1、 第 1 页 / 共 11 页 第第 56 讲讲 排列与组合排列与组合 一、课程标准 1、通过实例，理解排列、组合的概念 2、能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. 二、基础知识回顾 知识梳理 1. 分类加法计数原理 完成一件事， 有n类方式， 在第1类方式中有m1种不同的方法， 在第2类方式中有m2种不同的方法， ， 在第 n 类方式中有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有 N_m1m2mn_种不同的方法 2. 分步乘法计数原理 完成一件事，需要分成 n 个步骤，做第 1 步有 m1种不同的方法，做第 2 步有 m2种不同的方法， 做第 n 步有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有
2、N_m1m2mn_种不同的方法 3. 排列与排列数 (1)排列：一般地，从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的_一个排列_ (2)排列数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从 n 个不同元素 中取出 m 个元素的_排列数_，用符号_Am n_表示 (3)排列数公式： Am nn(n1)(n2)(nm1)_ n！ （nm）！_(n，mN *，并且 mn) Ann_n (n1) (n2) 3 2 1_n！ ，规定 0！_1_ 4. 组合与组合数 (1)组合：一般地，从 n 个不同元素中取
3、出 m(mn)个元素合并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的_一个组合_ (2)组合数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元 素中取出 m 个元素的_组合数_，用符号_Cm n_表示 (3)组合数公式： Cm nA m n Am m n（n1）（n2）（nm1） m！ _ n！ m！（nm）！_(n，mN *，并且 mn) (4)组合数的性质： 性质 1：Cm n_C nm n _ 性质 2：Cm n1_C m1 n Cm n_ 第 2 页 / 共 11 页 性质 3：mCm n_n C m1 n1_ 三、自主热身、归纳总结
4、1、某校“数学俱乐部”有高一学生 7 人，高二学生 10 人，高三学生 8 人，若从每一个年级各选 1 名担任 负责人，则有_种不同的选法( ) A. 25 B. 280 C. 560 D. 580 【答案】C 【解析】 根据分步计数原理， 高一有7种不同选择， 高二有10种不同选择， 高三有8种不同选择， 共7108 560 种故选 C. 2、从 5 名男生和 4 名女生种选出 4 人参加辩论赛，如果男生中的甲与女生中的乙至少要有 1 人在内，那么 有_种不同选法( ) A. 20 B. 60 C. 78 D. 91 【答案】 D 【解析】 在 9 人选 4 人的所有选法中，去掉甲和乙都不在
5、内的选法，就得到符合条件的选法数：C49C47 91.故选 D. 3、 已知集合M=1，-2，3，N=-4，5，6，-7，从M，N这两个集合中各选一个元素分别记作a，b则下 列说法正确的有（ ） A. b a 表示不同的正数的个数是6 B. b a 表示不同的比1小的数的个数是6 C.（a，b）表示x轴上方不同的点的个数是6 D.（a，b）表示y轴右侧不同的点的个数是6 【答案】BC 【解析】对于选项A，若a，b均为正，共有22=4个，若a，b均为负，共有12=2个，但6 3= -4 -2，所以共有5 个，所以选项A错误；对于选项B，若b a为正，显然均比1大，所以只需 b a为负即可，共有2
6、2+12=6个，所 以选项B正确；对于选项C，要使（a，b）表示x轴上方的点，只需b为正即可，共有23=6个，所以选项C 正确；对于选项D，要使（a，b）表示y轴右侧的点，只需a为正即可，共有24=8个，所以选项D错误 4、(1)7C364C47_； (2)A36_ _ 【答案】 （1） 0 （2）120 【解析】 (1)7C364C477654 3214 7654 43210；(2)A 3 6654120. 第 3 页 / 共 11 页 5、某地区计划实施新高考考试方案,现模拟选科,其中语文、数英语为必选科目.从物理、化生物、历史、地 理、政治、信息技术七科中任选三科,组合成“3+3”模式.
