1、 1 第 05 讲 一次方程（组） 【考点导引】 1.了解等式、方程、一元一次方程和二元一次方程(组)的概念，掌握等式的基本性质 2掌握一元一次方程的标准形式，熟练掌握一元一次方程和二元一次方程组的解法 3会列方程(组)解决实际问题. 【难点突破】 1. 二元一次方程组的解法：一是代入法，即用一个未知数表示另一个未知数作为第三方程，然后将此方程 代入第二方程中求解；二是加减法，即把两个方程中一个未知数的系数通过两边同时乘除同一个数的方式 将未知数系数变为相同或互为相反数，当未知数的系数相同时用两式相减法消去一个未知数变为一元一次 方程，当未知数的系数互为相反数时用两式相加法消去一个未知数变为一
2、元一次方程，再通过解两个一元 一次方程求得方程组的解 2.利用一元一次方程解决实际问题的关键是找出题目中包含的等量关系，然后设合适的未知数，从而列出符 合要求的方程. 由实际问题抽象出二元一次方程组的主要步骤是：(1)弄清题意；(2)找准题中的两个等量关 系；(3)设出合适的未知数；(4)根据找到的等量关系列出两个方程并组成二元一次方程组 【解题策略】 常见的几种方程类型及等量关系 1行程问题中的基本量之间的关系 路程速度 时间； 相遇问题：全路程甲走的路程乙走的路程； 追及问题：若甲为快者，则被追路程甲走的路程乙走的路程； 流水问题：v顺v静v水，v逆v静v水 2工程问题中的基本量之间的关系
3、 工作效率工作总量 工作时间. (1)甲、乙合作的工作效率甲的工作效率乙的工作效率 (2)通常把工作总量看作“1” 【典例精析】 类型一：一元一次方程的解法及其简单应用 【例 1】 （2019贵州毕节3 分）如果 3ab2m 1 与 9abm+1是同类项，那么 m 等于（ ） A2 B1 C1 D0 2 【答案】A 【解答】解：根据题意可得：2m1m+1， 解得：m2， 选：A 类型二：二元一次方程组的有关概念 【例 2】 （2019贵州黔东3 分）已知是方程组的解，则 a+b 的值为 【答案】1 【解答】解：把代入方程组得：， +得：3a+3b=3， a+b=1， 故答案为：1 把代入方程组
4、得：，相加可得出答案 类型三：二元一次方程组的解法 【例 3】 （2019浙江金华6 分）解方程组： 【答案】 【解析】 ：原方程可变形为： ， +得：6y=6， 解得：y=1， 将 y=1 代入得： x=3， 原方程组的解为： . 类型四：列方程(组)解决实际问题 【例 4】1.（2019湖北天门3 分）把一根 9m 长的钢管截成 1m 长和 2m 长两种规格均有的短钢管，且没有 余料，设某种截法中 1m 长的钢管有 a 根，则 a 的值可能有（ ） A3 种 B4 种 C5 种 D9 种 【答案】B 【解答】解：设 2m 的钢管 b 根，根据题意得： 3 a+2b9， A.b 均为整数，
5、1 4 a b ， 3 3 a b ， 5 2 a b ， 7 1 a b 故选：B 2.（2019湖北黄石8 分）“今有善行者行一百步，不善行者行六十步”（出自九章算术 ）意思是：同样 时间段内，走路快的人能走 100 步，走路慢的人只能走 60 步假定两者步长相等，据此回答以下问题： （1）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几何步隔之？即：走 路慢的人先走 100 步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走 600 步时，请问谁在前面，两人相隔多少 步？ （2）今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？即：走路慢的人先走 200 步，请问走路快的人
6、走多少步才能追上走路慢的人？ 【答案】 （1）当走路慢的人再走 600 步时，走路快的人在前面，两人相隔 300 步 （2）走 500 步. 【解答】解： （1）设当走路慢的人再走 600 步时，走路快的人的走 x 步，由题意得 x：600100：60 x1000 1000600100300 答：当走路慢的人再走 600 步时，走路快的人在前面，两人相隔 300 步 （2）设走路快的人走 y 步才能追上走路慢的人，由题意得 y200+ 60 100 yy y500 答：走路快的人走 500 步才能追上走路慢的人 【真题检测】 1.（2019湖南怀化4 分）一元一次方程 x20 的解是（ ） A
7、x2 Bx2 Cx0 Dx1 【答案】A 【解答】解：x20， 解得：x2 4 故选：A 2. ( 2019 甘肃省兰州市) （4 分）九章算术是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题:五只雀、六 只燕共重一斤；雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量 为 x 斤，一只燕的重量为 y 斤，则可列方程为 （ ） A. xyyx yx 65 165 B. xyyx yx 65 156 C. xyyx yx 54 165 D. xyyx yx 54 156 【答案】C 【解析】根据题目条件找出等量关系并列出方程： （1）五只雀和六只燕共重一斤，列出方程:5x
8、+6y1 (2) 互换其中一只，恰好一样重，即四只雀和一只燕的重量等于五只燕一只雀的重量，列出方程： 4x+y5y+x，故选 C. 3. （2019贵州黔东4 分）如果 3ab2m1与 9abm+1是同类项，那么 m 等于（ ） A2 B1 C1 D0 【答案】A 【解答】解：根据题意，得：2m1m+1， 解得：m2 故选：A 4. （2019浙江宁波4 分）小慧去花店购买鲜花，若买 5 支玫瑰和 3 支百合，则她所带的钱还剩下 10 元； 若买 3 支玫瑰和 5 支百合，则她所带的钱还缺 4 元若只买 8 支玫瑰，则她所带的钱还剩下（ ） A31 元 B30 元 C25 元 D19 元 【答
