1、2020-2021 学年江西省宜春八中九年级第一学期期中数学试卷学年江西省宜春八中九年级第一学期期中数学试卷 一、选择题 1（3 分）下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 2（3 分）下列方程是关于 x 的一元二次方程的是（ ） A B2x2y+60 Cax2+bx+c0 D 3（3 分）抛物线 y（x+2）21 的顶点坐标是（ ） A（2，1） B（2，1） C（2，1） D（2，1） 4（3 分）下列说法： 三点确定一个圆； 圆中最长弦是直径； 长度相等的弧是等弧； 三角形只有一个外接圆 其中真命题有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 5（3
2、分）如图，将AOB 绕着点 O 顺时针旋转 70，得到COD，若COD40，则BOC 的度数 为（ ） A10 B20 C30 D40 6（3 分）如图，是二次函数 yax2+bx+c 图象的一部分，下列结论中：abc0；a+b+c0；方程 ax2+bx+c+10 有两个相等的实数根；4ab2a；其中正确结论的序号为（ ） A B C D 二、填空题（本大题共有 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分） 7（3 分）一元二次方程 x2x 的根 8（3 分）如图，点 A、B、C 在O 上，ACB43，则AOB 9（3 分）设 x1、x2是一元二次方程 x2x10 的两个实数根，则 x1x2 1
3、0（3 分）将抛物线 y2（x1）2+1 先向右平移 2 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，所得新抛物 线的解析式为 11（3 分）在九章算术中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长 一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为 1 寸，锯道 AB 1 尺（1 尺10 寸），则该圆材的直径为 寸 12 （3 分）已知O 的直径为 4cm，A 是圆上一固定点，弦 BC 的长为 2cm（A、B、C 三点均不重合）， 当ABC 为等腰三角形时，其底边上的高为 三、解答题（本大题有 5 个小题，每小题 6 分，共 30 分） 13（6
4、分）（1）解方程：x26x+80； （2）已知一条抛物线过点（1，3），且顶点坐标为（2，1），求该抛物线解析式 14（6 分）如图，已知点 A（2，4），B（1，1），C（3，2） （1）将ABC 绕点 O 逆时针旋转 90得A1B1C1，画出A1B1C1，并写出点 C 的对应点 C1的坐标 为 ； （2）画出ABC 关于原点成中心对称的图形A2B2C2，并写出点 A 的对称点 A2的坐标为 15（6 分）如图 AB 是半圆的直径，图 1 中，点 C 在半圆外；图 2 中，点 C 在半圆内，请仅用无刻度的直 尺按要求画图 （1）在图 1 中，画出ABC 的三条高的交点； （2）在图 2 中，
5、画出ABC 中 AB 边上的高 16（6 分）已知关于 x 的方程 x22x+m10 （1）若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围； （2）若方程有一个实数根是 5，求此方程的另一个根 17（6 分）如图，在O 中的内接四边形 ABCD 中，ABAD，E 为弧 AD 上一点 （1）若C110，求BAD 和E 的度数； （2）若EC，求证：ABD 为等边三角形 四、解答题（本大题共有 3 个小题，每小题 8 分，共 24 分） 18（8 分）如图，AB 是O 的直径，点 F，C 是O 上两点，且，连接 AC，AF，过点 C 作 CDAF 交 AF 延长线于点 D，垂足为 D （1）求证：
6、CD 是O 的切线； （2）若 CD2，求O 的半径 19（8 分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，某家快递公司，今年三月 份与五月份完成投递的快件总件数分别是 5 万件和 6.05 万件，现假定该公司每月投递的快件总件数的增 长率相同 （1）求该公司投递快件总件数的月平均增长率； （2）如果平均每人每月可投递快递 0.4 万件，那么该公司现有的 16 名快递投递员能否完成今年 6 月份 的快递投递任务？ 20（8 分）某公司生产某种商品每件成本为 20 元，这种商品在未来 40 天内的日销售量 y（件）与时间 x （天）的关系如下表： 时间 x（天） 1 2 3
