1、 北京市海淀区2020 届高三数学三模（2020.6.26） 总分：150 分 时间：120 分钟 命题人：杨文学 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1.已知 2 |log (1)1Axx，|3| 2Bx x，则AB （） A.空集 B. |35x xx或C. |351x xxx或且 D.以上都不对 2. 已知直线与直线平行，则的值为（ ） A.0 或 3 或B.0 或C.3 或 D.0 或 3 3.边长为 2 的正方形ABCD，对角线
2、的交点为E，则 ABADAE（ ） A.0B.1C.2 D.4 4.设0ab， ，则“ab”是“log1 ab ”的（） A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 数列 n a是等差数列， n b是各项均为正数的等比数列，公比1q ，且 55 ab，则（ ） A 3746 aabb B 3746 aabb C 3746 aabbD 3746 aabb 6. 在如图所示的空间直角坐标系 O-xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2） ， （2，2，0） ， （1，2，1） ， （2，2，2） . 给出编号为、的四个图，则该四面体的正视图和俯视图
3、分别为（ ） A和 B和 C和 D和 7.右图可能是下列哪个函数的图象（ ） A. 2 21 x yx B. 2 sin 41 x x x y C. 2 2 x yxx eD. ln x y x 8.已知函数 yf x，满足yfx和2yf x是偶函数，且 1 3 f，设 ()F xf xfx， 则(3)F（ ） A 3 B 2 3 C D 4 3 06 2 yax023)2(aayxaa 111 图 图 图 图 9.已知函数( ) |cos | sinf xxx，给出下列四个说法： 20143 () 34 f ； 函数( )f x的周期为； ( )f x在区间 4 4 ，上单调递增； ( )f
4、 x的图象关于点( 0) 2 ，中心对称； 其中正确说法的序号是 （ ） A. B. C. D. 10. 如图，点 P 在平面上从点 A 出发，依次按照点 B、C、D、E、F、A 的顺序运动， 其轨迹为两段半径为 1 的圆弧和四条长度为 1，且与坐标轴平行的线段.设从运动 开始射线 OA 旋转到射线 OP 时的旋转角为.若点 P 的纵坐标 y 关于的函数为 ( )f，则函数( )f的图象（ ） A.关于直线 4 成轴对称，关于坐标原点成中心对称； B.关于直线 3 4 成轴对称，且以2为周期； C. 以2为周期， 但既没有对称轴， 也没有对称中心. D. 夹在1y 之间， 且关于点 0，成中心
5、对称； 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） 11.某单位员工按年龄分为三组，其人数之比为，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量 为的样本，若组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总数为 . 12.已知数列 n a满足：点 n na，在直线210 xy 上，若使 1 a、 4 a、 m a构成等比数列，则m=_. 13.在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2acb，则角B的取值范围为_. 14.已知圆：和两点，若圆上存在点，使得0PA PB， 则 的取值范围为_； 15.已知曲线 1: Cexy 与曲线 2: C 2
6、 ()yxa.若两个曲线在交点处有相同的切线，则实数a的值为_. 16. 已知一个由 11 人组成的评审委员会以投票方式， 从符合要求的甲， 乙两名候选人中选出一人参加一次活动. 投票要求委员会每人只能选一人且不能弃选，每 位委员投票不受他人影响；投票结果由一人唱 票，一人统计投票结果，在唱到第 k 张票时，甲， 乙两人的得票数分别为 k x， k y， N （k） = kk xy， k=1，2，11. 如图为根据一次唱票过程绘制的 N（k）图，则根 据所给图表，在这次选举中获胜方是_； 图中点P 的实际意义是_； 7 y的值为_. ABC， ，5:4:1 20C 1 45 C 22 (3)(
