1、 第 1 页 / 共 12 页 第第 47 讲讲 两条直线的位置关系两条直线的位置关系 一、课程标准 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直； 2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标； 3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离 二、基础知识回顾 知识梳理 1. 斜率存在的两条直线平行与垂直 若 l1：yk1xb1，l2：yk2xb2， 则 l1l2k1k2，b1b2； l1l2k1 k21； l1与 l2重合k1k2，b1b2 2. 直线的一般式方程中的平行与垂直条件 若直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(其中 A1，B1不
2、同时为 0，A2，B2不同时为 0)，则 l1l2A1B2A2B1且 A1C2A2C1；l1l2A1A2B1B20 3. 两直线的交点 直线 l1：A1xB1yC10 与 l2：A2xB2yC20 的公共点的坐标与方程组 A1xB1yC10， A2xB2yC20 的解一一对应 (1)相交方程组有一组解； (2)平行方程组无解； (3)重合方程组有无数组解 4. 已知两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则两点间的距离为 d （x1x2）2（y1y2）2 5. 设点 P(x0，y0)，直线 l：AxByC0(A，B 不同时为 0)，则点 P 到直线 l 的距离为 d |Ax0By0C A
3、2B2 6. 两条平行直线 l1： AxByC10 与 l2： AxByC20(A， B 不同时为 0)之间的距离 d |C1C2 A2B2 三、自主热身、归纳总结 1、 若直线 2x(m1)y40 与直线 mx3y20 平行，则实数 m 的值为( ) 第 2 页 / 共 12 页 A. 2 B. 3 C. 2 或3 D. 2 或3 【答案】 C 【解析】 直线 2x(m1)y40 与直线 mx3y20 平行，则有2 m m1 3 4 2，故 m2 或 m3. 故选 C. 2、 若直线 ax2y10 与直线 2x3y10 垂直，则 a 的值为( ) A. 3 B. 4 3 C. 2 D. 3
4、【答案】 D 【解析】 直线 ax2y10 的斜率 k1a 2， 直线 2x3y10 的斜率 k2 2 3.因为两直线垂直， 所以 a 2 2 3 1，即 a3. 3、直线 2x2y10，xy20 之间的距离是( ) A. 3 2 4 B. 2 C. 2 2 D. 1 【答案】A 【解析】 先将 2x2y10 化为 xy1 20，则两平行线间的距离为 d 21 2 2 3 2 4 .故选 A. 4、若三条直线 2xy30，2xy10 和 x3kyk10 相交于一点，则实数 k_ 【答案】 1 10 【解析】 由 2xy30，2xy10 两直线交于点(1 2，2)，再将此点代入直线方程 x3ky
5、k1 0 中，求得 k 1 10. 5、若直线(3a2)x(14a)y80 与(5a2)x(a4)y70 垂直，则 a_ 【答案】0 或 1 【解析】 由两直线垂直的充要条件，得(3a2)(5a2)(14a)(a4)0，解得 a0 或 a1. 四、例题选讲 考点一 两条直线的位置关系 例 1、已知直线 l1：ax2y30 和直线 l2：x(a1)ya210. (1) 当 l1l2时，求实数 a 的值； (2) 当 l1l2时，求实数 a 的值 第 3 页 / 共 12 页 【解析】 (1)(方法 1)当 a1 时，l1：x2y60，l2：x0，l1不平行于 l2； 当 a0 时，l1：y3，l
6、2：xy10，l1不平行于 l2； 当 a1 且 a0 时，两直线可化为 l1：ya 2x3， l2：y 1 1ax(a1)， l1l2 a 2 1 1a， 3（a1） 解得 a1，综上可知，当 a1 时，l1l2. (方法 2)l1l2 a（a1）1 20， a（a21）160 a2a20， a（a21）6 解得 a1， 故当 a1 时，l1l2. (2)(方法 1)当 a1 时，l1：x2y60，l2：x0，l1与 l2不垂直，故 a1 不成立； 当 a0 时，l1：y3，l2：xy10，l1不垂直于 l2，故 a0 不成立； 当 a1 且 a0 时，l1：ya 2x3，l2：y 1 1a
