2019-2020学年浙江省杭州市下城区九年级上期末数学试卷（含答案详解）

1、2019-2020 学年浙江省杭州市下城区九年级（上）期末数学试卷学年浙江省杭州市下城区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：每小题一、选择题：每小题 3 分，共分，共 30 分分 1 （3 分）已知线段 c 为线段 a，b 的比例中项，若 a1，b2，则 c（ ） A1 B C D 2 （3 分）掷一枚质地均匀的硬币 6 次，下列说法正确的是（ ） A必有 3 次正面朝上 B可能有 3 次正面朝上 C至少有 1 次正面朝上 D不可能有 6 次正面朝上 3 （3 分）若二次函数 yax2的图象过点 P（1，2） ，则该图象必经过点（ ） A （1，2） B （1，2） C （2，1） D （2

2、，1） 4 （3 分）如图，点 C 在上，若OAB20，则ACB（ ） A50 B60 C70 D80 5 （3 分）如图，已知扇形 BOD，DEOB 于点 E，若 EDOE2，则阴影部分面积为（ ） A B2 C D 6 （3 分）如图，转盘的红、黄、蓝、紫四个扇形区域的圆心角分别记为 ，自由转动转盘，则 下面说法错误的是（ ） A若 90，则指针落在红色区域的概率大于 0.25 B若 +，则指针落在红色区域的概率大于 0.5 C若 ，则指针落在红色或黄色区域的概率和为 0.5 D若 +180，则指针落在红色或黄色区域的概率和为 0.5 7 （3 分）如图，在ABC 中，E，G 分别是 AB

3、，AC 上的点，AEGC，BAC 的平分线 AD 交 EG 于 点 F，若，则（ ） A B C D 8 （3 分）如图，在ABC 中，A90，sinB，点 D 在边 AB 上，若 ADAC，则 tanBCD 的值为 （ ） A B C D 9 （3 分）已知二次函数 y（x+m2） （xm）+2，点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） （x1x2）是其图象上两点， （ ） A若 x1+x22，则 y1y2 B若 x1+x22，则 y1y2 C若 x1+x22，则 y1y2 D若 x1+x22，则 y1y2 10（3 分） 如图， 四边形 ABCD 内接于O， 连结 AC， BD， 点 E

4、在 AD 的延长线上， 下列说法正确的是 （ ） A若 DC 平分BDE，则 ABBC B若 AC 平分BCD，则 AB2AMMC C若 ACBD，BD 为直径，则 BC2+AD2AC2 D若 ACBD，AC 为直径，则 sinBAD 二、填空题：单空题每题二、填空题：单空题每题 4 分，多空题每题分，多空题每题 6 分分 11 （4 分）sin245+cos60 12 （4 分）在一个布袋中装有只有颜色不同的 a 个小球，其中红球的个数为 2，随机摸出一个球记下颜色 后再放回袋中， 通过大量重复实验后发现， 摸到红球的频率稳定于 0.2， 那么可以推算出 a 大约是 13 （4 分）已知弧长

5、等于 3，弧所在圆的半径为 6，则该弧的度数是 14 （4 分）如图，正六边形 ABCDEF 内接于O，点 M 是边 CD 的中点，连结 AM，若O 的半径为 2， 则 AM 15 （4 分）如图，点 G 是ABC 的重心，过点 G 作 GEBC，交 AC 于点 E，连结 GC，若ABC 的面积 为 1，则GEC 的面积为 16 （4 分）已知二次函数 yx22（m1）x+2m2m2（m 为常数） ，若对于一切实数 m 和 x 均有 yk， 则 k 的最大值为 三、解答题：三、解答题：7 小题，共小题，共 66 分分 17 （8 分）一个不透明的箱子里放有 2 个白球，1 个黑球和 1 个红球

