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    第23讲 三角恒等变换1(教师版)备战2021年新高考数学微专题讲义

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    第23讲 三角恒等变换1(教师版)备战2021年新高考数学微专题讲义

    1、 第 1 页 / 共 16 页 第第 23 讲:三角恒等变换(讲:三角恒等变换(1) 一、课程标准 1.经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,进一步体会向量方法的作用 2.能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解 它们的内在联系 3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式,但不要求记忆). 二、基础知识回顾 知识梳理 1. 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 sin()sincoscossin,简记作 S(); cos()coscossinsin,简记作 C(); tan() tantan 1tan

    2、tan,简记作 T( ) 2. 二倍角公式 sin22sincos; tan2 2tan 1tan2; cos2cos2sin22cos2112sin2 3. 辅助角公式 yasinxbcosx a2b2sin(x),其中 为辅助角,且其中 cos a a2b2,sin b a2b2,tan b a. 第 2 页 / 共 16 页 4. 公式的逆用及有关变形 tantantan()(1tantan); sincos 2sin( 4 ); sincos1 2sin2; 1sin2(sincos)2; 1sin2(sincos)2; sin21cos2 2 ; cos21cos2 2 ; tan2

    3、1cos2 1cos2(降幂公式); 1cos22sin2;1cos22cos2(升幂公式) 三、自主热身、归纳总结 1、知 cos 4 5, ,3 2 ,则 sin 4 等于( ) A. 2 10 B. 2 10 C.7 2 10 D.7 2 10 【答案】 C 【解析】 ,3 2 ,且 cos 4 5,sin 3 5, sin 4 3 5 2 2 4 5 2 2 7 2 10 . 第 3 页 / 共 16 页 2、已知 tan 4 2,则 tan ( ) A.1 3 B.1 3 C.4 3 D.4 3 【答案】 A 【解析】 tan 4 1tan 1tan 2,解得 tan 1 3. 3、

    4、 已知 sin22 3,则 cos 2 4 等于(A ) A. 1 6 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 【答案】A 【解析】 cos2 4 1cos2 4 2 1cos 2 2 2 1sin2 2 , cos2 4 1sin2 2 12 3 2 1 6.故选 A. 4、(多选)已知 f(x)1 2(1cos 2x)sin 2x(xR),则下面结论正确的是( ) Af(x)的最小正周期 T 2 Bf(x)是偶函数 Cf(x)的最大值为1 4 Df(x)的最小正周期 T 【答案】ABC 【解析】因为 f(x)1 4(1cos 2x)(1cos 2x) 1 4(1cos 22x)1 4si

    5、n 22x1 8(1cos 4x),f(x)f(x),T 第 4 页 / 共 16 页 2 4 2,f(x)的最大值为 1 82 1 4.故 D 错 5、 (多选)下列式子的运算结果为 3的是( ) Atan 25 tan 35 3tan 25 tan 35 B2(sin 35 cos 25 cos 35 cos 65 ) C.1tan 15 1tan 15 D. tan 6 1tan2 6 【答案】ABC 【解析】 对于 A, tan 25 tan 35 3tan 25 tan 35 tan(25 35 )(1tan 25 tan 35 ) 3tan 25 tan 35 3 3tan 25

    6、tan 35 3tan 25 tan 35 3; 对于 B, 2(sin 35 cos 25 cos 35 cos 65 )2(sin 35 cos 25 cos 35 sin 25 )2sin 60 3;对于 C,1tan 15 1tan 15 tan 45 tan 15 1tan 45 tan 15 tan 60 3;对于 D, tan 6 1tan2 6 1 2 2tan 6 1tan2 6 1 2tan 3 3 2 . 综上,式子的运算结果为 3的是 A、B、C. 6、 【2020 江苏南京三校联考】已知sin( + 4) = 3 5,则sin2_ 【答案】 7 25 【解析】sin(

