1、 第 1 页 / 共 19 页 考点考点 29 抛物线及其性质抛物线及其性质 1、 了解抛物线的实际背景、定义和几何图形 . 2、了解抛物线的的标准方程,会求抛物线的的标准方程;会用抛物线的的标准方程处理简单的 实际问题 . 3、掌握抛物线的简单性质,会用抛物线的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题 近几年抛物线在各地高考的真题主要体现在 1、求抛物线的标准方程以及其性质 2、直线与抛物线以及直线与向量等其它知识点的结合 掌握求抛物线的方程以及由抛物线的方程解决焦点坐标等性质，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联 立消去 y并整理得到关于 x 的二次方程， 接下来可以利用弦长公式或者利用抛
2、物线定义将焦点弦长转化求得 结果. 1、【2020 年北京卷】 .设抛物线的顶点为O， 焦点为F ， 准线为lP是抛物线上异于O的一点， 过P作PQl 于Q，则线段FQ的垂直平分线（ ） A. 经过点O B. 经过点P C. 平行于直线OP D. 垂直于直线OP 【答案】B 考纲要求考纲要求 近三年高考情况分析近三年高考情况分析 三年高考真题三年高考真题 考点总结考点总结 第 2 页 / 共 19 页 【解析】如图所示： 因为线段FQ的垂直平分线上的点到,F Q的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知，PQPF， 所以线段FQ的垂直平分线经过点P. 故选：B. 2、 【2020 年全国 1
3、卷】.已知 A 为抛物线 C:y2=2px（p0）上一点，点 A到 C 的焦点的距离为 12，到 y轴的 距离为 9，则 p=（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】设抛物线的焦点为 F，由抛物线的定义知|12 2 A p AFx，即129 2 p ，解得6p =. 故选：C. 3、 【2020 年全国 3 卷】设O为坐标原点，直线2x与抛物线 C： 2 2(0)ypx p交于D，E两点，若 ODOE，则C的焦点坐标为（ ） A. 1 ,0 4 B. 1 ,0 2 C. (1,0) D. (2,0) 【答案】B 【解析】因为直线2x与抛物线 2 2(0)ypx p交
4、于 ,E D两点，且OD OE， 根据抛物线的对称性可以确定 4 DOxEOx ，所以2,2D， 代入抛物线方程44p，求得1p ，所以其焦点坐标为 1 ( ,0) 2 ， 故选：B. 4、【2020 年山东卷】 .斜率为 3的直线过抛物线 C： y 2=4x 的焦点， 且与 C交于 A， B两点， 则 AB=_ 【答案】 16 3 第 3 页 / 共 19 页 【解析】抛物线的方程为 2 4yx，抛物线焦点 F坐标为 (1,0)F ， 又直线 AB 过焦点 F且斜率为3，直线 AB的方程为：3(1)yx 代入抛物线方程消去 y并化简得 2 31030 xx， 解法一：解得 12 1 ,3 3
5、 xx 所以 2 12 116 |1|1 3 |3| 33 ABkxx 解法二：100 36640 设 1122 ( ,), (,)A x yB xy，则 12 10 3 xx, 过,A B分别作准线1x的垂线，设垂足分别为,C D如图所示. 12 | | |11ABAFBFACBDxx 12 16 +2= 3 xx 故答案为： 16 3 5、【2019 年高考全国卷理数】若抛物线 y2=2px(p0)的焦点是椭圆 22 3 1 xy pp 的一个焦点，则 p= A2 B3 C4 D8 【答案】D 【 解 析 】 因 为 抛 物 线 2 2(0)ypx p的 焦 点(,0) 2 p 是 椭 圆
6、 22 3 1 xy pp 的 一 个 焦 点 ， 所 以 第 4 页 / 共 19 页 2 3() 2 p pp，解得8p ，故选 D 6 、【 2019 年 高考 天津 卷理 数】 已 知抛 物线 2 4yx的 焦 点为F， 准线 为l， 若l与 双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两条渐近线分别交于点A和点B，且| 4|ABOF（O为原点），则双曲 线的离心率为 A2 B3 C2 D5 【答案】D 【解析】抛物线 2 4yx的准线l的方程为1x， 双曲线的渐近线方程为 b yx a ， 则有( 1,),( 1,) bb AB aa ， 2b AB a ， 2 4 b a