7、x(a1)由 a 2 1 1a1，得 a 2 3. (方法 2)l1l2，a2(a1)0，解得 a2 3. 变式 1、（1）（江苏省丹阳高级中学 2019 届模拟）已知过点 A(2，m)和点 B(m,4)的直线为 l1，直线 2x y10 为 l2，直线 xny10 为 l3.若 l1l2，l2l3，则实数 mn 的值为( ) A10 B2 C0 D8 （2）（浙江绍兴一中 2019 届模拟）设不同直线 l1：2xmy10，l2：(m1)xy10，则“m2” 是“l1l2”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】（1）A （2）C 【解析】 （
8、1）因为 l1l2，所以4m m22(m2)，解得 m8(经检验，l1 与 l2不重合)因为 l2l3， 所以 2 11 n0，即 n2. 所以 mn10. （2）当 m2 时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立；当 l1l2时，显然 m0，从而 有2 mm1，解得 m2 或 m1，但当 m1 时，两直线重合，不合要求，故必要性成立故选 C. 第 4 页 / 共 12 页 变式 2、已知两条直线 l1：axby40 和 l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的 a，b 的值 (1)l1l2，且 l1过点(3，1)； (2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等 【解析】 (1)
9、由已知可得 l2的斜率存在，且 k21a. 若 k20，则 1a0，a1.l1l2，直线 l1的斜率 k1不存在，即 b0.又l1过点(3，1)，3a 40，即 a4 3(矛盾)，此种情况不存在，k20， 即 k1，k2都存在且不为 0.k21a，k1a b，l1l2，k1k21，即 a b(1a)1.(*)又l1 过点(3， 1)，3ab40.(*)由(*)(*)联立，解得 a2，b2. (2)l2的斜率存在，l1l2，直线 l1的斜率存在，k1k2，即a b1a， 又坐标原点到这两条直线的距离相等，且 l1l2， l1，l2在 y 轴上的截距互为相反数，即4 bb，联立，解得 a2， b2
10、或 a2 3， b2 a2，b2 或 a2 3，b2. 方法总结：(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在 的特殊情况同时还要注意 x，y 的系数不能同时为零这一隐含条件 (2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程系数间的关系得出结论 考点二 两条直线的交点问题 例2 已知直线ykx2k1与直线y1 2x2的交点位于第一象限， 则实数k的取值范围是_ 【答案】 1 6， 1 2 【解析】 如图，已知直线 y1 2x2 与 x 轴、y 轴分别交于点 A(4，0)，B(0，2)直线 ykx2k1 可 变形为 y1k(x2)， 表示这是一条过定
11、点 P(2， 1)， 斜率为 k 的动直线 因为两直线的交点在第一象限， 所以两直线的交点必在线段 AB 上(不包括端点)，所以动直线的斜率 k 需满足 kPAkkPB.因为 kPA1 6， kPB1 2，所以 1 6k 1 2. 第 5 页 / 共 12 页 变式 1、(1)三条直线 l1：xy0，l2：xy20，l3：5xky150 构成一个三角形，则 k 的取值范围是 ( ) AkR BkR 且 k1，k0 CkR 且 k5，k10 DkR 且 k5，k1 (2)求经过直线 l1：3x2y10 和 l2：5x2y10 的交点，且垂直于直线 l3：3x5y60 的直线 l 的方程为_ 【答
