2018-2020年中考数学压轴题真题系列：面积问题二（含答案）

1、 1 2018-2020 年中考数学压轴题真题系列年中考数学压轴题真题系列-面积问题二面积问题二 1 （2020眉山）如图 1，抛物线 2 yxbxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为(3,0)， 点C坐标为(0,3) （1）求抛物线的表达式； （2）点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当PBC的面积最大时，求点P的坐标； （3）如图 2，点M为该抛物线的顶点，直线MDx轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的 距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由 2 （2020绵阳）如图，抛物线过点(0,1)A和C，顶点为D，直线AC与抛物

2、线的对称轴BD的交点为( 3B，0)， 平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为 4 3 3 ，四边形BDEF为平行四边 形 （1）求点F的坐标及抛物线的解析式； （2）若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当PAB面积最大时，求点P的坐标及PAB面积的最大值； （3）在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四 边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标 3 （2020攀枝花）如图，开口向下的抛物线与x轴交于点( 1,0)A 、(2,0)B，与y轴交于点(0,4)C，点P是第一象 2 限内抛物线上的一点 （1）求

3、该抛物线所对应的函数解析式； （2）设四边形CABP的面积为S，求S的最大值 4 （2020泰安）若一次函数33yx 的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为(3,0)，二次函数 2 yaxbxc的图象过A，B，C三点，如图（1） （1）求二次函数的表达式； （2）如图（1） ，过点C作/ /CDx轴交抛物线于点D，点E在抛物线上(y轴左侧） ，若BC恰好平分DBE求直 线BE的表达式； （3）如图（2） ，若点P在抛物线上（点P在y轴右侧） ，连接AP交BC于点F，连接BP， BFPBAF SmS 当 1 2 m 时，求点P的坐标； 求m的最大值 5 （2019东营）已知抛物线 2

4、 4yaxbx经过点(2,0)A、( 4,0)B ，与y轴交于点C 3 （1）求这条抛物线的解析式； （2）如图 1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标； （3） 如图 2， 线段AC的垂直平分线交x轴于点E， 垂足为D，M为抛物线的顶点， 在直线DE上是否存在一点G， 使CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由 6 （2019聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 2 yaxbxc与x轴交于点( 2,0)A ，点(4,0)B，与y轴交 于点(0,8)C，连接BC又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B

5、（不含O点和B 点） ，且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E （1）求抛物线的表达式； （2）连接AC，AP，当直线l运动时，求使得PEA和AOC相似的点P的坐标； （3）作PFBC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt PFD面积的最大值 7 （2020郴州）如图 1，抛物线 yax2+bx+3（a0）与 x 轴交于 A（1，0） ，B（3，0） ，与 y 轴交于点 C已知 4 直线 ykx+n 过 B，C 两点 （1）求抛物线和直线 BC 的表达式； （2）点 P 是抛物线上的一个动点 如图 1，若点 P 在第一象限内，连接 PA，交直线 BC 于点 D设PDC 的面积为 S1，AD

6、C 的面积为 S2，求 2 1 S S 的最大值； 如图 2，抛物线的对称轴 l 与 x 轴交于点 E，过点 E 作 EFBC，垂足为 F点 Q 是对称轴 l 上的一个动点， 是否存在以点 E，F，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 P，Q 的坐标；若不存在，请说明理 由 8 （2020湘西州）已知直线 ykx2 与抛物线 yx2bx+c（b，c 为常数，b0）的一个交点为 A（1，0） ，点 M（m，0）是 x 轴正半轴上的动点 （1）当直线 ykx2 与抛物线 yx2bx+c（b，c 为常数，b0）的另一个交点为该抛物线的顶点 E 时，求 k， b，c 的值及抛物线顶点 E