    7、 + 4) = 3 5,sin2x=cos(2x+ 2)=2sin 2(x+ 4) 1= 18 251= 7 25,故答案为: 7 25 7、函数 f(x)sin 2x 4 2 2sin2x 的最小正周期是_ 【答案】. 第 5 页 / 共 16 页 【解析】 f(x) 2 2 sin2x 2 2 cos2x 2(1cos2x) 2 2 sin2x 2 2 cos2x 2sin 2x 4 2, T2 2 . 8、已知 2tan sin 3, 2,0 ,则 cos 6 _. 【答案】0 【解析】由 2tan sin 3,得2sin 2 cos 3, 即 2cos23cos 20,cos 1 2或

    8、 cos 2(舍去) 20, 3,cos 6 cos 2 0. 9、若 2, ,且 3cos 2sin 4 ,则 sin 2 的值为_ 【答案】17 18 【解析】由 3cos 2sin 4 , 得 3(cos2sin2) 2 2 (cos sin ), 又由 2, ,可知 cos sin 0, 于是 3(cos sin ) 2 2 ,所以 12sin cos 1 18, 故 sin 217 18. 10、(一题两空)已知 0 2,且 sin 3 5,则 tan 5 4 _, sin2sin 2 cos2cos 2_. 第 6 页 / 共 16 页 【答案】 :7 33 23 【解析】因为 0

    9、 2,且 sin 3 5,所以 cos 1sin 24 5,所以 tan sin cos 3 4, 则 tan 5 4 tan 4 tan 1 1tan 7. sin2sin 2 cos2cos 2 sin22sin cos 2cos2sin2 tan 22tan 2tan2 9 16 6 4 2 9 16 33 23. 四、例题选讲 考点一、利用两角和(差)公式运用 例 1、已知 0 2 ,且 cos 2 1 9, sin 2 2 3,求 cos() 【解析】 0 2 , 4 2 2 , 4 2, cos 2 1sin2 2 5 3 , sin 2 1cos2 2 4 5 9 , cos 2

    10、 cos 2 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 1 9 5 3 4 5 9 2 3 7 5 27 ,cos() 2cos2 2 12495 729 1239 729. 第 7 页 / 共 16 页 变式 1、 【2020 江苏昆山调研】若函数 sinsin 3 f xxx ,则函数 f(x)的振幅为_ 【答案】 3 【解析】 1333 sinsin =sincossinsincos 32222 f xxxxxxxx 3sin() 6 x,所以函数的振 幅是 3,故答案为:3 变式 2、 (2020 江苏溧阳上学期期中考试)如图,在平面直角坐标系xoy中,以ox轴为始边做两个锐

    11、角, ,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为 10 10 , 5 5 ,则sin() _ 【答案】 2 2 【解析】由三角函数的定义得: 5 10 cos,cos 10 5 ,所以 5 3 10 sin,sin 10 2 5 , 所以 3 1010 sin()sincoscossi 52 52 55 n 10102 故答案为 2 2 变式 3、已知 sin 3 5, 2, ,tan() 1 2,则 tan()的值为( ) A 2 11 B. 2 11 第 8 页 / 共 16 页 C.11 2 D11 2 【答案】A 【解析】因为 sin 3 5, 2, , 所以

    12、cos 1sin24 5, 所以 tan sin cos 3 4. 因为 tan()1 2tan ,所以 tan 1 2, 则 tan() tan tan 1tan tan 2 11. 变式 4、在ABC 中,若 tan Atan Btan Atan B1,则 cos C_. 【答案】 2 2 【解析】 (1)由 tan Atan Btan Atan B1, 可得 tan Atan B 1tan Atan B1, 即 tan(AB)1,又因为 AB(0,), 所以 AB3 4 ,则 C 4,cos C 2 2 . 变式 5、 2019 深圳模拟已知 tan 4 1 2,且 2 0,则2sin