7、 ，2ba， 22 5 cab e aa . 故选 D. 7、 【2018 年高考全国 I 理数】设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，过点（2，0）且斜率为 2 3 的直线与 C 交于 M，N 两点，则FM FN = A5 B6 C7 D8 【答案】D 【解析】根据题意，过点（2，0）且斜率为 2 3 的直线方程为 2 2 3 yx， 与抛物线方程联立得 2 2 2 3 4 yx yx ， 消元整理得： 2 680yy， 解得1,2 ,4,4MN， 又1 , 0F， 所以0,2 ,3,4FMFN， 从而可以求得 0 3 2 48FM FN ，故选 D. 第 5 页 / 共 19 页 8、【
8、2017 年高考全国 I 理数】已知 F 为抛物线 C： 2 4yx的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2， 直线 l1与 C 交于 A、B 两点，直线 l2与 C 交于 D、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A16 B14 C12 D10 【答案】A 【解析】设 11223344 ( ,), (,),(,),(,)A x yB xyD x yE xy，直线 1 l的方程为 1( 1)yk x， 联立方程 2 1 4 (1) yx yk x ，得 2222 111 240k xk xxk， 2 1 12 2 1 24k xx k 2 1 2 1 24k k ， 同理直线 2
9、l与抛物线的交点满足 2 2 34 2 2 24k xx k ， 由抛物线定义可知 2 1 1234 2 1 24 |2 k ABDExxxxp k 2 2 2 2 24 4 k k 22 12 44 8 kk 22 12 16 2816 k k ，当且仅当 12 1kk （或1 ）时，取等号 故选 A 9、 【2017 年高考全国 II 理数】已知F是抛物线:C 2 8yx的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴 于点N若M为FN的中点，则FN _ 【答案】6 【解析】如图所示，不妨设点 M 位于第一象限，设抛物线的准线与x轴交于点F，作MBl于点B， NAl于点A，由抛物线的解析式可得准线
10、方程为2x，则| | 2,| 4ANFF ， 在直角梯形ANFF中，中位线 | |3 2 ANFF BM ， 第 6 页 / 共 19 页 由抛物线的定义有：| | 3MFMB，结合题意，有| | 3MNMF， 故3 36FNFMNM 题型一 抛物线的标准方程与性质 1、 （2020 届山东省滨州市高三上期末）已知抛物线 2 4yx的焦点为 F，准线为 l，P 为该抛物线上一点， PAl，A 为垂足.若直线 AF 的斜率为3，则PAF的面积为( ) A2 3 B4 3 C8 D8 3 【答案】B 【解析】由题意，抛物线 2 4yx的焦点为 (1,0)F ， 设抛物线 2 4yx的准线与x轴交点
11、为D，则2DF ， 又直线 AF 的斜率为3，所以60AFD，因此24AFDF，60AFP； 由抛物线的定义可得：PAPF，所以PAF是边长为4的等边三角形， 所以PAF的面积为 1 4 4 sin604 3 2 . 故选：B. 二年模拟试题二年模拟试题 第 7 页 / 共 19 页 2、 （2020 浙江学军中学高三 3 月月考）抛物线 2 2ypx（ 0p ）的焦点为 F，直线 l 过点 F 且与抛物线 交于点 M，N（点 N 在轴上方） ，点 E 为轴上 F 右侧的一点，若| | 3|NFEFMF，12 3 MNE S ， 则p （ ） A1 B2 C3 D9 【答案】C 【解析】 设准
12、线与 x 轴的交点为 T，直线 l 与准线交于 R，| | 3| 3NFEFMFa，则 | | 3NFEFa，|MFa，过 M，N 分别作准线的垂线，垂足分别为,P Q， 如图，由抛物线定义知，|MPa，| 3NQa，因为MPNQ，所以 | | PMRM QNRN ， 即 | 3| 4 aRM aRMa ，解得| 2RMa，同理 | | FTRF QNRN ，即 |3 36 FTa aa ，解得 第 8 页 / 共 19 页 3 | 2 FTa，又|FTp，所以 3 2 ap， 2 3 ap，过 M 作NQ的垂线，垂足为 G，则 22 |MGMNGN 22 1642 3aaa ，所以 1 |
13、| 2 MNE SEFMG 1 32 312 3 2 aa，解得2a，故 3 3 2 pa. 故选：C. 3、 （2020 届山东省德州市高三上期末）已知抛物线 2 :2C ypx0p 的焦点为F，直线的斜率为3且 经过点F， 直线l与抛物线C交于点A、B两点 （点A在第一象限） ， 与抛物线的准线交于点D， 若8AF ， 则以下结论正确的是（ ） A 4p BDF FA C2BDBF D4BF 【答案】ABC 【解析】如下图所示： 分别过点A、B作抛物线C的准线m的垂线，垂足分别为点E、M. 抛物线C的准线m交x轴于点P，则PFp，由于直线l的斜率为3，其倾斜角为60， /AE x轴，60E
