1、 1 第 22 讲 尺规作图 【考点导引】 1.能用尺规完成五种基本作图 2会写已知、求作,了解作图的道理,保留作图的痕迹,不要求写出作法 3能运用尺规的基本作图方法解决作图的简单应用问题 【难点突破】 1.线段的垂直平分线的画法是: 已知线段 AB,分别以 A、B 为端点,以大于 1 2 AB长为半径,在线段两侧分别作弧;设所画弧交于两点 C、D;过 C、D 两点作一条直线,则为线段 AB 的垂直平分线 2. 线段的垂直平分线的性质:线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点距离相等;其逆定理是:到 一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 3.根据轴对称的性质,过一个点向对称
2、轴作垂线,并延长至另一侧,使其两侧的线段相等,得到的点为这个 点的对称点;画一个图形平移得到的图形,只要找到每一个顶点按要求平移后的对称点即可. 4. 要作出一个边长为无理数的线段,可考虑以这个无理数为斜边构造直角三角形,两条直角边长已知或为 有理数 5.基本作图有: (1) 作一条线段等于已知线段 (2) 作一个角等于已知角 (3) 作已知线段的垂直平分线 (4) 作已知角的角平分线 (5)过一点作已知直线的垂线 【解题策略】 1. 分类讨论:作图问题不是在任何已知的条件下都能作出图形,要分清问题有一个解、多个解或者没有解 2. 根据已知条件作几何图形时,可采用逆向思维,假设已作出图形,再寻
3、找图形的性质,然后作图或设计 方案 【典例精析】 类型一:基本作图 【例 1】 ( (2019湖南长沙3 分)如图,RtABC 中,C90 ,B30 ,分别以点 A 和点 B 为圆心,大 于AB 的长为半径作弧,两弧相交于 M、N 两点,作直线 MN,交 BC 于点 D,连接 AD,则CAD 的度数 是( ) 2 A20 B30 C45 D60 类型二:基本作图的实际应用 【例 2】如图,A、B、C 为某公园的三个景点,景点 A 和景点 B 之间有一条笔直的小路,现要在小路上建 一个凉亭 P,使景点 B、景点 C 到凉亭 P 的距离之和等于景点 B 到景点 A 的距离,请用直尺和圆规在所给 的
4、图中作出点 P (不写作法和证明,只保留作图痕迹) 类型三:作图与技能训练 【例 3】2019广西贵港5 分)尺规作图(只保留作图痕迹,不要求写出作法) : 如图,已知ABC,请根据“SAS”基本事实作出DEF,使DEFABC 【例 4】 (2019江苏无锡10 分)按要求作图,不要求写作法,但要保留作图痕迹 (1)如图 1,A 为O 上一点,请用直尺(不带刻度)和圆规作出O 的内接正方形; (2)我们知道,三角形具有性质:三边的垂直平分线相交于同一点,三条角平分线相交于一点,三条中线 相交于一点,事实上,三角形还具有性质:三条高所在直线相交于一点 请运用上述性质,只用直尺(不带刻度)作图 3
5、 如图 2,在ABCD 中,E 为 CD 的中点,作 BC 的中点 F 如图 3,在由小正方形组成的 4 3 的网格中,ABC 的顶点都在小正方形的顶点上,作ABC 的高 AH 【真题检测】 1. (2019河北3 分)根据圆规作图的痕迹,可用直尺成功找到三角形外心的是( ) ABCD 2. (2019广东深圳3 分)如图,已知 AB=AC,AB=5,BC=3,以 AB 两点为圆心,大于 2 1 AB 的长为半径 画圆,两弧相交于点 M,N,连接 MN 与 AC 相较于点 D,则BDC 的周长为( ) A.8 B.10 C.11 D.13 3. (2019贵阳3 分)如图,在ABC 中,ABA
