1、 第 1 页 / 共 9 页 考点考点 06 函数模型及其应用函数模型及其应用 1、能用导数方法求解有关利润最大等与最值有关的问题。 2、感受导数在解决实际问题中的作用。 利用导数研究函数的最值是函数模型的一个重要模块，导数是求函数的一种重要工具，对 函数的解析式没有特殊的要求，无论解析式是复杂或者简单，与三角函数还是与其他模块的结 合都可以运用导数求解，常考的知识点可以与立体几何、三角函数、解析几何等模块结合，这 是近几年江苏高考命题的趋势。 在高考复习中要注意以下几点： 1、导数的实际应用关键是构建函数模型。第一步：弄清问题，选取自变量，确立函数的取值 范围；第二步：构建函数，将实际问题转
2、化为数学问题；第三步：解决构建数学问题；第四步： 将解出的结果回归实际问题，对结果进行取舍。 2、在建立函数模型时，要注意函数的定义域，要积累常见函数模型如分式函数、三次函数、 三角函数等知识点模块的结合。 1、 【2020 年山东卷】.基本再生数 R0与世代间隔 T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染 者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模 型：(e) rt I t 描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律， 指数增长率r与R0， T近似满足R0 =1+rT. 有学者基于已有数据估计出 R0=3.28，T
3、=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1倍需要 的时间约为(ln20.69) （ ） 考纲要求考纲要求 近三年高考情况分析近三年高考情况分析 五年高考真题五年高考真题 考点总结考点总结 第 2 页 / 共 9 页 A. 1.2天 B. 1.8 天 C. 2.5 天 D. 3.5天 2、 【2020 年北京卷】为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的 企业要限期整改、 设企业的污水摔放量 W与时间 t的关系为 ( )Wf t ， 用 ( )( )f bf a ba 的大小评价在 , a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙
4、两企业的污水排放量与时间的关系如下图所 示. 给出下列四个结论： 在 12 , t t这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； 在 2 t时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； 在 3 t时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； 甲企业在 11223 0,tt tt t这三段时间中，在 1 0,t的污水治理能力最强 其中所有正确结论的序号是_ 3、 【2020 年江苏卷】17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底 O在水平线 MN上、 桥AB与 MN平行， OO为铅垂线(O 在 AB上).经测量， 左侧曲线AO上任一点D到 MN的距离 1 h(米) 与D到 OO 的
5、距离a(米)之间满足关系式 2 1 1 40 ha ； 右侧曲线BO上任一点F到MN的距离 2 h(米)与F到 OO 的距离 b(米)之间满足关系式 3 2 1 6 800 hbb .已知点 B到 OO的距离为 40 米. 第 3 页 / 共 9 页 （1）求桥 AB 的长度； （2）计划在谷底两侧建造平行于 OO 的桥墩 CD和 EF，且 CE为 80 米，其中 C，E在 AB上(不包括端点). 桥墩 EF 每米造价 k(万元)、桥墩 CD每米造价 3 2 k(万元)(k0).问O E为多少米时，桥墩 CD 与 EF 的总造价 最低? . 4、【2019 年高考北京理数】在天文学中，天体的明
6、暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度 满足 m2m1= 2 1 5 2 lg E E ，其中星等为 mk的星的亮度为 Ek（k=1，2）已知太阳的星等是26.7，天狼星的 星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A1010.1 B10.1 Clg10.1 D1010.1 5、【2019 年高考全国卷理数】2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着 陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测 器的通讯联系为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 2 L点的轨 道运行 2
7、 L点是平衡点，位于地月连线的延长线上设地球质量为 M，月球质量为 M，地月距离为 R， 2 L点到月球的距离为 r， 根据牛顿运动定律和万有引力定律， r 满足方程： 121 223 () () MMM Rr RrrR . 第 4 页 / 共 9 页 设 r R ，由于的值很小，因此在近似计算中 345 3 2 33 3 (1) ，则 r 的近似值为 A 2 1 M R M B 2 1 2 M R M C 2 3 1 3M R M D 2 3 1 3 M R M 6、 【2018 年江苏高考】 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 的一段圆弧（ 为此圆弧的中 点）和线段构成已知圆 的半径
8、为 40米，点 到的距离为 50米现规划在此农田上修建两个温室 大棚，大棚 内的地块形状为矩形，大棚 内的地块形状为，要求均在线段上，均在 圆弧上设与所成的角为 （1）用 分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围； （2）若大棚 内种植甲种蔬菜，大棚 内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为求 当 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大 题型一、一元二次函数、指数函数等模型一元二次函数、指数函数等模型 二年模拟试题二年模拟试题 第 5 页 / 共 9 页 1、 （2020 届北京市顺义区高三上学期期末） 某部影片的盈利额 （即影片的票房收入与固定成本之差） 记为 y , 观影人