14、AF，由抛物线的定义可知，AEAF，则AEF为等边三角形， 60EFPAEF ，则30PEF， 228AFEFPFp，得4p ， A 选项正确； 2AEEFPF，又/PF AE，F为AD的中点，则DF FA ，B 选项正确； 第 9 页 / 共 19 页 60DAE，30ADE， 22BDBMBF（抛物线定义） ，C 选项正确； 2BDBF， 118 333 BFDFAF，D 选项错误. 故选：ABC. 4、 （2020 届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 2 :2C ypx (0)p 的焦 点为 F，准线为 l.设 l 与 x 轴的交点为 K，P 为 C 上
15、异于 O 的任意一点，P 在 l 上的射影为 E， EPF的外 角平分线交 x 轴于点 Q，过 Q 作QNPE交EP的延长线于N，作QMPF 交线段PF于点M，则 （ ） A| | |PEPF B| |PFQF C| |PNMF D| |PNKF 【答案】ABD 【解析】 由抛物线的定义，PEPF，A 正确； /PNQF，PQ是FPN的平分线，FQPNPQFPQ ，| |PFQF，B 正确； 若| |PNMF，由PQ是外角平分线，QNPE，QMPF得QMQN，从而有PMPN， 于是有PMFM， 这样就有QPQF，PFQ为等边三角形，60FPQ， 也即有60FPE， 这只是在特殊位置才有可能，因
16、此 C 错误； 第 10 页 / 共 19 页 连接EF， 由 A、 B 知PEQF， 又/ /PEQF，EPQF是平行四边形， EFPQ， 显然EKQN， KFPN，D 正确 5、 （2020 届山东省潍坊市高三上期末）已知P是抛物线 2 4yx上的动点，点P在y轴上的射影是M，点 A的坐标为2,3，则PA PM的最小值是_ 【答案】101 【解析】设抛物线的焦点是1,0F， 根据抛物线的定义可知1PMPF 1PAPMPAPF，PAPFAF， 当, ,A P F三点共线时，等号成立， PAPM的最小值是1AF -， 22 2 13 010AF ， PAPM的最小值是 101 . 故答案为：1
17、01 6、 （2020 届山东省泰安市高三上期末）已知抛物线 2 20ypx p的焦点为 F(4，0)，过 F 作直线 l 交抛 物线于 M，N 两点，则 p=_， 4 9 NF MF 的最小值为_ 【答案】8p 1 3 【解析】 抛物线 2 20ypx p的焦点为 F(4，0)， 第 11 页 / 共 19 页 8p ， 抛物线的方程为 2 16yx， 设直线l的方程为4xmy，设 11 ,M x y， 22 ,N x y， 由 2 16 4 yx xmy 得 2 16640ymy， 12 16yym， 12 64y y ， 由抛物线的定义得 11 MFNF 12 11 44xx 21 12
18、 44 44 xx xx 21 12 448 88 mymy mymy 12 2 1212 16 864 m yy m y ym yy 2 22 1616 6412864 m mm 2 2 161 641 m m 1 4 ， 4 9 NF MF 11 4 94 NF NF 4 1 9 NF NF 4 2?1 9 NF NF 1 3 ， 当且仅当 4 9 NF NF 即6NF 时，等号成立， 故答案为： 1 3 题型二 抛物线与其它知识点的结合 1、 （2020 山东省淄博实验中学高三上期末）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的 光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称
19、轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已 知抛物线 2 4yx的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点3,1M射出，经过抛物线上的点A反射后，再 经抛物线上的另一点B射出，则ABM的周长为（ ） A 71 26 12 B9 10 C 83 26 12 D9 26 第 12 页 / 共 19 页 【答案】D 【解析】抛物线方程中：令1y 可得 1 4 x ，即 1 ,1 4 A ， 结合抛物线的光学性质，AB 经过焦点 F，设执行 AB 的方程为1yk x， 与抛物线方程联立可得： 2222 220k xkxk， 据此可得： 1 1,4 ABB A x xx x ， 且： 25 4 AB AB
