1、2019-2020 学年浙江省宁波市余姚市九年级（上）期末数学试卷学年浙江省宁波市余姚市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 48 分）分） 1 （4 分）若，则的值为（ ） A B C D 2 （4 分）下列事件属于必然事件的是（ ） A足球比赛中梅西罚进点球 B小强在校运会上 100 米比赛的成绩为 5 秒 C今年宁波的冬天不下雪 D实心的铁球会在水中下沉 3 （4 分）抛物线 y2x2+4 的顶点坐标是（ ） A （0，4） B （2，4） C （2，2） D （0，2） 4 （4 分）若一个三角形的三边长分别为 3，4，5，则这个三角形的外接
2、圆的半径是（ ） A1 B2.4 C2.5 D5 5 （4 分）如果一个扇形的半径是 2，弧长是，则此扇形的圆心角的度数为（ ） A30 B45 C60 D90 6 （4 分）已知点 A（2，y1） ，B（1，y2）在二次函数 yx2+2xm 的图象上，则下列有关 y1和 y2的大小 关系的结论中正确的是（ ） Ay1y2 By1y2 Cy1y2 D与 m 的值有关 7 （4 分）如图，等边ABC 内接于O，点 D 在上，CAD15，则ACD 的度数为（ ） A30 B35 C40 D45 8 （4 分）抛物线 yax2+bx+c 经过 4 个点 A（m，n） ，B（m+6，n） ，C（4，2
3、） ，D（0，2） ，则 m 的值 为（ ） A5 B1 C3 D不能确定 9 （4 分）在锐角等腰ABC 中，ABAC，sinA，则 cosC 的值是（ ） A B2 C D 10 （4 分）如图，ABC 的中线 AD，BE 相交于点 F，过点 E 作 EGAD 交 BC 于点 G，则 EG：AF 的值 是（ ） A B C D 11 （4 分）如图，已知O 的半径为 1，按如下步骤作图： 以O 上的点 A 为圆心，1 为半径画弧交O 于点 B； 依次在O 上取点 C 和 D，使得； 分别以点 A 和 D 为圆心，AC 长为半径画弧交于点 E； 以点 A 为圆心，OE 长为半径画弧交O 于点
4、 F 则以下说法不正确的是（ ） A B CACF45 DBEO30 12 （4 分）如图，矩形 ABCD 被分成 5 个正方形和 2 个小矩形后形成一个中心对称图形，如果矩形 BEFG 矩形 ABCD，那么的值为（ ） A B C D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 13 （4 分）正六边形的每个内角的度数是 度 14 （4 分）比较 sin80与 tan46的大小，其中值较大的是 15 （4 分）有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字 1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后， 从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为 16 （4 分）将
5、二次函数 y5（x1）2+3 的图象向左平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度后得到 的二次函数表达式为 17 （4 分）如图，在ABC 中，ABAC，ABC30，点 P 在ABC 内，连结 PA，PB，PC，若1 23，且 PA1，则 PB 的长是 18 （4 分）如图，O 的直径 AB 长为 12，点 E 是半径 OA 的中点，过点 E 作 CDAB 交O 于点 C，D， 点 P 在上运动，点 Q 在线段 CP 上，且 PQ2CQ，则 EQ 的最大值是 三、解答题（第三、解答题（第 19 题题 6 分，第分，第 20、21 题各题各 8 分，第分，第 22、23、24 题各题各
6、10 分，第分，第 25 题题 12 分，第分，第 26 题题 14 分，共分，共 78 分）分） 19 （6 分）计算：3tan30+cos2302sin60 20 （8 分）一个不透明的袋子中装有 2 个红球和 2 个白球，这些球除颜色外其余都相同，先从袋中摸出 1 个球后不放回，再摸出一个球 （1）请用树状图或列表法列举出两次摸球可能出现的各种结果 （2）求两次摸到不同颜色的球的概率 21 （8 分）如图，学校旗杆的下方有一块圆形草坪，草坪的外面围着“圆环”水池，草坪和水池的外边缘 是两个同心圆，旗杆在圆心 O 的位置且与地面垂直 （1）若草坪的面积与圆环水池的面积之比为 1：4，求两个
