1、 第 1 页 / 共 21 页 考点考点 05 函数与方程函数与方程 1、了解二次函数的零点与相对应的一元二次方程的根的联系 2、了解二分法求方程近似解的过程 3、会用函数的图像理解和研究函数的性质 4、掌握数形结合的思想，以及能运用数形结合解决一些函数问题。 函数与方程的思想是数学的四大思想之一，也体现了数形结合的思想，是近几年高考的热 点也是高考的重点，经常体现在填空题的后几天或者大题的压轴题。通过近几年高考不难发现 高考对函数的方程即函数的零点以及函数的性质等是函数重点考查的内容， 在复习中要重点关 注。 在高考复习中要注意以下几点： 要熟悉一次函数、二次函数、三次函数、指数函数、对数函
2、数等基本函数的图像，会处理含 义绝对值函数的图像，等根据函数的图像的变换处理一些较为复杂的函数的图像问题。 解决函数零点问题要用到以下方法（1）直接法，即求方程的根 （2）定理法，利用函数零 点存在性定理估计零点的范围。 （3）数形结合，即与函数的图像结合找出函数的零点。 正确掌握函数与方程的思想，能正确的对函数与图像进行转化。能借助于图像解决函数与方 程的问题。 1、【2020 年天津卷】 已知函数 3, 0, ( ) ,0. xx f x xx 若函数 2 ( )( )2()g xf xkxxkR恰有 4 个零点， 则k的取值范围是（ ） 考纲要求考纲要求 近三年高考情况分析近三年高考情况
3、分析 五年高考真题五年高考真题 考点总结考点总结 第 2 页 / 共 21 页 A. 1 ,(2 2,) 2 B. 1 ,(0,2 2) 2 C. (,0)(0,2 2) D. (,0)(2 2,) 【答案】D 【解析】注意到(0)0g，所以要使( )g x恰有 4个零点，只需方程 ( ) |2| | f x kx x 恰有 3个实根 即可， 令 ( )h x ( ) | f x x ，即|2|ykx与 ( ) ( ) | f x h x x 的图象有3个不同交点. 因为 2, 0( ) ( ) 1,0 xxf x h x xx ， 当0k 时，此时2y ，如图 1，2y 与 ( ) ( )
4、| f x h x x 有2个不同交点，不满足题意； 当k0时，如图 2，此时|2|ykx与 ( ) ( ) | f x h x x 恒有3个不同交点，满足题意； 当0k 时，如图 3，当2ykx与 2 yx=相切时，联立方程得 2 20 xkx， 令0 得 2 80k ，解得 2 2k （负值舍去） ，所以 2 2k . 综上，k的取值范围为(,0)(2 2,). 故选：D. 第 3 页 / 共 21 页 2、 【2019 年江苏卷】设( ), ( )f x g x是定义在R上的两个周期函数， ( )f x的周期为 4，( )g x的周期为 2，且 ( )f x是奇函数.当2(0,x 时，
5、2 ( )1 (1)f xx， (2),01 ( ) 1 ,12 2 k xx g x x ，其中0k .若在区间 (0 9，上，关于x的方程( )( )f xg x 有 8 个不同的实数根，则k 的取值范围是_. 【答案】 12 , 34 . 【解析】当0,2x时， 2 ( )11 ,f xx 即 2 2 11,0.xyy 又 ( )f x为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数( )f x与( )g x的图象，要使( )( )f xg x 在0,9上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可. 当 1 g( ) 2 x 时，函数( )f x与( )g x的图象有2个交点； 当g(
6、)(2)xk x时，( )g x的图象为恒过点2,0的直线，只需函数 ( )f x与( )g x的图象有6个交点.当 ( )f x与( )g x图象相切时，圆心 1,0到直线 20kxyk 的距离为1，即 2 2 1 1 kk k ，得 2 4 k ，函 第 4 页 / 共 21 页 数 ( )f x与( )g x的图象有3个交点；当g( )(2)xk x 过点1,1（ ）时，函数 ( )f x与( )g x的图象有6个交点， 此时1 3k，得 1 3 k . 综上可知，满足( )( )f xg x在0,9上有8个实根的k的取值范围为 12 34 ，. 3、 【2018 全国卷理】已知函数 f