9、数记为x,其函数图象如图（1）所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图 （2） 、图（3）中的实线分别为调整后 y 与x的函数图象. 给出下列四种说法: 图（2）对应的方案是:提高票价,并提高成本; 图（2）对应的方案是:保持票价不变,并降低成本; 图（3）对应的方案是:提高票价,并保持成本不变; 图（3）对应的方案是:提高票价,并降低成本. 其中,正确的说法是_.（填写所有正确说法的编号） 2、 （2020 届山东省济宁市高三上期末）2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中 华五千年文明史得到国际社会认可良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证
10、了中华五千年文明 史考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律已知样本中碳14的 质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足5730 0 2 t NN （ 0 N表示碳14原有的质量） ，则经过5730年 后，碳14的质量变为原来的_；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的 1 2 至 3 5 ， 据此推测良渚古城存在的时期距今约在_年到5730年之间 （参考数据： 22 log 31.6,log 52.3） 3、(2019 南京、盐城一模）盐城市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”， 对环境进行了大力整治，目前盐城市的空气质量
11、位列全国前十，吸引了大量的外地游客某旅行社组织了 一个旅游团于近期来到了黄海国家森林公园，数据显示，近期公园中每天空气质量指数近似满足函数 f(x) mlnxx 600 x x21446(4x22， mR)， 其中 x 为每天的时刻， 若凌晨 6 点时， 测得空气质量指数为 29.6. (1) 求实数 m 的值； (2) 求近期每天时段空气质量指数最高的时刻(参考数值：ln61.8) 第 6 页 / 共 9 页 4、 （2020 届山东省潍坊市高三上期中）在经济学中，函数 f x的边际函数 Mf x定义为 1Mf xf xf x某医疗设备公司生产某医疗器材，已知每月生产x台 xN 的收益函数为
12、 2 300020R xxx （单位：万元） ，成本函数 5004000C xx（单位：万元） ，该公司每月最多生 产100台该医疗器材 （利润函数=收益函数成本函数） （1）求利润函数 P x及边际利润函数 MP x； （2）此公司每月生产多少台该医疗器材时每台的平均利润最大，最大值为多少?（精确到0.1） （3）求x为何值时利润函数 P x取得最大值，并解释边际利润函数 MP x的实际意义 5、 （2020 届山东师范大学附中高三月考）已知某工厂每天固定成本是 4 万元，每生产一件产品成本增加 100 元，工厂每件产品的出厂价定为a元时，生产x件产品的销售收入是 2 1 ( )500 4
13、R xxx （元） ，( )P x为 每天生产x件产品的平均利润（平均利润总利润/总产量）.销售商从工厂每件a元进货后又以每件b元销 售， ()baca ，其中c为最高限价()abc，为销售乐观系数，据市场调查，是由当ba 是c b，c a 的比例中项时来确定. （1）每天生产量x为多少时，平均利润( )P x取得最大值？并求( )P x的最大值； （2）求乐观系数的值； （3）若600c ，当厂家平均利润最大时，求a与b的值. 第 7 页 / 共 9 页 6、 （2019 年北京高三月考）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用 时某地上班族S中的成员仅以自驾或公
14、交方式通勤分析显示：当S中 %x （0 100 x ）的成员自驾 时，自驾群体的人均通勤时间为 30 030 1800 290 30100 x f x xx x ， ， （单位：分钟） ，而公交群体的人均 通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： （1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ （2）求该地上班族S的人均通勤时间 g x的表达式；讨论 g x的单调性，并说明其实际意义 题型二 与平面或空间几何体有关的最值问题 1、(2019 苏州三市、苏北四市二调）图是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成如图 ，屋顶由四坡屋面
15、构成，其中前后两坡屋面 ABFE 和 CDEF 是全等的等腰梯形，左右两坡屋面 EAD 和 FBC 是全等的三角形点 F 在平面 ABCD 和 BC 上的射影分别为 H，M.已知 HM5 m，BC10 m，梯形 ABFE 的面积是FBC 面积的 2.2 倍设FMH 0 4 . (1) 求屋顶面积 S 关于 的函数关系式； (2) 已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比， 比例系数为 k(k 为正的常数)， 下部主体造价与其高度成正比， 比例系数为 16k.现欲造一栋上、下总高度为 6 m 的别墅，试问：当 为何值时，总造价最低？ ,) 2、(2019 南京、盐城一模）有一矩形硬纸板材料(厚度忽略不计
16、)，一边 AB 长为 6 分米，另一边足够长现 第 8 页 / 共 9 页 从中截取矩形 ABCD(如图甲所示)，再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好 能折卷成一个底面是弓形的柱 体包装盒(如图乙所示，重叠部分忽略不计)，其中 OEMF 是以 O 为圆心、EOF120的扇形，且弧EF ， GH 分别与边 BC，AD 相切于点 M，N. (1) 当 BE 长为 1 分米时，求折卷成的包装盒的容积； (2) 当 BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？ ,甲) ,乙) 题型三 与三角函数有关的问题 1、 (2019 苏州期初调查） 如图， 有一块半圆形的空地， 政府计划在空地上建一个矩形
17、的市民活动广场 ABCD 及矩形的停车场 EFGH，剩余的地方进行绿化其中半圆的圆心为 O，半径为 r，矩形的一边 AB 在直径上， 点 C，D，G，H 在圆周上，E，F 在边 CD 上，且BOG60，设BOC. (1) 记市民活动广场及停车场的占地总面积为 f()，求 f()的表达式； (2) 当 cos为何值时，可使市民活动广场及停车场的占地总面积最大 2、(2019 盐城三模）如图，已知 A，B 两镇分别位于东西湖岸 MN 的 A 处和湖中小岛的 B 处，点 C 在 A 的 第 9 页 / 共 9 页 正西方向 1 km 处，tanBAN3 4，BCN 4.现计划铺设一条电缆连通 A，B 两镇，有两种铺设方案：沿 线段 AB 在水下铺设；在湖岸 MN 上选一点 P，先沿线段 AP 在地下铺设，再沿线段 PB 在水下铺设，预 算地下、水下的电缆铺设费用分别为 2 万元、4 万元 (1) 求 A，B 两镇间的距离； (2) 应该如何铺设，使总铺设费用最低？
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