7、同心圆的半径之比 （2）如图，若水池外面通往草坪有一座 10 米长的小桥 BC，小桥所在的直线经过圆心 O，上午 8：00 时太阳光线与地面成 30角， 旗杆顶端的影子恰好落在水池的外缘； 上午 9： 00 时太阳光线与地面成 45 角，旗杆顶端的影子恰好落在草坪的外缘，求旗杆的高 OA 长 22 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+2ax3（a0）交 x 轴于点 A，B（点 A 在点 B 的左侧） ，交 y 轴于点 C，顶点为 D （1）求抛物线的对称轴和点 C 的坐标 （2）若 AB4，求抛物线图象位于直线 BD 上方部分的自变量 x 的取值范围 23 （10 分）如图
8、 1，ABC 内接于O，点 D 是的中点，且与点 C 位于 AB 的异侧，CD 交 AB 于点 E （1）求证：ADECDA （2）如图 2，若O 的直径 AB4，CE2，求 AD 和 CD 的长 24 （10 分）小颖家经营着一家水果店，在杨梅旺销季节，她的父母经常去果园采购杨梅用于销售果园的 杨梅价格如下：购买数量不超过 20 筐，每筐进价 20 元；购买数量超过 20 筐，每筐进价 18 元小颖在 观察水果店一段时间的销售情况后发现，当杨梅的售价为每筐 30 元时，每天可销售 30 筐；每筐售价提 高 1 元，每天销量减少 1 筐；每筐售价降低 1 元，每天销量增加 1 筐若每天购进的杨
9、梅能全部售出， 且售价不低于进价，从果园进货的运费为每天 100 元 （1）设售价为每筐 x 元，则每天可售出 筐 （2）当每筐杨梅的售价定为多少元时，杨梅的日销售利润最大？最大日利润是多少元？ 25 （12 分）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点 连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点” 如图 1，ABC 中，点 D 是 BC 边上一点，连结 AD， 若 AD2BDCD，则称点 D 是ABC 中 BC 边上的“好点” （1）如图 2，ABC 的顶点是 43 网格图的格点，请仅用直尺画出 AB 边上的一个“好点” （2）ABC 中，BC9，t
10、anB，tanC，点 D 是 BC 边上的“好点” ，求线段 BD 的长 （3）如图 3，ABC 是O 的内接三角形，OHAB 于点 H，连结 CH 并延长交O 于点 D 求证：点 H 是BCD 中 CD 边上的“好点” 若O 的半径为 9，ABD90，OH6，请直接写出的值 26 （14 分）如图 1，在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为 A（8，0）和 B（0，6） ，点 P 为 x 轴负 半轴上的一个动点，画ABP 的外接圆，圆心为 M，连结 BM 并延长交圆于点 C，连结 CP （1）求证：OBPABC （2）当M 的直径为 14 时，求点 P 的坐标 （3）如图 2，连结 O
11、C，求 OC 的最小值和 OC 达到最小值时ABP 的外接圆圆心 M 的坐 标 2019-2020 学年浙江省宁波市余姚市九年级（上）期末数学试卷学年浙江省宁波市余姚市九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 48 分）分） 1 （4 分）若，则的值为（ ） A B C D 【分析】根据已知条件求出 b3a，再代入要求的式子进行计算即可 【解答】解：， b3a， ； 故选：B 【点评】此题考查了比例的性质，熟记两內项之积等于两外项之积是解题的关键 2 （4 分）下列事件属于必然事件的是（ ） A足球比赛中梅西罚进点球
12、 B小强在校运会上 100 米比赛的成绩为 5 秒 C今年宁波的冬天不下雪 D实心的铁球会在水中下沉 【分析】必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可判断 【解答】解：A、足球比赛中梅西罚进点球，是随机事件，选项不合题意； B、小强在校运会上 100 米比赛的成绩为 5 秒，属于不可能事件，选项不合题意； C、今年宁波的冬天不下雪，是随机事件，选项不合题意； D、实心的铁球会在水中下沉，属于必然事件，选项符合题意； 故选：D 【点评】 本题考查了必然事件的定义， 解决本题需要正确理解必然事件、 不可能事件、 随机事件的概念 必 然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定
