1、 第第 1 章直角三角形的边角关系章直角三角形的边角关系 满分 120 分 时间 90 分钟 姓名:_班级:_考号:_成绩:_ 一选择题(共一选择题(共 10 小题,满分小题,满分 30 分,每小题分,每小题 3 分)分) 1计算:cos45的结果等于( ) A B1 C D 2将ABC 的各边都扩大 3 倍,则A 的三个三角函数值都( ) A扩大 3 倍 B缩小 3 倍 C不变 D无法确定 3如图,在 RtABC 中,C90,AB4,AC3,则 cosB( ) A B C D 4在 RtABC 中,C90,sinB,则 tanA 的值为( ) A B C D 5在网格中,小正方形的边长均为
2、1,点 A,B,C 都在格点上,则ABC 的正切值是( ) A B C D 6在直角坐标平面内有一点 P(2,3) ,OP 与 x 轴正半轴的夹角 的正弦值为( ) A B C D 7如图,在ABC 中,A30,B45,AC,则 AB 的长为( ) A3+ B2+2 C2 D6 8菱形 ABCD 的对角线长为 6 和 8,则较小内角的正弦值为( ) A B C D 9若ABC 的三边分别为 a,b,c,且满足|a12|+(5b)2+0,则ABC 为( ) A锐角三角形 B钝角三角形 C等腰直角三角形 D面积等于 30 的直角三角形 10如图,某大楼 DE 楼顶挂着“众志成城,抗击疫情”的大型宣
3、传牌,为了测量宣传牌的高度 CD,小江 从楼底点 E 向前行走 30 米到达点 A,在 A 处测得宣传牌下端 D 的仰角为 60小江再沿斜坡 AB 行走 26 米到达点 B,在点 B 测得宣传牌的上端 C 的仰角为 43,已知斜坡 AB 的坡度 i1:2.4,点 A、B、 C、D、E 在同一平面内,CDAE,宣传牌 CD 的高度约为(参考数据:sin430.68,cos430.73, tan430.93,1.73) ( ) A8.3 米 B8.5 米 C8.7 米 D8.9 米 二填空题(共二填空题(共 7 小题,满分小题,满分 28 分,每小题分,每小题 4 分)分) 11比较大小 sin6
4、0 sin30 12已知一斜坡的坡度为 1:1,则该斜坡坡角 度 13如图,在 RtABC 中,C90,sinA,AB10,D 是 AC 的中点,则 BD 14如图是一个地铁站入口双翼闸机的示意图,当它的双翼展开时,双翼边缘的端点 A 与 B 之间的距离为 10cm,双翼的边缘 ACBD61cm,且与闸机侧立面夹角PCABDQ30,当双翼收起时,可以 通过闸机的物体最大宽度为 15如图,在直角坐标系中,已知,OBC 中,OC2,BOC150则 C 点的坐标为 16在ABC 中,B30,AB4,AC,则 BC 的长为 17观察下列等式: sin30,cos60; sin45,cos45; sin
5、60,cos30 (1)根据上述规律,计算 sin2+sin2(90) (2)计算:sin21+sin22+sin23+sin289 三解答题(共三解答题(共 8 小题,满分小题,满分 62 分)分) 18 (6 分)设 RtABC 中,C90,A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 b6,c10,求 sinA、 cosA 和 tanA 19 (6 分)如图所示,ABC 中,B45,C30,AB2求 BC 的长 20 (6 分)一艘渔船发出遇险警报,在遇险地点南偏西 35方向,距离为 24 海里处有一艘轮船,轮船收 到警报后立即去抢险,而遇险渔船正向北偏西 55方向以每小时 10 海里的速度
6、向某岛靠近,经过 1 小 时,轮船靠近渔船,求轮船抢险的航向和速度各是多少? 参考数据:tan2237,tan212,sin2437,sin2237 21 (8 分) (1)计算:tan60+9tan308sin602cos45; (2)在ABC 中,C90,求A 的度数 22 (8 分)如图,在 RtABC 中,C90,ABC 的周长为 24,sinB,点 D 为 BC 的中点 (1)求 BC 的长; (2)求BAD 的正弦值 23 (8 分)如图,小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度 AB,在观测点 C 处测得大桥主 架顶端 A 的仰角为 30,测得大桥主架与水面交汇点 B
