1、 1 第 06 讲 分式方程 【考点导引】 1.理解分式方程的概念，会解可化为一元一次(二次)方程的分式方程(方程中的分式不超过两个)，知道解分 式方程的基本思想是把分式方程化为整式方程 2了解解分式方程产生增根的原因，能解决有关字母系数的问题 3会列分式方程解决实际问题. 【难点突破】 1.解分式方程： （1）解分式方程的基本思想是转化思想，即通过去分母把分式方程转化成整式方程来解 （2）解分式方程去分母时，首先要找准最简公分母，注意最简公分母要包含各分式所有分母的因式，分母 是多项式的，应先分解因式，再从系数、相同字母、不同字母三个方面考虑，其中系数取最小公倍数，相 同字母或因式取最高次幂
2、，互为相反数的因式，注意通过符号变化取其中一个作为最简公分母的因式即可； 其次，依据等式的基本性质，分式方程的每一项都要乘以最简公分母，特别不要漏乘没有分母的项，还要 注意不要去掉括号以及避免符号变形错误 （3）解分式方程必须验根，一般方法为把所解得的未知数的值代入最简公分母，若为零则为増根，不为零 则为原分式方程的解 2. 解分式方程的一般方法是把分式方程化成整式方程来解，并且一定要检验方程的根，把增根舍去.本题也 可以把各选项的值代入方程找出正确的选项. 3. 列方程解应用题的基本步骤： 审题：找出题目中的（等量和不等量）关系，这是关键 设未知数，根据题目的要求设立未知数的个数 列方程或不
3、等式，列出方程可以是整式方程也可以是分式方程 解方程或不等式 在方程中，在（把未知数代入原方程）中检验，并作答，如果是分式方程要写检验的步骤；即使适合原 方程的解还要看是不是适合题目的含义 【解题策略】 建模思想，根据实际问题，找出数量及数量关系，建立方程组的模型，求解后要根据问题的实际意义检验 结果的合理性 1.列方程(组)解应用题的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系，一般来说，有几个未 知量就要列出几个方程，所列方程必须注意：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方 2 程两边的数值要相等 2求出未知数的解后，要进行两次检验：(1)检验是否为方程的
4、解；(2)检验是否符合客观事实 3答案问题中的等量关系的方法一般有：图示法，列表法 【典例精析】 类型一：分式方程的解法 【例 1】 （2019湖南岳阳4 分）分式方程 12 = +1xx 的解为 x 【答案】1 【解答】解：方程两边同乘 x（x+1） ， 得 x+12x， 解得 x1 将 x1 代入 x（x+1）20 所以 x1 是原方程的解 【例 2】 （2019，四川巴中，4 分）若关于 x 的分式方程 2 +2 -22 xm m xx 有增根，则 m 的值为 【答案】1 【解答】解：方程两边都乘 x2，得 x2m2m（x2） 原方程有增根， 最简公分母 x20， 解得 x2， 当 x2
5、 时，m1 故 m 的值是 1， 故答案为 1 类型三：分式方程的应用 【例 3】 （2019湖南衡阳8 分）某商店购进 A、B 两种商品，购买 1 个 A 商品比购买 1 个 B 商品多花 10 元， 并且花费 300 元购买 A 商品和花费 100 元购买 B 商品的数量相等 （1）求购买一个 A 商品和一个 B 商品各需要多少元； （2）商店准备购买 A、B 两种商品共 80 个，若 A 商品的数量不少于 B 商品数量的 4 倍，并且购买 A、B 商 品的总费用不低于 1000 元且不高于 1050 元，那么商店有哪几种购买方案？ 【答案】 （1）购买一个 A 商品需要 15 元，购买一
6、个 B 商品需要 5 元； 3 （2）有 2 种购买方案，方案：购进 A 商品 65 个、B 商品 15 个；方案：购进 A 商品 64 个、B 商品 16 个 【解答】解： （1）设购买一个 B 商品需要 x 元，则购买一个 A 商品需要（x+10）元， 依题意，得： 300100 = 100 xx ， 解得：x5， 经检验，x5 是原方程的解，且符合题意， x+1015 答：购买一个 A 商品需要 15 元，购买一个 B 商品需要 5 元 （2）设购买 B 商品 m 个，则购买 A 商品（80m）个， 依题意，得：， 解得：15m16 m 为整数， m15 或 16 商店有 2 种购买方案
7、，方案：购进 A 商品 65 个、B 商品 15 个；方案：购进 A 商品 64 个、B 商品 16 个 【真题检测】 1. （2019山东省聊城市3 分）如果分式的值为 0，那么 x 的值为（ ） A1 B1 C1 或 1 D1 或 0 【答案】B 【解答】解：根据题意，得 |x|10 且 x+10， 解得，x1 故选：B 2. （2019，山东淄博，4 分）解分式方程 11 = 22 x xx 2 时，去分母变形正确的是（ ） A1+x12（x2） B1x12（x2） C1+x1+2（2x） D1x12（x2） 4 【答案】B 【解答】解：去分母得：1x12（x2） ， 故选：D 3. （