7、1)1xy(0)At ，(0)B t，(0)t CP t -2 -1 k N(k)=xk-yk 2 1 1098765114321 P DA x B y C EF O P 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 6 个小题，共个小题，共 80 分）分） 17 （本小题满分 12 分）在平面直角坐标系xOy中，锐角的顶点与原点O重合， 始边与x轴的正半轴重合， 终边与单位圆交于 11 ()M xy， 将的终边按逆时针 方向旋转 3 ，交单位圆于 22 ()N xy，记( )fyy 12. （）求函数( )f的值域； （）在ABC中，若 3f C ，7c ， 13 3 sinsin 14 AB，求A
8、BC的 面积. 18.（本小题满分 12 分）射击测试有两种方案： 方案 1：先在甲靶射击一次，以后都在乙靶射击； 方案 2：始终在乙靶射击 某射手命中甲靶的概率为 2 3 ，命中一次得 3 分；命中乙靶的概率为 3 4 ，命中一次得 2 分若没有命中则 得 0 分用随机变量表示该射手一次测试累计得分，如果的值不低于 3 分就认为通过测试，立即停止射 击；否则继续射击，但一次测试最多打靶 3 次，每次射击的结果相互独立 （1）如果该射手选择方案 1，求其测试结束后所得总分的分布列和数学期望E； （2）如果你是该射手，你应该选择哪种方案通过测试？请说明理由 19.（本小题满分 14 分）四棱锥P
9、ABCD中，底面ABCD是边长为 2 的菱形， 2 3 DAB，OBDAC， 且PO 平面ABCD，3PO ，点F，G分别是线段PB，PD上的 中点，E在PA上，且3PAPE. （）求证:/BD平面EFG； （）求直线AB与平面EFG所成角的正弦值； （）请画出平面EFG与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤. A B C D O P G E F 20 （本题满分 14 分）已知椭圆 C 的标准方程为 2 2 1 4 x y，梯形 ABCD 的顶点在椭圆上. （）已知梯形 ABCD 的两腰 AD=BC，且两个底边 AB 和 DC 与坐标轴平行或在坐标轴上.若梯形一底边 AB=2， 高为3，求梯
10、形 ABCD 的面积； （）若梯形 ABCD 的两底 AB 和 DC 与坐标轴不平行且不在坐标轴上，判断该梯形是否可以为等腰梯形?并说 明理由. 21.（本题满分 13 分）已知函数 32 ( )()f xaxbxba x（ab、是不同时为零的常数） ，导函数为( )fx （1）当 1 3 a 时，若存在 31x ，使得( )0fx 成立，求b的取值范围； （2）求证：函数( )yfx 在1 0 ，内至少有一个零点； （3）若函数( )f x为奇函数，且在1x 处的切线垂直于直线230 xy， 关于x的方程 1 ( ) 4 f xt ，在 11tt ，上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围
11、22（本题满分 14 分） 已知L N， 数列 12 : n A aaa， ， ，中的项均为不大于L的正整数. k c表示 12n aaa， ， ， 中k的个数(1)kL ，2， ，. 定义变换T，T将数列A变成数列 12 ( ): ()()() n T At at at a， ， 其中 12 ( ) k ccc t kL n . （）若4L ，对数列A：1，1，2，3，3，4，写出 i c 4)i (1的值； （）已知对任意的(1,2, )k kn，存在A中的项 m a，使得 m ak. 求证： ii t aa(1,2, )in的充分必要条件为(12) ij cc ijL， ， ，； （）若
12、Ln，对于数列 12 :, n A a aa，令 12 ( ( ):, n T T Ab bb ，求证： ( ) ii bt a(1,2, ).in 2020 届高三数学三模（2020.6.26）参考答案 2020 届高三数学三模（2020.6.26）参考答案 总分：总分：150150 分分 时间：时间：120120 分钟分钟 命题人：命题人：杨文学杨文学 一、选择题（共一、选择题（共 1010 小题小题，每小题每小题 4 4 分分，共共 4040 分分。在每小题在每小题列列出的四个选项中出的四个选项中，选出符合，选出符合题题目要求的目要求的一项）一项） 1.已知 2 |log (1)1 ,|