7、4 日销售量 y（件） 94 92 90 88 未来 40 天内，前 20 天每天的价格 m（元/件）与时间 x 的函数关系式为，后 20 天每天的价格为 30 元/件（21x40） （1）分析上述表中的数据，求出 y（件）与 x（天）之间的函数关系式； （2）当 1x20 时，设日利润为 W 元，求出 W 与 x 的函数关系式； （3）在未来 40 天中，哪一天的日利润最大？最大日利润是多少？ 五、解答题（本大题共有 2 个小题，每小题 9 分，共 18 分） 21 （9 分）音乐喷泉（图 1）可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化某种音乐喷泉形状如抛物线， 设其出水口为原点，出水口离岸边
8、 18m，音乐变化时，抛物线的顶点在直线 ykx 上变动，从而产生一 组不同的抛物线（图 2），这组抛物线的统一形式为 yax2+bx （1）若已知 k1，且喷出的抛物线水线最大高度达 3m，求此时 a、b 的值； （2）若 k1，喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线水线最大高度是多少米？ （3）若 k3，a，则喷出的抛物线水线能否达到岸边？ 22（9 分）【问题情境】 如图 1，点 E 为正方形 ABCD 内一点，AEB90，将 RtABE 绕点 B 按顺时针方向旋转 90，得到 CBE延长 AE 交 CE于点 F，连接 DE 【猜想证明】 （1）试判断四边形 BEFE 的形状，并说明理
9、由； （2）如图 2，若 DADE，猜想线段 CF 与 FE的数量关系并加以证明； 【解决问题】 （3）如图 1 若 AB15，CF3，则 DE 的长度为 六、解答题（本大题共 12 分） 23（12 分）如图，二次函数 yx2+bx+c 的图象过原点，与 x 轴的另一个交点为（8，0） （1）求该二次函数的解析式； （2） 在 x 轴上方作 x 轴的平行线 y1m， 交二次函数图象于 A、 B 两点， 过 A、 B 两点分别作 x 轴的垂线， 垂足分别为点 D、点 C当矩形 ABCD 为正方形时，求 m 的值； （3）在（2）的条件下，动点 P 从点 A 出发沿射线 AB 以每秒 1 个单位
10、长度匀速运动，同时动点 Q 以相 同的速度从点 A 出发沿线段 AD 匀速运动，到达点 D 时立即原速返回，当动点 Q 返回到点 A 时，P、Q 两点同时停止运动，设运动时间为 t 秒（t0）过点 P 向 x 轴作垂线，交抛物线于点 E，交直线 AC 于 点 F，问：以 A、E、F、Q 四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形若能，请求出 t 的值；若不能， 请说明理由 参考答案 一、选择题（本大题共有 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分） 1（3 分）下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是
11、轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D 2（3 分）下列方程是关于 x 的一元二次方程的是（ ） A B2x2y+60 Cax2+bx+c0 D 解：A、是关于 x 的一元二次方程，故本选项符合题意； C、是关于 x，y 的二元二次方程，故本选项不符合题意； C、当 a0 时不是关于 x 的一元二次方程，故本选项不符合题意； D、是关于 x 的分式方程，故本选项不符合题意； 故选：A 3（3 分）抛物线 y（x+2）21 的顶点坐标是（ ） A（2，1） B（2，1
12、） C（2，1） D（2，1） 解：y（x+2）21 是抛物线的顶点式， 抛物线的顶点坐标为（2，1） 故选：B 4（3 分）下列说法： 三点确定一个圆； 圆中最长弦是直径； 长度相等的弧是等弧； 三角形只有一个外接圆 其中真命题有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 解：不在同一直线上的三点确定一个圆，原命题是假命题； 圆中最长弦是直径，是真命题； 在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，原命题是假命题； 三角形只有一个外接圆，是真命题； 故选：C 5（3 分）如图，将AOB 绕着点 O 顺时针旋转 70，得到COD，若COD40，则BOC 的度数 为（ ） A10 B20 C30 D
13、40 解：由题意，AOCBOD70， COD40， BOCBODCOD30， 故选：C 6（3 分）如图，是二次函数 yax2+bx+c 图象的一部分，下列结论中：abc0；a+b+c0；方程 ax2+bx+c+10 有两个相等的实数根；4ab2a；其中正确结论的序号为（ ） A B C D 解：由抛物线的开口方向向上可推出 a0， 与 y 轴的交点为在 y 轴的负半轴上可推出 c10， 对称轴为 x10，a0，得 b0， 故 abc0，故正确； 当 x1 时，y0， 所以 a+b+c0，故错误； 抛物线与 y 轴的交点为（0，1），由图象知二次函数 yax2+bx+c 图象与直线 y1 有两