13、不发生的事件 3 （4 分）抛物线 y2x2+4 的顶点坐标是（ ） A （0，4） B （2，4） C （2，2） D （0，2） 【分析】根据抛物线的解析式，可以直接写出顶点坐标，本题得以解决 【解答】解：抛物线 y2x2+4， 该抛物线的顶点坐标为（0，4） ， 故选：A 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答 4 （4 分）若一个三角形的三边长分别为 3，4，5，则这个三角形的外接圆的半径是（ ） A1 B2.4 C2.5 D5 【分析】根据勾股定理的逆定理，可以判断这个三角形是直角三角形，斜边就是外接圆的直径，由此即 可解决问题 【解答】解：
14、三角形的三边长分别为 3，4，5， 又32+4252， 这个三角形是直角三角形， 这个三角形的外接圆的直径的长就是斜边的长为 5， 此三角形的外接圆半径是 2.5 故选：C 【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、勾股定理等逆定理等知识，解题的关键是记住直角三角形的 外心就是斜边中点，属于中考常考题型 5 （4 分）如果一个扇形的半径是 2，弧长是，则此扇形的圆心角的度数为（ ） A30 B45 C60 D90 【分析】根据 l，结合题意可得出扇形圆心角的度数 【解答】解：扇形的弧长为，半径为 2， ， 解得：n45 故选：B 【点评】此题考查了弧长的计算，属于基础题，解答本题的关键是掌握弧长的
15、公式，及公式中所含字母 代表的含义 6 （4 分）已知点 A（2，y1） ，B（1，y2）在二次函数 yx2+2xm 的图象上，则下列有关 y1和 y2的大小 关系的结论中正确的是（ ） Ay1y2 By1y2 Cy1y2 D与 m 的值有关 【分析】将 A 和 B 分别代入二次函数 yx2+2xm（x+1）21m 中求出 y1和 y2的值，然后比较大 小 【解答】解：yx2+2xm（x+1）21m， 点 A（2，y1）是二次函数 y（x+1）21m 图象上的点， y1（2+1）21m11mm； 点 B（1，y2）是二次函数 y（x+1）21m 图象上的点， y2（1+1）21m41m3m y
16、1y2 故选：B 【点评】主要考查二次函数图象上的点的坐标特征解题的关键明确二次函数图象上点的坐标特征：二 次函数图象上点的坐标满足其解析式 7 （4 分）如图，等边ABC 内接于O，点 D 在上，CAD15，则ACD 的度数为（ ） A30 B35 C40 D45 【分析】根据等边三角形的性质和圆周角定理即可得到结论 【解答】解：连接 CD， ABC 是等边三角形， B60， D120， CAD15， ACD1801512045， 故选：D 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等边三角形的性质，掌握的识别图形是解题 的关键 8 （4 分）抛物线 yax2+bx+c 经过 4
17、个点 A（m，n） ，B（m+6，n） ，C（4，2） ，D（0，2） ，则 m 的值 为（ ） A5 B1 C3 D不能确定 【分析】根据题意和二次函数的性质可以得到，从而可以得到 m 的值，本题得以解决 【解答】解：抛物线 yax2+bx+c 经过 4 个点 A（m，n） ，B（m+6，n） ，C（4，2） ，D（0，2） ， ， 解得，m5， 故选：A 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解 答 9 （4 分）在锐角等腰ABC 中，ABAC，sinA，则 cosC 的值是（ ） A B2 C D 【分析】如图，过 B 作 BDAC 于
18、D，设 BD4k，AB5k，根据勾股定理得到 AD3k， BC2k，根据三角函数的定义即可得到结论 【解答】解：如图，过 B 作 BDAC 于 D， sinA， 设 BD4k，AB5k， AD3k， ABAC5k， CD2k， BC2k， cosC， 故选：D 【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握解直角三角形是解题的关键 10 （4 分）如图，ABC 的中线 AD，BE 相交于点 F，过点 E 作 EGAD 交 BC 于点 G，则 EG：AF 的值 是（ ） A B C D 【分析】根据 F 为重心得出 AEEC，BDCD，2，求出 AFAD，EGAD，代入求出 即可 【
