1、2019-2020 学年浙江省杭州市萧山区九年级（上）期末数学试卷学年浙江省杭州市萧山区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题有一、选择题：本题有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的求的. 1 （3 分）sin60的值为（ ） A B C D 2 （3 分）已知一个不透明的袋子里有 2 个白球，3 个黑球，1 个红球现从中任意取出一个球， （ ） A恰好是白球是必然事件 B恰好是黑球是不确定事件 C恰好是红球是不可能事件 D摸到白球、黑球、红球的可能性一样大 3 （
2、3 分）香港特别行政区的区徽中间紫金花图案如图所示，则至少需要旋转（ ）和原图案重合 A72 B60 C36 D18 4 （3 分）如图，ABCDEF若，则下列结论不正确的是（ ） A B C D 5 （3 分）二次函数 y（x1）2+1 的图象不经过第（ ）象限 A一 B二 C三 D四 6 （3 分）如图，ACBBDC90要使ABCBCD，给出下列需要添加的条件：ABCD； BC2ACCD；，其中正确的是（ ） A B C D 7 （3 分）如图，在ABC 中，以 BC 为直径的半圆 O，分别交 AB，AC 于点 D，E，连接 OD，OE若A ，则DOE 的度数为（ ） A1802 B180
3、 C90 D2 8 （3 分） 如图， 在ABC 中， ACBC， ACBRt， 点 E 是ABC 重心， 连结 CE 并延长交 AB 于点 D； 连结 AE 并延长交 BC 于点 P，过点 P 作 PFAP 交 AB 于点 F若ACE 的面积为 8，则BPF 的面积 为（ ） A4 B2 C1 D 9 （3 分）已知点（x1，y1） ， （x2，y2）是某函数图象上的相异两点，给出下列函数：yx24x+2（x1） ； y2x24x+5（x0） ；y12x，则一定能使成立的是（ ） A B C D 10 （3 分）如图，在O 中，直径 CD 垂直弦 AB 于点 E，且 OEDE点 P 为上一点
4、（点 P 不与点 B， C 重合） ，连结 AP，BP，CP，AC，BC过点 C 作 CFBP 于点 F给出下列结论：ABC 是等边三 角形；在点 P 从 BC 的运动过程中，的值始终等于则下列说法正确的是（ ） A，都对 B对，错 C错，对 D，都错 二、填空题：本题有二、填空题：本题有 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分. 11 （4 分）实数 4 和 9 的比例中项为 12 （4 分）一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的论证，下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据： 实验者 德摩根 蒲丰 费勒 皮尔逊 罗曼诺夫斯基 掷币次数 6140 4040 10000 3
5、6000 80640 出现“正面朝上”的次数 3109 2048 4979 18031 39699 频率 0.506 0.507 0.498 0.501 0.492 请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为 （精确到 0.01） 13 （4 分）如图，在ABC 中，点 D 是 AB 上一点，ACDB已知 AD2，BD1，则 AC 14 （4 分）四边形具有不稳定性如图，将面积为 5 的矩形“推”成面积为 4 的平行四边形，则 cos 的值 为 15 （4 分）如图，O 经过矩形 ABCD 的顶点 C，且与 AD，BC 相交于点 E，F，H，AD，BC 在圆心 O 同 侧已知 AEEF4
6、，BH3 （1）CH 的长为 （2）若O 的半径长为，则 AB 16 （4 分）对于一个函数，自变量 x 取 a 时，函数值 y 也等于 a，则称 a 是这个函数的不动点 已知二次函数 yx2+2x+m （1）若 3 是此函数的不动点，则 m 的值为 （2）若此函数有两个相异的不动点 a，b，且 a1b，则 m 的取值范围为 三、解答题：本题有三、解答题：本题有 7 个小题，共个小题，共 66 分分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 17将正面分别写着数字 1，2，3 的三张卡片（注：这三张卡片的形状、大小、质地、颜色等其它方面完 全相同，若背面朝