13、3| 2AxxBxx，则AB （ ） A.空集 B. |35x xx或 C. |351x xxx或且 D.以上都不对 解析：解析：描述法表示集合，先看代表元，代表元决定了集合是数集还是点集。如果是数集，一定要化简；如果是 点集，要结合图象分析。本题是数集，化简的过程就是解对数不等式和绝对值不等式的过程。 22 |log (1)log 2|012|13Axxxxxx ，注意首先对数式要有意义有意义，再将右边的 常数也化成对数式，然后结合对数函数的单调性单调性得出解集； |3232|15Bx xxx xx 或或，注意-xaxaxa或， xaaxa ，所以AB 空集。答案 A 2. 已知直线与直线平
14、行，则的值为（ ） A.0 或 3 或 B.0 或 C.3 或 D.0 或 3 答案：B 3.边长为 2 的正方形ABCD，对角线的交点为E，则()ABADAE（ ） A.0B.1C.2 D.4 解析解析：如图，可知正方形中AEADAB2，且2|AE， 所以4|2 2 AEAEADAB)(。 对于任意的点,P M N， 若T是线段MN的中点， 则一定有2PMPNPT。 答案 D 4.设,(0,)a b ，则“ab”是“log1 ab ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析解析：当01a时，log1loglog aaa bbaba ；当1
15、a 时，log1loglog0 aaa bbaba 。 所以“ab”是“log1 ab ”的既不充分也不必要条件。 指数和对数问题，一定要关注底数与1的大小；充要条件判断前，先将复杂命题等价化简。 答案：D 5. 数列 n a是等差数列 ， n b是各项均为正数的等比数列，公比1q ，且 55 ab，则（ ） A 3746 aabbB 3746 aabb C 3746 aabbD 3746 aabb 答案：C 解析：解析：因为数列 n a是等差数列且 55 ab，所以 3755 22aaab； 06 2 yax023)2(aayxaa 111 E D C B A 又因为 n b是各项均为正数的
16、等比数列，公比1q ，所以 5 46555 1 ()2 b bbb qbqb qq ，所以答案为 C； 6.在如图所示的空间直角坐标系 O-xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2） ， （2，2，0） ， （1，2，1） ， （2，2，2） . 给出编号为、的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ） A和 B和 C和 D和 解析解析：三视图的问题最好将将几何体放在长方体几何体放在长方体中，容易计算和判断形状。本题将 题中的空间直角坐标系建立在长宽高均为2长方体中如图所示，根据坐标找到 四面体四个顶点的位置，最后可得正视图为图，左视图为图，俯视图为 图。答案：D 7.右图可能是
17、下列哪个函数的图象（ ） A. 2 21 x yx B. 2 sin 41 x x x y C. 2 (2 ) x yxx eD. ln x y x 解析解析：根据函数的图象得出：当0 x 时 2 21 x yx有负值，故 A 不正确； 2 sin 41 x x x y 有无数个零点，故 B 不正确； ln x y x ，定义域为(0,1)(1,)，故 D 不正确； 排除 A，B，D，故选：C。 函数的函数的图象和解析式都可以看出函数的一些性质图象和解析式都可以看出函数的一些性质，一般来说，我们先看函数的整体性质：定义域，周期 性，奇偶性等，再看函数的局部性质：单调性，零点，极限值，特殊值，符
18、号，渐近线等。答案：C 8. 已知函数 yf x， 满足yfx和2yf x是偶函数， 且 1 3 f， 设 ()F xf xfx， 则(3)F（ ） A 3 B 2 3 C D 4 3 解析：解析： 因为yfx为偶函数， 所以fxfx ， 所以 fxf x， 所以 yf x为偶函数； 图 图 图 图 D(1,2,1) C(2,2,2) B(2,2,0) A(0,0,2) z y x 又2yf x是偶函数，所以22fxf x ，当1x 时， 13ff； 2 3332321 3 Fffff故选 B 注意函数的自变量是x，不是,2x x等，偶函数具有自变量取相反数，函数值相等的特征。 9.已知函数(