7、若小王同学在物理和化学这两科中至多选一科,则他 选择的组合方式有 种(用数字作答). 【答案】.30 【解析】 “物理和化学两科中至多选一科”的选法可分两类.第一类,不选物理和化选法有C5 3=10(种);第二类, 选物理和化学中的一门,选法有C2 1C52=20(种).所以他选择的组合方式共有 10+20=30(种). 四、例题选讲 考点一 两个计数原理的应用 例 1、(1)已知一个三位数从 0，1，2，3，4 中任意选取如果三位数的中数字不允许重复使用，那么能得到 多少个三位数？如果三位数中的数字允许重复使用，那么能得到多少个三位数？ (2)用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为 1，2，9
8、的 9 个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共 边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为 1，5，9 的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共 有多少种？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 【解析】(1)若不重复，三位数先考虑百位情况，共 4 种选择，十位除去百位已选一个数，也是 4 种不同选 择，个位共 3 种不同选择，故总共能得到 44348 个不同的三位数 若重复，三位数先考虑百位，共 4 种不同选择，十位共 5 种不同选择，个位共 5 种不同选择，故共有 4 55100 个不同的三位数 (2)把区域分为三部分，第一部分 1，5，9，有 3 种涂法； 第二部分 4，7，8，当
9、5，7 同色时，4，8 各有 2 种涂法，共 4 种涂法，当 5，7 异色时，7 有 2 种涂法， 4，8 均只有 1 种涂法，故第二部分共 426 种涂法；第三部分与第二部分一样，共 6 种涂法由分步乘 法计数原理，可得涂法共有 366108(种) 变式 1、甲与其四位同事各有一辆私家车,车牌尾数分别是 9,0,2,1,5,为遵守当地某月 5 日至 9 日 5 天的限行 规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行,偶数日车牌尾数为偶数的车通行),五人商议拼车出行,每天任选一辆符 合规定的车,但甲的车最多只能用一天,则不同的用车方案种数为( ) A.64 B.80 C.96 D.120 【答案】B 第
10、 4 页 / 共 11 页 【解析】 5 日至 9 日,日期尾数分别为 5,6,7,8,9,有 3 天是奇数日,2 天是偶数日.第一步,安排偶数日出行,每天都 有 2 种选择,共有 22=4(种);第二步,安排奇数日出行,分两类,第一类,选 1 天安排甲的车,另外 2 天安排其他车, 有 322=12(种),第二类,不安排甲的车,每天都有 2 种选择,共有 23=8(种),共有 12+8=20(种).根据分步乘法计 数原理,不同的用车方案种数为 420=80. 变式 2、满足 a，b1，0，1，2，且关于 x 的方程 ax22xb0 有实数解的有序数对(a，b)的个数为 _. 【答案】13 【
11、解析】 当 a0 时，关于 x 的方程为 2xb0，此时有序数对(0，1)，(0，0)，(0，1)，(0，2)均满足 要求；当 a0 时，44ab0，ab1，此时满足要求的有序数对为(1，1)，(1，0)，(1，1)，( 1，2)，(1，1)，(1，0)，(1，1)，(2，1)，(2，0)综上，满足要求的有序数对共有 13 个 方法总结：利用两个计数原理解决应用问题的一般思路： (1)弄清完成一件事是做什么 (2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类 (3)弄清分步、分类的标准是什么 (4)利用两个计数原理求解 考点二 排列的应用 例 2 有 4 个男生，3 个女生按下列要求排队拍照，各有多少
12、种不同的排列方法？ (1)7 个人排成一列，4 个男生必须连排在一起； (2)7 个人排成一列，3 个女生中任何两个均不能排在一起； (3)7 个人排成一列，甲、乙、丙三人顺序一定； (4)7 个人排成一列，但男生必须连排在一起，女生也必须连排在一起，且男甲与女乙不能相邻 【解析】 (1)不妨先将 4 个男生看作一个整体，连同三个女生共 4 个元素进行排列，有 A44种排法，然后将 4 个男生全排列，有 A44种排法，根据分步乘法计数原理有 A44A44576(种)不同的排法 (2)先排男生，有 A44种排法，再在他们之间和左右两端共 5 个空档中插入 3 个女生，有 A35种排法，故共 有
13、A44A351 440(种) (3)先不考虑三人的顺序，任意排列有 A77种，其中每 A33种有且只有 1 种符合甲、乙、丙三人顺序一定， 共有A 7 7 A33840(种)另解：七个位置中，先将除甲乙丙外的 4 人排好，然后按一定顺序排入三个空位中，排 法唯一，故有 A47840 种排法 第 5 页 / 共 11 页 (4)先将男生和女生看作两个整体， 男生、 女生分别全排列， 有 A22A44A33种排法， 再考虑男甲与女乙相邻， 有 A22A33A22种，故有 A22A44A33A22A33A22264(种) 变式 1、有 3 名男生、4 名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数