7、(x) ex， x0， lnx， x0，g(x)f(x)xa.若 g(x)存在 2 个零点，则 a 的取值 范围是( ) A. 1，0) B. 0，) C. 1，) D. 1，) 【答案】 C 【解析】令 g(x)0，得 f(x)xa，则问题转化为函数 yf(x)的图像与直线 yxa 的图像有两个交 点，由图易知需控制直线的纵截距a1，即 a1.故选 C. 4、 【2020 年全国 3 卷】设函数 3 ( )f xxbxc，曲线 ( )yf x 在点( 1 2 ，f( 1 2 )处的切线与 y轴垂直 （1）求 b （2）若 ( )f x有一个绝对值不大于 1的零点，证明：( )f x所有零点的
8、绝对值都不大于 1 【解析】 （1）利用导数的几何意义得到 1 ( )0 2 f，解方程即可； （2）由（1）可得 2 311 ( )32()() 422 fxxxx，易知( )f x在 1 1 (, ) 2 2 上单调递减，在 1 (,) 2 ， 1 ( ,) 2 上单调递增，且 111111 ( 1),(),( ),(1) 424244 fcfcfcfc，采用反证法，推出 矛盾即可. （1）因为 2 ( )3fxxb， 由题意， 1 ( )0 2 f，即 2 1 30 2 b 则 3 4 b ； 第 5 页 / 共 21 页 （2）由（1）可得 3 3 ( ) 4 f xxxc， 2 31
9、1 ( )33()() 422 fxxxx， 令 ( ) 0fx ，得 1 2 x 或 2 1 x ；令 ( ) 0fx ，得 11 22 x， 所以 ( )f x在 1 1 (, ) 2 2 上单调递减，在 1 (,) 2 ， 1 ( ,) 2 上单调递增， 且 111111 ( 1),(),( ),(1) 424244 fcfcfcfc， 若 ( )f x所有零点中存在一个绝对值大于 1 零点 0 x，则( 1)0f 或(1)0f， 即 1 4 c 或 1 4 c . 当 1 4 c 时， 111111 ( 1)0,()0,( )0,(1)0 424244 fcfcfcfc， 又 32 (
10、 4 )6434 (1 16)0fcccccc ， 由零点存在性定理知 ( )f x在( 4 , 1)c 上存在唯一一个零点 0 x， 即 ( )f x在(, 1) 上存在唯一一个零点，在( 1,) 上不存在零点， 此时 ( )f x不存在绝对值不大于 1 的零点，与题设矛盾； 当 1 4 c 时， 111111 ( 1)0,()0,( )0,(1)0 424244 fcfcfcfc， 又 32 ( 4 )6434 (1 16)0fcccccc， 由零点存在性定理知 ( )f x在(1, 4 )c 上存在唯一一个零点 0 x， 即 ( )f x在(1,)上存在唯一一个零点，在(,1) 上不存在
11、零点， 此时 ( )f x不存在绝对值不大于 1 的零点，与题设矛盾； 综上， ( )f x所有零点的绝对值都不大于 1. 5、 【2020 年浙江卷】已知12a，函数 e x f xxa ，其中 e=2.71828为自然对数的底数 （）证明：函数 yf x在(0 )， 上有唯一零点； （）记 x0为函数 yf x在(0)， 上的零点，证明： （） 0 12(1)axa ； （） 0 0 (e )(e 1)(1) x x faa 第 6 页 / 共 21 页 【答案】 （I）证明见解析， （II） （i）证明见解析， （ii）证明见解析. 【解析】 （I）先利用导数研究函数单调性，再结合零点存
12、在定理证明结论； （II） （i）先根据零点化简不等式，转化求两个不等式恒成立，构造差函数，利用导数求其单调性，根据单 调性确定最值，即可证得不等式； （ii）先根据零点条件转化： 0 000 ()() x x f ex f xa，再根据12a放缩，转化为证明不等式 22 4(2)(1) (1) a eea，最后构造差函数，利用导数进行证明. 【详解】 （I）( )1,0,1,( )0,( ) xx fxexefxf x QQ在(0, )上单调递增， 22 12,(2)240,(0)10afeaefa Q， 所以由零点存在定理得 ( )f x在(0,)上有唯一零点； （II） （i） 0 00