19、 ) |cos | sinf xxx，给出下列四个说法： 20143 () 34 f ； 函数( )f x的周期为； ( )f x在区间, 4 4 上单调递增； ( )f x的图象关于点(,0) 2 中心对称； 其中正确说法的序号是 （ ） A. B. C. D. 解析解析： 20143 ()(671) |cos| ( sin) 33334 ff ，显然正确； 因为 5 ()() 44 ff ，所以不成立；或由( + )( )fxf x可知不成立； 当, 4 4 x 时， 1 ( ) |cos | sinsin2 2 f xxxx在, 4 4 上单调递增，正确； 3 ()() 44 ff ，所
20、以不成立； 综上，答案为 B 10. 如图，点 P 在平面上从点 A 出发，依次按照点 B、C、D、E、F、A 的顺序运动， 其轨迹为两段半径为 1 的圆弧和四条长度为 1，且与坐标轴平行的线段.设从运动开 始射线 OA 旋转到射线 OP 时的旋转角为.若点 P 的纵坐标 y 关于的函数为 ( )f，则函数( )f的图象（） A.关于直线 4 成轴对称，关于坐标原点成中心对称；B.关于直线 3 4 成轴对称，且以2为周期； C. 以2为周期，但既没有对称轴，也没有对称中心.D. 夹在1y 之间，且关于点(,0)成中心对称； 解析：解析：结合正弦函数与正切函数的定义，在的终边上取点( , )P
21、x y（不是坐标原点） ， 22 sin y xy ，tan y x ， 在0, 2 上， 22 1rxy，所以( )sinfy；在 3 , ) 4 上，1x ，( )tantanfyx 。 其他类似。可知函数( )f为 sin,22 2 3 1,22 24 3 tan,22 4 ( ) 3 sin,22 2 37 1,22 24 7 tan,222 4 kk kk kk f kk kk kk ，( )f的最小正周期为2，画出一个周期内的图象如下所示， 可知 3 , ) 4 上的tany 图象与 5 ( , 4 上的siny 图象关于(,0)不对称， 故答案为 C. DA x B y C EF
22、 O P 二、填空题（共二、填空题（共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分）分） 11.某单位员工按年龄分为三组，其人数之比为，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量 为的样本，若组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总数为 . 解析解析：设组共有n人，任取两人，共有 2 n C种取法，其中甲乙均被抽到的概率为 2 11 45 n C ，解得10n 。 C组占单位总人数比例为 11 54110 ，所以单位总人数为100人。 12.已知数列 n a满足：点, n n a在直线210 xy 上，若使 1 a、 4 a、 m a构成等比数列，则m=_. 解析解
23、析：可知210 n na ，即21 n an，又因为 14 3,9,21 m aaam构成等比数列， 所以 2 93(21)m，13m 。 13.在ABC中，, ,a b c分别是角, ,A B C的对边，且2acb，则角B的取值范围为_. 解析解析： 222 22222() 332 2 cos 228 ac ac acbacac B acacac 621 82 acac ac ， 当且仅当acb，即ABC 为等边三角形时， 1 cos 2 B , 又0B (0, 3 B . 注：若改为 2 bac呢？ 22222 21 cos 2222 acbacacacac B acacac ， 当且仅当