19、解答】解：ABC 的中线 AD，BE 相交于点 F， AEEC，BDCD，2， 即 AFAD， DEAD，AECE， DGCG， EGAD， ， 故选：C 【点评】本题考查了三角形的重心，三角形的中位线定理，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合 运用知识点进行推理是解此题的关键 11 （4 分）如图，已知O 的半径为 1，按如下步骤作图： 以O 上的点 A 为圆心，1 为半径画弧交O 于点 B； 依次在O 上取点 C 和 D，使得； 分别以点 A 和 D 为圆心，AC 长为半径画弧交于点 E； 以点 A 为圆心，OE 长为半径画弧交O 于点 F 则以下说法不正确的是（ ） A B CACF4
20、5 DBEO30 【分析】以O 上的点 A 为圆心，1 为半径画弧交O 于点 B； 依次在O 上取点 C 和 D，使得； 分别以点 A 和 D 为圆心，AC 长为半径画弧交于点 E； 以点 A 为圆心，OE 长为半径画弧交O 于点 F 根据作图过程即可得说法不正确的是BEO30 【解答】解：如图所示， 以O 上的点 A 为圆心，1 为半径画弧交O 于点 B； 依次在O 上取点 C 和 D，使得； 点 A、B、C、D 为圆的六等分点， 分别以点 A 和 D 为圆心，AC 长为半径画弧交于点 E； ACAE， 以点 A 为圆心，OE 长为半径画弧交O 于点 F AFOE， OAOF1 AOF90，
21、 ACF45 说法不正确的是 D 故选：D 【点评】本题考查了作图复杂作图、圆心角、弧、弦的关系、点与圆的位置关系，解决本题的关键是 理解作图步骤 12 （4 分）如图，矩形 ABCD 被分成 5 个正方形和 2 个小矩形后形成一个中心对称图形，如果矩形 BEFG 矩形 ABCD，那么的值为（ ） A B C D 【分析】设小正方形的边长为 a，大正方形的边长为 b，则 AGb，BGb+a，BE2ba，CE2b，利 用相似的性质得到，即，则 ba，所以 BGa，AD5a，然后根据相似的 性质求的值 【解答】 解： 设小正方形的边长为 a， 大正方形的边长为 b， 则 AGb，BGb+a，BE2
22、ba， CE2b， AB2b+a，BC2b+2ba4ba， 矩形 BEFG矩形 ABCD， ，即， ba， BGb+aa，AD4ba5a， 矩形 BEFG矩形 ABCD， （）2（）2 故选：C 【点评】 本题考查了相似图形： 把形状相同的图形称为相似图形 相似图形面积的比等于相似比的平方 也 考查了中心对称图形 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 13 （4 分）正六边形的每个内角的度数是 120 度 【分析】利用多边形的内角和为（n2） 180求出正六边形的内角和，再结合其边数即可求解 【解答】解：根据多边形的内角和定理可得： 正六边形的每个内角的度数（
23、62）1806120 【点评】本题需仔细分析题意，利用多边形的内角和公式即可解决问题 14 （4 分）比较 sin80与 tan46的大小，其中值较大的是 tan46 【分析】由 sin80sin901 及 tan46tan451 求解可得 【解答】解：sin 随 的增大而增大，且 sin80sin90， sin801， tan 随 的增大而增大，且 tan46tan45， tan461， 则 tan46sin80， 故答案为：tan46 【点评】本题主要考查锐角三角函数的增减性，解题的关键是掌握正弦函数和正切函数的增减性 15 （4 分）有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字 1，2，3
24、，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后， 从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为 【分析】让正面的数字是偶数的情况数除以总情况数 5 即为所求的概率 【解答】解：从写有数字 1，2，3，4，5 这 5 张纸牌中抽取一张，其中正面数字是偶数的有 2、4 这 2 种结果， 正面的数字是偶数的概率为， 故答案为： 【点评】此题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率等于 所求情况数与总情况数之比 16 （4 分）将二次函数 y5（x1）2+3 的图象向左平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度后得到 的二次函数表达式为 y5（x+1）2+2 【分析】直接根
