1、 第 1 页 / 共 13 页 考点考点 23 运用空间向量解决立体几何问题运用空间向量解决立体几何问题 1、了解空间向量的基本定理及其意义；理解空间向量的夹角、数量积的概念； 2、理解直线的方向向量与平面的法向量， 3、能用向量方法证明有关线、面位置关系。 4、能用向量方法证明有关线、面的夹角等计算问题。 求异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角的平面角是高考必考的题型，特别是解答 题，往往与立体几何中的推理证明相结合。 1、向量是利用数形结合解题的一种重要手段，只有掌握向量运算的各种集合意义，才能更好 地利用向量这一工具解决相关问题。 2、用向量的方法解决立体几何的两大问题：一是特殊
2、位置关系的判断，二是一般位置关系的 计算。 3、恰当的选择空间坐标系，正确的表示出点坐标，是解决此类问题的关键。 1、 【2020 年北京卷】如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，E为 1 BB的中点 考纲要求考纲要求 近三年高考情况分析近三年高考情况分析 三年高考真题三年高考真题 考点总结考点总结 第 2 页 / 共 13 页 （）求证： 1/ / BC平面 1 ADE； （）求直线 1 AA与平面 1 ADE所成角的正弦值 2、 【2020 年江苏卷】在三棱锥 ABCD中，已知 CB=CD= 5,BD=2，O 为 BD的中点，AO平面 BCD， AO=2，E 为 AC 的中点 （
3、1）求直线 AB与 DE 所成角的余弦值； （2）若点 F在 BC上，满足 BF= 1 4 BC，设二面角 FDEC 的大小为 ，求 sin 的值 3、【2020 年全国 1 卷】 如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AEADABC 第 3 页 / 共 13 页 是底面的内接正三角形，P为DO上一点， 6 6 PODO （1）证明：PA 平面PBC； （2）求二面角BPCE的余弦值 4、 【2020 年全国 2 卷】如图，已知三棱柱 ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面 BB1C1C是矩形，M，N分 别为 BC，B1C1的中点，P为 AM 上一点，过 B1C1和
4、P 的平面交 AB 于 E，交 AC于 F. （1）证明：AA1MN，且平面 A1AMNEB1C1F； （2）设 O为A1B1C1的中心，若 AO平面 EB1C1F，且 AO=AB，求直线 B1E与平面 A1AMN 所成角的正弦 值. 5、 【2020 年全国 3 卷】 如图， 在长方体 1111 ABCDABC D中， 点,E F分别在棱 11 ,DD BB上， 且 1 2DEED ， 第 4 页 / 共 13 页 1 2BFFB （1）证明：点 1 C在平面AEF内； （2）若2AB ，1AD ， 1 3AA ，求二面角 1 AEFA的正弦值 6、 【2020 年天津卷】如图，在三棱柱 1
5、11 ABCABC中， 1 CC 平面,2ABC ACBC ACBC， 1 3CC ，点,DE分别在棱 1 AA和棱 1 CC上，且12,ADCEM 为棱 11 AB的中点 （）求证： 11 C MB D； 第 5 页 / 共 13 页 （）求二面角 1 BB ED的正弦值； （）求直线AB与平面 1 DB E所成角的正弦值 7、 【2020 年山东卷】.如图，四棱锥 P-ABCD的底面为正方形，PD底面 ABCD设平面 PAD与平面 PBC 的交线为 l （1）证明：l平面 PDC； （2）已知 PD=AD=1，Q为 l上的点，求 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值的最大值 8、 【201
6、9 年高考全国卷理数】 如图， 直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是菱形， AA1=4， AB=2， BAD=60 ， E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点 （1）证明：MN平面 C1DE； （2）求二面角 AMA1N 的正弦值 9、【2019 年高考全国卷理数】如图，长方体 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1上， BEEC1 第 6 页 / 共 13 页 （1）证明：BE平面 EB1C1； （2）若 AE=A1E，求二面角 BECC1的正弦值 10、 【2019 年高考全国卷理数】图 1 是由矩形 ADEB，RtABC 和菱形 BFGC
7、 组成的一个平面图形，其中 AB=1，BE=BF=2，FBC=60 ，将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连结 DG，如图 2. （1）证明：图 2 中的 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC平面 BCGE； （2）求图 2 中的二面角 BCGA 的大小. 11、【2019 年高考北京卷理数】如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，ADCD，ADBC， PA=AD=CD=2，BC=3E 为 PD 的中点，点 F 在 PC 上，且 1 3 PF PC 第 7 页 / 共 13 页 （1）求证：CD平面 PAD； （2）求二面角 FAEP 的余弦值； （3）设点 G