24、acb，即ABC 为等边三角形时， 1 cos 2 B , 又0B (0, 3 B 。 14.已知圆：和两点，若圆上存在点，使得0PA PB， 则 的取值范围为_; 解析解析：0PA PB说明P在以AB为直径的圆 222 xyt上，而P又在圆C上，因此两圆有公共点，则圆心距 位于半径差的绝对值与半径和的闭区间中，所以|1| |1tOCt ，即|1| 21tt ，又0t ，解得 13t 。答案：1,3 直线、圆、圆锥曲线相关的题目是解析几何领域的知识，看见代数形式代数形式要主动地去思考对应几何特征几何特征是什 么，反过来由几何特征几何特征也会用代数形式代数形式来刻画。 15.已知曲线 1: Ce
25、xy 与曲线 2: C 2 ()yxa.若两个曲线在交点处有相同的切线，则实数a的值为_. ABC， ，5:4:1 20C 1 45 C C 22 (3)(1)1xy(0)At ，(0)B t，(0)t CP t 解析：解析： exy ，2()yxa，设两曲线的公共点坐标为 00 (,)xy，依据题意可得: 0 0 2 0 0 e() , e2(), x x xa xa 消 0 ex可得 2 00 ()2()xaxa，因为 0 0 e2()0 x xa，所以 0 0 xa，因此 0 2xa， 所以 0 e4 x ，即 0 ln4x ，所以2ln422ln2a . 答案：22ln2a 对于公切线
26、问题，注意公切点处纵坐标相等，切线斜率相等纵坐标相等，切线斜率相等。 16. 已知一个由 11 人组成的评审委员会以投票方式， 从符合要求的甲， 乙两名候选人中选出一人参加一次活动. 投票要求委员会每人只能选一人且不能弃选，每 位委员投票不受他人影响；投票结果由一人唱 票，一人统计投票结果，在唱到第 k 张票时，甲， 乙两人的得票数分别为 k x， k y，N(k)= kk xy， k=1，2，11. 如图为根据一次唱票过程绘制的 N(k)图，则根据 所给图表，在这次选举中获胜方是_; 图中点 P 的实际意义是_; 7 y的值为_; 答案：获胜方是甲；P 点的实际意义为“甲乙第 4 轮唱票后得
27、票数相同” ； 因纵轴表示每次唱票时甲的得票数减去乙的得票数，故从图表可看出，唱票顺序为甲，甲，乙，乙，乙， 乙，甲，甲，甲，甲，乙；故：甲胜出(本结论可由第 11 个点的位置马上就可判断甲赢，如果最后一个点在横轴 下，则乙赢)； 图中点 P 从位置上看意味着 44=0 xy，即甲乙第 4 轮唱票后得票数相同. 7 y=4(从图上看第 7 个点在上升段，应是甲得一票，而之前的下降段，从第二点算起共 4 个点，故都是乙 得票)（也可以由 77 77 1 7 xy xy 得 7 7 3 4 x y ） 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 6 6 个个小题，共小题，共 8080 分）分） 17 （
28、本小题满分 13 分）在平面直角坐标系xOy中，锐角的顶点与原点O重合， 始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆交于(,)M x y 11 ，将的终边按逆时针 方向旋转 3 ，交单位圆于(,)N xy 22 ，记( )fyy 12. （）求函数( )f的值域； （）在ABC中，若( ),sinsinf CcAB 13 3 37 14 ，求ABC的面积. -2 -1 k N(k)=xk-yk 2 1 1098765114321 P 解答解答（）sin ,sin,yy 12 3 2 分 ( )sinsinsinfyy 12 3 36 4 分 , 2 0 2663 sin 3 33 26 ，函数( )
29、f的值域是, 3 3 2 .5 分 （）( )sinf CC 33 6 ,sin C 1 6 ,CC 7 0 666 C 62 ,C 3 ,7 分 由 sinsinsin abc ABC 7 3 2 ，又sinsinAB 13 3 14 ,得ab1310 分 由余弦定理coscababCabab 2 222 23，得ab40， sin ABC aSbC 1 10 3 2 .12 分 18.（本小题满分 12 分）射击测试有两种方案， 方案 1：先在甲靶射击一次，以后都在乙靶射击； 方案 2：始终在乙靶射击 某射手命中甲靶的概率为 2 3 ，命中一次得 3 分；命中乙靶的概率为 3 4 ，命中一