7、上放在桌面上，这三张卡片看上去无任何差别）洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲从 中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为 m，然后放回洗匀，背面朝上放在桌面上，再由乙从中随机 抽取一张卡片，记该卡片上的数字为 n，组成一数对（m，n） （1）请写出（m，n）所有可能出现的结果； （2）甲、乙两人玩游戏，规则如下：按上述要求，两人各抽一次卡片，卡片上数字之和为奇数则甲赢， 数字之和为偶数则乙赢你认为这个游戏公平吗？请说明理由 18如图，广场上空有一个气球 A，地面上点 B、C 在一条直线上，BC22m在点 B、C 分别测得气球 A 的仰角为 30、63，求气球 A 离地面的高度 （精确到个位） （参考
8、值：sin630.9，cos630.5， tan632.0） 19如图，在O 中，ABAC （1）求证：OA 平分BAC （2）若3：2，试求BAC 的度数 20已知 y 关于 x 的二次函数图象经过点（0，6） ，顶点坐标为（1，8） （1）求此二次函数的表达式 （2）求此函数图象与 x 轴交点坐标，并直接写出当 x 取什么值时，y0？ 21如图，在ABC 中，ABAC，BC4，tanB2点 D 是 AB 的中点 （1）求 AB 长和 sinA 的值 （2）以点 D 为圆心，r 为半径作D如果点 B 在D 内，点 C 在D 外，试求 r 的取值范围 22已知二次函数 yax2+bx+3 （1
9、）若此函数图象与 x 轴只有一个交点，试写出 a 与 b 满足的关系式 （2）若 b2a，点 P1（3，y1） ，P2（1，y2） ，P3（3，y3）是该函数图象上的 3 个点，试比较 y1，y2， y3的大小 （3）若 ba+3，当 x1 时，函数 y 随 x 的增大而增大，求 a 的取值范围 23如图，ABC 中，ABAC，点 P 为 BC 边上一动点（不与 B，C 重合） ，以 AP 为边作APDABC， 与 BC 的平行线 AD 交于点 D，与 AC 交于点 E，连结 CD （1）求证：ABPDAE （2）已知 ABAC5，BC6设 BPx，CEy 求 y 关于 x 的函数表达式及自变
10、量 x 的取值范围； 当 SACD时，求 CE 的值 2019-2020 学年浙江省杭州市萧山区九年级（上）期末数学试卷学年浙江省杭州市萧山区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题有一、选择题：本题有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的求的. 1 （3 分）sin60的值为（ ） A B C D 【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案 【解答】解：sin60， 故选：D 【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是
11、解题关键 2 （3 分）已知一个不透明的袋子里有 2 个白球，3 个黑球，1 个红球现从中任意取出一个球， （ ） A恰好是白球是必然事件 B恰好是黑球是不确定事件 C恰好是红球是不可能事件 D摸到白球、黑球、红球的可能性一样大 【分析】根据得到各种球的可能性判断相应事件即可 【解答】解：A、恰好是白球是随机事件，错误，不符合题意； B、恰好是黑球是不确定事件，正确，符合题意； C、恰好是红球是随机事件，错误，不符合题意； D、摸到白球、黑球、红球的可能性不一样大，不符合题意， 故选：B 【点评】本题考查的是可能性的大小，熟记随机事件的概率公式是解答此题的关键 3 （3 分）香港特别行政区的区
12、徽中间紫金花图案如图所示，则至少需要旋转（ ）和原图案重合 A72 B60 C36 D18 【分析】根据旋转的性质和周角是 360求解即可 【解答】解：观察图形可知，中心角是由五个相同的角组成， 旋转角度是 360572， 这四次旋转中，旋转角度最小是 72， 故选：A 【点评】此题主要考查了旋转对称图形，关键是掌握旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及 每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等注意结合图形解题的思想 4 （3 分）如图，ABCDEF若，则下列结论不正确的是（ ） A B C D 【分析】利用平行线分线段成比例定理即可解决问题 【解答】解：EFCDAB， ， ， 故选
13、项 A，B，D 正确， 故选：C 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 5 （3 分）二次函数 y（x1）2+1 的图象不经过第（ ）象限 A一 B二 C三 D四 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的顶点坐标，与 x 轴的交点，从 而可以判断该函数的图象不经过哪个象限，本题得以解决 【解答】解：二次函数 y（x1）2+1x2+2x， 该函数图象开口向下，顶点坐标为（1，1） ，与 x 轴的交点为（0，0） ， （2，0） ， 该函数的图象不经过第二象限， 故选：B 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐
