1、 1 第第 2020 讲讲 矩形、菱形和正方形矩形、菱形和正方形 1矩形、菱形、正方形的性质 矩形 菱形 正方形 边 两组对边 分别平行且相等. 两组对边分别_平行 _，四条边都_相等 两组对边分别_平行 _，四条边都_相等 角 四个角都是_直角 对角相等，邻角_互补 四个角都是_直角 对 角 线 互相平分；相等 互相平分；互相垂直； 每条对角线平分一组对角 互相平分；互相垂 直；相等；每条对 角线平分一组对角 对 称 性 中心对称；轴对称 且有 2 条对称轴 中心对称；轴对称且有 2 条对称轴 中心对称；轴对称 且有 4 条对称轴 面积 Sab(a、b 表示长与 宽) S1 2mn(m、n
2、表示两条对角线 的长) Sa2(a 表示边长) 2.矩形、菱形、正方形的判定 矩形：有一个角是直角的平行四边形； 对角线相等的平行四边形； 有三个角是直角四边形； 菱形：有一组邻边_相等_的平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形；四条边都相等的四边形； 正方形：一组邻边相等的矩形；有一个角是直角的菱形；对角线 互相垂直且 相等的平行四边形。 3.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系 2 考点 1：矩形性质与判定 【例题 1】(2019 湖北咸宁市)（ （7 分）在 RtABC 中，C90，A30，D，E，F 分别是 AC，AB， BC 的中点，连接 ED，EF （1）求证：四边形 DEFC
3、 是矩形； （2）请用无刻度的直尺在图中作出ABC 的平分线（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】 （1）首先证明四边形 DEFC 是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断 （2）连接 EC，DF 交于点 O，作射线 BO 即可 【解答】 （1）证明：D，E，F 分别是 AC，AB，BC 的中点， DEFC，EFCD， 四边形 DEFC 是平行四边形， DCF90， 四边形 DEFC 是矩形 （2）连接 EC，DF 交于点 O，作射线 BO，射线 BO 即为所求 3 归纳：与矩形有关的计算：(1)若题目中涉及矩形的折叠，要注意折叠前后对应线段相等、对应角相等，即 被折叠的角折
4、叠之后在任何位置依旧是直角； (2)因为矩形四个角都是直角，则想到将所求或涉及的线段放在直角三角形中，常用到勾股定理，特殊角三 角函数的计算； (3)常结合矩形对角线相等且互相平分的性质，故可根据矩形对角线的关系应用全等三角形的判定和性质或 等腰三角形的性质进行求解 考点 2：菱形的性质与判定 【例题 2】在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O. (1)如图 1，若点 E，F 分别为边 AB，AD 的中点，连接 EF，OE，OF，求证：四边形 AEOF 是菱形； 图 1 图 2 (2)如图 2，若 E，F 分别在射线 DB 和射线 BD 上，且 BEDF. 求证：四边形 A
5、ECF 是菱形； 若AEC60，AE6，ABBE，求 AB 的长 【点拨】(1)利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，结合四条边相等的四边形是菱形证明；(2)对于 可利用对角线互相垂直且平分的四边形是菱形进行证明，对于可利用菱形的性质，转化到 RtABO 中 进行求解 【解答】解：(1)证明：点 E，F 分别为 AB，AD 的中点， AE1 2AB，AF 1 2AD. 又四边形 ABCD 是菱形，ABAD，ACBD. E，F 是 AB，AD 的中点，AEAFOFOE. 四边形 AEOF 是菱形 (2)证明：四边形 ABCD 是菱形，ODOB，OAOC，BDAC. BEDF，OBBEODDF，