13、 ()0,0 x f xexaQ， 00 2 0000 12(1)12(1) xx axaexxex ， 令 2 2 ( )1(02), ( )1(02), 2 xx x g xexxxh xexx 一方面： 1 ( )1( ), x h xexh x 1( ) 10 x hxe ， ( )(0)0,( )h xhh x在(0,2)单调递增，( )(0)0h xh， 2 2 10,2(1) 2 xx x exexx ， 另一方面：121 1aa Q， 所以当 0 1x 时， 0 1ax 成立， 因此只需证明当01x时 2 ( )10 x g xexx ， 因为 11 ( )12( )( )20
14、ln2 xx g xexg xgxex ， 当(0,ln2)x时， 1( ) 0gx ，当 (ln2,1)x 时， 1( ) 0gx ， 所以( )max(0),(1),(0)0,(1)30,( )0g xggggeg x Q ， ( )g x 在(0,1)单调递减，( )(0)0g xg， 2 1 x exx ， 第 7 页 / 共 21 页 综上， 00 2 0000 12(1),12(1) xx exxexaxa . （ii） 0 000000 ()()()(1)(2) x aa t xx f ex f xaxexa e， 00 ()2(1)(2)0 aa t xexa eQ， 0 12
15、(1)axa ， 0 ()(1)1(1)1(2)(1)(1)1(2) aaaa t xtaaeaa eeaa ae ， 因为12a， 所以,2(1) a ee aa， 0 ()(1)(1)2(1)1(2) a t xeaaae， 只需证明 2 2(1)1(2)(1)(1) a aaeea， 即只需证明 22 4(2)(1) (1) a eea， 令 22 ( )4(2)(1) (1),(12) a s aeeaa， 则 22 ( )8(2)(1)8 (2)(1)0 aa s ae eee ee， 2 ( )(1)4(2)0s ase，即 22 4(2)(1) (1) a eea成立， 因此 0
16、 x 0 e(e 1)(1)x faa. 题型一：题型一： 判断函数零点个数问题判断函数零点个数问题 1 1、(2019(2019 苏州三市、苏北四市二调）苏州三市、苏北四市二调）定义在 R R 上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间2，4)上 43 , 4 32 ,2 )( xx xx xf则函数xxfy log5 )(的零点的个数为 【答案】 ：. . 5 【解析】 ：因为 f(x4)f(x)，可得 f(x)是周期为 4 的奇函数，先画出 函 数 f(x)在区间2，4)上的图像， 根据奇函数和周期为 4，可以画出 f(x)在 R R 上的图像，由yf(x)log5| x|0，得
17、f(x)log5| x|，分 别画出yf(x)和ylog5|x|的图像，如下图，由f(5)f(1)1，而 log551，f(3)f(1)1，log5| 3|1，可以得到两个图像有 5 个交点，所以零点的个数为 二年模拟试题二年模拟试题 第 8 页 / 共 21 页 5. 解后反思 本题考查了函数的零点问题，以及函数的奇偶性和周期性，考查了转化与化归、数形结合的思想， 函数的零数问题，常转化为函数的图像的交点个数来处理，其中能根据函数的性质作出函数的图像并能灵 活地运用图像，找到临界点是解题的关键也是难点 2 2、(2017(2017 南通期末）南通期末） 已知函数f(x)是定义在1，)上的函数