14、标特征，解答本题的关键是明确题意，利用 二次函数的性质解答 6 （3 分）如图，ACBBDC90要使ABCBCD，给出下列需要添加的条件：ABCD； BC2ACCD；，其中正确的是（ ） A B C D 【分析】利用相似三角形的判定依次判断即可求解 【解答】解：若 ABCD， ABCBCD，且ACBBDC90， ABCBCD，故符合题意； 若 BC2ACCD， ，且ACBBDC90， 无法判定ABCBCD，故不符合题意； 若，且ACBBDC90， ABCBCD，故符合题意； 故选：B 【点评】本题考查了相似三角形的判定，灵活掌握相似三角形的判定方法是本题的关键 7 （3 分）如图，在ABC 中
15、，以 BC 为直径的半圆 O，分别交 AB，AC 于点 D，E，连接 OD，OE若A ，则DOE 的度数为（ ） A1802 B180 C90 D2 【分析】连接 CD，如图，根据圆周角定理得到BDC90，利用互余得到ACD90，然后根 据圆周角定理得到DOE2（90） 【解答】解：连接 CD，如图， BC 为直径， BDC90， ACD90A90， DOE2ACD2（90）1802 故选：A 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对 的圆心角的一半推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径 8 （3 分） 如图， 在A
16、BC 中， ACBC， ACBRt， 点 E 是ABC 重心， 连结 CE 并延长交 AB 于点 D； 连结 AE 并延长交 BC 于点 P，过点 P 作 PFAP 交 AB 于点 F若ACE 的面积为 8，则BPF 的面积 为（ ） A4 B2 C1 D 【分析】由点 E 是ABC 重心，得到，求得 SACB2SACP24，根据等腰直角三角形的性质得 到 AB4，由勾股定理得到 AP2，过 P 作 PHAB 于 H，根据射影定理得到 AF ，根据三角形的面积公式即可得到结论 【解答】解：点 E 是ABC 重心， ， ACE 的面积为 8， SACP12， SACB2SACP24， 在ABC
17、中，ACBC，ACB90， ABCDCD224， ADCDBD2， AB4， ACBCAB4， BPCP2， AP2， PFAP， APF90， 过 P 作 PHAB 于 H， PHBHPB， AHABBH3， APF90，PHAB， AP2AHAF， AF， BFABAF， BPF 的面积BFPH2， 故选：B 【点评】本题考查了三角形的重心，等腰直角三角形的性质，勾股定理，射影定理，正确的作出辅助线 是解题的关键 9 （3 分）已知点（x1，y1） ， （x2，y2）是某函数图象上的相异两点，给出下列函数：yx24x+2（x1） ； y2x24x+5（x0） ；y12x，则一定能使成立的是
18、（ ） A B C D 【分析】根据函数的性质即可判断 【解答】解：由yx24x+2（x1）可知抛物线开口向上，对称轴为直线 x2，当 x1 时，无法确 定 y1，y2的大小，则无法确定使一定成立； 由y2x24x+5（x0）可知抛物线开口向下，对称轴为直线 x1，当 x0 时，y 随 x 的增大而 减小， 若 x1x2，则 y1y2， 一定能使成立； 由y12x 可知函数 y 随 x 的增大而减小， 若 x1x2，则 y1y2， 一定能使成立； 故选：C 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数的性 质是解题的关键 10 （3 分）如图，在O 中
19、，直径 CD 垂直弦 AB 于点 E，且 OEDE点 P 为上一点（点 P 不与点 B， C 重合） ，连结 AP，BP，CP，AC，BC过点 C 作 CFBP 于点 F给出下列结论：ABC 是等边三 角形；在点 P 从 BC 的运动过程中，的值始终等于则下列说法正确的是（ ） A，都对 B对，错 C错，对 D，都错 【分析】如图，作 CMAP 于 M，连接 AD首先证明AOD 是等边三角形，推出D60，即可证 明正确利用全等三角形的性质证明 AMBF，PMPF，CFPF 即可判断正确 【解答】解：如图，作 CMAP 于 M，连接 AD AEOD，OEDE， AOAD， OAOD， AOADO
20、D， AOD 是等边三角形， DABC60， CDAB， AEEB， CACB， ABC 是等边三角形，故正确， CPAABC60，APBACB60， CPF180606060， CPMCPF60，CFPF，CMPA， CFCM， PCPC，CFPCMP， RtCPFRtCPM（HL） ， PFPM， ACBC，CMCF，AMCCFB90， RtAMCRtBFC（HL） ， AMBF， APPBPM+AM（BFPF）2PM2PF， ， 在 RtCPF 中，CPF60，CFP90， CFPFtan60PF， PFCF， ，故正确， 故选：A 【点评】本题考查垂径定理，全等三角形的判定和性质，等边