7、 的坐标； （2） 在 （1） 的条件下， 设该抛物线与 y 轴的交点为 C， 若点 Q 在抛物线上， 且点 Q 的横坐标为 b， 当 SEQM 2 1 SACE时，求 m 的值； （3）点 D 在抛物线上，且点 D 的横坐标为 b 2 1 ，当2AM+2DM 的最小值为 4 227 时，求 b 的值 9 （2019永州）如图，已知抛物线经过两点 A（3，0） ，B（0，3） ，且其对称轴为直线 x1 5 （1）求此抛物线的解析式； （2）若点 P 是抛物线上点 A 与点 B 之间的动点（不包括点 A，点 B） ，求PAB 的面积的最大值，并求出此时点 P 的坐标 答案： 6 1 （2020眉

8、山）如图 1，抛物线 2 yxbxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为(3,0)， 点C坐标为(0,3) （1）求抛物线的表达式； （2）点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当PBC的面积最大时，求点P的坐标； （3）如图 2，点M为该抛物线的顶点，直线MDx轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的 距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由 解： （1）点(3,0)B，点(0,3)C在抛物线 2 yxbxc图象上， 930 3 bc c ， 解得： 2 3 b c ， 抛物线解析式为： 2 23yxx； （2）点(3,0)B，点(

9、0,3)C， 直线BC解析式为：3yx ， 如图，过点P作PHx轴于H，交BC于点G， 设点 2 ( ,23)P mmm，则点( ,3)G mm， 22 (23)(3)3PGmmmmm ， 22 113327 3 (3 )() 22228 PBC SPGOBmmm ， 当 3 2 m 时， PBC S有最大值， 点 3 ( 2 P，15) 4 ； （3）存在N满足条件， 理由如下：抛物线 2 23yxx与x轴交于A、B两点， 点( 1,0)A ， 22 23(1)4yxxx ， 顶点M为(1,4)， 点M为(1,4)，点(0,3)C， 7 直线MC的解析式为：3yx， 如图，设直线MC与x轴交

10、于点E，过点N作NQMC于Q， 点( 3,0)E ， 4DEMD， 45NMQ， NQMC， 45NMQMNQ， MQNQ， 2 2 MQNQMN， 设点(1, )Nn， 点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离， NQAN， 22 NQAN， 22 2 () 2 MNAN， 22 2 (|4|)4 2 nn， 2 880nn， 42 6n ， 存在点N满足要求，点N坐标为(1, 42 6) 或(1, 42 6) 2 （2020绵阳）如图，抛物线过点(0,1)A和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为( 3B，0)， 平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的

11、横坐标为 4 3 3 ，四边形BDEF为平行四边 形 （1）求点F的坐标及抛物线的解析式； （2）若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当PAB面积最大时，求点P的坐标及PAB面积的最大值； （3）在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四 边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标 8 解： （1）设抛物线的解析式为 2 (0)yaxbxc a， (0,1)A，( 3B，0)， 设直线AB的解析式为ykxm， 30 1 km m ， 解得 3 3 1 k m ， 直线AB的解析式为 3 1 3 yx ， 点F的横坐标为 4 3 3 ， F点纵

12、坐标为 34 31 1 333 ， F点的坐标为 4 (3 3 ， 1) 3 ， 又点A在抛物线上， 1c ， 对称轴为：3 2 b x a ， 2 3ba ， 解析式化为： 2 2 31yaxax， 四边形DBFE为平行四边形 BDEF， 161 3181() 33 aaa ， 解得1a ， 抛物线的解析式为 2 2 31yxx ； （2）设 2 ( ,2 31)P nnn，作PPx 轴交AC于点 P ， 9 则 3 ( ,1) 3 P nn， 2 7 3 3 PPnn ， 22 1373749 (3)3 2222624 ABP SOB PPnnn ， 当 7 3 6 n 时，ABP的面积最

