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    第13讲 二次函数及其应用(学生版) 备战2021中考数学专题复习分项提升

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    第13讲 二次函数及其应用(学生版) 备战2021中考数学专题复习分项提升

    1、 1 第第 1313 讲讲 二次函数及其应用二次函数及其应用 1二次函数的概念及解析式 (1)概念:形如 yax 2bxc(其中 a,b,c 是常数,且 a0)的函数叫做二次函数,利用配方可以把二次 函数 yax 2bxc 表示成 ya(xb 2a) 24acb 2 4a . (2)二次函数解析式的三种形式: 一般式 yax 2bxc(a,b,c 是常数,a0); 交点式 ya(xx1)(xx2)(a,x1,x2是常数,a0)(x1,0)、(x2,0)是函数与 x 轴的交点坐标; 顶点式 ya(xh) 2k(a,h,k 是常数,a0),其顶点坐标为 三种解析式之间的关系: 顶点式 配方 一般式

    2、 因式分解交点式 解析式的求法: 确定二次函数的解析式,一般用待定系数法,由于二次函数解析式有三个待定系数 a,b,c(或 a,h,k 或 a,x1,x2),因而确定二次函数解析式需要已知三个独立的条件: a已知抛物线上任意三个点的坐标时,选用一般式 b已知抛物线的顶点坐标时,选用顶点式 c已知抛物线与 x 轴两个交点的坐标(或横坐标 x1,x2)时,选用交点式 2二次函数的图象和性质 二次函数 yax 2bxc(其中 a,b,c 是常数,且 a0)的图象是抛物线 (1)当 a0 时,抛物线的开口向上;对称轴是直线 ; 当 x b 2a时,y 有最小值,为 4acb 2 4a ; 在对称轴左边

    3、(即 x b 2a)时,y 随 x 的增大而减小; 在对称轴右边(即 x b 2a)时,y 随 x 的增大而增大; 顶点( b 2a, 4acb 2 4a )是抛物线上位置最低的点; (2)当 a0 时,抛物线的开口向下;对称轴是直线 x b 2a; 2 当 x b 2a时,y 有最大值,为 4acb 2 4a ,在对称轴左边(即 x b 2a)时, y 随 x 的增大而减小;顶点( b 2a, 4acb 2 4a )是抛物线上位置最高的点 4二次函数函数的变换 (1)二次函数图象的平移: 二次函数的平移可看作是二次函数的顶点坐标的平移,即解决这类问题先把二次函数化为顶点式,由顶 点坐标的平移

    4、确定函数的平移 平移规律:将抛物线 ya(xh) 2k 向左移 m 个单位得 ya(xhm)2k;向右平移 m 个单位得 ; 向上平移 m 个单位得 ya(xh) 2km;向下平移 m 个单位得 简记为“h:左加右减,k:上 加下减” (2)二次函数图象的对称: 两抛物线关于 x 轴对称,此时顶点关于 x 轴对称,a 的符号相反; 两抛物线关于 y 轴对称,此时顶点关于 y 轴对称,a 的符号不变; (3)二次函数图象的旋转:开口反向(或旋转 180),此时顶点坐标不变,只是 a 的符号相反 5二次函数与一元二次方程之间的关系 方程 ax 2bxc0 的解是二次函数 yax2bxc 与 x 轴

    5、交点的横坐标解一元二次方程 ax2bxck 就是求二次函数 yax 2bxc 与直线 yk 的交点的横坐标 (1)当 b 24ac0 时,抛物线与 x 轴有两个交点,方程有两个不相等的实数根; (2)当 b 24ac0 时,抛物线与 x 轴有 ,方程有两个相等的实数根; (3)当 b 24ac y1 y2 B. 2 y2 y1 C. y1 y22 D. y2 y12 2. (2018广西)将抛物线 y=x 26x+21 向左平移 2 个单位后,得到新抛物线的解析式为( ) Ay=(x8) 2+5 By=(x4) 2+5 Cy=(x8) 2+3 Dy=(x4) 2+3 3. (2019江苏连云港

    6、3 分)如图,利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD,其中C120若新 建墙BC与CD总长为 12m,则该梯形储料场ABCD的最大面积是( ) A18m 2 B18 3m 2 C24 3m 2 D 45 3 2 m 2 4. (2018滨州)如图,若二次函数 y=ax 2+bx+c(a0)图象的对称轴为 x=1,与 y 轴交于点 C,与 x 轴交 于点 A、点 B(1,0),则 二次函数的最大值为 a+b+c; ab+c0; b 24ac0; 当 y0 时,1x3,其中正确的个数是( ) A1 B2 C3 D4 6 二、填空题: 5. (2018四川自贡4 分)若函数 y=x 2+2xm

    7、的图象与 x 轴有且只有一个交点,则 m 的值为 1 6. (2018 四川省绵阳市)右图是抛物线型拱桥,当拱顶离水面 2m 时,水面宽 4m,水面下降 2m,水面宽度增 加_m。 7. (2019四川省凉山州5 分)当 0 x3 时,直线ya与抛物线y(x1) 23 有交点,则 a的取值 范围是 9. 在平面直角坐标系中,抛物线yx 2的图象如图所示已知 A点坐标为(1,1) ,过点A作AA1x轴交抛 物线于点A1,过点A1作A1A2OA交抛物线于点A2,过点A2作A2A3x轴交抛物线于点A3,过点A3作A3A4OA 交抛物线于点A4,依次进行下去,则点A2019的坐标为 三、解答题: 10

    8、. 某商人将进价为每件 8 元的某种商品按每件 10 元出售,每天可销出 100 件他想采用提高售价的办法 来增加利润经试验,发现这种商品每件每提价 1 元,每天的销售量就会减少 10 件 (1)请写出售价 x(元/件)与每天所得的利润 y(元)之间的函数关系式; (2)每件售价定为多少元,才能使一天的利润最大? 7 11. (2018石家庄十八县大联考)如图,曲线 BC 是反比例函数 yk x(4x6)的一部分,其中点 B(4,1 m),C(6,m),抛物线 yx 22bx 的顶点记作 A. (1)求 k 的值; (2)判断点 A 是否与点 B 重合; (3)若抛物线与 BC 有交点,求 b

    9、 的取值范围 12. (2019贵州毕节 12 分)某山区不仅有美丽风光,也有许多令人喜爱的土特产,为实现脱贫奔小康, 某村织村民加工包装土特产销售给游客,以增加村民收入已知某种士特产每袋成本 10 元试销阶段每袋 的销售价x(元)与该士特产的日销售量y(袋)之间的关系如表: x(元) 15 20 30 y(袋) 25 20 10 若日销售量y是销售价x的一次函数,试求: (1)日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式; (2)假设后续销售情况与试销阶段效果相同,要使这种土特产每日销售的利润最大,每袋的销售价应定为 多少元?每日销售的最大利润是多少元? 8 13. (2019湖北省咸宁市12 分)如图,在平面直角坐标系中,直线yx+2 与x轴交于点A,与y轴 交于点B,抛物线yx 2+bx+c 经过A,B两点且与x轴的负半轴交于点C (1)求该抛物线的解析式; (2)若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点,当ABD2BAC时,求点D的坐标; (3)已知E,F分别是直线AB和抛物线上的动点,当B,O,E,F为顶点的四边形是平行四边形时,直接 写出所有符合条件的E点的坐标


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