6、，它们除颜色外其余都相同从箱子 里摸出 1 个球后不放回，摇匀后再摸出 1 个球，求两次摸到的球都是白球的概率（用列表或画树状图等 方法） 18 （8 分）如图，在ABC 中，A 为钝角，AB25，AC39，sinB，求 tanC 和 BC 的长 19 （8 分）如图，MB，MD 是O 的两条弦，点 A，C 分别在，上，且 ABCD，M 是的中点 （1）求证：MBMD； （2）过 O 作 OEMB 于点 E，当 OE1，MD4 时，求O 的半径 20 （8 分）如图，矩形 ABCD 的四个顶点在正三角形 EFG 的边上，已知EFG 的边长为 2，设边长 AB 为 x，矩形 ABCD 的面积为

7、S 求： （1）S 关于 x 的函数表达式和自变量 x 的取值范围 （2）S 的最大值及此时 x 的值 21 （10 分）如图，在ABC 中，CAB90，D 是边 BC 上一点，AB2BDBC，E 为线段 AD 中点， 连结 CE 并延长交 AB 于点 F （1）求证：ADBC （2）若 AF：BF1：3，求证：CD：DB1：2 22 （12 分）已知函数 y1x2（m+2）x+2m+3，y2nx+k2n（m，n，k 为常数且 n0） （1）若函数 y1的图象经过点 A（2，5） ，B（1，3）两个点中的其中一个点，求该函数的表达式 （2）若函数 y1，y2的图象始终经过同一定点 M 求点 M

8、 的坐标和 k 的值 若 m2，当1x2 时，总有 y1y2，求 m+n 的取值范围 23 （12 分）如图，ABD 内接于半径为 5 的O，连结 AO 并延长交 BD 于点 M，交O 于点 C，过点 A 作 AEBD，交 CD 的延长线于点 E，ABAM （1）求证：ABMECA （2）当 CM4OM 时，求 BM 的长； （3）当 CMkOM 时，设ADE 的面积为 S1，MCD 的面积为 S2，求的值 （用含 k 的代数式表 示） 2019-2020 学年浙江省杭州市下城区九年级（上）期末数学试卷学年浙江省杭州市下城区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选

9、择题：每小题一、选择题：每小题 3 分，共分，共 30 分分 1 （3 分）已知线段 c 为线段 a，b 的比例中项，若 a1，b2，则 c（ ） A1 B C D 【分析】根据线段比例中项的概念，可得 a：cc：b，可得 c2ab4，故 c 的值可求，注意线段不能 为负 【解答】解：线段 c 是 a、b 的比例中项， c2ab12， 解得 c， 又线段是正数， c 故选：B 【点评】本题考查了比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应开平方求两条线段的比 例中项的时候，负数应舍去 2 （3 分）掷一枚质地均匀的硬币 6 次，下列说法正确的是（ ） A必有 3 次正面朝上 B可能有 3

10、 次正面朝上 C至少有 1 次正面朝上 D不可能有 6 次正面朝上 【分析】根据等可能事件发生的可能性，以及可能性的大小进行判断即可 【解答】解：掷一枚质地均匀的硬币，可能正面向上，也可能反面向上，可能性是均等的，不会受到前 一次的影响， 掷一枚质地均匀的硬币 6 次，不一定 3 次正面朝上，因此 A 选项不符合题意， “可能有 3 次正面朝上” 是正确的，因此 B 选项正确； 可能 6 次都是反面向上，因此 C 不符合题意，有可能 6 次正面向上，因此 D 选项不符合题意； 故选：B 【点评】考查随机事件发生的概率，随机事件发生的可能性有大有小，可能发生也可能不发生 3 （3 分）若二次函数

11、 yax2的图象过点 P（1，2） ，则该图象必经过点（ ） A （1，2） B （1，2） C （2，1） D （2，1） 【分析】先确定出二次函数图象的对称轴为 y 轴，再根据二次函数的对称性解答 【解答】解：二次函数 yax2的对称轴为 y 轴， 若图象经过点 P（1，2） ，则该图象必经过点（1，2） 故选：A 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象的对称性，确定出函数图 象的对称轴为 y 轴是解题的关键 4 （3 分）如图，点 C 在上，若OAB20，则ACB（ ） A50 B60 C70 D80 【分析】根据圆周角定理计算 【解答】解：OAB20，OA