6、C,以点 C 为圆心,CB 长为半径画弧,交 AB 于点 B 和点 D,再分别以点 B,D 为圆心,大于BD 长为半径画弧,两弧相交于点 M,作射线 CM 交 AB 于点 E若 AE2,BE1,则 EC 的长度是( ) 4 A2 B3 C D 4. (2019河南3 分)如图,在四边形 ABCD 中,ADBC,D90 ,AD4,BC3分别以点 A,C 为圆心,大于 1 2 AC 长为半径作弧,两弧交于点 E,作射线 BE 交 AD 于点 F,交 AC 于点 O若点 O 是 AC 的中点,则 CD 的长为( ) A22 B4 C3 D10 5. (2019山东潍坊3 分)如图,已知AOB按照以下
7、步骤作图: 以点 O 为圆心,以适当的长为半径作弧,分别交AOB 的两边于 C,D 两点,连接 CD 分别以点 C,D 为圆心,以大于线段 OC 的长为半径作弧,两弧在AOB 内交于点 E,连接 CE,DE 连接 OE 交 CD 于点 M 下列结论中错误的是( ) ACEODEO BCMMD 5 COCDECD DS四边形OCED 1 2 CDOE 6. (2019,四川成都,4 分)如图,ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,按以下步骤作图:以点 A 为 圆心,以任意长为半径作弧,分别交 AO,AB 于点 M,N;以点 O 为圆心,以 AM 长为半径作弧,交 OC 于点 M ;以
8、点 M 为圆心,以 MN 长为半径作弧,在COB 内部交前面的弧于点 N ;过点 N 作 射线 N O 交 BC 于点 E,若 AB=8,则线段 OE 的长为 . 7. . ( 2019 甘肃省兰州市) 如图, 矩形 ABCD, BAC600. 以点 A 为圆心,以任意长为半径作弧分别 交 AB.AC 于点 M、N 两点,再分别以点 M、N 为圆心,以大于 2 1 MN 的长为半径作弧交于点 P ,作射线 AP 交 BC 于点 E,若 BE1,则矩形 ABCD 的面积等于_. 8. (2019湖南益阳4 分)已知 M、N 是线段 AB 上的两点,AMMN2,NB1,以点 A 为圆心,AN 长为
9、半 径画弧;再以点 B 为圆心,BM 长为半径画弧,两弧交于点 C,连接 AC,BC,则ABC 一定是 三角 形。 9. (2019甘肃4 分)如图,在ABC 中,点 P 是 AC 上一点,连接 BP,求作一点 M,使得点 M 到 AB 和 AC 两边的距离相等,并且到点 B 和点 P 的距离相等 (不写作法,保留作图痕迹) 10. (2019江苏泰州8 分)如图,ABC 中,C90 ,AC4,BC8 (1)用直尺和圆规作 AB 的垂直平分线; (保留作图痕迹,不要求写作法) (2)若(1)中所作的垂直平分线交 BC 于点 D,求 BD 的长 6 11. (2019湖北孝感8 分)如图,RtA
10、BC 中,ACB90 ,一同学利用直尺和圆规完成如下操作: 以点 C 为圆心,以 CB 为半径画弧,交 AB 于点 G;分别以点 G、B 为圆心,以大于GB 的长为半径画 弧,两弧交点 K,作射线 CK; 以点 B 为圆心,以适当的长为半径画弧,交 BC 于点 M,交 AB 的延长线于点 N;分别以点 M、N 为圆心, 以大于MN 的长为半径画弧,两弧交于点 P,作直线 BP 交 AC 的延长线于点 D,交射线 CK 于点 E 请你观察图形,根据操作结果解答下列问题; (1)线段 CD 与 CE 的大小关系是 ; (2)过点 D 作 DFAB 交 AB 的延长线于点 F,若 AC12,BC5,求 tanDBF 的值 7 12. (2019广西池河8 分)如图,AB 为O 的直径,点 C 在O 上 (1)尺规作图:作BAC 的平分线,与O 交于点 D;连接 OD,交 BC 于点 E(不写作法,只保留作图痕 迹,且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑) ; (2)探究 OE 与 AC 的位置及数量关系,并证明你的结论