18、，且f(x) 1|2x3|，1x2， 1 2f 1 2x ， x2， 则函数y2xf(x)3 在区间(1,2 015)上的零点个数为_ 【答案】11 【解析】 解法 1 由题意得当 1x2 时，f(x) 2x2，1x3 2， 42x， 3 2x2. 设x2 n1,2n)(nN N*)，则 x 2 n11,2)， 又f(x) 1 2 n1f 1 2 n1x， 当 x 2 n1 1，3 2 时，则x2 n1,32n2，所以 f(x) 1 2 n1f 1 2 n1x 1 2 n1 2 1 2 n1x2 ，所以 2xf(x) 32x 1 2 n1 2 1 2 n1x2 30，整理得x 222n2x32
19、2n40.解得 x32 n2或 x2 n2.由于 x 2 n1,32n2，所以 x32 n2； 当 x 2 n1 3 2，2 时，则 x(32 n2,2n)，所以 f(x) 1 2 n1f 1 2 n1x 1 2 n1 42 1 2 n1x，所以 2xf(x)3 2x 1 2 n1 4 2x 2 n130， 整理得x 24 2n2x3 22n40.解得 x3 2 n2或 x2 n2.由于 x(3 2 n2,2n)， 所以无解 综上所述，x32 n2.由 x32 n2(1,2 015)，得 n11，所以函数y2xf(x)3 在区间(1,2 015) 上零点的个数是 11. 解法 2 由题意得当x
20、2 n1,2n)时，因为 f(x) 1 2 n1f 1 2 n1x，所以f(x)maxf 3 22 n1 1 2 n1.令g(x) 3 2x.当 x3 22 n1时，g(x)g 3 22 n1 1 2 n1，所以当x2 n1,2n)时，x3 22 n1为 y2xf(x)3 的一个 零点 下面证明：当x2 n1,2n)时，y2xf(x)3 只有一个零点 当x2 n1,32n2时，yf(x)单调递增，yg(x)单调递减，f(32n2)g(32n2)，所以 x2 n 1,3 2n2时， 有一零点 x3 2 n2； 当 x(3 2 n2,2n)时， yf(x) 1 2 n1 1 2 n1 x 2 n2
21、3 ，k1f(x) 1 2 2n3， g(x) 3 2x，k 2g(x) 3 2x 2 1 32 2n3， 3 2 2n1，所以k1k2.又因为f(32 n2)g(32n2)，所以当 x 2 n1,2n)时，y2xf(x)3 只有一个零点由 x32 n2(1,2 015)，得 n11，所以函数y2xf(x) 第 9 页 / 共 21 页 3 在区间(1,2 015)上零点的个数是 11. 解法 3 分别作出函数yf(x)与y 3 2x的图像，如图，交点在 x13 2，x 23，x36，xn32 n2 处取得由x32 n2(1,2 015)，得 n11，所以函数y2xf(x)3 在区间(1,2
22、015)上零点的个数是 11. 3、 （2019 山东师范大学附中高三月考）函数 3 1 2 x fxx 的零点所在区间为（ ） A1,0 B 1 0, 2 C 1 ,1 2 D1,2 【答案】C 【解析】 31 1 ( 1)( 1)( )30 2 f ， 30 1 (0)0( )10 2 f ， 1 3 2 11112 ( )( )( )0 22282 f， 31 111 (1)1( )10 222 f ， 32 1115 (2)2( )80 222 f，由 1 10 2 ff . 故选：C 题型二：根据函数零点确定参数问题题型二：根据函数零点确定参数问题 1、 （2020 届山东实验中学高
23、三上期中）已知函数 2 2 1,0 log,0 xx f x x x ，若方程 f xa有四个不同的 解 12341234 ,x x x xxxxx且 ，则 312 2 34 1 xxx xx 的取值范围是（ ） A1,1 B 1,1 C1,1 D1,1 【答案】A 【解析】 先作 f x图象，由图象可得 12343 1 21,1 . 2 xxx xx ， 第 10 页 / 共 21 页 因此 3123 2 343 11 2xxxx xxx 为 1 ,1 2 单调递减函数， 从而 312 2 34 1 1,1xxx xx ，选 A. 2、 （2020 浙江学军中学高三 3 月月考）已知函数 2