30、次得 2 分若没有命中则 得 0 分用随机变量表示该射手一次测试累计得分，如果的值不低于 3 分就认为通过测试，立即停止射 击；否则继续射击，但一次测试最多打靶 3 次，每次射击的结果相互独立 （1）如果该射手选择方案 1，求其测试结束后所得总分的分布列和数学期望E； （2）如果你是该射手，你应该选择哪种方案通过测试？请说明理由 解：在甲靶射击命中记作A，不中记作A；在乙靶射击命中记作B，不中记作B， 其中 2 ( ) 3 P A ， 21 ( )1 33 P A ， 3 ( ) 4 P B ， 31 ( )1 44 P B 2 分 （1）的所有可能取值为 0，2，3，4(无，扣 1 分) 1
31、111 (0)()( ) ( ) ( ) 34448 PP ABBP A P B P B，3 分 (2)()( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )PP ABBP ABBP A P B P BP A P B P B( 1311131 3443448 ， 4 分 2 (3)( ) 3 PP A，5 分 1333 (4)()( ) ( ) ( ) 34416 PP ABBP A P B P B6 分 的分布列为： 0 2 3 4 P 1 48 1 8 2 3 3 16 7 分 1123 02343 488316 E 8 分 （2）射手选择方案 1 通过测试的概率为 1 P，选择方案 2 通过测
32、试的概率为 2 P， 1 2341 (3) 31648 PP；9 分 2 1333133327 (3)()()() 4444444432 PPP BBBP BBBP BB 11 分 因为 21 PP，所以应选择方案 1 通过测试的概率更大 所以，该射手应选择方案 1 通过测试 12 分 19.（本小题满分 14 分）四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为 2 的菱形， 2 3 DAB，OBDAC， 且PO 平面ABCD，3PO ， 点,F G分别是线段,PB PD上的中点，E 在PA上，且3PAPE. （）求证:/BD平面EFG； （）求直线AB与平面EFG所成角的正弦值； （）请画出平面E
33、FG与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤. 解： （）在PBD中，因为点,F G分别是线段,PB PD上的中点， 所以/FGBD，2 分 因为BD平面EFG，FG 平面EFG， 所以/BD平面EFG.4 分 （）因为底面ABCD是边长为 2 的菱形，所以OAOB，5 分 A B C D O P G E F 因为PO 平面ABCD，所以PO ,OA POOB，6 分 如图，建立空间直角坐标系，则依题意可得： (1,0,0), (0, 3,0),( 1,0,0),(0,3,0), (0,0, 3)ABCDP, 12 3 ( ,0,) 33 E， 3333 (0,),(0,) 2222 FG，7
34、分 所以( 1, 3,0)AB ， 133 (,) 326 EF ，(0, 3,0)GF ， 设平面EFG的法向量为( , , )nx y z， 则由 0, 0 n EF n GE 可得 133 0 326 30 xyz y ， ， 令3x ，可得 3 (,0, 3) 2 n ，8 分 因为 21 cos, 14| AB n AB n AB n ，9 分 所以直线AB与平面EFG的成角的正弦值为 21 14 .10 分 （）记平面EFG与直线PC的交点为H，设PHPC，11 分 则 333 (12 ) 3 (0,)( 1,0,3)(,) 2222 FHFPPH 12 分 由 3 (12 ) 3
35、333(12 ) (,) (,0, 3)0 22222 FH n 可得1.所以H即为点C.13 分 所以连接,CG CF，则四边形EFCG为平面EFG与四棱锥的表面的交线.14 分 法二：法二：在平面 PAB 内延长 EF 与 AB 延长线相交于点 M，由平面几何知识易得 BM=AB=2； （如下左图） 同理：在平面 PAD 内延长 EG 与 AD 延长线相交于点 N，得 DN=AD=2； 又在菱形 ABCD 中，由平面几何知识易得，连结 MN 过点 C， （如下右图） 所以，连结 FC、GC，则四边形 CGEF 就是所求作的交线。 AB C D O P G E F z x y 20 （本题满