25、据“上加下减，左加右减”的原则进行解答 【解答】解：将二次函数 y5（x1）2+3 的图象向左平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度后 得到的二次函数表达式为：y5（x1+2）2+31，即 y5（x+1）2+2 故答案为：y5（x+1）2+2 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键 17 （4 分）如图，在ABC 中，ABAC，ABC30，点 P 在ABC 内，连结 PA，PB，PC，若1 23，且 PA1，则 PB 的长是 3 【分析】由已知可证APCCPB，又由在等腰ABC 中，即可求 PB 【解答】解：ABAC， ABCACB30，
26、 123， PBCACP， APCCPB， ， 在等腰ABC 中， AP1， PC， PB3， 故答案为 3 【点评】本题考查等腰三角形的性质；利用三角形的相似，结合等腰三角形，30的直角三角形的相关 知识解题是关键 18 （4 分）如图，O 的直径 AB 长为 12，点 E 是半径 OA 的中点，过点 E 作 CDAB 交O 于点 C，D， 点 P 在上运动，点 Q 在线段 CP 上，且 PQ2CQ，则 EQ 的最大值是 【分析】延长 CD 到 F，使得 DFDE，连接 OF，PF，OP，OD首先证明 EQPF，解直角三角形 求出 OF，求出 PF 的最大值即可解决问题 【解答】解：延长 C
27、D 到 F，使得 DFDE，连接 OF，PF，OP，OD ABCD， CEDE， DEDF， EF2CE， PQ2CQ， ， ECQFCP， ECQFCP， ， EQPF， AEOE3，OD6，OED90， DE3， 在 RtOED 中，EF2DE6，OE3， OF3， PFOP+OF， PF6+3， PF 的最大值为 3+6， EQ 的最大值为+2 故答案为：+2 【点评】本题考查垂径定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转 化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题 三、解答题（第三、解答题（第 19 题题 6 分，第分，第 20、21 题各题各 8 分，第分
28、，第 22、23、24 题各题各 10 分，第分，第 25 题题 12 分，第分，第 26 题题 14 分，共分，共 78 分）分） 19 （6 分）计算：3tan30+cos2302sin60 【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案 【解答】解：原式 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键 20 （8 分）一个不透明的袋子中装有 2 个红球和 2 个白球，这些球除颜色外其余都相同，先从袋中摸出 1 个球后不放回，再摸出一个球 （1）请用树状图或列表法列举出两次摸球可能出现的各种结果 （2）求两次摸到不同颜色的球的概率 【分析】 （1）首先根据题意画出
29、树状图，得出所有等可能的结果数即可； （2）先找出两次摸到不同颜色的球的情况数，再利用概率公式即可求得答案 【解答】解： （1）画树状图如下：画树状图得： 由图可知，共有 12 种等可能的结果； （2）共有 12 种等可能的结果，其中两次摸到不同颜色的球有 8 种， 两次摸到不同颜色的球的概率是 【点评】本题考查了利用列表法与树状图法求概率的方法：先利用列表或树形图展示所有等可能的结果 数 n，再找出其中某事件可能发生的结果数 m，然后根据概率的概念计算得到这个事件的概率 P（A） 21 （8 分）如图，学校旗杆的下方有一块圆形草坪，草坪的外面围着“圆环”水池，草坪和水池的外边缘 是两个同心圆
30、，旗杆在圆心 O 的位置且与地面垂直 （1）若草坪的面积与圆环水池的面积之比为 1：4，求两个同心圆的半径之比 （2）如图，若水池外面通往草坪有一座 10 米长的小桥 BC，小桥所在的直线经过圆心 O，上午 8：00 时太阳光线与地面成 30角， 旗杆顶端的影子恰好落在水池的外缘； 上午 9： 00 时太阳光线与地面成 45 角，旗杆顶端的影子恰好落在草坪的外缘，求旗杆的高 OA 长 【分析】 （1）根据圆的面积公式即可得到结论； （2）解直角三角形即可得到结论 【解答】解： （1）由题意得， ， 即两个同心圆的半径之比为； （2）设 OAx，由ABO45，ACO30知， ， OCOBBC10
31、， ， 解得 旗杆的高 OA 长为米 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键 22 （10 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+2ax3（a0）交 x 轴于点 A，B（点 A 在点 B 的左侧） ，交 y 轴于点 C，顶点为 D （1）求抛物线的对称轴和点 C 的坐标 （2）若 AB4，求抛物线图象位于直线 BD 上方部分的自变量 x 的取值范围 【分析】 （1）根据题目中的抛物线解析式，可以求得抛物线的对称轴和点 C 的坐标； （2）根据（1）中的对称轴和 AB4，可以得到点 A 和点 B 的坐标，点 D 的横坐标，然后根据函数图象 即可得到抛物线图象位