8、 在 PB 上，且 2 3 PG PB 判断直线 AG 是否在平面 AEF 内，说明理由 12 、 【 2019年 高 考 天 津 卷 理 数 】 如 图 ，AE 平 面A B C D，,CFAEADBC， ,ADAB1,2ABADAEBC （1）求证：BF 平面ADE； （2）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值； （3）若二面角EBDF的余弦值为 1 3 ，求线段CF的长 13、【2019 年高考江苏卷】如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，D，E 分别为 BC，AC 的中点，AB=BC 求证：（1）A1B1平面 DEC1； （2）BEC1E 第 8 页 / 共 13 页 题型一题型一
9、异面直线所成的角及直线与平面所成的角异面直线所成的角及直线与平面所成的角 1、 （2020 届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考） 在正方体 1111 ABCDABC D中，O是底面 1111 DCBA 的中心，E是棱AB上的点，且 1 4 AEAB，记直线OE与直线BC所成角为，直线OE与平面ABCD 所成角为，二面角OAB C的平面角为，则（ ） A B C D 2、 （2020 届浙江省十校联盟高三下学期开学）如图，矩形ABCD中，4AB ，2AD ，E为CD的中 点，ADE沿着AE向上翻折，使点D到D.若D在平面ABCD上的投影H落在梯形ABCE内部（不含 边界） ， 设二面角DBC
10、E的大小为， 直线D C，D B与平面ABC所成角分别为， 则 （ ） A B C D 3、 （2020 届浙江省杭州市建人高复高三 4 月模拟）已知正四面体ABCD和平面，BC，正四面体 二年模拟试题二年模拟试题 第 9 页 / 共 13 页 ABCD绕边BC旋转，当AB与平面所成角最大时，CD与平面所成角的正弦值为_ 4、 （2020 届浙江省温州市高三 4 月二模）在三棱锥SABC中， 90 ,45 ,60 ,BACSBASCASABSACD 为棱AB的中点，2SA (I)证明：SDBC ； (II)求直线SD与平面SBC所成角的正弦值. 5、 （2020 届浙江省之江教育评价联盟高三第
11、二次联考）如图，空间四边形ABCD中，ABC是正三角形， ACD是直角三角形，点E、F分别是BD、AC的中点，且ABDCBD，ABBD. （1）求证：BF 平面ACD； （2）求AE与平面BCD所成角的正弦值. 6、 （2020 浙江温州中月高考模拟）如图，四棱锥 PABCD 的底面是梯形BCAD，ABBCCD1， AD2， 13 2 PB ，3PAPC 第 10 页 / 共 13 页 （）证明；ACBP； （）求直线 AD 与平面 APC 所成角的正弦值 7、（江苏省南通市海安高级中学 2019-2020 学年高三阶段测试） 如图， 在四棱锥 中， 已知棱， 两两垂直，长度分别为 1，2，2
12、.若（） ，且向量与夹角的余弦值为. （1）求 的值； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 8、（2020 届山东省临沂市高三上期末） 如图， 在四棱锥 P-ABCD 中，AP 平面 PCD，/AD BC，ABBC， 1 2 APABBCAD，E 为 AD 的中点，AC 与 BE 相交于点 O. 第 11 页 / 共 13 页 （1）证明：PO平面 ABCD. （2）求直线 BC 与平面 PBD 所成角的正弦值. 题型二题型二 平面与平面所成的角平面与平面所成的角 1、 （2020 届山东省烟台市高三上期末）如图，在四棱锥SABCD中，ABCD为直角梯形，/ /ADBC， BCCD，平面SCD
13、平面ABCD，SCD是以CD为斜边的等腰直角三角形， 224BCADCD，E为BS上一点，且2BEES. （1）证明：直线/SD平面ACE； （2）求二面角SACE的余弦值. 2、 （2020 届山东省泰安市高三上期末）如图，在三棱锥 PABC 中，PAC 为等腰直角三角形， 90 ,APCABC为正三角形，D 为 A 的中点，AC=2 第 12 页 / 共 13 页 (1)证明：PBAC； (2)若三棱锥PABC的体积为 3 3 ，求二面角 APCB 的余弦值 3、 （2020 届山东省潍坊市高三上期中）如图，在棱长均为2的三棱柱 111 ABCABC中，平面 1 ACB 平面 11 A ABB， 11 ABAB，O为 1 AB与 1 AB的交点 （1）求证： 1 ABCO； （2）求平面 11 ACC A与平面ABC所成锐二面角的余弦值 4、 （2020 届山东省枣庄、滕州市高三上期末）如图，在四棱锥 P-ABCD 中， 2 3,AD 3,AB 3,AP / /ADBC，AD 平面 PAB，90APB ，点 E 满足 21 33 PEPAPB. 第 13 页 / 共 13 页 （1）证明：PEDC； （2）求二面角 A-PD-E 的余弦值.
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