14、(1)选 5 人排成一排； (2)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人； (3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； (4)全体排成一排，女生必须站在一起； (5)全体排成一排，男生互不相邻 【解析】 (1)从 7 人中选 5 人排列，有 A 5 7765432 520(种) (2)分两步完成， 先选 3 人站前排， 有 A 3 7种方法， 余下 4 人站后排， 有 A 4 4种方法， 共有 A 3 7A 4 45 040(种) (3)法一： (特殊元素优先法)先排甲， 有 5 种方法， 其余 6 人有 A 6 6种排列方法， 共有 5A 6 63 600(种) 法二：(特殊位置优先法)首
15、尾位置可安排另 6 人中的两人，有 A 2 6种排法，其他有 A 5 5种排法，共有 A 2 6A 5 5 3 600(种) (4)(捆绑法)将女生看作一个整体与 3 名男生一起全排列， 有 A 4 4种方法， 再将女生全排列， 有 A 4 4种方法， 共有 A 4 4A 4 4576(种) (5)(插空法)先排女生， 有 A 4 4种方法， 再在女生之间及首尾 5 个空位中任选 3 个空位安排男生， 有 A 3 5种方法， 共有 A 4 4A 3 51 440(种) 变式 2、 （1）高三要安排毕业晚会的 4 个音乐节目，2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的演出顺序，要求 2 个舞蹈节目不连排
16、，则不同排法的种数是( ) A1 800 B3 600 C4 320 D5 040 （2）将 7 个人(其中包括甲、乙、丙、丁 4 人)排成一排，若甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两 人必须相邻，则不同的排法共有( ) A1 108 种 B1 008 种 C960 种 D504 种 【答案】 （1）B （2）B 【解析】 （1）先排除舞蹈节目以外的 5 个节目，共 A 5 5种，再把 2 个舞蹈节目插在 6 个空位中，有 A 2 6种，所 以共有 A 5 5A 2 63 600(种) （2）将丙、丁两人进行捆绑，看成一人将 6 人全排列有 A 2 2A 6 6种排法；将甲排在排头，有 A 2
17、 2A 5 5种排法；乙 排在排尾，有 A 2 2A 5 5种排法；甲排在排头，乙排在排尾，有 A 2 2A 4 4种排法则甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、 丁两人必须相邻的不同排法共有 A 2 2A 6 6A 2 2A 5 5A 2 2A 5 5A 2 2A 4 41 008(种) 第 6 页 / 共 11 页 方法总结：(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一 般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采 用间接法 (2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条
18、件的排列问 题的常用方法 考点三 组合的应用 例 3、某市工商局对 35 种商品进行抽样检查，已知其中有 15 种假货现从 35 种商品中选取 3 种 (1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ (4)至少有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ (5)至多有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ 【解析】(1)从余下的 34 种商品中，选取 2 种有 C234561 种，某一种假货必须在内的不同取法有 561 种 (2)从 34 种可选商品中，选取 3 种，有 C334种或者 C33
19、5C234C3345 984 种某一种假货不能在内的不同 取法有 5 984 种 (3)从 20 种真货中选取 1 件，从 15 种假货中选取 2 件有 C120C2152 100 种 恰有 2 种假货在内的不同的取法有 2 100 种 (4)选取 2 件假货有 C120C215种， 选取 3 件假货有 C315种， 共有选取方式 C120C215C3152 1004552 555 种 至少有 2 种假货在内的不同的取法有 2 555 种 (5)选取 3 件的总数有 C335，因此共有选取方式 C335C3156 5454556 090 种至多有 2 种假货在内的不同的取法有 6 090 种
20、变式 1、按下列要求分配 6 本不同的书，各有多少种不同的分配方式？ (1)分成三份，1 份 1 本，1 份 2 本，1 份 3 本； (2)甲、乙、丙三人中，一人得 1 本，一人得 2 本，一人得 3 本； (3)平均分成三份，每份 2 本； (4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人 2 本； (5)分成三份，1 份 4 本，另外两份每份 1 本； (6)甲、乙、丙三人中，一人得 4 本，另外两人每人得 1 本； (7)甲得 1 本，乙得 1 本，丙得 4 本 【解析】 (1)无序不均匀分组问题先选 1 本有 C16种选法；再从余下的 5 本中选 2 本有 C25种选法；最后余 下 3 本全选有
