1、 1 第 09 讲 平面直角坐标系与函数概念 【考点导引】 1.会画平面直角坐标系，并能根据点的坐标描出点的位置，由点的位置写出点的坐标 2掌握坐标平面内点的坐标特征 3了解函数的有关概念和函数的表示方法，并能结合图象对实际问题中的函数关系进行答案 4能确定函数自变量的取值范围，并会求函数值. 【难点突破】 1. 对于各象限内点的坐标特征，象限内点（m， ）的坐标特征为：第一象限（，） ，即0m，0n； 第二象限（，） ，即0m，0n；第三象限（，） ，即0m，0n；第四象限（，） ，即0m， 0n， x 轴正半轴上的点0m，0n ； x 轴负半轴上的点0m ，0n ； y 轴正半轴上的点0m
2、 ，0n ； y 轴负半轴上的点0m ，0n ；反之亦成立 2. 点的坐标在变换中的规律： （1）平移：左右平移时横坐标左减右加，纵坐标不变；上下平移时纵坐标上 加下减，横坐标不变； （2）关于坐标轴对称，与其同名的坐标不变，另一个坐标变为相反数； （3）关于原 点对称，其坐标互为相反数. 3.判断函数图像从以下方面：看图像的升降趋势，当函数随着自变量的增加而增加时，图像呈上升趋势， 反之，呈下降趋势；看图像的曲直，函数随着自变量的变化而均匀变化的，图像是直线，函数随着自变 量的变化而不均匀变化的，图像是曲线；表示函数不随自变量的变化而变化，即函数是一个定值，图像 与横轴平行 【解题策略】 1
3、.数形结合，为答案问题和解决问题创造了直观形象的有利条件，如用函数图象解答相关问题是典型的数形 结合思想的应用 2.平行于 x 轴的直线上的点的纵坐标相等；平行于 y 轴的直线上的点的横坐标相等 【典例精析】 类型一：平面直角坐标系内点的坐标特征 【例 1】 （2019甘肃3 分）已知点 P（m+2，2m4）在 x 轴上，则点 P 的坐标是（ ） A （4，0） B （0，4） C （4，0） D （0，4） 【答案】A 【解答】解：点 P（m+2，2m4）在 x 轴上， 2m40， 解得：m2， 2 m+24， 则点 P 的坐标是： （4，0） 故选：A 类型二：图形的变换与坐标 【例 2】
4、 （2019，山东枣庄，3 分）在平面直角坐标系中，将点 A（1，2）向上平移 3 个单位长度，再向 左平移 2 个单位长度，得到点 A，则点 A的坐标是（ ） A （1，1） B （1，2） C （1，2） D （1，2） 【答案】A 【解答】解：将点 A（1，2）向上平移 3 个单位长度，再向左平移 2 个单位长度，得到点 A，点 A 的横坐标为 121，纵坐标为2+31， A的坐标为（1，1） 故选：A 类型三：函数图象的应用 【例 3】 （2019山东潍坊3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB2，BC3，动点 P 沿折线 BCD 从点 B 开始 运动到点 D设运动的路程为 x，ADP
5、 的面积为 y，那么 y 与 x 之间的函数关系的图象大致是（ ） A B 3 C D 【答案】D 【解答】解：由题意当 0 x3 时，y3， 当 3x5 时，y 1 2 3 （5x） 3 2 x+15 2 故选：D 类型四：关于坐标的规律探索问题 【例 4】 （2019湖北天门3 分）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3， 都是菱形，点 A1，A2，A3，都在 x 轴上，点 C1，C2，C3，都在直线 y 3 3 x+ 3 3 上，且C1OA1 C2A1A2C3A2A360 ，OA11，则点 C6的坐标是 （97，323） 【答案】 （97，3
6、23） 【解答】解：OA11， OC11， C1OA1C2A1A2C3A2A360 ， C1的纵坐标为：sin60OC1 3 2 ，横坐标为 cos60OC1 1 2 ， C1（ 1 2 ， 3 2 ） ， 4 四边形 OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，都是菱形， A1C22，A2C34，A3C48， C2的纵坐标为：sin60A1C23，代入 y 3 3 x+ 3 3 求得横坐标为 2， C2（，2，3） ， C3的纵坐标为：sin60A2C343，代入 y 3 3 x+ 3 3 求得横坐标为 11， C3（11，43） ， C4（23，83） ， C5（47，163） ，
7、 C6（97，323） ； 故答案为（97，323） 【真题检测】 1. （2019山东省济宁市 3 分）已知点 P（x，y）位于第四象限，并且 xy+4（x，y 为整数） ，写出一个符 合上述条件的点 P 的坐标 （1，2） （答案不唯一） 【答案】 （1，2） （答案不唯一） 【解答】解：点 P（x，y）位于第四象限，并且 xy+4（x，y 为整数） ， x0，y0， 当 x1 时，1y+4， 解得：0y3， y 可以为：2， 故写一个符合上述条件的点 P 的坐标可以为： （1，2） （答案不唯一） 故答案为： （1，2） （答案不唯一） 2. （2019广西贵港3 分） 若点 P （m1
8、， 5） 与点 Q （3， 2n） 关于原点成中心对称， 则 m+n 的值是 （ ） A1 B3 C5 D7 【答案】C 5 【解答】解：点 P（m1，5）与点 Q（3，2n）关于原点对称， m13，2n5， 解得：m2，n7， 则 m+n2+75 故选：C 3. （2019，四川巴中，4 分）在平面直角坐标系中，已知点 A（4，3）与点 B 关于原点对称，则点 B 的 坐标为（ ） A （4，3） B （4，3） C （4，3） D （4，3） 【答案】C 【解答】解：点 A（4，3） ，点 A 与点 B 关于原点对称， 点 B（4，3） 故选：C 4. （2019湖北黄石3 分）如图，在平