12、OB， OABOBA20， AOB1802020140， ACB70 故选：C 【点评】本题考查了圆周角定理的应用熟练运用等腰三角形的性质与圆周角定理是解题的关键 5 （3 分）如图，已知扇形 BOD，DEOB 于点 E，若 EDOE2，则阴影部分面积为（ ） A B2 C D 【分析】根据等腰直角三角形的性质扇形的面积公式即可解决问题 【解答】解：DEOB， OED90， OEDE2， OD2， S阴S扇形SODE222， 故选：B 【点评】本题考查扇形的面积，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于 中考常考题型 6 （3 分）如图，转盘的红、黄、蓝、紫四个扇形区域的

13、圆心角分别记为 ，自由转动转盘，则 下面说法错误的是（ ） A若 90，则指针落在红色区域的概率大于 0.25 B若 +，则指针落在红色区域的概率大于 0.5 C若 ，则指针落在红色或黄色区域的概率和为 0.5 D若 +180，则指针落在红色或黄色区域的概率和为 0.5 【分析】根据概率公式计算即可得到结论 【解答】解：A、90， 0.25，故 A 正确； B、+360，+， 0.5，故 B 正确； C、， +， +180， +180， 0.5， 指针落在红色或紫色区域的概率和为 0.5，故 C 错误； D、+180， +180， 0.5， 指针落在红色或黄色区域的概率和为 0.5，故 D 正

14、确； 故选：C 【点评】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键 7 （3 分）如图，在ABC 中，E，G 分别是 AB，AC 上的点，AEGC，BAC 的平分线 AD 交 EG 于 点 F，若，则（ ） A B C D 【分析】根据两组对应角相等可判断AEFACD，可得，则可得出结论 【解答】解：， ， AEGC，EAFDAC， AEFACD， 故选：C 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用定理是关键 8 （3 分）如图，在ABC 中，A90，sinB，点 D 在边 AB 上，若 ADAC，则 tanBCD 的值为 （ ） A B C D 【分析】如图，作 DHBC 于

15、 H设 AC3k，BC5k，则 AB4k，想办法求出 DH，CH 即可解决问 题 【解答】解：如图，作 DHBC 于 H A90，sinB， 可以假设 AC3k，BC5k，则 AB4k， ACAD3k， BDk， BB，DHBA90， BHDBAC， ， ， DHk，BHk， CHBCBH5kkk， tanBCD， 故选：C 【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型 9 （3 分）已知二次函数 y（x+m2） （xm）+2，点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） （x1x2）是其图象上两点， （ ） A若 x1+x22，则 y1y2 B若 x1+x22

16、，则 y1y2 C若 x1+x22，则 y1y2 D若 x1+x22，则 y1y2 【分析】首先确定抛物线的对称轴 x1，当 x1+x22 时，点 A 与点 B 在对称轴的左侧或点 A 在对称轴 的左侧， 点 B 在对称轴的右侧， 且点 A 离对称轴的距离比点 B 离对称轴的距离大， 利用图象法即可判断 【解答】解：如图， 当 xm 或 xm+2 时，y2， 抛物线的对称轴 x1， 当 x1+x22 时，点 A 与点 B 在对称轴的左侧或点 A 在对称轴的左侧，点 B 在对称轴的右侧，且点 A 离对称轴的距离比点 B 离对称轴的距离大， 观察图象可知，此时 y1y2， 故选：B 【点评】本题考