13、大为 49 3 24 ，此时 7 (3 6 P， 47) 12 （3） 2 3 1 3 2 31 yx yxx ， 0 x或 7 3 3 x ， 7 (3 3 C， 4) 3 ， 设( 3Q，)m， 当AQ为对角线时， 47 (3,) 33 Rm， R在抛物线 2 (3)4yx 上， 2 74 (33)4 33 m ， 解得 44 3 m ， 44 ( 3,) 3 Q， 437 (3,) 33 R ； 当AR为对角线时， 107 (3,) 33 Rm， R在抛物线 2 (3)4yx 上， 2 710 (33)4 33 m ， 解得10m ， ( 3Q，10)， 1037 (3,) 33 R 综

14、上所述， 44 ( 3,) 3 Q， 437 (3,) 33 R ；或( 3Q，10)， 1037 (3,) 33 R 3 （2020攀枝花）如图，开口向下的抛物线与x轴交于点( 1,0)A 、(2,0)B，与y轴交于点(0,4)C，点P是第一象 限内抛物线上的一点 （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）设四边形CABP的面积为S，求S的最大值 10 解： （1）( 1,0)A ，(2,0)B，(0,4)C， 设抛物线表达式为：(1)(2)ya xx， 将C代入得：42a ， 解得：2a ， 该抛物线的解析式为： 2 2(1)(2)224yxxxx； （2）连接OP，设点P坐标为 2 (

15、 , 224)mmm，0m ， ( 1,0)A ，(2,0)B，(0,4)C， 可得：1OA ，4OC ，2OB ， OACOCPOPBCABP SSSSS 四边形 2 111 1 442( 224) 222 mmm 2 246mm 2 2(1)8m， 当1m 时，S最大，最大值为 8 4 （2020泰安）若一次函数33yx 的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为(3,0)，二次函数 2 yaxbxc的图象过A，B，C三点，如图（1） （1）求二次函数的表达式； （2）如图（1） ，过点C作/ /CDx轴交抛物线于点D，点E在抛物线上(y轴左侧） ，若BC恰好平分DBE求直 线BE

16、的表达式； （3）如图（2） ，若点P在抛物线上（点P在y轴右侧） ，连接AP交BC于点F，连接BP， BFPBAF SmS 当 1 2 m 时，求点P的坐标； 求m的最大值 解： （1）一次函数33yx 的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，则点A、C的坐标分别为( 1,0)、(0, 3)， 将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得 0 093 3 abc abc c ，解得 1 2 3 a b c ， 故抛物线的表达式为： 2 23yxx； （2）设直线BE交y轴于点M， 11 从抛物线表达式知，抛物线的对称轴为1x ， / /CDx轴交抛物线于点D，故点(2, 3)D， 由点B、C的坐标知

17、，直线BC与AB的夹角为45，即45MCBDCB ， BC恰好平分DBE，故MBCDBC ， 而BCBC， 故()BCDBCM AAS ， 2CMCD，故321OM ，故点(0, 1)M， 设直线BE的表达式为：ykxb，则 1 30 b kb ，解得 1 3 1 k b ， 故直线BE的表达式为： 1 1 3 yx； （3）过点P作/ /PNx轴交BC于点N， 则PFNAFB，则 AFAB PFPN ， 而 BFPBAF SmS ，则 14AF PFmPN ，解得： 1 4 mPN， 当 1 2 m 时，则2PN ， 设点 2 ( ,23)P t tt， 由点B、C的坐标知，直线BC的表达式

18、为：3yx，当2xt 时，5yt ，故点(2,5)N tt， 故 2 523ttt， 解得：1t 或 2，故点(2, 3)P或(1, 4)； 22 11139 (2 )() 444216 mPNtttt ， 1 0 4 ，故m的最大值为 9 16 12 5 （2019东营）已知抛物线 2 4yaxbx经过点(2,0)A、( 4,0)B ，与y轴交于点C （1）求这条抛物线的解析式； （2）如图 1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标； （3） 如图 2， 线段AC的垂直平分线交x轴于点E， 垂足为D，M为抛物线的顶点， 在直线DE上是否存在一点G，