    13、2sin2 cos 4 (A ) A. 2 5 5 B. 3 5 10 C. 3 10 10 D. 2 5 2 【答案】A 第 9 页 / 共 16 页 【解析】 由 tan 4 tan1 1tan 1 2得 tan 1 3.又 2 0, 故 sin 10 10 .故2sin 2sin2 cos 4 2sin(sincos) 2 2 (sincos) 2 2sin2 5 5 .故选 A. 方法总结:考查两角和差的三角函数公式的结构特征要记牢,在求值、化简时,注意观察角度、函数名、 所求角与已知角之间的差异, 再选择适当的三角公式恒等变形 求角问题的关键在于选择恰当的三角函数, 选择的标准是,在

    14、角的范围内根据函数值,角有唯一解本题考查逻辑思维能力,考查转化与化归思想 考点二、二倍角公式的运用 例 2、已知 0,化简: 1sincos sin 2 cos 2 22cos .= 【答案】cos. 【解析】 由 (0,),得 0 2 2 ,cos 20, 22cos4cos2 2 2cos 2.又(1sincos) sin 2 cos 2 2sin 2 cos 2 2cos2 2 sin 2 cos 2 2cos 2 sin2 2 cos2 2 2cos 2cos,故原式 2cos 2 cos 2cos 2 cos. 变式 1、(1) sin 10 1 3tan 10 _. (2)化简 s

    15、in235 1 2 cos 10 cos 80 _. 【答案】(1)1 4 (2)1 第 10 页 / 共 16 页 【解析】(1) sin 10 1 3tan 10 sin 10 cos 10 cos 10 3sin 10 2sin 10 cos 10 4 1 2cos 10 3 2 sin 10 sin 20 4sin30 10 1 4. (2) sin235 1 2 cos 10 cos 80 1cos 70 2 1 2 cos 10 sin 10 1 2cos 70 1 2sin 20 1. 变式 2、已知 cos 6 cos 3 1 4, 3, 2 . (1)求 sin 2 的值;

    16、(2)求 tan 1 tan 的值 【解析】(1)cos 6 cos 3 cos 6 sin 6 1 2sin 2 3 1 4, 即 sin 2 3 1 2. 3, 2 ,2 3 ,4 3 , cos 2 3 3 2 , sin 2sin 2 3 3 sin 2 3 cos 3cos 2 3 sin 3 1 2 1 2 3 2 3 2 1 2. (2) 3, 2 ,2 2 3 , , 又由(1)知 sin 21 2,cos 2 3 2 . tan 1 tan sin cos cos sin 第 11 页 / 共 16 页 sin 2cos2 sin cos 2cos 2 sin 2 2 3 2

    17、 1 2 2 3. 方法总结:本题考查二倍角公式的简单应用三角函数式的化简要注意以下 3 点:看角之间的差别与联 系,把角进行合理的拆分,正确使用公式;看函数名称之间的差异,确定使用的公式,常见的有“切化 弦”;看结构特征,找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等本题 考查运算求解能力,逻辑思维能力,考查转化与化归思想 考点三、 公式的综合运用 例 3、 设 是锐角,且 cos( 6 )4 5,则 sin(2 12)的值为_ 【答案】17 2 50 【解析】 是锐角, 6 6 2 3 ,cos( 6 )4 5,sin( 6 )3 5.sin2( 6 ) 2sin( 6

    18、 )cos( 6 )24 25,cos2( 6 )12sin2( 6 ) 7 25,sin(2 12) sin 2( 6 ) 4 sin2( 6 )cos 4 cos2( 6 )sin 4 24 25 2 2 7 25 2 2 17 2 50 . 变式 1、计算2cos 10 2 3cos100 1sin 10 _. 【答案】2 2 【解析】 2cos 10 2 3cos100 1sin 10 2cos 10 2 3sin 10 1sin 10 4 1 2cos 10 3 2 sin 10 12sin 5 cos 5 4cos 50 cos 5 sin 5 第 12 页 / 共 16 页 4c