12、案】(1)C (2)5x3y10 【解析】(1)由 l1l3得 k5；由 l2l3，得 k5；由 xy0 与 xy20，得 x1，y1，若 l1，l2的 交点(1,1)在 l3上，则 k10.若 l1，l2，l3能构成一个三角形，则 k5，且 k10，故选 C. (2)解方程组 3x2y10， 5x2y10 得 l1，l2的交点坐标为(1,2) 由于 ll3，故 l 是直线系 5x3yC0 中的一条，而 l 过 l1，l2的交点(1,2)，故 5 (1)3 2C 0，由此求出 C1.故直线 l 的方程为 5x3y10. 变式 2、下面三条直线 l1：4xy40，l2：mxy0，l3：2x3my
13、40 不能构成三角形，求实数 m 的 取值集合 【解析】 当三条直线交于一点时：由 4xy40， mxy0 ，解得 l1和 l2的交点 A 的坐标 4 4m， 4m 4m ，由 A 在 l3上可得 2 4 4m3m 4m 4m 4，解得 m2 3或 m1. 至少两条直线平行或重合时：l1、l2、l3至少两条直线斜率相等，当 m4 时，l1l2；当 m1 6时，l1 l3；若 l2l3，则需有m 2 1 3m，m 22 3不可能综合(1)、(2)可知，m1， 1 6， 2 3，4 时，这三条直 线不能组成三角形，m 的取值集合是 1，1 6， 2 3，4 . 方法总结：(1)求两直线的交点坐标，
14、就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点 的坐标 (2)求过两直线交点的直线方程， 先解方程组求出两直线的交点坐标， 再结合其他条件写出直线方程 也 可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，常用的直线系方程如下： 与直线 AxByC0 平行的直线系方程是 AxBym0(mR，且 mC)；与直线 AxByC 0 垂直的直线系方程是 BxAym0(mR)；过直线 l1：A1xB1yC1 0 与 l2：A2xB2yC20 的交 第 6 页 / 共 12 页 点的直线系方程为 A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括 l2. 考点三、 两直线的距离问题 例 3、
15、已知点 P(2，1) (1)求过点 P 且与原点距离为 2 的直线 l 的方程 (2)求过点 P 且与原点距离最大的直线 l 的方程，并求出最大距离 (3)是否存在过点 P 且与原点距离为 6 的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由 【解析】 (1)过点 P 的直线 l 与原点距离为 2，而 P 点坐标为(2，1)，可见过 P(2，1)垂直于 x 轴 的直线满足条件此时 l 的斜率不存在，其方程为 x2.若斜率存在，设 l 的方程为 y1k(x2)，即 kx y2k10.由已知得| |2k1 k21 2，解得 k3 4.此时 l 的方程为 3x4y100.综上，可得直线 l 的方程 为
16、 x2 或 3x4y100. (2)过点 P 与原点 O 距离最大的直线是过点 P 且与 PO 垂直的直线， 由 lOP， 得 klkOP1.kl 1 kOP 2.由直线的点斜式方程得 y12(x2)，即 2xy50，最大距离为| |5 5 5. (3)由(2)可知，过 P 点不存在与原点距离超过 5的直线，不存在过 P 点且与原点距离为 6 的直线 变式 1、(1)过点 P(2,1)且与原点 O 距离最远的直线方程为( ) A2xy50 B2xy30 Cx2y40 Dx2y0 (2)若两平行直线 l1：x2ym0(m0)与 l2：2xny60 之间的距离是 5，则 mn( ) A0 B1 C
17、2 D1 【答案】 (1)A (2)C 【解析】 (1)过点 P(2,1)且与原点 O 距离最远的直线为过点 P(2,1)且与 OP 垂直的直线，因为直线 OP 的斜 率为10 20 1 2，所以所求直线的斜率为2，故所求直线方程为 2xy50. (2)因为 l1，l2平行，所以 1 n2 (2)，1 (6)2 m，解得 n4，m3，所以直线 l2：x2y3 0.又 l1，l2之间的距离是 5，所以|m3| 14 5，解得 m2 或 m8(舍去)，所以 mn2，故选 C. 变式 2、已知直线 l 经过直线 l1：2xy50 与 l2：x2y0 的交点 P. 第 7 页 / 共 12 页 (1)