36、分 14 分）已知椭圆 C 的标准方程为 2 2 1 4 x y，梯形 ABCD 的顶点在椭圆上. （） 已知梯形 ABCD 的两腰 AD=BC， 且两个底边 AB 和 DC 与坐标轴平行或在坐标轴上.若梯形一底边 AB=2， 高为3，求梯形 ABCD 的面积； （）若梯形 ABCD 的两底 AB 和 DC 与坐标轴不平行且不在坐标轴上，判断该梯形是否可以为等腰梯形? 并说明理由. 解答解答（）若两底 AB 和 DC 与 y 轴平行，由椭圆方程得 A，B 为该椭圆的上下顶点，1 分 不妨设 DC 在 y 轴右侧，设( 3, )Cy，( 3,)Dy， 代入椭圆方程解得 1 ( 3, ) 2 C，
37、 1 ( 3,) 2 D，3 分 所以梯形另外一底1CD ，因此面积 2 13 3 3= 22 S ；4 分 若两底 AB 和 DC 与 x 轴平行，因为 AB=2，不妨设 AB 在 x 轴上方，且 33 (1,), ( 1,) 22 AB ， 由高为3可得 3 (1,) 2 C， 3 ( 1,) 2 D ， 但此时四边形 ABCD 为矩形，不符合题意，故舍去.6 分 ()该梯形不可能为等腰梯形，理由如下：7 分（此分可以在最后下结论给） 由题意可知梯形两底所在直线的斜率存在且不为零，7 分 设直线 AB 方程为 1, ykxm直线 CD 方程为 2, ykxm其中 12 0,kmm 联立方程
38、 2 2 1 1 4 , x y ykxm ， ，整理得 222 11 (1 4)8440kxkm xm，9 分 0)44)(41 (4)8( 2 1 22 1 mkkm 整理得014 2 2 2 mk10 分 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则, 41 2 2)(, 41 8 2 1 12121 2 1 21 k m mxxkyy k km xx 故 AB 中点 M 坐标为) 41 , 41 4 ( 2 1 2 1 k m k km M ； 同理可得 CD 中点 N 坐标为) 41 , 41 4 ( 2 2 2 2 k m k km N ；12 分 若梯形 ABCD 为等腰梯形，则有
39、 ABMN，即1 MN kk，13 分 但 kk k km k km k m k m kMN 1 4 1 41 4 41 4 4141 2 1 2 2 2 1 2 2 ，所以梯形 ABCD 不可能为等腰梯形.14 分 21.（本题满分 14 分）已知函数 32 ( )()f xaxbxba x(ab、是不同时为零的常数)，导函数为( )fx （1）当 1 3 a 时，若存在 3, 1x ，使得( )0fx 成立，求b的取值范围； （2）求证：函数( )yfx 在( 1,0)内至少有一个零点； （3）若函数( )f x为奇函数，且在1x 处的切线垂直于直线230 xy，关于x的方程 1 ( )
40、4 f xt ， 在 1, (1)t t 上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围 解： （1）当 1 3 a 时， 222 11 ( )2()() 33 fxxbxbxbbb ，其对称轴为直线xb 1 分 当 2 ( 3)0 b f ， ， 解得 26 15 b ，2 分 当 2 ( 1)0 b f ，无解，3 分 所以b的取值范围为 26 (,) 15 4 分 （2）因为 2 ( )32()fxaxbxba 解法 1：当0a 时， 1 2 x ，适合题意 当0a 时， 2 3210 bb xx aa ，令 b t a ，则 2 3210 xtxt 令 2 ( )321h xxtxt ，则
41、11 ()0 24 h 6 分 当1t 时，(0)10ht ，所以( )yh x在 1 (,0) 2 内有零点； 当1t时，( 1)210ht，所以( )yh x在 1 ( 1,) 2 内有零点 因此，当0a 时，( )yh x在( 1,0)内至少有一个零点 综上可知，函数( )yfx 在( 1,0)内至少有一个零点 8 分 解法 2 (0)fba ，( 1)2fab ， 12 () 33 ba f .6 分 由ab、于不同时为零，所以 1 ()( 1)0 3 ff ， 7 分 或 1 ()( 1)0 3 ff故结论成立 8 分 (3)因为 32 ( )()f xaxbxba x为奇函数，所以