19、使CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由 解： （1）抛物线4yaxbx经过点(2,0)A，( 4,0)B ， 4240 16440 ab ab ， 解得 1 2 1 a b ， 抛物线解析式为 2 1 4 2 yxx； （2）如图 1，连接OP，设点 2 1 ( ,4) 2 P xxx，其中40 x ，四边形ABPC的面积为S，由题意得(0, 4)C， AOCOCPOBP SSSS 2 1111 244()4(4) 2222 xxx ， 2 4228xxx， 2 412xx ， 2 (2)16x 10 ，开口向下，S有最大值， 当2x 时，四边形ABPC的面积最大，

20、此时，4y ，即( 2, 4)P 因此当四边形ABPC的面积最大时，点P的坐标为( 2, 4) （3） 22 119 4(1) 222 yxxx， 顶点 9 ( 1,) 2 M 如图 2，连接AM交直线DE于点G，此时，CMG的周长最小 13 设直线AM的解析式为ykxb，且过点(2,0)A， 9 ( 1,) 2 M ， 20 9 2 kb kb ， 直线AM的解析式为 3 3 2 yx 在Rt AOC中， 2222 242 5ACOAOC D为AC的中点， 1 5 2 ADAC， ADEAOC， ADAE AOAC ， 5 22 5 AE ， 5AE， 523OEAEAO， ( 3,0)E，

21、 由图可知(1, 2)D 设直线DE的函数解析式为ymxn， 2 30 mn mn ， 解得： 1 2 3 2 m n ， 直线DE的解析式为 13 22 yx 13 22 3 3 2 yx yx ， 解得： 3 4 15 8 x y ， 315 ( ,) 48 G 6 （2019聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 2 yaxbxc与x轴交于点( 2,0)A ，点(4,0)B，与y轴交 于点(0,8)C，连接BC又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B 点） ，且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E （1）求抛物线的表达式； （2）连接AC，

22、AP，当直线l运动时，求使得PEA和AOC相似的点P的坐标； 14 （3）作PFBC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt PFD面积的最大值 解： （1）将点A、B、C的坐标代入二次函数表达式得： 420 1640 8 abc abc c ，解得： 1 2 8 a b c ， 故抛物线的表达式为： 2 28yxx； （2）点( 2,0)A 、(0,8)C， 2OA，8OC ， lx轴， 90PEAAOC ， PAECAO ， 只有当PAEACO 时，PEAAOC， 此时 AEPE COAO ，即： 82 AEPE ， 4AEPE， 设点P的纵坐标为k，则PEk，4AEk， 42OEk， 将点P坐

23、标(42, )kk代入二次函数表达式并解得： 0k 或 23 16 （舍去0)， 则点 15 ( 4 P， 23) 16 ； （3）在Rt PFD中，90PFDCOB ， / /ly轴，PDFOCB ，Rt PFDRt OCB， 2 () PFD BOC SPD SBC ， 2 () PDFBOC PD SS BC ， 而 _ 11 4 816 22 BOC SOB OC ， 22 4 5BCCOBO， 22 1 () 5 PDFBOC PD SSPD BC ， 即当PD取得最大值时， PDF S最大， 将B、C坐标代入一次函数表达式并解得： 直线BC的表达式为：28yx ， 设点 2 ( ,

24、28)P mmm，则点( , 28)D mm， 则 22 2828(2)4PDmmmm ， 当2m 时，PD的最大值为 4， 15 故当4PD 时， 2 116 55 PDF SPD 7 （2020郴州）如图 1，抛物线 yax2+bx+3（a0）与 x 轴交于 A（1，0） ，B（3，0） ，与 y 轴交于点 C已知 直线 ykx+n 过 B，C 两点 （1）求抛物线和直线 BC 的表达式； （2）点 P 是抛物线上的一个动点 如图 1，若点 P 在第一象限内，连接 PA，交直线 BC 于点 D设PDC 的面积为 S1，ADC 的面积为 S2，求 1 2的最大值； 如图 2，抛物线的对称轴