24、 (4) , 53 ( ) (2),3 xx f x f xx ，若函数 1g xf xk x有 9 个零点，则实数 k 的取值范围是（ ） A 111 1 , 466 4 B 111 1 , 355 3 C 1 1 , 6 4 D 1 1 , 5 3 【答案】A 【解析】 由题意，函数 1g xf xk x有 9 个零点，可转化为 f x与1yk x有 9 个 不同交点.因当3x有( )(2)f xf x，所以 ( )f x在 3,)上是周期函数，又当 31x 时，有523x ， 2 ( )(2)(2)f xf xx，所以 ( )f x在 5,)上的图象如图所 示 第 11 页 / 共 21
25、 页 要使 f x与1yk x有9个不同交点， 则只需1yk x夹在 1 1 4 yx与 1 1 6 yx之间即可， 所以 11 | 64 k，解得 11 64 k或 11 46 k . 故选：A. 3、 （2020 届浙江省杭州市第二中学高三 3 月月考）已知函数 2 2,02, 22 ,2, xxx f x f xx 2g xkx， 若函数 F xf xg x在0,上只有两个零点，则实数k的值不可能为 A 2 3 B 1 2 C 3 4 D1 【答案】A 【解析】 函数( )( )( )F xf xg x的零点为函数( )yf x与( )yg x图象的交点，在同一直角坐标下作出函数 ( )
26、yf x 与( )yg x的图象，如图所示， 当函数( )yg x的图象经过点（2，0）时满足条件，此时 20 1 02 k ，当函数 ( )yg x 的图象经过 第 12 页 / 共 21 页 点（4，0）时满足条件，此时 201 042 k ，当函数 ( )yg x 的图象与 22 11(0,0)xyxy（） 相切时也满足题意，此时 2 2 1 1 k k ，解得 3 4 k ， 综上所述，1k 或 1 2 k 或 3 4 k 4、 （2020 全国高三专题练习（文） ）函数 2 2log,1, 1 ,1, x x f x f xx ，若方程 2f xxm有且只有两个 不相等的实数根，则实
27、数m的取值范围是 （ ） A,4 B,4 C2,4 D2,4 【答案】A 【解析】 令 2g xxm,画出 f x与 g x的图象, 平移直线,当直线经过1,2时只有一个交点,此时4m,向右平移,不再符合条件,故4m 故选：A 5、 （2020 届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知 ln ,1 ( ) (2),1 x x f x fxk x 若函数( ) 1yf x恰有一 个零点，则实数 k 的取值范围是（ ） A(1, ) B1,) C(,1) D(,1 【答案】B 【解析】 1x 时， ( )ln1f xx，xe，所以函数( ) 1yf x在 1x 时有一个零点，从而在1x时无零点， 即
28、( )1f x 无解 第 13 页 / 共 21 页 而当1x时，21x，( )(2)f xfxkln(2) xk，它是减函数，值域为( ,)k ， 要使( )1f x 无解则1k 故选：B. 6、 （2020 届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）已知, a bR，函数 (),0 ( ) ,0 x xa eax x f x x x ，若函 数( )yf xaxb恰有 3 个零点，则（ ） A 1,0ab B1,0ab C1,0ab D1,0ab 【答案】B 【解析】 令 (),0 ( )( ) (1) ,0 x xa ex g xf xax a x x ，则条件等价为方程( )g xb有 3
29、个实数根 当0 x时，( )(1) x g xexa 对 A 选项分析：当1a ，0b时，( )g x在(, (1)a ，( (1),0)a，(0,) ，( )g x图象如 图所示： 此时方程( )g xb最多只有 1 个实数根，所以 A 选项错误 对 B 选项分析：当1a ，0b 时，( )g x在(, (1)a ，( (1),0)a，(0,) ，( )g x图象如 图所示： 故方程( )g xb可能会出现 3 个实数根，所以 B 选项正确 第 14 页 / 共 21 页 对 C 选项分析：当1a ，0b时，( )g x在(0,) ，( )g x图象如图所示： 此时方程( )g xb最多只有