    19、os 50 2 2 2 cos 5 2 2 sin 5 4cos 50 2cos 50 2 2. 变式 2、cos20 sin20cos10 3sin10tan702cos40. 【解析】 原式cos20cos10 sin20 3sin10sin70 cos70 2cos40 cos20cos10 sin20 3sin10cos20 sin20 2cos40 cos20(cos10 3sin10) sin20 2cos40 cos202sin(1030) sin20 2cos40 cos204sin20cos20 sin20 2cos40 4cos2202(2cos2201)2. 变式 3、已

    20、知 sin 4 2 10, 2, . 求:(1)cos 的值; (2)sin 2 4 的值 【解析】(1)由 sin 4 2 10, 得 sin cos 4cos sin 4 2 10, 化简得 sin cos 1 5, 第 13 页 / 共 16 页 又 sin2cos21,且 2, 由解得 cos 3 5. (2) 2, ,cos 3 5,sin 4 5, cos 212sin2 7 25,sin 22sin cos 2 4 5 3 5 24 25, sin 2 4 sin 2cos 4cos 2sin 4 2 2 24 25 7 25 17 2 50 . 方法总结: (1)三角函数式的化

    21、简要遵循“三看”原则: 一看角,二看名,三看式子结构与特征. (2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数 公式之间的共同点. 五、优化提升与真题演练 1、(2019 年高考全国卷理数)已知 (0, 2 ),2sin2=cos2+1,则 sin= A 1 5 B 5 5 C 3 3 D 2 5 5 【答案】B 【 解 析 】2sin2cos21, 2 4sincos2cos.0,cos0 2 ,sin0, 2sincos,又 22 sincos1, 22 1 5sin1,sin 5 ,又sin0, 5 sin 5 ,故选 第 14 页 /

    22、共 16 页 B 2、 (2018 年高考全国卷理数)若 1 sin 3 ,则cos2 A 8 9 B 7 9 C 7 9 D 8 9 【答案】B 【解析】 22 17 cos21 2sin1 2 ( ) 39 . 故选 B. 3、 (2018 年高考全国卷 II 理数)若 cossinf xxx在, a a是减函数,则a的最大值是 A 4 B 2 C 3 4 D 【答案】A 【解析】因为 cossin2cos 4 f xxxx , 所以由 02 2 () 4 kxkkZ得 3 2 2 () 44 kxkkZ, 因此 33 ,0 44444 a aaaaaa ,从而a的最大值为 4 , 故选

    23、A. 4、 (2017 年高考北京卷理数)在平面直角坐标系 xOy 中,角 与角 均以 Ox 为始边,它们的终边关于 y 轴对称.若 1 sin 3 ,则cos()=_. 第 15 页 / 共 16 页 【答案】 7 9 【解 析】因为和关 于 y 轴对 称,所以2 ,kkZ,那么 1 sinsin 3 , 2 2 coscos 3 (或 2 2 coscos 3 ), 所以 222 7 coscoscossinsincossin2sin1 9 . 5、 (2018 年高考全国理数)已知sin cos1,cossin0 ,则sin( )_ 【答案】 1 2 【解析】因为sincos1,coss

    24、in0,所以 22 1 sincos1, 所以 11 sin,cos 22 , 因此 22 111111 sinsin coscos sincos1 sin1. 224442 6、(2017 年高考江苏卷)若 1 tan(), 46 则tan 【答案】 7 5 【解析】 1 1tan()tan 7 644 tantan() 1 445 1 tan()tan1 446 故答案为 7 5 8、 (2018 年高考江苏卷)已知, 为锐角, 4 tan 3 , 5 cos() 5 (1)求cos2的值; (2)求tan()的值 第 16 页 / 共 16 页 【解析】 (1)因为 4 tan 3 , sin tan cos , 所以 4 sincos 3 因为 22 sincos1, 所以 2 9 cos 25 , 因此, 2 7 cos22cos1 25 (2)因为, 为锐角,所以(0, ) 又因为 5 cos() 5 , 所以 2 2 5 sin()1 cos () 5 , 因此tan()2 因为 4 tan 3 ,所以 2 2tan24 tan2 1tan7 , 因此, tan2tan()2 tan()tan2() 1tan2tan()11


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