17、查二次函数的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压 轴题 10（3 分） 如图， 四边形 ABCD 内接于O， 连结 AC， BD， 点 E 在 AD 的延长线上， 下列说法正确的是 （ ） A若 DC 平分BDE，则 ABBC B若 AC 平分BCD，则 AB2AMMC C若 ACBD，BD 为直径，则 BC2+AD2AC2 D若 ACBD，AC 为直径，则 sinBAD 【分析】A、错误，只能推出 CACB B、错误利用相似三角形的性质即可判断 C、错误只能推出 BC2+AD2BD2 D、正确作直径 BH，连接 DH利用圆周角定理转化即可解决问题 【解答】解：A、

18、若 DC 平分BDE，能推出 CACB，故本选项不符合题意 B、AC 平分BCD， ACBACD， ACDABM， ABMACB， BAMCAB， BAMCAB， ， AB2AMAC，故本选项不符合题意 C、如图，若 ACBD，BD 是直径则有 BC2+AD2BD2，本选项不符合题意 D、如图，若 ACBD，AC 是直径，作直径 BH，连接 DH BH 是直径， BDH90 BHAC，BADH， sinBADsinH，故本选项符合题意， 故选：D 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是正确 寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型 二、填空题：单

19、空题每题二、填空题：单空题每题 4 分，多空题每题分，多空题每题 6 分分 11 （4 分）sin245+cos60 1 【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案 【解答】解：原式（）2+ + 1 故答案为：1 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键 12 （4 分）在一个布袋中装有只有颜色不同的 a 个小球，其中红球的个数为 2，随机摸出一个球记下颜色 后再放回袋中， 通过大量重复实验后发现， 摸到红球的频率稳定于 0.2， 那么可以推算出 a 大约是 10 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系 入手，

20、列出方程求解 【解答】解：由题意可得，0.2， 解得，a10 故可以推算出 a 大约是 10 个 故答案为：10 【点评】 此题主要考查了利用频率估计概率， 本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率 关 键是根据红球的频率得到相应的等量关系 13 （4 分）已知弧长等于 3，弧所在圆的半径为 6，则该弧的度数是 90 【分析】利用弧长公式求出圆心角即可 【解答】解：设弧的圆心角为 n 由题意：3， 解得 n90， 该弧的度数是 90， 故答案为 90 【点评】本题考查弧长公式，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识属 于中考常考题型 14 （4 分）如图，正六边形

21、 ABCDEF 内接于O，点 M 是边 CD 的中点，连结 AM，若O 的半径为 2， 则 AM 【分析】连接 AC，OB 交于点 H证明ACM90，求出 AC，CM 即可解决问题 【解答】解：连接 AC，OB 交于点 H 正六边形 ABCDEF 内接于O，OB2， ABBCCD2，ABCBCD120， ， OBAC， AHHC，ABHCBH60， AHABsin60， AC2AH2， ACBBAC30，BCD120， ACM90， CMMD1，AC2， AM， 故答案为 【点评】本题考查正多边形与圆，勾股定理，垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构 造直角三角形解决问题，属于中考

22、常考题型 15 （4 分）如图，点 G 是ABC 的重心，过点 G 作 GEBC，交 AC 于点 E，连结 GC，若ABC 的面积 为 1，则GEC 的面积为 【分析】根据点 G 是ABC 的重心，可得出 D 是 BC 的中点，从而得出 SABDSADC，0.5，还可得 出，再根据相似三角形的性质得出三角形的面积比，进而求答案 【解答】解：连接 AG 并延长交 BC 于 D， 点 G 是ABC 的重心， BDCD， SABDSADCSABC， GEBC， AGEADC， ， ， SAGESADC SGECSAGE， 【点评】考查三角形重心的性质，相似三角形的性质，正确将相似比转化为三角形的面积

23、比是解题的关 键 16 （4 分）已知二次函数 yx22（m1）x+2m2m2（m 为常数） ，若对于一切实数 m 和 x 均有 yk， 则 k 的最大值为 【分析】求出函数的最小值的取值范围即 m2+m3（m+）2，由已知可知对于一切实 数 m 和 x 均有 yk，即 kw 【解答】解：yx22（m1）x+2m2m2（xm+1）2+m2+m3， 当 xm1 时，y 有最小值 m2+m3， 令 wm2+m3（m+）2， 对于一切实数 m 和 x 均有 yk，即 kw， w， k， 故答案为 【点评】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的性质，能够将已知不等关系转化为函数的最值 是解题的关键