25、l 与 x 轴交于点 E，过点 E 作 EFBC，垂足为 F点 Q 是对称轴 l 上的一个动点， 是否存在以点 E，F，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 P，Q 的坐标；若不存在，请说明理 由 解： （1）把 A（1，0） ，B（3，0）代入 yax2+bx+3 得： + 3 = 0 9 + 3 + 3 = 0， 解得 = 1 = 2 抛物线的表达式为 yx2+2x+3， 点 C 坐标为（0，3） ， 把 B（3，0） ，C（0，3）代入 ykx+n 得：3 + = 0 = 3 ， 解得 = 1 = 3 直线 BC 的表达式为 yx+3 （2）PA 交直线 BC 于点 D，

26、设点 D 的坐标为（m，m+3） ， 设直线 AD 的表达式为 yk1x+b1， 1 + 1= 0 1+ 1= + 3， 解得， 1= +3 +1 1= +3 +1 直线 AD 的表达式，y= +3 +1 x+ +3 +1 ， +3 +1 x+ +3 +1 = x2+2x+3， 整理得， （x 4 +1） （x+1）0 解得 x= 4 +1或1（不合题意，舍去） ， 点 D 的横坐标为 m，点 P 的横坐标为 4 +1， 分别过点 D、P 作 x 轴的垂线，垂足分别为 M、N，如图 1 中： 16 DMPN，OMm，ON= 4 +1，OA1， 1 2 = = = = 4 +1 +1 = 2+3

27、 (+1)2 ， 设1 2 =t，则 t= 2+3 (+1)2 整理得， （t+1）m2+（2t3）m+t0， 0， （2t3）24t（t+1）0， 解得 t 9 16 1 2有最大值，最大值为 9 16 存在，理由如下：过点 F 作 FGOB 于 G，如图 2 中， yx2+2x+3 的对称轴为 x1， OE1， B（3，0） ，C（0，3） OCOB3， 又COB90， OCB 是等腰直角三角形， EFB90，BEOBOE2， EFB 是等腰直角三角形， FGGBEG1， 点 F 的坐标为（2，1） ， 当 EF 为边时， 四边形 EFPQ 为平行四边形， QEPF，QEPFy 轴， 点

28、P 的横坐标与点 F 的横坐标同为 2， 当 x2 时，y22+22+33， 点 P 的坐标为（2，3） ， QEPF312， 点 Q 的坐标为（1，2） ， 根据对称性当 P（0，3）时，Q（1，4）时，四边形 EFQP 也是平行四边形 当 EF 为对角线时，如图 3 中， 17 四边形 PEQF 为平行四边形， QEPF，QEPFy 轴， 同理求得：点 P 的坐标为（2，3） ， QEPF312， 点 Q 的坐标为（1，2） ； 综上，点 P 的坐标为（2，3）时，点 Q 的坐标为（1，2）或（1，2） ，P（0，3）时，Q（1，4） 8 （2020湘西州）已知直线 ykx2 与抛物线 y

29、x2bx+c（b，c 为常数，b0）的一个交点为 A（1，0） ，点 M（m，0）是 x 轴正半轴上的动点 （1）当直线 ykx2 与抛物线 yx2bx+c（b，c 为常数，b0）的另一个交点为该抛物线的顶点 E 时，求 k， b，c 的值及抛物线顶点 E 的坐标； （2） 在 （1） 的条件下， 设该抛物线与 y 轴的交点为 C， 若点 Q 在抛物线上， 且点 Q 的横坐标为 b， 当 SEQM 2 1 SACE时，求 m 的值； （3）点 D 在抛物线上，且点 D 的横坐标为 b 2 1 ，当2AM+2DM 的最小值为 4 227 时，求 b 的值 、解： （1）直线 ykx2 与抛物线