18、 若点 A(5，0)到直线 l 的距离为 3，求直线 l 的方程； (2) 求点 A(5，0)到直线 l 距离的最大值 【解析】 (1) 由 2xy50， x2y0， 解得 x2， y1， 所以 P(2，1) 当直线 l 的斜率不存在时，其方程为 x2，符合题意； 若直线 l 的斜率存在，设 l 的方程为 y1k(x2)，即 kxy2k10. 由已知点 A(5，0)到直线 l 的距离为 3，得|3k1| k213，解得 k 4 3，此时直线 l 的方程为 4x3y50. 综上所述，直线 l 的方程为 x2 或 4x3y50. (2) 由(1)可知交点 P(2，1)，如图，过 P 作任一直线 l
19、， 设 d 为点 A 到直线 l 的距离，则 dPA(当 lPA 时等号成立)， 所以 dmaxPA （52）2（01）2 10. 方法总结：1点到直线的距离的求法 可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式 2两平行线间的距离的求法 (1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离(2)利用两平 行线间的距离公式 考点四 直线的对称性 例 4、(1)已知直线 l：x2y20. 求直线 l1：yx2 关于直线 l 对称的直线 l2的方程； 求直线 l 关于点 A(1,1)对称的直线方程 (2)光线由点 A(5， 3)入射到 x 轴上的点
20、 B(2,0)，又反射到 y 轴上的点 M，再经 y 轴反射，求第二 次反射线所在直线 l 的方程 第 8 页 / 共 12 页 【解析】(1)由 yx2， x2y20 解得交点 P(2,0) 在 l1上取点 M(0，2)， M 关于 l 的对称点设为 N(a，b)， 则 a 22 b2 2 20， 1 2 b2 a 1， 解得 N 12 5 ，14 5 ，所以 kl2 14 5 0 12 5 2 7， 又直线 l2过点 P(2,0)， 所以直线 l2的方程为 7xy140. 直线 l 关于点 A(1,1)对称的直线和直线 l 平行，所以设所求的直线方程为 x2ym0. 在 l 上取点 B(0
21、,1)，则点 B(0,1)关于点 A(1,1)的对称点 C(2,1)必在所求的直线上，所以 m4，即所求 的直线方程为 x2y40. (2)点 A(5， 3)关于 x 轴的对称点 A(5， 3)在反射光线所在的直线 BM 上， 可知 lBM：y 3 3 (x2)， 所以M 0，2 3 3 .又第二次反射线的斜率kkAB 3 3 ， 所以第二次反射线所在直线l的方程为y 3 3 x2 3 3 ，即 x 3y20. 变式、(1)如图，已知 A(4，0)，B(0，4)，从点 P(2，0)射出的光线经直线 AB 反射后再射到直线 OB 上， 第 9 页 / 共 12 页 最后经直线 OB 反射后又回到
22、 P 点，则光线所经过的路程是_ (2)已知直线 l：2x3y10，求直线 m：3x2y60 关于直线 l 的对称直线 m的方程 【答案】 （1）2 10 （2）9x46y1020. 【解析】 (1)直线 AB 的方程为 xy4，点 P(2，0)关于直 线 AB 的对称点为 D(4， 2)， 关于 y 轴的对称点为 C(2， 0)， 则光线经过的路程为 CD 62222 10. (2)在直线 m 上任取一点，如 M(2，0)，则 M(2，0)关于直线 l 的对称点 M必在直线 m上 设对称点 M(a，b)，则 2 a2 2 3 b0 2 10， b0 a2 2 31 解得 a 6 13， b3
23、0 13， M 6 13， 30 13 . 设直线 m 与直线 l 的交点为 N，则由 2x3y10， 3x2y60 得 N(4，3) 又直线 m经过点 N(4，3)，由两点式得直线 m的方程为 9x46y1020. 方法总结：对称性问题有三类：一是点关于点对称；二是点关于线对称；三是线关于线对称；点关于 点对称问题比较简单，只要用中点坐标公式即可；点关于线对称要用到两个条件，一是已知点和对称点的 连线与已知直线垂直，二是已知点和对称点的中点在已知直线上；线关于线对称问题，一般是在某一条直 线上找两个点，求出这两个点关于另一条直线的对称点，然后用两点式求出其方程通常情况下会用到两 直线的交点