30、 2 个实数根，所以 C 选项错误 对 D 选项分析：当1a ，0b 时，( )g x在(0,) ，( )g x图象如图所示： 此时方程( )g xb最多只有 2 个实数根，所以 D 选项错误 故选：B. 7、（2020 届山东实验中学高三上期中） 设定义在R 上的函数 f x满足 2 fxf xx， 且当0 x时， fxx .己知存在 2 2 0 11 11 22 xx f xxfxx ，且 0 x为函数 x g xeexa(,aR e为自然对数的底数)的一个零点，则实数a的取值可能是（ ） A 1 2 B 2 e C 2 e D e 【答案】BCD 【解析】 令函数 2 1 ( )( )
31、2 T xf xx ，因为 2 ()( )fxf xx， 222 11 ( )()( )()()( )()0 22 T xTxf xxfxxf xfxx ， ( )T x 为奇函数， 当0 x时， ( )( )0T xfxx ， ( )T x 在,0上单调递减， 第 15 页 / 共 21 页 ( )T x 在R上单调递减 存在 0 |( )(1)xx T xTx ， 得 00 ()(1)T xTx ， 00 1xx，即 0 1 2 x ， ( ) x g xeexa； 1 () 2 x， 0 x为函数( )yg x的一个零点； 当 1 2 x时，( )0 x g xeex， 函数( )g x
32、在 1 2 x时单调递减， 由选项知0a，取 1 2 a x e ， 又0 a e a ge e ， 要使( )g x在 1 2 x时有一个零点， 只需使 11 0 22 geea ， 解得 2 e a， a的取值范围为, 2 e ， 故选：BCD 8、 （江苏省南通市 2019-2020 学年高三上学期期初）已知 ( )f x是定义在R上且周期为 3 2 的周期函数， 3 0, 2 x 当时，( )121f xx 若函数( ) logayf xx(1a )在0,上恰有4个互不相同的零 点，则实数a的值_ 【答案】 7 2 【解析】当 3 0, 2 x 时，得 1 2, 0 2 ( )121
33、13 22 , 22 xx f xx xx ， 第 16 页 / 共 21 页 且 ( )f x是定义在R上且周期为 3 2 的周期函数， 函数( ) logayf xx (a1)在(0，)上恰有 4 个互不相同的零点， 函数( )yf x 与logayx(a1)在(0，)上恰有 4 个不同的交点， 分别画出两函数图象如图所示，由图可知，当 x 7 2 时，有 7 2 loga 1，所以a 7 2 . 故答案为 7 2 9、 （江苏省如皋市 2019-2020 学年高三上学期 10 月调研）若函数 1 x xa f x e 在 2,x 上有三 个零点，则实数a的取值范围_. 【答案】 2 1
34、2, 1 e 【解析】因为函数 1 x xa f x e 在 2,x 上有三个零点, 所以 | ( )10 x xa f x e ,即| x xae在2,x 上有三个根, 所以函数|yxa的图象与函数 x ye的图象在 2, )上恰有 3 个交点, 如图: 第 17 页 / 共 21 页 由图可知:yxa 与 x ye的图象在2,x 上必须恰有一个交点, 所以 2 ( 2)ae ,所以 2 2 1 22ae e , 由图可知:y xa 与 x ye的图象在2,x 上必须有两个交点, 当y xa 的图象与 x ye的图象相切时,只有一个交点,此时设切点为 0 0 (,) x x e, 因为()
35、xx yee,所以根据导数的几何意义得切线的斜率为: 0 ex,所以 0 1 x e , 解得: 0 0 x ,所以切点为(0,1),将其代入到y xa 得10 a ,所以1a, 所以由图可知当 2 1 2 e 1a 时, 函数|yxa的图象与函数 x ye的图象在 2, )上恰有 3 个交 点, 所以当 2 1 2 e 1a 时,函数 1 x xa f x e 在 2,x 上有三个零点. 故答案为 2 1 2, 1 e 10、 （江苏省南通巿 2019-2020 学年第一次教学质量调研）若函数 1 x xa f x e 在 2,x 上有三 个零点，则实数a的取值范围_. 【答案】 2 1 2