14、个交点， 故 ax2+bx+c+10 有两个不相等的实数根，故错误； 由对称轴为直线 x，由图象可知 12， 所以4ab2a，故正确 故选：C 二、填空题（本大题共有 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分） 7（3 分）一元二次方程 x2x 的根 x10，x21 解：由原方程得 x2x0， 整理得 x（x1）0， 则 x0 或 x10， 解得 x10，x21 故答案是：x10，x21 8（3 分）如图，点 A、B、C 在O 上，ACB43，则AOB 86 解：ACB43， AOB2ACB86， 故答案为：86 9（3 分）设 x1、x2是一元二次方程 x2x10 的两个实数根，则 x1x2
15、 1 解：x1、x2是一元二次方程 x2x10 的两个实数根， x1x21， 故答案为：1 10（3 分）将抛物线 y2（x1）2+1 先向右平移 2 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，所得新抛物 线的解析式为 y2（x3）2+2 解：将抛物线 y2（x1） 2+1 向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位得到 y2（x12）2+1+1故 得到抛物线的解析式为 y2（x3）2+2 故答案为：y2（x3）2+2 11（3 分）在九章算术中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长 一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为 1
16、寸，锯道 AB 1 尺（1 尺10 寸），则该圆材的直径为 26 寸 解：设O 的半径为 r 在 RtADO 中，AD5，ODr1，OAr， 由勾股定理得：r252+（r1）2， 解得：r13， O 的直径为 26 寸， 故答案为：26 12 （3 分）已知O 的直径为 4cm，A 是圆上一固定点，弦 BC 的长为 2cm（A、B、C 三点均不重合）， 当ABC 为等腰三角形时，其底边上的高为 2或 2，或 2 解：当 BC 为底边时，如图 1，连接 AO 延长与 BC 交于 F， 在ABO 与ACO 中， ， ABOACO（SSS）， BAOCAO， 在AFB 与ACF 中， ， AFBAC
17、F（SAS）， BFCF， AFBC， AF 为ABC 的高， 在直角BOF 中， OF ， AF2+； 当 BC 为腰时，如图 2，连接 BO 并延长与 AC 交于 F 同理可证得：ABOCBO， ABOCBO， 可得AFBCBF， AFCF， AFAC，BF 为ABC 的高， OB2+OC28，BC28， BOC 为等腰直角三角形， CBO45， CFBF， 设 CFBFx， 则 2x28， 解得：x2， BF2， 当如图 3 所示时，BC 为底， AFBC， BFCF， 设 AFx，则 OF2x， （2x）2+（）222， 解得：x2+或 x2 故答案为：2或 2，或 2 三、解答题（本
18、大题有 5 个小题，每小题 6 分，共 30 分） 13（6 分）（1）解方程：x26x+80； （2）已知一条抛物线过点（1，3），且顶点坐标为（2，1），求该抛物线解析式 解：（1）x26x+80， （x2）（x4）0， x20 或 x40， x12，x24； （2）设抛物线解析式为 ya（x2）2+1， 把（1，3）代入得 a （32）2+13，解得 a2， 所以抛物线解析式为 y2（x2）2+1 14（6 分）如图，已知点 A（2，4），B（1，1），C（3，2） （1） 将ABC绕点O逆时针旋转90得A1B1C1， 画出A1B1C1， 并写出点C的对应点C1的坐标为 （ 2，3） ；
19、 （2） 画出ABC关于原点成中心对称的图形A2B2C2， 并写出点A的对称点A2的坐标为 （2， 4） 解：（1）如图所示，A1B1C1即为所求，点 C 的对应点 C1的坐标为（2，3） 故答案为：（2，3）； （2）如图所示，A2B2C2即为所求，点 A 的对称点 A2的坐标为（2，4）； 故答案为：（2，4） 15（6 分）如图 AB 是半圆的直径，图 1 中，点 C 在半圆外；图 2 中，点 C 在半圆内，请仅用无刻度的直 尺按要求画图 （1）在图 1 中，画出ABC 的三条高的交点； （2）在图 2 中，画出ABC 中 AB 边上的高 解：（1）如图所示：点 P 就是三个高的交点；
20、（2）如图所示：CT 就是 AB 上的高 16（6 分）已知关于 x 的方程 x22x+m10 （1）若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围； （2）若方程有一个实数根是 5，求此方程的另一个根 解：（1）方程有两个不相等的实数根， （2）24（m1）0， 即 44m+40， 解得 m2； （2）设方程的另一个实数根为 x2， 5+x22， x23 当方程有一个实数根是 5，则另一个根为3 17（6 分）如图，在O 中的内接四边形 ABCD 中，ABAD，E 为弧 AD 上一点 （1）若C110，求BAD 和E 的度数； （2）若EC，求证：ABD 为等边三角形 解：（1）四边形 AB
