x0)1 得切线方程是 xy 1 e20. 变式 1、已知函数 f(x)x3x16. (1)求曲线 yf(x)在点(2，6)处的切线的方程； (2)若直线 l 为曲线 yf(x)的切线，且经过原点，求直线 l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线 yf(x)的某一切线与直线 y1 4x3 垂直，求切
7、点坐标与切线方程 【解】 (1)由函数 f(x)的解析式可知点(2，6)在曲线 yf(x)上，f(x)(x3x16)3x21， 在点(2，6)处的切线的斜率为 kf(2)13， 第 7 页 / 共 11 页 切线的方程为 y(6)13(x2)， 即 y13x32. (2)(方法 1)设切点为(x0，y0)， 则直线 l 的斜率为 f(x0)3x201， 直线 l 的方程为 y(3x201)(xx0)x30 x016. 又直线 l 过点(0，0)， 0(3x201)(x0)x30 x016， 整理得 x308，x02， y0(2)3(2)1626， f(2)3 (2)2113， 故直线 l 的方
8、程为 y13x，切点坐标为(2，26) (方法 2)设直线 l 的方程为 ykx，切点坐标为(x0，y0)，则 ky00 x00 x30 x016 x0 . 又kf(x0)3x201， x 3 0 x016 x0 3x201，解得 x02， y0(2)3(2)1626， k3 (2)2113，直线 l 的方程为 y13x，切点坐标为(2，26) (3)曲线 f(x)的某一切线与直线 yx 43 垂直，该切线的斜率 k4. 设切点的坐标为(x0，y0)， 则 f(x0)3x2014， x0 1， x01， y014或 x01， y018. 故切线方程为 y(14)4(x1) 或 y(18)4(x
9、1)，即 y4x18 或 y4x14. 方法总结：利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点： (1)函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标 (2)切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点 (3)曲线 yf(x)“在”点 P(x0，y0)处的切线与“过”点 P(x0，y0)的切线的区别：曲线 yf(x)在点 P(x0，y0)处的切 线是指点 P 为切点，若切线斜率存在，切线斜率为 kf(x0)，是唯一的一条切线；曲线 yf(x)过点 P(x0， 第 8 页 / 共 11 页 y0)的切线，是指切线经过点 P，点 P 可以是
10、切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条 考点三、与切线有关的参数问题 例 3、 (2019 常州期末） 若直线 kxyk0 与曲线 yex(e 是自然对数的底数)相切， 则实数 k_ 【答案】 、 e2 【解析】 、设切点 A(x0，ex0)，由(ex)ex，得切线方程为 yex0ex0(xx0)，即 yex0 x(1x0)ex0，所以 kex0， k（1x0）ex0，解得 x02， ke2. 变式 1、 （2017 苏州一调）若直线2yxb为曲线exyx的一条切线，则实数b的值是 【答案】 、1 【解析】 、 设切点的横坐标为 0 x， 由曲线 x yex， 得1 x ye ， 所以
11、依题意切线的斜率为 0 12 x ke ， 得 0 0 x ，所以切点为(0,1)，又因为切线2yxb过切点(0,1)，故有12 0 b ，解得1b. 变式 2、(2016 苏州暑假测试） 已知函数 f(x)x11 ex，若直线 l：ykx1 与曲线 yf(x)相切，则实数 k _. 【答案】 、 1e 【解析】 、 ：设切点为(x0，y0)因为 f(x)11 ex，则 f(x0)k，即 1 1 ex0k 且 kx01x01 1 ex0，所以 x0 1，所以 k1 1 e 11e. 变式 3、(2018 常州期末） 已知函数 f(x)bxlnx，其中 bR.若过原点且斜率为 k 的直线与曲线
12、yf(x)相 切，则 kb 的值为_ 【答案】 、 1 e 【解析】 、设直线方程为 ykx，切点为 A(x0，y0)，则有 f（x0）bx0lnx0y0kx0， f（x0）b 1 x0k， 从而有 bx0lnx0 kx0bx01，解得 x0e，所以 kb 1 x0 1 e. 解后反思 因为曲线 ylnx 与直线 y1 ex 相切，所以曲线 ybxlnx 与直线 y b1 e x 相切所以 kb 1 e，得 kb 1 e.作为填空题可这样“秒杀”！ 命题背景 一般地，若曲线 yf(x)与直线 ykxb 相切，则曲线 yf(x)k1xb1与直线 ykxbk1x b1也相切 第 9 页 / 共 1
13、1 页 变式 4、若函数 32 ( )f xxaxbx为奇函数，其图象的一条切线方程为34 2yx，则 b 的值为 【答案】3 【解析】因为 f(x)是奇函数，所以 a=0，f(x)x3+bx设 f(x)在点(x0，y0)处的切线为：34 2yx，得 3 000 2 0 00 33 34 2 yxbx xb yx ，解得 b3 方法总结：1利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求 出参数的值或取值范围 2求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 (1)注意曲线上横坐标的取值范围； (2)谨记切点既在