32、于直线 BD 上方部分的自变量 x 的取值范围 【解答】解： （1）抛物线 yax2+2ax3a（x+1）2a3， 该抛物线的对称轴是直线 x1，当 x0 时，y3， 即抛物线的对称轴是直线 x1，点 C 的坐标是（0，3） ； （2）由（1）得抛物线的对称轴为直线 x1， AB4， A（3，0） ，B（1，0） ， 抛物线图象位于直线 BD 上方部分的自变量 x 的取值范围是 x1 或 x1 【点评】本题考查抛物线与 x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的 关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答 23 （10 分）如图 1，ABC 内接于O，点
33、D 是的中点，且与点 C 位于 AB 的异侧，CD 交 AB 于点 E （1）求证：ADECDA （2）如图 2，若O 的直径 AB4，CE2，求 AD 和 CD 的长 【分析】 （1）点 D 是的中点，所以ACDBAD，从而可证ADECDA （2）连结 BD，先证明ADB90，由（1）得ADECDA，列出方程即 可求出 CD 的长度 【解答】解： （1）点 D 是的中点， ACDBAD， ADECDA ADECDA （2）连结 BD， 点 D 是的中点， ADBD AB 是O 的直径， ADB90， ADB 为等腰直角三角形， ， 由（1）得ADECDA， ，即 AD2CDED， ， CD2
34、2CD480，解得 CD8 或6 CD8 【点评】本题考查圆的综合问题，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定以及圆的相关性质， 本题属于中等题型 24 （10 分）小颖家经营着一家水果店，在杨梅旺销季节，她的父母经常去果园采购杨梅用于销售果园的 杨梅价格如下：购买数量不超过 20 筐，每筐进价 20 元；购买数量超过 20 筐，每筐进价 18 元小颖在 观察水果店一段时间的销售情况后发现，当杨梅的售价为每筐 30 元时，每天可销售 30 筐；每筐售价提 高 1 元，每天销量减少 1 筐；每筐售价降低 1 元，每天销量增加 1 筐若每天购进的杨梅能全部售出， 且售价不低于进价，从果园进货的
35、运费为每天 100 元 （1）设售价为每筐 x 元，则每天可售出 （60 x） 筐 （2）当每筐杨梅的售价定为多少元时，杨梅的日销售利润最大？最大日利润是多少元？ 【分析】 （1）用原有销量减去下降销量或加上增加销量即可； （2）根据题意列出二次函数求得最值即可 【解答】解： （1）根据题意得：每天可售出 30（x30）60 x或 30+（30 x）60 x， 故答案为： （60 x） （2）设每筐杨梅的售价为 x 元，每天的杨梅销售利润为 y， 当 60 x20，即 x40 时，y（x20） （60 x）100 x2+80 x1300（x40）2+300 此时售价为 40 元，最大利润为 3
36、00 元； 当 60 x20，即 x40 时 y（x18） （60 x）100 x2+78x1060（x39）2+341 此时售价为 39 元，最大利润为 341 元； 341300 当每筐杨梅的售价定为 39 元时， 每天的杨梅销售利润最大，最大利润为 341 元 【点评】本题综合性较强，考查了营销问题中的利润问题，用利润的基本等量关系列函数式，并求最大 值； 25 （12 分）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点 连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点” 如图 1，ABC 中，点 D 是 BC 边上一点，连结 AD， 若 AD2BDCD，则
37、称点 D 是ABC 中 BC 边上的“好点” （1）如图 2，ABC 的顶点是 43 网格图的格点，请仅用直尺画出 AB 边上的一个“好点” （2）ABC 中，BC9，tanB，tanC，点 D 是 BC 边上的“好点” ，求线段 BD 的长 （3）如图 3，ABC 是O 的内接三角形，OHAB 于点 H，连结 CH 并延长交O 于点 D 求证：点 H 是BCD 中 CD 边上的“好点” 若O 的半径为 9，ABD90，OH6，请直接写出的值 【分析】 （1）根据题意知，CD2ADBD，据此作图； （2）作 AEBC 于点 E，由，可利用方程求得 BE3，CE6，AE4，设 DEa， 需要分两