21、 C33种选法故共有 C16C25C3360(种)不同的分配方式 (2)有序不均匀分组问题由于甲、乙、丙是不同三人，在第(1)题的基础上，还应考虑再分配，故共有 第 7 页 / 共 11 页 C16C25C33A33360(种)不同的分配方式 (3)无序均匀分组问题先分三步，则应是 C26C24C22种方法，但是这里出现了重复不妨记六本书为 A， B，C，D，E，F，若第一步取了 A，B，第二步取了 C，D，第三步取了 E，F，记该种分法为(AB，CD， EF)，则 C26C24C22种分法中还有(AB、EF、CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，A
22、B， CD)，共有 A33种情况，而这 A33种情况仅是 AB，CD，EF 的顺序不同，只能作为一种分法，故分配方式有 C26C24C22 A33 15(种) (4)有序均匀分组问题 在第(3)题的基础上再分配给 3 个人， 共有分配方式C 2 6C 2 4C 2 2 A33 A33C26C24C2290(种) (5)无序部分均匀分组问题共有分配方式C 4 6C 1 2C 1 1 A22 15(种) (6)有序部分均匀分组问题在第(5)题的基础上再分配给 3 个人，共有分配方式C 4 6C 1 2C 1 1 A22 A3390(种) (7)直接分配问题甲选 1 本有 C16种方法，乙从余下 5
23、 本中选 1 本有 C15种方法，余下 4 本留给丙有 C44种 方法共有分配方式 C16C15C4430(种) 变式 2、 （1）从1,2,3，10中选取三个不同的数，使得其中至少有两个相邻，则不同的选法种数是( ) A72 B70 C66 D64 （2） 从 2 位女生， 4 位男生中选 3 人参加科技比赛， 且至少有 1 位女生入选， 则不同的选法共有_ 种(用数字作答) （3）(2019 辽宁五校协作体联考)在爸爸去哪儿第二季第四期中，村长给 6 位“萌娃”布置一项搜 寻空投食物的任务已知：食物投掷地点有远、近两处；由于 Grace 年纪尚小，所以要么不参与该项任 务，但此时另需一位小
24、孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；所有参与搜寻任务的小孩须 被均分成两组，一组去远处，一组去近处那么不同的搜寻方案有_种 【答案】 （1）D（2）16（3）40 【解析】 （1）从1,2,3，10中选取三个不同的数，恰好有两个数相邻，共有 C 1 2C 1 7C 1 7C 1 656 种选 法，三个数相邻共有 C 1 88 种选法，故至少有两个数相邻共有 56864 种选法 （2）从 2 位女生，4 位男生中选 3 人，共有 C 3 6种情况，没有女生参加的情况有 C 3 4种，故共有 C 3 6C 3 4204 16(种) （3）若 Grace 不参与任务，则需要从剩下的 5 位
25、小孩中任意挑出 1 位陪同，有 C 1 5种挑法，再从剩下的 4 位 小孩中挑出 2 位搜寻远处， 有 C 2 4种挑法， 最后剩下的 2 位小孩搜寻近处，因此一共有 C 1 5C 2 430 种搜寻方案； 若 Grace 参与任务，则其只能去近处，需要从剩下的 5 位小孩中挑出 2 位搜寻近处，有 C 2 5种挑法，剩下 3 位小孩去搜寻远处，因此共有 C 2 510 种搜寻方案综上，一共有 301040 种搜寻方案 方法总结：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不 第 8 页 / 共 11 页 含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元
26、素中去选取 (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义， 谨防重复与漏解用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处 理 考点四 排列与组合问题的综合应用 例 4、(1)在高三某班进行的演讲比赛中，共有 5 位选手参加，其中 3 位女生，2 位男生，如果 2 位男生不能 连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为_ (2)大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在某城市 关系要好的 A，B，C，D 四个家庭各有两个孩子共 8 人，他们准备使用滴滴打车
27、软件，分乘甲、乙两辆汽 车出去游玩，每车限坐 4 名(乘同一辆车的 4 个孩子不考虑位置)，其中 A 家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则 乘坐甲车的 4 个孩子恰有 2 个来自于同一个家庭的乘坐方式共有_种 【答案】 (1)60 (2)24 【解析】(1)2 位男生不能连续出场的排法共有N1A 3 3A 2 472(种)，女生甲排第一个且 2 位男生不连续出场 的排法共有N2A 2 2A 2 312(种)，所以出场顺序的排法种数为NN1N260. (2)根据题意，分两种情况讨论： A家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任 选 2 个，再从每个家庭的
28、2 个孩子中任选一个来乘坐甲车有 C 2 3C 1 2C 1 212(种)乘坐方式； A家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选 1 个，让其 2 个孩子都在甲车上，对于 剩余的两个家庭，从每个家庭的 2 个孩子中任选一个来乘坐甲车，有 C 1 3C 1 2C 1 212(种)乘坐方式， 故共有 121224(种)乘坐方式 变式： （1）某学校获得 5 个高校自主招生推荐名额，其中甲大学 2 个，乙大学 2 个，丙大个，并且甲大学 和乙大学都要求必须有男生参加， 学校通过选拔定下 3 男 2 女共 5 个推荐对象， 则不同的推荐方法共有( ) A.36 种 B.24 种 C.22