21、三角形的判定和性质，解直角三角形等知 识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题 二、填空题：本题有二、填空题：本题有 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分. 11 （4 分）实数 4 和 9 的比例中项为 6 【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积求解 【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质得：比例中项的平方等于两条线段的乘积 设它们的比例中项是 x，则 x249， 解得 x6 故答案为：6 【点评】本题考查了比例中项的概念：当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项求比例中项根据 比例的基本性质进行计算 12 （4 分）一个猜
22、想是否正确，科学家们要经过反复的论证，下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据： 实验者 德摩根 蒲丰 费勒 皮尔逊 罗曼诺夫斯基 掷币次数 6140 4040 10000 36000 80640 出现“正面朝上”的次数 3109 2048 4979 18031 39699 频率 0.506 0.507 0.498 0.501 0.492 请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为 0.50 （精确到 0.01） 【分析】 观察表格发现随着实验次数的增多， 频率逐渐稳定到某个常数附近， 用这个常数表示概率即可 【解答】解：观察表格发现：随着实验次数的增多，正面向上的频率逐渐稳定到 0.50
23、附近， 故硬币出现“正面朝上”的概率为 0.50， 故答案为：0.50； 【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够仔细观察表格并了解：现随着实验次 数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，可用这个常数表示概率 13 （4 分）如图，在ABC 中，点 D 是 AB 上一点，ACDB已知 AD2，BD1，则 AC 【分析】根据两角对应相等，两三角形相似即可证明ADCACB，根据相似三角形的对应边成比例 得出 AC：ABAD：AC，即 AC2ABAD，将数值代入计算即可求出 AC 的长 【解答】解：在ADC 与ACB 中， ACDB，AA， ADCACB； AC：ABAD：AC， A
24、C2ABAD， AD2，ABAD+BD2+13， AC2326， AC， 故答案为 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是判断ACDABC，注意掌握相似 三角形的对应边成比例 14 （4 分）四边形具有不稳定性如图，将面积为 5 的矩形“推”成面积为 4 的平行四边形，则 cos 的值 为 【分析】根据锐角三角函数解答即可 【解答】解：根据平行四边形的底与原来的正方形的边长相同，由面积为 5 的矩形“推”成面积为 4 的 平行四边形，可得平行四边形的高是正方形边长的， ， 故答案为： 【点评】本题主要考查了锐角三角函数，熟记相关定义是解答本题的关键 15 （4 分）如图，O
25、 经过矩形 ABCD 的顶点 C，且与 AD，BC 相交于点 E，F，H，AD，BC 在圆心 O 同 侧已知 AEEF4，BH3 （1）CH 的长为 6 （2）若O 的半径长为，则 AB 【分析】 （1）过 O 作 OMAD 于 M，交 BC 于 N，根据矩形的性质得出 AMBN，根据垂径定理求出 CH2HN，EM2，求出 BNAM6，求出 HN 即可； （2）根据勾股定理求出 ON 和 OM，求出 MN 即可 【解答】解： （1） 过 O 作 OMAD 于 M，交 BC 于 N， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC，AB90，ADBC， ONBC， 即ABBNM90， 四边形 ABNM 是