36、, 1 e 第 18 页 / 共 21 页 【解析】因为函数 1 x xa f x e 在 2,x 上有三个零点, 所以 | ( )10 x xa f x e ,即| x xae在2,x 上有三个根, 所以函数|yxa的图象与函数 x ye的图象在 2, )上恰有 3 个交点, 如图: 由图可知:yxa 与 x ye的图象在2,x 上必须恰有一个交点, 所以 2 ( 2)ae ,所以 2 2 1 22ae e , 由图可知:y xa 与 x ye的图象在2,x 上必须有两个交点, 当y xa 的图象与 x ye的图象相切时,只有一个交点,此时设切点为 0 0 (,) x x e, 因为() x
37、x yee,所以根据导数的几何意义得切线的斜率为: 0 ex,所以 0 1 x e , 解得: 0 0 x ,所以切点为(0,1),将其代入到y xa 得10 a ,所以1a, 所以由图可知当 2 1 2 e 1a 时, 函数|yxa的图象与函数 x ye的图象在 2, )上恰有 3 个交 点, 所以当 2 1 2 e 1a 时,函数 1 x xa f x e 在 2,x 上有三个零点. 故答案为 2 1 2, 1 e 11、 （江苏省南通市通州区 2019-2020 学年高三第一次调研抽测）函数 2 ( )3f xxxk有两个零点，则 k 的取值范围是_. 第 19 页 / 共 21 页 【
38、答案】 9 0, 4 【解析】令 2 2 2 3 ,0 ( )3 3 ,0 xx x g xxx xx x ， 因为函数 2 ( )3f xxxk有两个零点， 所以 2 ( )3g xxx的图像与直线yk有两个交点， 作出函数 2 ( )3g xxx的图像如下： 因为 min 39 ( ) 24 g xg， 由图像可得： min 9 ( ) 4 kg x或0k . 故答案为 9 0, 4 12、 （2020 届山东省九校高三上学期联考）已知 x表示不超过x的最大整数，如 33，1.51， 1.72.令( )2xf xx， ( )()g xf xx，则下列说法正确的是_. ( )g x是偶函数
39、( )g x是周期函数 方程( )0g xx有 4 个根 ( )g x的值域为0,2 【答案】 【解析】 3 11112 ( )( )( ) 33333 gff， 3 11122 4 ()()( ) 33333 gff 第 20 页 / 共 21 页 显然 11 ()( ) 33 gg，所以( )g x不是偶函数，所以错误； (1)(11 )()( )g xf xxf xxg x ，所以 ( )g x是周期为 1 的周期函数， 所以正确； 作出函数yx的图象和( )g x的图象： 根据已推导( )g x是周期为 1 的周期函数，只需作出( )g x在0,1)x的图象即可，当0,1)x时 ( )
40、()( )2 x g xf xxf xx ，根据周期性即可得到其余区间函数图象，如图所示： 可得( )g x值域为0,2)， 函数yx的图象和( )g x的图象一共 4 个交点， 即方程( )0g xx有 4 个根， 所以正确，错误； 故答案为： 13、 （2020 届山东师范大学附中高三月考）已知函数 2(01) ( ) 2 (1) xx f x x x ，若方程( )f xxa 有 三个不同的实根，则实数 a 的取值范围是_ 【答案】(2 2,3) 【解析】 函数 2(01) ( ) 2 (1) xx f x x x 的图象如下图所示， 作出直线 l：y ax ，平移直线 l 至 1 l与 2 l之间时，方程( )f xxa 有三个不同的实根， 而由 2 y x yxa 得 2 20 xax，当 2 80a 时，即 2 2a （ 2 2 舍去）时，得直线 1 l， 当直线 l：y ax ，过点1,2A时，得直线 2 l，此时3a ， 第 21 页 / 共 21 页 所以要使方程( )f xxa 有三个不同的实根，则实数 a 的取值范围是：2 2 3a ， 故答案为：(2 2,3).
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