9、案】A 【解答】解：设每支玫瑰 x 元，每支百合 y 元， 依题意，得：5x+3y+103x+5y4， yx+7， 5x+3y+108x5x+3（x+7）+108x31 故选：A 5. （2019， 四川巴中， 4 分） 已知关于 x、 y 的二元一次方程组的解是， 则 a+b 的值是 （ ） A1 B2 C1 D0 【答案】B 【解答】解：将代入得： 5 ， a+b2； 故选：B 6.（2019湖南株洲3 分） 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有善行 者行一百步，不善行者行六十步今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？“其意思为：速度 快的人走 100
10、步，速度慢的人只走 60 步，现速度慢的人先走 100 步，速度快的人去追赶，则速度快的人要 走 步才能追到速度慢的人 【答案】250 【解答】解：设走路快的人追上走路慢的人所用时间为 t， 根据题意得： （10060）t100， 解得：t2.5， 100t100 2.5250 答：走路快的人要走 250 步才能追上走路慢的人 故答案是：250 7.（2019湖南岳阳4 分）我国古代的数学名著九章算术中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五日 织五尺问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5 日共织布 5 尺问每日各织多 少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布
11、尺 【答案】 5 31 【解答】解：设第一天织布 x 尺，则第二天织布 2x 尺，第三天织布 4x 尺，第四天织布 8x 尺，第五天织布 16x 尺，根据题意可得： x+2x+4x+8x+16x5， 解得：x 5 31 ， 即该女子第一天织布 5 31 尺 故答案为： 5 31 8. （2019湖南怀化8 分）解二元一次方组： 【答案】 6 【解答】解：， +得： 2x8， 解得：x4， 则 43y1， 解得：y1， 故方程组的解为： 9. （2019甘肃6 分）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中孙子算经中 有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人
12、与车各几何？译文为：今有若干人乘 车，每 3 人共乘一车，最终剩余 2 辆车，若每 2 人共乘一车，最终剩余 9 个人无车可乘，问共有多少人， 多少辆车？ 【答案】共有 39 人，15 辆车 【解答】解：设共有 x 人， 根据题意得：+2， 去分母得：2x+123x27， 解得：x39， 15， 则共有 39 人，15 辆车 10. (2019 甘肃省陇南市)（6 分）小甘到文具超市去买文具请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记 本的单价分别是多少元？ 【答案】是 2 元、6 元 【解答】解：设中性笔和笔记本的单价分别是 x 元、y 元，根据题意可得： 7 1220112 12 +20144
13、 yx xy ， 解得： 2 6 x y ， 答：中性笔和笔记本的单价分别是 2 元、6 元 11. (2019 安徽)（8 分）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高 速公路其中一段长为 146 米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工甲工程队独立工作 2 天后， 乙工程队加入，两工程队又联合工作了 1 天，这 3 天共掘进 26 米已知甲工程队每天比乙工程队多掘进 2 米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？ 【答案】工作 10 天 【解答】解：设甲工程队每天掘进 x 米，则乙工程队每天掘进（x2）米， 由题意，得 2x+（
14、x+x2）26， 解得 x7， 所以乙工程队每天掘进 5 米， 146-26 7+5 =10（天） 答：甲乙两个工程队还需联合工作 10 天 12. （2019山东省聊城市8 分）某商场的运动服装专柜，对 A，B 两种品牌的运动服分两次采购试销后，效 益可观，计划继续采购进行销售已知这两种服装过去两次的进货情况如下表： 第一次 第二次 A 品牌运动服装数/件 20 30 B 品牌运动服装数/件 30 40 累计采购款/元 10200 14400 （1）问 A，B 两种品牌运动服的进货单价各是多少元？ （2）由于 B 品牌运动服的销量明显好于 A 品牌，商家决定采购 B 品牌的件数比 A 品牌件
15、数的倍多 5 件， 在采购总价不超过 21300 元的情况下，最多能购进多少件 B 品牌运动服？ 【答案】 （1）各是 240 元和 180 元； （2）最多能购进 65 件 B 品牌运动服 【解答】解： （1）设 A，B 两种品牌运动服的进货单价各是 x 元和 y 元，根据题意可得： 8 ， 解得：， 答：A，B 两种品牌运动服的进货单价各是 240 元和 180 元； （2）设购进 A 品牌运动服 m 件，购进 B 品牌运动服（m+5）件， 则 240m+180（m+5）21300， 解得：m40， 经检验，不等式的解符合题意， m+5 40+565， 答：最多能购进 65 件 B 品牌运动服
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