24、 三、解答题：三、解答题：7 小题，共小题，共 66 分分 17 （8 分）一个不透明的箱子里放有 2 个白球，1 个黑球和 1 个红球，它们除颜色外其余都相同从箱子 里摸出 1 个球后不放回，摇匀后再摸出 1 个球，求两次摸到的球都是白球的概率（用列表或画树状图等 方法） 【分析】根据题意画出树形图得出所有等情况数和两次摸到的球都是白球的情况数，然后根据概率公式 即可得出答案 【解答】解：画树状图如下： 共有 12 种等情况数，其中两次摸到的球都是白球的有 2 种， P（摸得两白） 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果， 适合于两步完成的事件

25、；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是 不放回实验用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 18 （8 分）如图，在ABC 中，A 为钝角，AB25，AC39，sinB，求 tanC 和 BC 的长 【分析】过点 A 作 ADBC 于 D，在 RtABD 中，由 sinB，求出 AD15，在 RtACD 中， 由勾股定理得出 CD36，则 tanC，在 RtABD 中，由勾股定理得出 BD 20，即可得出 BC 的长 【解答】解：过点 A 作 ADBC 于 D，如图所示： 在 RtABD 中，AB25，sinB， ， AD15， 在 RtACD 中，CD36

26、， tanC， 在 RtABD 中，BD20， BCBD+CD20+3656 【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理等知识；作辅助线构建直角三角形是解题的关键 19 （8 分）如图，MB，MD 是O 的两条弦，点 A，C 分别在，上，且 ABCD，M 是的中点 （1）求证：MBMD； （2）过 O 作 OEMB 于点 E，当 OE1，MD4 时，求O 的半径 【分析】 （1）想办法证明即可解决问题 （2）连接 OM，利用勾股定理垂径定理解决问题即可 【解答】 （1）证明：ABCD， ， M 是的中点， ， ， BMDM （2）解：如图，连接 OM DMBM4，OEBM， EMBE2， OE1

27、，OEM90， OM， O 的半径为 【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基 本知识，属于中考常考题型 20 （8 分）如图，矩形 ABCD 的四个顶点在正三角形 EFG 的边上，已知EFG 的边长为 2，设边长 AB 为 x，矩形 ABCD 的面积为 S 求： （1）S 关于 x 的函数表达式和自变量 x 的取值范围 （2）S 的最大值及此时 x 的值 【分析】 （1）求出 AFBG1x，解直角三角形求出 AD，再根据矩形的面积公式求出面积即可； （2）先把解析式化成顶点式，再得出答案即可 【解答】解： （1）EFG 的正三角形， GF60

28、， 四边形 DABC 是矩形， ADBC，DCAB，DABCBA90， DAFCBG90， 在FAD 和GBC 中 ， FADGBC（AAS） ， AFBG， FG2，ABx， AFBG（2x）1x， ADBC（1x）tan60 x+， 矩形 ABCD 的面积 SADAB（x+）x， 即 S 关于 x 的函数表达式是：Sx2+x， 0ABFG，FG2， 自变量 x 的取值范围是 0 x2， （2）Sx2+x （x22x） （x22x+11） （x1）2+， 0， 开口向下，有最大值， 当 x1 时，S 的最大值是 【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，二次函数的解析式，二次函数的最值，等边