20、xxp， 将4x代入 2 4yx可得 4y ，故4, 4B ， 故 22 4 34 126MB , 故ABM 的周长为 125 326926 44 MAABBM , 本题选择 D 选项. 2、 （北京市顺义区牛栏山第一中学 2019-2020 学年高三上学期期中数学试题）过曲线E： 2 4yx的焦点F 并垂直于x轴的直线与曲线E交于A，B，A在B上方，M为抛物线上一点， 2OMOAOB ， 则 （ ） A0 B3 C0 或 3 D 3 4 【答案】C 【解析】由题中条件可得焦点为(1,0)F，即可求得：A(1，2)，B(1，-2)， 设点 M 坐标为(a，b)，代入曲线方程可得 2 4ba，
21、由 2OMOAOB ，得( , )( ,2 )(2 , 4 )(3 , 2 )a b， 即 3 2 a b ，又因为 2 4ba，化简得 2 412，解得0 或 3. 故选：C. 3、 （北京市昌平区新学道临川学校 2019-2020 学年高三上学期期末数学（文)试题）已知F是抛物线 第 13 页 / 共 19 页 2 :2C ypx (0)p 的焦点，抛物线C的准线与双曲线 22 22 :1 xy ab (0,0)ab 的两条渐近线交于 A，B两点，若ABF为等边三角形，则的离心率e（ ） A 3 2 B 2 3 3 C 21 7 D 21 3 【答案】D 【解析】抛物线的焦点坐标为,0 2
22、 p ，准线方程为： 2 p x ， 联立抛物线的准线方程与双曲线的渐近线方程 2 p x b yx a ， 解得 2 pb y a ，可得| pb AB a ， ABF为等边三角形，可得 3 2 pb p a ，即有 2 3 b a ， 则 2 2 421 11 33 cb e aa 故选：D 4、 （2020 届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知抛物线E： 2 4yx和直线l： 40 xy ，P是直 线上l一点，过点P做抛物线的两条切线，切点分别为A，B，C是抛物线上异于A，B的任一点，抛物 线在C处的切线与PA，PB分别交于M，N，则PMN外接圆面积的最小值为_. 【答案】 25 8
23、【解析】设三个切点分别为 222 (, ), (, ),(, ) 444 abc Aa Bb Cc， 若在点A处的切线斜率存在， 设方程为 2 () 4 a yak x与 2 4yx联立， 得， 222 440,164 (4 )0kyya kaka ka ， 第 14 页 / 共 19 页 即 22 2 440,a kakk a ， 所以切线PA方程为 2 20 2 a xay 若在点A的切线斜率不存在，则 (0,0)A ， 切线方程为0 x满足方程， 同理切线,PB MN的方程分别为 2 20 2 b xby， 2 20 2 c xcy，联立 ,PA PB方程， 2 2 20 2 20 2
24、a xay b xby ，解得 4 2 ab x ab y ，即, 42 ab ab P 同理, 4242 ac acbc bc MN ， () , 42 a cbcb PM ， ()() , 4242 b cacac baba PNMN ， 设PMN外接圆半径为R， 222 444 | |,| |,| | 161616 abc PMbcPNacMNab ， 2 11 |sin| 1 cos 22 PMN SPMPNMPNPMPNMPN 222 11 | 1 ()(|)() 22| PM PN PMPNPMPNPM PN PMPN 22222 2 1() () (4)(4)(4) 216 bc
25、acabab |1| | 1622 ab bc acMN PMPN R ， 222 | | |444 416 PMPNMNabc R S 第 15 页 / 共 19 页 22 44 ,0 8 ab c 时取等号， 点P在直线40,4,8 422 ababab xyab ， 22 44 8 ab R 2222 416 8 a bab 22222 2(6)20024256 16 88 aba ba bab 2005 2 84 ， 当且仅当1,6,0abc 或6,1,0abc 时等号成立， 此时PMN外接圆面积最小为 25 8 . 故答案为: 25 8 . 5、 （2020 届山东省日照市高三上期末
26、联考）过抛物线 2 4yx的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，M 为线段AB的中点，则（ ） A以线段AB为直径的圆与直线 3 2 x 相离 B以线段BM为直径的圆与y轴相切 C当 2AFFB 时， 9 2 AB DAB的最小值为 4 【答案】ACD 【解析】对于选项 A，点M到准线1x的距离为 11 22 AFBFAB，于是以线段AB为直径的圆 与直线1x一定相切，进而与直线 3 2 x 一定相离： 对于选项 B，显然AB中点的横坐标与 1 2 BM不一定相等，因此命题错误. 对于选项 C，D，设 11 ,A x y， 22 ,B x y，直线AB方程为1xmy，联立直线与抛物线方程可得 2