26、矩形， ABMN，AMBN， EF4，OMEF，OM 过 O， EMFM2， AE4， AM4+26， 即 OBAM6， BH3， HN633， 由垂径定理得：CH2HN6， 故答案为：6； （2） 连接 OH 和 OE， 在 RtOHN 中，由勾股定理得：ON1， 在 RtOEM 中，由勾股定理得 OM， 即 ABMN1， 故答案为：1 【点评】本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，垂径定理等知识点，能求出各个线段的长是解此题 的关键 16 （4 分）对于一个函数，自变量 x 取 a 时，函数值 y 也等于 a，则称 a 是这个函数的不动点 已知二次函数 yx2+2x+m （1）若 3 是此
27、函数的不动点，则 m 的值为 12 （2）若此函数有两个相异的不动点 a，b，且 a1b，则 m 的取值范围为 m2 【分析】 （1）由函数的不动点概念得出 332+23+m，解得即可； （2） 由函数的不动点概念得出a、 b是方程x2+2x+mx的两个实数根， 由x11x2知0， 令yx2+x+m， 则 x1 时 y0，据此得，解之可得 【解答】解： （1）由题意得 332+23+m， 解得 m12， 故答案为12； （2） 由题意知二次函数 yx2+2x+m 有两个相异的不动点 a， b 是方程 x2+2x+mx 的两个不相等实数根， 且 a1b， 整理，得：x2+x+m0， 由 x2+x
28、+m0 有两个不相等的实数根，且 a1b，知0， 令 yx2+x+m，画出该二次函数的草图如下： 则， 解得 m2， 故答案 m2 【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，并据此得 出关于 m 的不等式 三、解答题：本题有三、解答题：本题有 7 个小题，共个小题，共 66 分分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 17将正面分别写着数字 1，2，3 的三张卡片（注：这三张卡片的形状、大小、质地、颜色等其它方面完 全相同，若背面朝上放在桌面上，这三张卡片看上去无任何差别）洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲从 中随机
29、抽取一张卡片，记该卡片上的数字为 m，然后放回洗匀，背面朝上放在桌面上，再由乙从中随机 抽取一张卡片，记该卡片上的数字为 n，组成一数对（m，n） （1）请写出（m，n）所有可能出现的结果； （2）甲、乙两人玩游戏，规则如下：按上述要求，两人各抽一次卡片，卡片上数字之和为奇数则甲赢， 数字之和为偶数则乙赢你认为这个游戏公平吗？请说明理由 【分析】 （1）利用枚举法解决问题即可 （2）求出数字之和为奇数的概率，数字之和为偶数的概率即可判断 【解答】解： （1） （m，n）所有可能出现的结果： （1，1） ， （1，2） ， （1，3） ， （2，2） ， （2，1） ， （2，3） ， （3，1
30、） ， （3，2） ， （3，3） （2）数字之和为奇数的概率，数字之和为偶数的概率， ， 这个游戏不公平 【点评】本题考查游戏公平性，概率等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 18如图，广场上空有一个气球 A，地面上点 B、C 在一条直线上，BC22m在点 B、C 分别测得气球 A 的仰角为 30、63，求气球 A 离地面的高度 （精确到个位） （参考值：sin630.9，cos630.5， tan632.0） 【分析】作 ADl，设 ADx，RtABD 中求得 BDx，再由 tan632 求 出 x 即可得 【解答】解：如图，过点 A 作 ADl， 设 ADx， 则 BD
31、x， tan632， ADx8+4， 气球 A 离地面的高度约为 18m 【点评】 本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题， 掌握仰角是向上看的视线与水平线的夹角、 俯角是向下看的视线与水平线的夹角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键 19如图，在O 中，ABAC （1）求证：OA 平分BAC （2）若3：2，试求BAC 的度数 【分析】 （1）延长半径 AO 交O 于 D 得到，然后证得即可证得结论； （2） 根据3： 2，得到， 从而利用圆周角定理求得BAC45； 【解答】 （1）证明：延长半径 AO 交O 于 D， ABAC， ， ， BADCAD， OA 平分BAC； （2）解：3
32、：2， BAC45； 【点评】本题考查了弧长的计算及圆周角定理的知识，解题的关键是能够将角的问题转化为角所对的弧 的问题，难度不大 20已知 y 关于 x 的二次函数图象经过点（0，6） ，顶点坐标为（1，8） （1）求此二次函数的表达式 （2）求此函数图象与 x 轴交点坐标，并直接写出当 x 取什么值时，y0？ 【分析】 （1）设顶点式 ya（x+1）28，然后把（0，6）代入求出 a 得到二次函数表达式； （2）先通过解方程 2x2+4x60 得抛物线与 x 轴的交点坐标，然后利用二次函数的图象写出抛物线在 x 轴下方所对应的自变量的范围即可 【解答】解： （1）设二次函数表达式为：ya（