29、三角形的性 质，矩形的性质等知识点，能求出 AF 和 BG 的长解此题的关键 21 （10 分）如图，在ABC 中，CAB90，D 是边 BC 上一点，AB2BDBC，E 为线段 AD 中点， 连结 CE 并延长交 AB 于点 F （1）求证：ADBC （2）若 AF：BF1：3，求证：CD：DB1：2 【分析】 （1）证明ABDCBA，根据相似三角形的性质得到BDABAC90，根据垂直的定 义证明结论； （2）作 EGCB 交 AB 于点 G，证明AEGADB，得到 BD2EG，证明FEGFCB，得到 BC 3EG，结合图形证明即可 【解答】证明： （1）AB2BDBC， ，又BB， ABD

30、CBA， BDABAC90，即 ADBC （2）作 EGCB 交 AB 于点 G， 则AEGADB， ， BD2EG， ， ， EGCB， FEGFCB， ， BC3EG， CB：DB3：2 CD：DB1：2 【点评】 本题考查的是相似三角形的判定和性质， 掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键 22 （12 分）已知函数 y1x2（m+2）x+2m+3，y2nx+k2n（m，n，k 为常数且 n0） （1）若函数 y1的图象经过点 A（2，5） ，B（1，3）两个点中的其中一个点，求该函数的表达式 （2）若函数 y1，y2的图象始终经过同一定点 M 求点 M 的坐标和 k 的值 若

31、m2，当1x2 时，总有 y1y2，求 m+n 的取值范围 【分析】 （1）利用待定系数法解决问题即可 （2）因为函数 y1经过定点（2，3） ，对于函数 y2nx+k2n，当 x2 时，y2k，推出当 k3 时， 两个函数过定点 M（2，3） 首先确定抛物线的对称轴的位置，利用图象法，构建不等式解决问题即可 【解答】解： （1）对于函数 y1x2（m+2）x+2m+3，当 x2 时，y3， 点 A 不在抛物线上， 把 B（1，3）代入 y1x2（m+2）x+2m+3，得到 31+3m+5， 解得 m1， 抛物线的解析式为 yx2x+1 （2）函数 y1经过定点（2，3） ， 对于函数 y2n

32、x+k2n，当 x2 时，y2k， 当 k3 时，两个函数过定点 M（2，3） m2， 抛物线的对称轴 x2， 抛物线的对称轴在定点 M（2，3）的左侧， 由题意当 1+（m+2）+2m+3n+32n 时，满足当1x2 时，总有 y1y2， 3m+3n3， m+n1 【点评】本题考查二次函数与不等式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考 压轴题 23 （12 分）如图，ABD 内接于半径为 5 的O，连结 AO 并延长交 BD 于点 M，交O 于点 C，过点 A 作 AEBD，交 CD 的延长线于点 E，ABAM （1）求证：ABMECA （2）当 CM4OM 时，求 BM

33、 的长； （3）当 CMkOM 时，设ADE 的面积为 S1，MCD 的面积为 S2，求的值 （用含 k 的代数式表 示） 【分析】 （1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断 （2）首先证明 EAEC，DMDC，利用平行线分线段成比例定理以及勾股定理求出 DM，DC，利用相 似三角形的性质求解即可 （3）设CDM 的面积为 x利用等高模型以及平行线分线段成比例定理，求出ADE 的面积（用 x 表 示）即可 【解答】证明： （1）AEBD， AMBCAE， 又ABDACD， ABMECA； （2）解：ABAM，ABMECA， AECE， CM4OM， 可以假设 OMk，CM4k， OAOC

34、5k5， k1， AM6，CM4， DMAE， DM：AECM：CA4：10， 设 DM4m，则 EAEC10m， ABAM， ABMAMB， AMBDMC，BC， DMCC， DMDC4m， DEECDC6m， AC 是直径， ADEADC90， AD8m， AD2+CD2AC2， （8m）2+（4m）2102 m0， m， AMBDMC， ， ， BM （3）设CDM 的面积为 x CMkOM， OM，CM，AM5+， AC：CM（2+2k） ：k， ACD 的面积x， DMAE， CD：DECM：AMk： （2+k） ， ADE 的面积x， 【点评】本题属于圆综合题，考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角 形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型