21、CD 内接于O， BAD+C180， C110， BAD70， ABAD， ABDADB55， 四边形 ABDE 内接于O， ABD+E180， E125 （2）四边形 ABCD 是O 的内接四边形， BAD+C180， 四边形 ABDE 是O 的内接四边形， ABD+E180， 又EC， BADABD， ADBD， ABAD， ADBDAD， ABD 为等边三角形 四、解答题（本大题共有 3 个小题，每小题 8 分，共 24 分） 18（8 分）如图，AB 是O 的直径，点 F，C 是O 上两点，且，连接 AC，AF，过点 C 作 CDAF 交 AF 延长线于点 D，垂足为 D （1）求证：
22、CD 是O 的切线； （2）若 CD2，求O 的半径 【解答】（1）证明：连结 OC，如图， ， FACBAC， OAOC， OACOCA， FACOCA， OCAF， CDAF， OCCD， CD 是O 的切线； （2）解：连结 BC，如图， AB 为直径， ACB90， ， BOC18060， BAC30， DAC30， 在 RtADC 中，CD2， AC2CD4， 在 RtACB 中，BCAC44， AB2BC8， O 的半径为 4 19（8 分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，某家快递公司，今年三月 份与五月份完成投递的快件总件数分别是 5 万件和 6.05
23、 万件，现假定该公司每月投递的快件总件数的增 长率相同 （1）求该公司投递快件总件数的月平均增长率； （2）如果平均每人每月可投递快递 0.4 万件，那么该公司现有的 16 名快递投递员能否完成今年 6 月份 的快递投递任务？ 解：（1）设该公司投递快件总件数的月平均增长率为 x， 根据题意得：5（1+x）26.05， 解得：x10.110%，x22.1（舍去） 答：该公司投递快件总件数的月平均增长率为 10% （2）6 月份快递总件数为：6.05（1+10%）6.655（万件）， 0.4166.4（万件）， 6.46.655， 该公司现有的 16 名快递投递员不能完成今年 6 月份的快递投递
24、任务 20（8 分）某公司生产某种商品每件成本为 20 元，这种商品在未来 40 天内的日销售量 y（件）与时间 x （天）的关系如下表： 时间 x（天） 1 2 3 4 日销售量 y（件） 94 92 90 88 未来 40 天内，前 20 天每天的价格 m（元/件）与时间 x 的函数关系式为，后 20 天每天的价格为 30 元/件（21x40） （1）分析上述表中的数据，求出 y（件）与 x（天）之间的函数关系式； （2）当 1x20 时，设日利润为 W 元，求出 W 与 x 的函数关系式； （3）在未来 40 天中，哪一天的日利润最大？最大日利润是多少？ 解：（1）设一次函数为 ykx+
25、b，将一次函数中，得： ， 解得：， y2x+96， 经检验，其它点的坐标均适合以上解析式， 所求函数解析式为 y2x+96； （2）设前 20 天日销售利润为 W 元： W（2x+96）（x+2520） x2+14x+480； （3）1x20，前 20 天日销售利润 W， 当 x14 时，Wx2+14x+480（x14）2+578，即二次函数有最大值 578（元）， 后 20 天日销售利润为 S 元， S（3020）（2x+96）20 x+960， 当 21x40 时，S 随 x 的增大而减小 则当 x21 时，S 有最大值为 540 元， 578540， 第 14 天时，销售利润最大，为
26、578 元 五、解答题（本大题共有 2 个小题，每小题 9 分，共 18 分） 21 （9 分）音乐喷泉（图 1）可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化某种音乐喷泉形状如抛物线， 设其出水口为原点，出水口离岸边 18m，音乐变化时，抛物线的顶点在直线 ykx 上变动，从而产生一 组不同的抛物线（图 2），这组抛物线的统一形式为 yax2+bx （1）若已知 k1，且喷出的抛物线水线最大高度达 3m，求此时 a、b 的值； （2）若 k1，喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线水线最大高度是多少米？ （3）若 k3，a，则喷出的抛物线水线能否达到岸边？ 解：（1）yax2+bx 的顶点为（）