27、 440ymy， 12 4y y ， 12 1x x，若设 2 4,4Aaa，则 2 11 , 4 B aa ，于是 2 12 2 1 42 4 ABxxpa a ，AB最小值为 4；当 2AFFB 可得 12 2yy ， 1 42a a ，所 2 1 2 a ， 9 2 AB . 第 16 页 / 共 19 页 故选:ACD. 6、 （2020 届山东省烟台市高三上期末）已知抛物线 2 :4C yx的焦点为F、准线为l，过点F的直线与抛 物线交于两点 11 ,P x y， 22 ,Q xy，点P在l上的射影为 1 P，则 （ ） A若 12 6xx，则8PQ B以PQ为直径的圆与准线l相切
28、C设0,1M，则 1 2PMPP D过点0,1M与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有 2 条 【答案】ABC 【解析】对于选项 A,因为2p ,所以 12 2xxPQ,则8PQ ,故 A 正确； 对于选项 B,设N为PQ中点,设点N在l上的射影为 1 N,点Q在l上的射影为 1 Q,则由梯形性质可得 11 1 222 PPQQPFQFPQ NN ,故 B 正确； 对于选项 C,因为1,0F,所以 1 2PMPPPMPFMF,故 C 正确； 对于选项 D,显然直线0 x,1y 与抛物线只有一个公共点,设过M的直线为1ykx, 联立 2 1 4 ykx yx ,可得 22 2410k xkx
29、,令0 ,则1k ,所以直线1yx与抛物线也只有一个公 共点,此时有三条直线符合题意,故 D 错误； 故选：ABC 7、 （2020 届山东省济宁市高三上期末）已知抛物线 2 :8C yx的焦点为F，准线l，P是l上一点， Q是 直线PF与C的一个交点，若3PFQF，则|QF _. 【答案】 8 3 【解析】根据题意画出图形，设l与x轴的交点为 M，过 Q 向准线l作垂线，垂足是 N， 抛物线 2 :8C yx，焦点为 2,0F （），准线方程为 2x， 3PFQF， 2288 ,4,. 3333 QNPQ QNQFQN FMPF 第 17 页 / 共 19 页 8、 （2020 届浙江省宁波
30、市鄞州中学高三下期初）已知抛物线E： 2 4yx和直线l： 40 xy ，P是直 线上l一点，过点P做抛物线的两条切线，切点分别为A，B，C是抛物线上异于A，B的任一点，抛物 线在C处的切线与PA，PB分别交于M，N，则PMN外接圆面积的最小值为_. 【答案】 25 8 【解析】设三个切点分别为 222 (, ), (, ),(, ) 444 abc Aa Bb Cc， 若在点A处的切线斜率存在， 设方程为 2 () 4 a yak x与 2 4yx联立， 得， 222 440,164 (4 )0kyya kaka ka ， 即 22 2 440,a kakk a ， 所以切线PA方程为 2
31、20 2 a xay 若在点A的切线斜率不存在，则 (0,0)A ， 切线方程为0 x满足方程， 同理切线,PB MN的方程分别为 2 20 2 b xby， 2 20 2 c xcy，联立 ,PA PB方程， 第 18 页 / 共 19 页 2 2 20 2 20 2 a xay b xby ，解得 4 2 ab x ab y ，即, 42 ab ab P 同理, 4242 ac acbc bc MN ， () , 42 a cbcb PM ， ()() , 4242 b cacac baba PNMN ， 设PMN外接圆半径为R， 222 444 | |,| |,| | 161616 ab
32、c PMbcPNacMNab ， 2 11 |sin| 1 cos 22 PMN SPMPNMPNPMPNMPN 222 11 | 1 ()(|)() 22| PM PN PMPNPMPNPM PN PMPN 22222 2 1() () (4)(4)(4) 216 bcacabab |1| | 1622 ab bc acMN PMPN R ， 222 | | |444 416 PMPNMNabc R S 22 44 ,0 8 ab c 时取等号， 点P在直线40,4,8 422 ababab xyab ， 22 44 8 ab R 2222 416 8 a bab 22222 2(6)20024256 16 88 aba ba bab 2005 2 84 ， 当且仅当1,6,0abc 或6,1,0abc 时等号成立， 第 19 页 / 共 19 页 此时PMN外接圆面积最小为 25 8 . 故答案为: 25 8 .
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