24、第 10 页 / 共 12 页 五、优化提升与真题演练 1、已知直线 l 的倾斜角为3 4 ，直线 l1经过点 A(3,2)和 B(a，1)，且直线 l 与 l1平行，则实数 a 的值为( ) A0 B1 C6 D0 或 6 【答案】C 【解析】由直线 l 的倾斜角为3 4 得 l 的斜率为1， 因为直线 l 与 l1平行，所以 l1的斜率为1. 又直线 l1经过点 A(3,2)和 B(a，1)， 所以 l1的斜率为 3 3a，故 3 3a1，解得 a6. 2、(多选)若两平行直线 3x2y10,6xayc0 之间的距离为2 13 13 ，则实数 c 的值是( ) A2 B4 C5 D6 【答
25、案】AD 【解析】 依题意知，6 3 a 2 c 1，解得 a4，c2，即直线 6xayc0 可化为 3x2y c 20，又 两平行线之间的距离为2 13 13 ，所以 c 21 322 2 2 13 13 ，解得 c2 或6. 3、已知直线 ykx2k1 与直线 y1 2x2 的交点位于第一象限，则实数 k 的取值范围是_ 【答案】 1 6， 1 2 【解析】由方程组 ykx2k1， y1 2x2， 解得 x24k 2k1， y6k1 2k1. 交点坐标为 24k 2k1， 6k1 2k1 . 又交点位于第一象限， 24k 2k10， 6k1 2k10， 第 11 页 / 共 12 页 解得
26、1 6k 1 2. 4、(一题两空)已知直线 l1：axy10，直线 l2：xy30，若直线 l1的倾斜角为 4，则 a_； 若 l1l2，则 a_. 【答案】 1 1 【解析】若直线 l1的倾斜角为 4，则atan 41，故 a1；若 l1l2，则 a 11 (1)0，故 a1. 5、 过点 P(0，1)作直线 l，使它被直线 l1：2xy80 和 l2：x3y100 截得的线段恰好被点 P 平分， 求直线 l 的方程 【解析】 设 l1与 l 的交点为 A(a，82a)，则由题意知，点 A 关于点 P 的对称点 B(a，2a6)在 l2上， 代入 l2的方程得a3(2a6)100，解得 a
27、4，即点 A(4，0)在直线 l 上，直线 l 的方程为 x4y4 0. 6、已知三条直线：l1：2xya0(a0)；l2：4x2y10；l3：xy10，且 l1与 l2间的距离是7 5 10 . (1)求 a 的值； (2)能否找到一点 P，使 P 同时满足下列三个条件： 点 P 在第一象限； 点 P 到 l1的距离是点 P 到 l2的距离的1 2； 点 P 到 l1的距离与点 P 到 l3的距离之比是 2 5.若能，求点 P 的坐标；若不能，请说明理由 【解析】 ：(1)直线 l2：2xy1 20，所以两条平行直线 l1 与 l2间的距离为 d a 1 2 221 2 7 5 10 ， 所
28、以 a1 2 5 7 5 10 ，即 a1 2 7 2， 又 a0，解得 a3. (2)假设存在点 P，设点 P(x0，y0) 若点 P 满足条件， 则点 P 在与 l1，l2平行的直线 l：2xyc0 上， 且|c3| 5 1 2 c1 2 5 ， 第 12 页 / 共 12 页 即 c13 2 或11 6 ， 所以直线 l的方程为 2x0y013 2 0 或 2x0y011 6 0； 若点 P 满足条件，由点到直线的距离公式， 有|2x0y03| 5 2 5 |x0y01| 2 ， 即|2x0y03|x0y01|， 所以 x02y040 或 3x020； 由于点 P 在第一象限，所以 3x020 不可能 联立方程得 2x0y013 2 0， x02y040， 解得 x03， y01 2 (舍去)； 联立方程得 2x0y011 6 0， x02y040， 解得 x01 9， y037 18. 所以存在点 P 1 9， 37 18 同时满足三个条件
浙公网安备33030202001339号