6、即 OEOF. 四边形 AECF 是菱形 4 四边形 AECF 是菱形，AECE，AOEF，AEOCEO. AEC60，AEO30. AE6，AO3. ABBE，BAEAEB30.ABOAEBBAE60. 在 RtAOB 中，AB AO sinABO 3 sin602 3. 归纳：1.菱形判定的一般思路：首先判定四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的邻边相等判定是菱 形，这是判定菱形的最基本思路，同时也可以考虑其他判定方法，例如若能判定平行四边形对角线垂直即 可判定为菱形等； 2应用菱形性质计算的一般思路：菱形四边相等；菱形对角线相互垂直：常借助勾股定理和锐角三角函数 来求线段的长，有一个角
7、为 60的菱形，60所对的对角线将菱形分成两个全等的等边三角形也可以根 据菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，结合它的对称性得出的一些结论 考点 3： 正方形的性质与判定 【例题 3】(2018遵义)如图，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O，点 E，F 分别在 AB，BC 上(AEBE)，且 EOF90，OE，DA 的延长线交于点 M，OF，AB 的延长线交于点 N，连接 MN. (1)求证：OMON； (2)若正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 OM 的中点，求 MN 的长 【解析】 ：(1)证明：四边形 ABCD 是正方形， OAOB，DAOOBA45. OAMOBN135. E
8、OFAOB90， AOMBON. OAMOBN(ASA) OMON. (2)过点 O 作 OHAD 于点 H. 5 正方形 ABCD 的边长为 4， OHHA2. E 为 OM 的中点， A 为 HM 的中点 HM4. OM 2 2422 5. MN 2OM2 10. 归纳： 1证明一个四边形是正方形的方法是先证明它是矩形，再证明它是菱形；或先证明它是菱形，再 证明它是矩形，其证明过程往往需要借助全等三角形2在正方形中求解策略是：利用正方形四个角都是 直角或对角线互相垂直且平分相等，通过勾股定理求解 注：正方形可以看作两个全等的等腰直角三角形以斜边为重合边拼接在一起 一、选择题： 1. （20
9、19南京2 分）面积为 4 的正方形的边长是（ ） A4 的平方根 B4 的算术平方根 C4 开平方的结果 D4 的立方根 【答案】B 【解答】解：面积为 4 的正方形的边长是，即为 4 的算术平方根； 故选：B 2. （2019浙江绍兴4 分）正方形 ABCD 的边 AB 上有一动点 E，以 EC 为边作矩形 ECFG，且边 FG 过点 D在 点 E 从点 A 移动到点 B 的过程中，矩形 ECFG 的面积（ ） A先变大后变小 B先变小后变大 C一直变大 D保持不变 6 【答案】D 【解答】解：正方形 ABCD 和矩形 ECFG 中， DCBFCE90，FB90， DCFECB， BCEF
10、CD， ， CFCECBCD， 矩形 ECFG 与正方形 ABCD 的面积相等 故选：D 3. （2018新疆生产建设兵团5 分）如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=6cm，BC=8cm现将其沿 AE 对折，使 得点 B 落在边 AD 上的点 B1处，折痕与边 BC 交于点 E，则 CE 的长为（ ） A6cm B4cm C3cm D2cm 【答案】D 【解答】解：沿 AE 对折点 B 落在边 AD 上的点 B1处， B=AB1E=90，AB=AB1， 又BAD=90， 四边形 ABEB1是正方形， BE=AB=6cm， CE=BCBE=86=2cm 故选：D 4. （2018 广西贵港）如图
11、，在菱形 ABCD 中，AC=62，BD=6，E 是 BC 边的中点，P，M 分别是 AC，AB 上 的动点，连接 PE，PM，则 PE+PM 的最小值是（ ） A6 B33 C2 6 D4.5 7 【答案】C 【解答】解：如图，作点 E 关于 AC 的对称点 E，过点 E作 EMAB 于点 M，交 AC 于点 P， 则点 P、M 即为使 PE+PM 取得最小值， 其 PE+PM=PE+PM=EM， 四边形 ABCD 是菱形， 点 E在 CD 上， AC=6 2，BD=6， AB=3 3， 由 S菱形 ABCD= 1 2 ACBD=ABEM 得 1 2 626=3 3EM， 解得：EM=2 6