33、x+1）28 把（0，6）代入得：a86，解得 a2， 二次函数表达式为 y2（x+1）28， 即 y2x2+4x6； （2）解方程 2x2+4x60 得 x13，x21， 抛物线与 x 轴的交点坐标为（3，0） ， （1，0） 当 y0 时，x 的取值范围是3x1 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）与 x 轴 的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程也考查了二次函数的性质 21如图，在ABC 中，ABAC，BC4，tanB2点 D 是 AB 的中点 （1）求 AB 长和 sinA 的值 （2）以点 D 为圆心，r 为半
34、径作D如果点 B 在D 内，点 C 在D 外，试求 r 的取值范围 【分析】 （1）过点 A 作 AEBC 于点 E利用等腰三角形的性质解直角三角形即可解决问题 （2）连结 CD，过点 D 作 DFBC 于点 F，显然 DFAE，解直角三角形求出 CD，BD 即可判断 【解答】解： （1）如图，过点 A 作 AEBC 于点 E ABAC，BC4， ， AE4， 又 （2）如图，连结 CD，过点 D 作 DFBC 于点 F，显然 DFAE 点 D 是 AB 中点，即 DF 是中位线 ， CF3 又 r 的取值范围是 【点评】本题考查等腰三角形的性质，点与圆的位置关系，解直角三角形等知识，解题的关
35、键是学会添 加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型 22已知二次函数 yax2+bx+3 （1）若此函数图象与 x 轴只有一个交点，试写出 a 与 b 满足的关系式 （2）若 b2a，点 P1（3，y1） ，P2（1，y2） ，P3（3，y3）是该函数图象上的 3 个点，试比较 y1，y2， y3的大小 （3）若 ba+3，当 x1 时，函数 y 随 x 的增大而增大，求 a 的取值范围 【分析】 （1）根据函数图象与 x 轴只有一个交点得出b212a0，再求出即可； （2）先求出二次函数的对称轴，分为两种情况：当 a0 时，图象开口向上，y2为最小值，当 a 0 时，图象开口
36、向下，y2为最大值，再比较即可； （3）根据 ba+3 得出函数表达式为 yax2+（a+3）x+3（ax+3） （x+1） ，求出函数图象经过定点（ 1，0） ， （0，3） ，再分析求解即可 【解答】解： （1）由条件得，b212a0，即 b212a； （2）当 b2a 时，二次函数图象的对称轴为，即 P2为顶点 当 a0 时，图象开口向上，y2为最小值 |3（1）|3（1）| y1y3 y2y1y3 当 a0 时，图象开口向下，y2为最大值 |3（1）|3（1）|，y1y3 y3y1y2 （3）当 ba+3 时，即函数表达式为 yax2+（a+3）x+3（ax+3） （x+1） 函数图象
37、经过定点（1，0） ， （0，3） 要当 x1 时，函数 y 随 x 的增大而增大 必须满足：图象开口向上，对称轴在直线 x1 的左侧 即 a0， a 的取值范围是 0a3 【点评】 本题考查了抛物线与 x 轴的交点问题， 二次函数图象上点的坐标， 二次函数图象与系数的关系， 二次函数图象与性质等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键 23如图，ABC 中，ABAC，点 P 为 BC 边上一动点（不与 B，C 重合） ，以 AP 为边作APDABC， 与 BC 的平行线 AD 交于点 D，与 AC 交于点 E，连结 CD （1）求证：ABPDAE （2）已知 ABAC5，BC6设 BPx，C
38、Ey 求 y 关于 x 的函数表达式及自变量 x 的取值范围； 当 SACD时，求 CE 的值 【分析】 （1）证明ABPPCE，根据 BCAD，得到PCEDAE，根据相似三角形的传递性证明 结论； （2）根据ABPPCE，得到，代入计算即可； 根据相似三角形的性质得到 AD，根据三角形的面积公式列式计算即可 【解答】 （1）证明：ABAC， ABCACB， APCABC+BAP，APCAPD+EPC，APDABC， BAPEPC， ABPPCE， BCAD， PCEDAE， ABPDAE； （2）解：ABPPCE， ，即， yx2+x（0 x6） ； ABPDAE， ，即， AD， ADBC， ， ， ， ，即 13x2+24x1000， x12，（舍去） 【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性 质定理是解题的关键
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