14、切线上又在曲线上 五、优化提升与真题演练 1、 （2019 全国高考(文)）曲线 y2sinxcosx 在点(，1)处的切线方程为(C ) A. xy10 B. 2xy210 C. 2xy210 D. xy10 【答案】C 【解析】y2cosxsinx， y|x2cossin2， 则 y2sinxcosx 在点(，1)处的切线方程为 y(1)2(x)， 即 2xy210. 故选 C. 2、(2019 全国卷)已知曲线 yaexxln x 在点(1，ae)处的切线方程为 y2xb，则( ) Aae，b1 Bae，b1 Cae 1，b1 Dae 1，b1 【答案】D 【解析】 (1)yaexln
15、x1，ky|x1ae1， 切线方程为 yae(ae1)(x1)， 即 y(ae1)x1. 第 10 页 / 共 11 页 又 切线方程为 y2xb， ae12， b1， 即 ae 1，b1.故选 D. 3、(2019 全国卷)曲线 y3(x2x)ex在点(0，0)处的切线方程为_. 【答案】 y3x 【解析】 y3(2x1)ex3(x2x)ex3ex(x23x1)， 所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率 ke0 33，所以所求切线方程为 y3x. 4、(2019 江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中， 点 A 在曲线 yln x 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点(e， 1)(e 为自然对数
16、的底数)，则点 A 的坐标是_. 【答案】(e，1). 【解析】 (1)设 A(m，n)，则曲线 yln x 在点 A 处的切线方程为 yn1 m(xm). 又切线过点(e，1)，所以有 n11 m(me). 再由 nln m，解得 me，n1. 故点 A 的坐标为(e，1). 5、(2019 苏锡常镇调研（二） ）已知点 P 在曲线 C： 2 1 2 yx上，曲线 C 在点 P 处的切线为 l，过点 P 且与 直线 l 垂直的直线与曲线 C 的另一交点为 Q，O 为坐标原点，若 OPOQ，则点 P 的纵坐标为 【答案】. 1设) 2 1 ,( 2 ttP 【解析】因为xy ，所以切线 l 的
17、斜率tk ，且0t，则直线)( 1 2 1 : 2 tx t tyPQ，即 1 2 11 2 tx t y 令 2 2 2 1 1 2 11 xy tx t y ，消y得：022 32 ttxtx，设),( 11 yxQ，则 t tx 2 1 ，即 t tx 2 1 ， 又因为点Q在曲线C上，所以 2 22 2 11 2 2 2 1 ) 2 ( 2 1 2 1 t t t txy，故) 2 2 2 1 , 2 ( 2 2 t t t tQ 因为OQOP ， 所以0OQOP， 即0) 2 2 2 1 ( 2 1 ) 2 ( 2 22 t tt t tt， 化简得4 4 t， 则2 2 t， 所以
18、点P的纵坐标为. 1 第 11 页 / 共 11 页 6、 (2019年江苏卷).在平面直角坐标系xOy中， P是曲线 4 (0)yxx x 上的一个动点， 则点P到直线x+y=0 的距离的最小值是_. 【答案】4. 【解析】当直线0 xy平移到与曲线 4 yx x 相切位置时，切点 Q 即为点 P 到直线0 xy的距离最 小. 由 2 4 11y x ，得 2(2)x 舍，3 2y ， 即切点( 2,3 2)Q， 则切点 Q 到直线0 xy的距离为 22 23 2 4 11 ， 故答案为：4 7、(2018 南京、盐城、连云港二模） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 y m x1(m0
19、)在 x1 处的切 线为 l，则点(2，1) 到直线 l 的距离的最大值为_ 【答案】 2 解法 1 由题意，切点坐标为 1，m 2 ，因为 y m （x1）2，所以切线 l 的斜率 k m 4，故切线 l 的方程为 ym 2 m 4(x1)，即 l：mx4y3m0，则点(2，1)到直线 l 的距离 d |2m3m4| m242 （m4）2 m216 1 8m m216 1 8 m16 m ， 又因为 m0， 所以 m16 m2 m 16 m8(当且仅当 m4 时取等号)， 则 d 2， 故点(2，1)到直线 l 的距离的最大值为 2. 解法 2 由题意，切点坐标为 1，m 2 ，因为 y m （x1）2，所以切线 l 的斜率 k m 4，故切线 l 的方程为 ym 2 m 4(x1)，则直线 l：m(x3)4y0 恒过定点(3，0)，故当直线 l 与两点(3，0)，(2，1)的连线 垂直时，点(2，1)到直线 l 的距离的最大，且为 2.
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