30、yx2bx+c（b，c 为常数，b0）的一个交点为 A（1，0） ， k20，1+b+c0， k2，cb1， 直线 ykx2 的解析式为 y2x2， 抛物线 yx2bx+c 的顶点坐标为 E（ 2 ，4 2 4 ） ， E（ 2 ，44 2 4 ） ， 直线 y2x2 与抛物线 yx2bx+c（b，c 为常数，b0）的另一个交点为该抛物线的顶点 E， 44 2 4 = 2 2 2， 解得，b2，或 b2（舍） ， 当 b2 时，c3， E（1，4） ， 故 k2，b2，c3，E（1，4） ； （2）由（1）知，直线的解析式为 y2x2，抛物线的解析式为 yx22x3， C（0，3） ，Q（2，

31、3） ， 如图 1，设直线 y2x2 与 y 轴交点为 N，则 N（0，2） ， 18 CN1， = + = 1 2 1 1 + 1 2 1 1 = 1， = 1 2， 设直线 EQ 与 x 轴的交点为 D，显然点 M 不能与点 D 重合， 设直线 EQ 的解析式为 ydx+n（d0） ， 则2 + = 3 + = 4 ， 解得， = 1 = 5， 直线 EQ 的解析式为 yx5， D（5，0） ， SEQMSEDMSQDM= 1 2 | 4| 1 2 | 3| = 1 2 = 1 2|5 | = 1 2， 解得，m4，或 m6； （3）点 D（b+ 1 2，yD）在抛物线 yx 2bxb1

32、上， = (+ 1 2) 2 ( + 1 2) 1 = 2 3 4， 可知点 D（b+ 1 2， 2 3 4）在第四象限，且在直线 xb 的右侧， 2 + 2 = 2( 2 2 + )， 可取点 N（0，1） ，则OAN45， 如图 2，过 D 作直线 AN 的垂线，垂足为 G，DG 与 x 轴相交于点 M， GAM90OAN45，得 2 2 AMGM， 则此时点 M 满足题意， 过 D 作 DHx 轴于点 H，则点 H（b+ 1 2，0） ， 在 RtMDH 中，可知DMHMDH45， 19 DHMH，DM= 2MH， 点 M（m，0） ， 0（ 2 3 4）（b+ 1 2）m， 解得，m=

33、 2 1 4， 2 + 2 = 272 4 ， 2( 2 1 4) (1) + 22( + 1 2) ( 2 1 4) = 272 4 ， 解得，b3， 此时，m= 3 2 1 4 = 5 40，符合题意， b3 9 （2019永州）如图，已知抛物线经过两点 A（3，0） ，B（0，3） ，且其对称轴为直线 x1 （1）求此抛物线的解析式； （2）若点 P 是抛物线上点 A 与点 B 之间的动点（不包括点 A，点 B） ，求PAB 的面积的最大值，并求出此时点 P 的坐标 解： （1）抛物线对称轴是直线 x1 且经过点 A（3，0） 由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（1，0） 设抛物线的解

34、析式为 ya（xx1） （xx2） （a0） 即：ya（x1） （x+3） 把 B（0，3）代入得：33a a1 抛物线的解析式为：yx22x+3 （2）设直线 AB 的解析式为 ykx+b， A（3，0） ，B（0，3） ， 3 + = 0 = 3 ， 直线 AB 为 yx+3， 作 PQx 轴于 Q，交直线 AB 于 M， 设 P（x，x22x+3） ，则 M（x，x+3） ， PMx22x+3（x+3）x23x， S= 1 2（x 23x）3= 3 2（x+ 3 2） 2+27 8 当 x= 3 2时，S 最大= 27 8 ，y（ 3 2） 22（3 2）+3= 15 4 ， PAB 的面积的最大值为27 8 ，此时点 P 的坐标为（ 3 2， 15 4 ）