12、， 即 PE+PM 的最小值是 2 6， 故选：C 5. （2018 广西南宁）如图，矩形纸片 ABCD，AB=4，BC=3，点 P 在 BC 边上，将CDP 沿 DP 折叠，点 C 落在 点 E 处，PE、DE 分别交 AB 于点 O、F，且 OP=OF，则 cosADF 的值为（ ） A 11 13 B 13 15 C 15 17 D17 19 【答案】C 【解答】根据折叠，可知：DCPDEP， 8 DC=DE=4，CP=EP 在OEF 和OBP 中， OEFOBP（AAS） ， OE=OB，EF=BP 设 EF=x，则 BP=x，DF=DEEF=4x， 又BF=OB+OF=OE+OP=P
13、E=PC，PC=BCBP=3x， AF=ABBF=1+x 在 RtDAF 中，AF 2+AD2=DF2，即（1+x）2+32=（4x）2， 解得：x= 3 5 ， DF=4x=17 5 ， cosADF= AD DF = 15 17 故选：C 二、填空题： 6. 已知正方形 ABCD 边长为 2，E 是 BC 边上一点，将此正方形的一只角 DCE 沿直线 DE 折叠，使 C 点恰好落 在对角线 BD 上，则 BE 的长等于 【答案】42 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， 9 CD=2，BD=2，EBD=45， 将此正方形的一只角 DCE 沿直线 DE 折叠，使 C 点恰好落在对角线 B
14、D 上， DC=DC=2，DCE=C=90， BC=22，BCE=90， BE=BC=42， 故答案为：42 7. （2019四川省凉山州5 分）如图，正方形 ABCD 中，AB12，AEAB，点 P 在 BC 上运动（不与 B、C 重合） ，过点 P 作 PQEP，交 CD 于点 Q，则 CQ 的最大值为 4 【答案】4 【解答】解：BEP+BPE90，QPC+BPE90， BEPCPQ 又BC90， BPECQP 设 CQy，BPx，则 CP12x ，化简得 y（x 212x） ， 整理得 y（x6） 2+4， 所以当 x6 时，y 有最大值为 4 故答案为 4 8. （2018 广西贵港
15、） 如图， 将矩形 ABCD 折叠， 折痕为 EF， BC 的对应边 BC与 CD 交于点 M， 若BMD=50， 则BEF 的度数为 10 【答案】70 【解答】解：C=C=90，DMB=CMF=50， CFM=40， 设BEF=，则EFC=180，DFE=BEF=，CFE=40+， 由折叠可得，EFC=EFC， 180=40+， =70， BEF=70， 故答案为：70 9. （2019湖北省咸宁市3 分）如图，先有一张矩形纸片 ABCD，AB4，BC8，点 M，N 分别在矩形的边 AD，BC 上，将矩形纸片沿直线 MN 折叠，使点 C 落在矩形的边 AD 上，记为点 P，点 D 落在 G
16、 处，连接 PC， 交 MN 于点 Q，连接 CM下列结论： CQCD； 四边形 CMPN 是菱形； P，A 重合时，MN2； PQM 的面积 S 的取值范围是 3S5 其中正确的是 （把正确结论的序号都填上） 【答案】 【解答】解：如图 1， 11 PMCN， PMNMNC， MNCPNM， PMNPNM， PMPN， NCNP， PMCN， MPCN， 四边形 CNPM 是平行四边形， CNNP， 四边形 CNPM 是菱形，故正确； CPMN，BCPMCP， MQCD90， CPCP， 若 CQCD，则 RtCMQCMD， DCMQCMBCP30，这个不一定成立， 故错误； 点 P 与点
17、A 重合时，如图 2， 12 设 BNx，则 ANNC8x， 在 RtABN 中，AB 2+BN2AN2， 即 4 2+x2（8x）2， 解得 x3， CN835，AC， ， ， MN2QN2 故正确； 当 MN 过点 D 时，如图 3， 此时，CN 最短，四边形 CMPN 的面积最小，则 S 最小为 S， 当 P 点与 A 点重合时，CN 最长，四边形 CMPN 的面积最大，则 S 最大为 S， 4S5， 故错误 故答案为： 三、解答题： 10. （2019浙江宁波10 分）如图，矩形 EFGH 的顶点 E，G 分别在菱形 ABCD 的边 AD，BC 上，顶点 F，H 在 菱形 ABCD 的