7、的俯角为 14,观测点与大桥主架的水平距离 CM 为 60 米,且 AB 垂直于桥面 (点 A,B,C,M 在同一平面内) (1)求大桥主架在桥面以上的高度 AM; (结果保留根号) (2)求大桥主架在水面以上的高度 AB (结果精确到 1 米) (参考数据 sin140.24,cos140.97,tan140.25,1.73) 24 (10 分)已知:如图,在 RtABC 中,C90,ABC60,BC 长为p,BB1是ABC 的平 分线交 AC 于点 B1,过 B1作 B1B2AB 于点 B2,过 B2作 B2B3BC 交 AC 于点 B3,过 B3作 B3B4AB 于点 B4,过 B4作
8、B4B5BC 交 AC 于点 B5,过 B5作 B5B6AB 于点 B6,无限重复以上操作设 b0 BB1,b1B1B2,b2B2B3,b3B3B4,b4B4B5,bnBnBn+1, (1)求 b0,b3的长; (2)求 bn 的表达式 (用含 p 与 n 的式子表示,其中 n 是正整数) 25 (10 分)阅读下列材料,并解决后面的问题 在锐角ABC 中,A、B、C 的对边分别是 a、b、c过 A 作 ADBC 于 D(如图) ,则 sinB, sinC,即 ADcsinB,ADbsinC,于是 csinBbsinC, 即同理有, 所以(*) 即:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等
9、 (1)在锐角三角形中,若已知三个元素 a、b、A,运用上述结论(*)和有关定理就可以求出其余三 个未知元素 c、B、C,请你按照下列步骤填空,完成求解过程: 第一步:由条件 a、b、A B; 第二步:由条件A、B C; 第三步:由条件 c (2)如图,已知:A60,C75,a6,运用上述结论(*)试求 b 参考答案参考答案 一选择题(共一选择题(共 10 小题,满分小题,满分 30 分,每小题分,每小题 3 分)分) 1解:cos451 故选:B 2解:因为三角函数值与对应边的比值有关,所以各边的长度都扩大 3 倍后,锐有 A 的各三角函数值没有 变化, 故选:C 3解:在 RtABC 中,
10、C90,AB4,AC3, BC, cosB 故选:C 4解:sinB, 设 AC12x,AB13x, 由勾股定理得:BC5x, tanA, 故选:D 5解:连接 AC,由题意得到BAC90, 在ABC 为直角三角形中,AC,AB2, 则 tanABC, 故选:A 6解:如图,作 PEx 轴于 E P(2,3) , OE2,PE3, OP, sin, 故选:D 7解:过 C 作 CDAB 于 D, ADCBDC90, B45, BCDB45, CDBD, A30,AC2, CD, BDCD, 由勾股定理得:AD3, ABAD+BD3+ 故选:A 8解:菱形的对角线互相垂直平分,因而 OA3,OB
11、4 在 RtAOB 中利用勾股定理得到:AB5 BC5 过 A 作 AEBC 于点 E, 菱形 ABCD 的面积是ACBDBCAE, 即685AE,则 AE, 所以ABC 的正弦是 故选:D 9解:根据非负数的性质, 可得 a120,b50,sinC1, 进而可得:a12,b5,C90, 故 SABC30 故选:D 10解:过 B 作 BFAE,交 EA 的延长线于 F,作 BGDE 于 G RtABF 中,itanBAF,AB26 米, BF10(米) ,AF24(米) , BGAF+AE54(米) , RtBGC 中,CBG43, CGBGtan43540.9350.22(米) , RtA