9、面直角坐标系中，边长为 2 的正方形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，AB 边的中点是坐标原点 O，将正方形绕点 C 按逆时针方向旋转 90 后，点 B 的对应点 B的坐标是（ ） A （1，2） B （1，4） C （3，2） D （1，0） 【答案】C 【解答】解：如图所示， 由旋转得：CBCB2，BCB90 ， 四边形 ABCD 是正方形，且 O 是 AB 的中点， OB1， 6 B（2+1，2） ，即 B（3，2） ， 故选：C 5. （2019贵州省铜仁市4 分）如图，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，且 AC6，BD 8，P 是对角线 BD 上任意一点
10、，过点 P 作 EFAC，与平行四边形的两条边分别交于点 E、F设 BPx， EFy，则能大致表示 y 与 x 之间关系的图象为（ ） A B C D 【答案】A 【解答】解：当 0 x4 时， BO 为ABC 的中线，EFAC， BP 为BEF 的中线，BEFBAC， ，即，解得 y， 同理可得，当 4x8 时，y（8x） 6. (2019 甘肃省陇南市)（4 分）中国象棋是中华名族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱如图，若在 象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，2） ，“马”位于点（4，2） ，则“兵”位于点 （1， 1） 7 【答案】 （1，1） 【解答】解：如图所示：可
11、得原点位置，则“兵”位于（1，1） 故答案为： （1，1） 7. （2019黑龙江省齐齐哈尔市3 分）如图，直线 l：yx+1 分别交 x 轴、y 轴于点 A 和点 A1，过点 A1作 A1B1l，交 x 轴于点 B1，过点 B1作 B1A2x 轴，交直线 l 于点 A2；过点 A2作 A2B2l，交 x 轴于点 B2，过点 B2作 B2A3x 轴，交直线 l 于点 A3，依此规律，若图中阴影A1OB1的面积为 S1，阴影A2B1B2 的面积为 S2，阴影A3B2B3的面积为 S3，则 Sn 【答案】 【解答】解：直线 l：yx+1，当 x0 时，y1；当 y0 时，x A（，0）A1（0，1
12、） OAA130 又A1B1l， OA1B130 ， 在 RtOA1B1中，OB1OA1， 8 S1； 同理可求出：A2B1，B1B2， S2； 依次可求出：S3；S4；S5 因此：Sn 故答案为： 8. (2019浙江丽水4 分)元朝朱世杰的算学启蒙一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五 十里驽马先行一十二日，问良马几何日追及之”如图是两匹马行走路程 s 关于行走时间 t 的函数图象， 则两图象交点 P 的坐标是 【答案】(32，4800) 【解答】解：令 150t240(t12)， 解得，t32， 则 150t150 324800， 点 P 的坐标为(32，4800)，故答案为
13、(32，4800) 9. （2019湖北黄石7 分）若点 P 的坐标为（ 1 3 x ，2x9） ，其中 x 满足不等式组， 求点 P 所在的象限 【答案】点 P 在的第四象限 9 【解答】解：， 解得：x4， 解得：x4， 则不等式组的解是：x4， 1，2x91， 点 P 的坐标为（1，1） ， 点 P 在的第四象限 10. （2018 浙江舟山 8 分）小红帮弟弟荡秋千（如图 1） ，秋千离地面的高度 h（m）与动时间 t（s）之间的 关系如图 2 所示。 （1）根据函数的定义，请判断变量 h 是否为关于 t 的函数？ （2）结合图象回答：当 t=0.7s 时，h 的值是多少？并说明它的实
14、际意义， 秋千摆动第一个来回需多少时间？ 【答案】 （1）变量 h 是关于 t 的函数。 （2）h=0.5m，它的实际意义是秋千摆动 0.7s 时，离地面的高度为 0.5m；2.8s 【解答】 （1）对于每一个摆动时间 t，都有一个唯一的 h 的值与其对应， 变量 h 是关于 t 的函数。 （2）h=0.5m，它的实际意义是秋千摆动 0.7s 时，离地面的高度为 0.5m 2.8s 11. （2019甘肃庆阳3 分）如图，在矩形 ABCD 中，ABAD，对角线 AC，BD 相交于点 O，动点 P 由 点 A 出发，沿 ABBCCD 向点 D 运动设点 P 的运动路程为 x，AOP 的面积为 y，y 与 x 的函数关系 图象如图所示，则 AD 边的长为多少？ 10 【答案】4 【解答】解：当 P 点在 AB 上运动时，AOP 面积逐渐增大，当 P 点到达 B 点时，AOP 面积最大为 3 ABBC3，即 ABBC12 当 P 点在 BC 上运动时，AOP 面积逐渐减小，当 P 点到达 C 点时，AOP 面积为 0，此时结合图象可知 P 点运动路径长为 7， AB+BC7 则 BC7AB，代入 ABBC12，得 AB27AB+120，解得 AB4 或 3， 因为 ABAD，即 ABBC， 所以 AB3，BC4
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