38、种情况解答：点 D 在点 E 左侧；点 D 在点 E 右侧，根据三角形该边的“好点”的定义得 到：AD2BDCD，将相关线段的长度代入，列出方程，通过解方程求得答案； （3）首先证得AHCDHB，则该相似三角形的对应边成比例：，即 AHBHCHDH， 然后利用等量代换推知 BH2CHDH，即点 H 是BCD 中 CD 边上的“好点” 理由：如答图 4，连接 AD，BD根据圆周角定理推知 AD 是直径，故 AD18然后由已 知条件推知：OH 是ABD 的中位线，则 BD2OH12在直角ABD 和直角BDH 中，由勾股定理 求得线段 AB 和 DH 的长度，由知，BH2CHDH，代入求得 CH；将
39、 CH、DH 的长度代入 所求的式子求值即可 【解答】解： （1）如答图 1，当 CDAB 或点 D 是 AB 的中点是，CD2ADBD； （2）作 AEBC 于点 E，由，可设 AE4x， 则 BE3x，CE6x， BC9x9，x1， BE3，CE6，AE4， 设 DEa， 如答图 2，若点 D 在点 E 左侧， 由点 D 是 BC 边上的“好点”知，AD2BDCD， a2+42（3a） （6+a） ，即 2a2+3a20， 解得，a22（舍去） ， 如答图 3，若点 D 在点 E 右侧， 由点 D 是 BC 边上的“好点”知，AD2BDCD， a2+42（3+a） （6a） ，即 2a23
40、a20， 解得 a12，（舍去） BD3+a3+25 或 5 （5）如答图 4，连接 AD，BD， CHABHD，ACHDBH AHCDHB， ，即 AHBHCHDH， OHAB， AHBH， BH2CHDH 点 H 是BCD 中 CD 边上的“好点” 理由如下：如答图 4， ABD90， AD 是直径， AD18 又OHAB， OHBD 点 O 是线段 AD 的中点， OH 是ABD 的中位线， BD2OH12 在直角ABD 中，由勾股定理知：AB6 由垂径定理得到：BHAB3 在直角BDH 中，由勾股定理知：DH3 又由知，BH2CHDH，即 453CH，则 CH ，即 【点评】考查了圆的
41、综合题，涉及到的知识点由垂径定理，圆周角定理，勾股定理以及三角形中位线定 理，难点是掌握三角形某边的“好点”的定义，只要掌握了该定义，此题迎刃而解，难度不是很大 26 （14 分）如图 1，在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为 A（8，0）和 B（0，6） ，点 P 为 x 轴负 半轴上的一个动点，画ABP 的外接圆，圆心为 M，连结 BM 并延长交圆于点 C，连结 CP （1）求证：OBPABC （2）当M 的直径为 14 时，求点 P 的坐标 （3）如图 2，连结 OC，求 OC 的最小值和 OC 达到最小值时ABP 的外接圆圆心 M 的坐 标 【分析】 （1）如图 1，连结 AC
42、，由圆周角定理得到：BACBOP90，ACBAPB，所以等 角的余角相等：OBPABC （2）根据勾股定理求得 AB10，AC4；由“两角法”证得OBPABC，则该相似三角形的对 应边成比例 （） ， 由此求得线段OP的长度， 结合平面直角坐标系得到点P 的坐标为； （3）如图 2，记直线 AC 与 y 轴的交点为 E，由题意知OAEOBA90BAO，当 OC 最小时， OCAE，此时，通过解直角三角形求得线段 OC 的长度；易得点 C 的坐标为根据中点坐 标的求法得到点 M 的坐标即可 【解答】解： （1）如图 1，连结 AC， BC 为M 的直径， BACBOP90， ACBAPB， OB
43、P+APBABC+ACB90， OBPABC （2）BAC90，A（8，0） ，B（6，0） OB6，OA8， AB10 BOPBAC，OBPABC， OBPABC， ， ， 点 P 的坐标为； （3）如图 2，记直线 AC 与 y 轴的交点为 E， ACAB，则OAEOBA90BAO， 当 OC 最小时，OCAE， 此时，OCOAsinOAEOAsinOBA 求得点 C 的坐标为 又点 M 为 BC 的中点 ， 点 M 的坐标为 【点评】此题属于圆的综合题，涉及了圆周角定理，相似三角形的判定与性质、三角函数值的知识，综 合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识 贯穿起来
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