42、0b ，所以 3 ( )f xaxax， 又( )f x在1x 处的切线垂直于直线230 xy，所以1a ， 即 3 ( )f xxx. 10 分 因为 33 ( )3()() 33 fxxx ,所以( )f x在 33 (,) (,) 33 、上是增函数，在 33 , 33 上是减函 数由( )0f x 解得1,0 xx 11 分 当 3 1 3 t 时， 1 ( )0 4 f tt，即 3 1 0 4 ttt，解得 33 23 t ； 当 3 0 3 t 时， 1 ( )0 4 f tt ，解得 3 0 3 t ；12 分 当0t 时，显然不成立； 当 3 0 3 t时， 1 ( )0 4
43、 f tt即 3 1 0 4 ttt ，解得 3 0 3 t； 当 3 3 t 时， 1 ( )0 4 f tt 或 132 3 () 439 tf ，故 33 32 t 或 8 3 9 t 所以，所求t的取值范围是 3 0 2 t，或 3 0 2 t 或 8 3 9 t 14 分 (各题如有其他解法，请相应给分) 22 （本题满分 14 分）已知L N，数列 12 : n A aaa， ， ，中的项均为不大于L的正整数. k c表示 12 , n a aa 中k的个数(1)kL ，2， ， . 定义变 换T，T将数列A变成数列 12 ( ): (), (), () n T At at at
44、a ,其 中 12 ( ) k ccc t kL n . （）若4L ，对数列A：1，1，2，3，3，4，写出 i c4)i (1的值； （）已知对任意的(1,2, )k kn，存在A中的项 m a，使得 m ak. 求证： ii t aa（ ）(1,2, )in的充分必要条件为(12) ij cc ijL， ， ，； （）若Ln，对于数列 12 :, n A a aa，令 12 ( ( ):, n T T Ab bb ，求证： ( ) ii bt a(1,2, ).in 解：（） 1=2 c 2=1 c 3=2 c 4=1. c.3 分 （）由于对任意的正整数(1)kkL，存在A中的项 m
45、a，使得 m ak. 所以 12L ccc， ， ，均不为零.4 分 必要性：若( ) ii t aa(1)in ，由于 12 ( ) k ccc t kL n ， 所以有 1 (1)1 c tL n ； 12 (2)2 cc tL n ； 123 (3)3 ccc tL n ； 12 ( ) L ccc t LL n . 通过解此方程组，可得(12) ij cc ijL， ， ，成立.6 分 充分性：若(12) ij cc ijL， ， ，成立，不妨设(12) ij hcc ijL， ， ，可以得到h Ln. 所以有：(1)1 h tL n ； 2 (2)2 h tL n ； 3 (3)3
46、h tL n ；( ) Lh t LLL n . 所以( ) ii t aa(1)in 成立. .9 分 （）设 12 : n A aaa， ， ，的所有不同取值为 12m uuu， ， ，且满足： 12m uuu. 不妨设 12 111212122212 :, m rrmmmr A uuuuuuuuu， ， ， ， 其中 1 11121r uuu=； 2 21222r uuu； 12 m mmmr uuu=. 又因为Ln，根据变换T有： 1 1 1112111 ()()()( ) u r c t ut ut ut uLr n ； 12 2 21222212 ()()()() uu r cc t ut ut ut uLrr n ； ; 12 1212 ()()()() m m uuu mmmrmm ccc t ut ut ut uLrrrL n ； 所以 12 111222 ( ): ( ), ( ), ( ) (), (), ()(), (), (). m mmm rrr T At ut ut ut ut ut ut ut ut u 个个个 ， 即 12 111121212 ( ): , , , . m r rr T Ar rr rr rrrrL LL 个 个个 ， ， 所以 12 111121212 ( ( ): ( ), ( ), ( ), ()
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