27、，抛物线的顶点在直线 ykx 上，k1，抛物线水线 最大高度达 3m， ， 解得，a，b2， 即 k1，且喷出的抛物线水线最大高度达 3m，此时 a、b 的值分别是； （2）k1，喷出的水恰好达到岸边，出水口离岸边 18m，抛物线的顶点在直线 ykx 上， 此时抛物线的对称轴为 x9，yx9， 即此时喷出的抛物线水线最大高度是 9 米； （3）yax2+bx 的顶点为（ ）在直线 y3x 上，a， ， 解得，b6， 抛物线 y， 当 y0 时，0， 解得，x121，x20， 2118， 若 k3，a，则喷出的抛物线水线能达到岸边， 即若 k3，a，喷出的抛物线水线能达到岸边 22（9 分）【问
28、题情境】 如图 1，点 E 为正方形 ABCD 内一点，AEB90，将 RtABE 绕点 B 按顺时针方向旋转 90，得到 CBE延长 AE 交 CE于点 F，连接 DE 【猜想证明】 （1）试判断四边形 BEFE 的形状，并说明理由； （2）如图 2，若 DADE，猜想线段 CF 与 FE的数量关系并加以证明； 【解决问题】 （3）如图 1 若 AB15，CF3，则 DE 的长度为 3 解：（1）四边形 BEFE 是正方形， 理由如下： 将 RtABE 绕点 B 按顺时针方向旋转 90， AEBCEB90，BEBE，EBE90， 又BEF90， 四边形 BEFE 是矩形， 又BEBE， 四边
29、形 BEFE 是正方形； （2）CFEF； 理由如下：如图 2，过点 D 作 DHAE 于 H， DADE，DHAE， AHAE， ADH+DAH90， 四边形 ABCD 是正方形， ADAB，DAB90， DAH+EAB90， ADHEAB， 又ADAB，AHDAEB90， ADHBAE（AAS）， AHBEAE， 将 RtABE 绕点 B 按顺时针方向旋转 90， AECE， 四边形 BEFE 是正方形， BEEF， EFCE， CFEF； （3）如图 1，过点 D 作 DHAE 于 H， 四边形 BEFE 是正方形， BEEFBE， ABBC15，CF3，BC2EB2+EC2， 225E
30、B2+（EB+3）2， EB9BE， CECF+EF12， 由（2）可知：BEAH9，DHAECE12， HE3， DE3 故答案为：3 六、解答题（本大题共 12 分） 23（12 分）如图，二次函数 yx2+bx+c 的图象过原点，与 x 轴的另一个交点为（8，0） （1）求该二次函数的解析式； （2） 在 x 轴上方作 x 轴的平行线 y1m， 交二次函数图象于 A、 B 两点， 过 A、 B 两点分别作 x 轴的垂线， 垂足分别为点 D、点 C当矩形 ABCD 为正方形时，求 m 的值； （3）在（2）的条件下，动点 P 从点 A 出发沿射线 AB 以每秒 1 个单位长度匀速运动，同时
31、动点 Q 以相 同的速度从点 A 出发沿线段 AD 匀速运动，到达点 D 时立即原速返回，当动点 Q 返回到点 A 时，P、Q 两点同时停止运动，设运动时间为 t 秒（t0）过点 P 向 x 轴作垂线，交抛物线于点 E，交直线 AC 于 点 F，问：以 A、E、F、Q 四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形若能，请求出 t 的值；若不能， 请说明理由 解：（1）将（0，0），（8，0）代入 yx2+bx+c，得： ，解得：， 该二次函数的解析式为 yx2+x （2）当 ym 时，x2+xm， 解得：x14，x24+ ， 点 A 的坐标为（4，m），点 B 的坐标为（4+，m）， 点 D 的坐标
32、为（4，0），点 C 的坐标为（4+，0） 矩形 ABCD 为正方形， 4+（4 ）m， 解得：m116（舍去），m24 当矩形 ABCD 为正方形时，m 的值为 4 （3）以 A、E、F、Q 四点为顶点构成的四边形能为平行四边形 由（2）可知：点 A 的坐标为（2，4），点 B 的坐标为（6，4），点 C 的坐标为（6，0），点 D 的坐标 为（2，0） 设直线 AC 的解析式为 ykx+a（k0）， 将 A（2，4），C（6，0）代入 ykx+a，得： ，解得：， 直线 AC 的解析式为 yx+6 当 x2+t 时，yx2+xt2+t+4，yx+6t+4， 点 E 的坐标为（2+t，t2+
33、t+4），点 F 的坐标为（2+t，t+4） 以 A、E、F、Q 四点为顶点构成的四边形为平行四边形，且 AQEF， AQEF，分三种情况考虑： 当 0t4 时，如图 1 所示，AQt，EFt2+t+4（t+4）t2+t， tt2+t， 解得：t10（舍去），t24； 当 4t7 时，如图 2 所示，AQ8t，EFt2+t+4（t+4）t2+t， 8tt2+t， 解得：t34（舍去），t46； 当 7t8 时，如图 3 所示，AQ8t，EFt+4（t2+t+4）t2t， 8tt2t， 解得：t522（舍去），t62+2 综上所述：当以 A、E、F、Q 四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，t 的值为 4，6 或 2+2
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