12、DE 中,DAE60,AE30 米, DEAE30(米) , CDCG+GEDE50.22+10308.3(米) 故选:A 二填空题(共二填空题(共 7 小题,满分小题,满分 28 分,每小题分,每小题 4 分)分) 11解:6030, sin60sin30 12解:坡度为 1:1, tan1, 为锐角, 45 故答案为:45 13解:在 RtABC 中,C90,sinA, sinA, AB10, BCAB6, AC8, D 是 AC 的中点, CDAC4, BD2; 故答案为:2 14解:过点 A 作 AEPC 于点 E,过点 B 作 BFQD 于点 F, AC61,PCA30, AEAC,
13、 由对称性可知:BFAE, 通过闸机的物体最大宽度为 2AE+AB61+1071, 故答案为:71cm 15解:BOC150, AOC180BOC30, ACOCsin301,OAOCcos30, C 点在第二象限 C 点坐标(,1) 故答案为(,1) 16解:如图 1,过点 A 作 ADBC 于点 D, B30,AB4, ADAB2,BDABcos3042 在 RtACD 中,AD2,AC, DC, BCBD+DC2+3; 如图 2,同理可得, ADAB2,BDABcos3042,DC, BCBDDC2 综上所述,BC 的长为 3或; 故答案为:3或 17解: (1)由所提供的等式可得 si
14、ncos(90) cossin(90) ,sin2+cos21, sin2+sin2(90)sin2+cos21, 故答案为:1; (2)sin21+sin22+sin23+sin289 sin21+sin22+sin23+cos23+cos22+cos21 (sin21+cos21)+(sin22+cos22)+(sin23+cos23)+sin245 1+1+1+ 44.5, 故答案为:44.5 三解答题(共三解答题(共 8 小题,满分小题,满分 62 分)分) 18解:如图所示:RtABC 中,C90,A、B、C 的对边分别为 a、b、c,b6,c10, a8, sinA; cosA;
15、tanA 19解:过点 A 作 ADBC 于点 D,如图所示 在 RtABD 中,ADB90,B45,AB2, ADBDABsinB22 在 RtACD 中,ADC90,C30,AD2, AC2AD4,CDAD2, BCBD+CD2+2 20解:由题意得,AOF35,BOE55, AOB90,又 OB10,OA24, AB26, 轮船的速度是每小时 26 海里; sinBAO, BAO2237, GAOAOF35, GAB1223, 轮船抢险的航向是北偏东 1223, 答:轮船抢险的航向是北偏东 1223,速度是每小时 26 海里 21解: (1)原式+982; (2)在 RtABC 中,C9
16、0, tanA, A60 22解: (1)sinB, , 设 AB5k,AC3k,则 BC4k, ABC 的周长为 24, 3k+4k+5k24, 12k24, k2, AB10,AC6,BC8; (2)过点 D 作 DEAB,垂足为 E, AD 为中线, SABDSABC24, 10DE12, DE, 在 RtACD 中,AD2CD2+AC2, AD2, sinBAD 23解: (1)AB 垂直于桥面, AMCBMC90, 在 RtAMC 中,CM60,ACM30, tanACM, AMCMtanACM6020(米) , 答:大桥主架在桥面以上的高度 AM 为 20米; (2)在 RtBMC
17、 中,CM60,BCM14, tanBCM, MBCMtanBCM600.2515(米) , ABAM+MB15+2050(米) 答:大桥主架在水面以上的高度 AB 约为 50 米 24解: (1)b02p, 在 RtBB1B2中,b1P, 同理:b2p,b3 (2)同(1)得:b4()3p, bn()n 1p(n 是正整数) 25解: (1)在锐角三角形中,若已知三个元素 a、b、B,运用上述结论和有关定 理就可以求出其余三个未知元素 c、A、C,请你按照下列步骤填空,完成求解过程: 第一步:由条件 a、b、BA; 第二步:由条件A、BA+B+C180C; 第三步:由条件 b,B,Cc (2)如图,已知:A60,C75,a6, 运用上述结论试求 b, A60,C75, B180AC 1806075 45, a6,根据上述结论有:, 即, b2