29、种 D.20 种 （2）从甲、乙等 8 名志愿者中选 5 人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天.若要求 甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安 排种数为_.(用数字作答) 【答案】 （1） 24（2）5040 【解析】 （1）根据题意，分两种情况讨论：第一种，3 名男生每个大学各推荐 1 人，2 名女生分别推荐给甲 大学和乙大共有 A33A2212 种推荐方法； 第二种， 将 3 名男生分成两组分别推荐给甲大学和乙大共有 C23A22A22 12 种推荐方法.故共有 24 种推荐方法. （2）根据题意，分 2 种情况讨论
30、，若甲、乙之中只有一人参加，有 C12 C46 A553 600(种)；若甲、乙两人都 参加，有 C22 A36 A241 440(种).则不同的安排种数为 3 6001 4405 040. 方法总结：(1)解排列与组合综合题一般是先选后排，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个 第 9 页 / 共 11 页 原理做最后处理 (2)解受条件限制的组合题，通常用直接法(合理分类)或间接法(排除法)来解决，分类标准应统一，避免出现 重复或遗漏 五、优化提升与真题演练 1、 【2020 年新高考全国卷】6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去 1 个场馆，甲场馆 安排 1 名，乙
31、场馆安排 2 名，丙场馆安排 3 名，则不同的安排方法共有（ ） A120 种 B90 种 C60 种 D30 种 【答案】C 【解析】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有 1 6 C； 然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有 2 5 C； 最后剩下的3名同学去丙场馆. 故不同的安排方法共有 12 65 CC6 1060种. 故选：C 2、 【2020年高考全国II卷理数】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小 区至少安排1名同则不同的安排方法共有_种 【答案】36 【解析】4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1 个小区，每个小区
32、至少安排 1 名同 先取 2 名同学看作一组，选法有： 2 4 C6 . 现在可看成是 3 组同学分配到 3 个小区，分法有： 3 3 A6， 根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6 636 种， 故答案为：36. 3、 【2018 年高考全国卷理数】从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选， 则不同的选法共有_种 （用数字填写答案） 【答案】16 第 10 页 / 共 11 页 【解析】根据题意，没有女生入选有 3 4 C4种选法，从 6 名学生中任意选 3 人有 3 6 C20种选法， 故至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有20 4 16 种，故答案
33、为：16 4、 【2018 年高考浙江卷】从 1，3，5，7，9 中任取 2 个数字，从 0，2，4，6 中任取 2 个数字，一共可以组 成_个没有重复数字的四位数(用数字作答) 【答案】1260 【解析】 若不取 0， 则排列数为 224 534 C C A； 若取 0， 则排列数为 2113 5333 C C A A， 因此一共可以组成 224 534 C C A 2113 5333 C C A A1260个没有重复数字的四位数故答案为：1260 5、 【湖北省孝感市八校 2017-2018 学年高二上学期期末考试】3 名男生 4 名女生站成一排，求满足下列条件 的排法共有多少种？ （1）
34、任何 2 名女生都不相邻，有多少种排法？ （2）男生甲、乙相邻，有多少种排法？（结果用数字表示） 【答案】 （1）144； （2）1440. 【解析】试题分析： （1）利用插空法，先排男生，产生 4 个空，再安排女生，最后根据乘法原理得排法， （2）利用捆绑法，先将甲、乙两人看成一个整体，与其余 5 人进行全排列，再乘以两人之间全排列得结果. 6、平面上有 9 个点，其中 4 个点在同一条直线上（4 个点之间的距离各不相等） ，此外任何三点不共线 （1）过每两点连线，可得几条直线？ （2）以每三点为顶点作三角形可作几个？； （3）以一点为端点，作过另一点的射线，这样的射线可作出几条？ （4）分别以其中两点为起点和终点，最多可作出几个向量？ 【答案】 （1）31； （2）80； （3）66； （4）72. 第 11 页 / 共 11 页 不共线的五点可连得条射线， 共线的四点中， 外侧两点可发生 条射线， 内部两点各可发生条射线， 而在不共线的五点中取一点，共线的四点中取一点而形成的射线有条，故共有 条射线 任意两点之间，可有方向相反的个向量各不相等，则可有个向量 2 5 A12 112 452 C C A 2112 5452 2 12 266AC C A 2 2 9 72A
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