8、2019湖南株洲3 分）关于 x 的分式方程0 的解为（ ） A3 B2 C2 D3 【答案】B 【解答】解：去分母得：2x65x0， 解得：x2， 经检验 x2 是分式方程的解， 故选：B 4.（2019山东省济宁市 3 分）世界文化遗产“三孔”景区已经完成 5G 基站布设，“孔夫子家”自此有了 5G 网 络5G 网络峰值速率为 4G 网络峰值速率的 10 倍，在峰值速率下传输 500 兆数据，5G 网络比 4G 网络快 45 秒，求这两种网络的峰值速率 设 4G 网络的峰值速率为每秒传输 x 兆数据，依题意，可列方程是 （ ） A45 B45 C45 D45 【答案】A 【解答】解：设 4
9、G 网络的峰值速率为每秒传输 x 兆数据，依题意，可列方程是： 45 故选：A 5.（ 2019湖北黄石3 分）分式方程： 2 41 -1 44xx x 的解为 【答案】x1 【解答】解：去分母得：4xx24x，即 x23x40， 解得：x4 或 x1， 经检验 x4 是增根，分式方程的解为 x1， 故答案为：x1 6. （2019山东省滨州市 5 分）方程+1的解是 x1 【答案】x1 【解答】解：去分母，得 x3+x23， 5 移项、合并，得 2x2， 解得 x1， 检验：当 x1 时，x20， 所以，原方程的解为 x1， 故答案为：x1 7. .(2019四川省绵阳市3 分)一艘轮船在静
10、水中的最大航速为 30km/h， 它以最大航速沿江顺流航行 120km所 用时间，与以最大航速逆流航行 60km所用时间相同，则江水的流速为_km/h 【答案】10 【解析】解：设江水的流速为 xkm/h，根据题意可得： =，解得：x=10， 经检验得：x=10 是原方程的根， 答：江水的流速为 10km/h故答案为：10 8. （2019四川省广安市6 分）解分式方程： 2 4 -1= 244 x xxx 【答案】x4 【解答】解： 2 4 -1= 244 x xxx ， 方程两边乘（x2）2得：x（x2）（x2）24， 解得：x4， 检验：当 x4 时， （x2）20 所以原方程的解为 x
11、4 9. （2019山东威海7 分）列方程解应用题： 小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球他们两家到体育公园的距离分别是 1200 米，3000 米，小刚骑 自行车的速度是小明步行速度的 3 倍，若二人同时到达，则小明需提前 4 分钟出发，求小明和小刚两人的 速度 【答案】小明的速度是 50 米/分钟，则小刚骑自行车的速度是 150 米/分钟 【解答】解：设小明的速度是 x 米/分钟，则小刚骑自行车的速度是 3x 米/分钟，根据题意可得： 12003000 -4= 3xx ， 解得：x50， 经检验得：x50 是原方程的根，故 3x150， 6 答：小明的速度是 50 米/分钟，则小刚骑自行
12、车的速度是 150 米/分钟 10. （2019山东潍坊10 分）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市 场与去年相比，今年这种水果的产量增加了 1000 千克，每千克的平均批发价比去年降低了 1 元，批发销 售总额比去年增加了 20% （1）已知去年这种水果批发销售总额为 10 万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？ （2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果调查发现，若每千克的平均销售价为 41 元，则每天可 售出 300 千克；若每千克的平均销售价每降低 3 元，每天可多卖出 180 千克，设水果店一天的利润为 w 元， 当每千克的平均销售价为多少
13、元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费 用忽略不计 ） 【答案】 （1）是 24 元 （2）每千克的平均销售价为 35 元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是 7260 元 【解答】解： （1）由题意，设这种水果今年每千克的平均批发价是 x 元，则去年的批发价为（x+1）元，今 年的批发销售总额为 10（120%）12 万元 120000 100000 -=1000 1xx 整理得 x219x1200 解得 x24 或 x5（不合题意，舍去） 故这种水果今年每千克的平均批发价是 24 元 （2）设每千克的平均售价为 m 元，依题意 由（1）知平均批发价为 24 元，则有 w（m24） （ 41 3 m 180+300）60m2+4200m66240 整理得 w60（m35）2+7260 a600 抛物线开口向下 当 m35 元时，w 取最大值 即每千克的平均销售价为 35 元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是 7260 元
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