18、对角线 BD 上 （1）求证：BGDE； （2）若 E 为 AD 中点，FH2，求菱形 ABCD 的周长 13 【分析】 （1）根据矩形的性质得到 EHFG，EHFG，得到GFHEHF，求得BFGDHE，根据菱形的 性质得到 ADBC，得到GBFEDH，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）连接 EG，根据菱形的性质得到 ADBC，ADBC，求得 AEBG，AEBG，得到四边形 ABGE 是平行四边 形，得到 ABEG，于是得到结论 【解答】解： （1）四边形 EFGH 是矩形， EHFG，EHFG， GFHEHF， BFG180GFH，DHE180EHF， BFGDHE， 四边形 ABC
19、D 是菱形， ADBC， GBFEDH， BGFDEH（AAS） ， BGDE； （2）连接 EG， 四边形 ABCD 是菱形， ADBC，ADBC， E 为 AD 中点， AEED， BGDE， AEBG，AEBG， 四边形 ABGE 是平行四边形， ABEG， EGFH2， AB2， 菱形 ABCD 的周长8 14 11. 如图，O 是矩形 ABCD 的对角线的交点，E，F，G，H 分别是 OA，OB，OC，OD 上的点 (1)若 AEBFCGDH.求证：四边形 EFGH 是矩形； (2)若 E，F，G，H 分别是 OA，OB，OC，OD 的中点，且 DGAC，OF2，求矩形 ABCD 的
20、面积 【点拨】(1)在矩形 ABCD 对角线上有条件，同时还在四边形 EFGH 对角线上有条件，所以可通过对角线判定 矩形；(2)求矩形 ABCD 的面积可转化成求 AC 与 DG 的积或转化成 AD 与 CD 的积 【解答】解：(1)证明：四边形 ABCD 是矩形， OAOBOCOD. AEBFCGDH，OEOFOGOH. 四边形 EFGH 是矩形 (2)四边形 ABCD 是矩形，OAOBOCOD. OE1 2OA，OF 1 2OB，OG 1 2OC，OH 1 2OD，OEOFOGOH. 四边形 EFGH 是矩形 DGAC，OG2，OD4.DG2 3. 又AC4OF8，SADC1 2ACDG
21、8 3. S矩形 ABCD2SADC16 3. 12. （2019山东省滨州市 13 分）如图，矩形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上，将BCE 沿 BE 折叠，点 C 落在 AD 边上的点 F 处，过点 F 作 FGCD 交 BE 于点 G，连接 CG （1）求证：四边形 CEFG 是菱形； （2）若 AB6，AD10，求四边形 CEFG 的面积 15 【分析】 （1）根据题意和翻着的性质，可以得到BCEBFE，再根据全等三角形的性质和菱形的判定方 法即可证明结论成立； （2）根据题意和勾股定理，可以求得 AF 的长，进而求得 EF 和 DF 的值，从而可以得到四边形 CEFG 的面积
22、【解答】 （1）证明：由题意可得， BCEBFE， BECBEF，FECE， FGCE， FGECEB， FGEFEG， FGFE， FGEC， 四边形 CEFG 是平行四边形， 又CEFE， 四边形 CEFG 是菱形； （2）矩形 ABCD 中，AB6，AD10，BCBF， BAF90，ADBCBF10， AF8， DF2， 设 EFx，则 CEx，DE6x， FDE90， 2 2+（6x）2x2， 解得，x， CE， 四边形 CEFG 的面积是：CEDF2 13. 已知：在边长为 8 的正方形 ABCD 的各边上截取 AEBFCGDH. 16 (1)如图 1，连接 AF，BG，CH，DE，
23、依次相交于点 N，P，Q，M，求证：四边形 MNPQ 是正方形； (2)如图 2，若连接 EF，FG，GH，HE. 求证：四边形 EFGH 是正方形； 当四边形 EFGH 的面积为 50 cm 2时，求 tanFEB 的值 图 1 图 2 【点拨】(1)先证明四边形 MNPQ 是矩形，再证明一组邻边相等；(2)先证明四边形 EFGH 是菱形，再证明 它是矩形；利用勾股定理，求 BE，BF，再利用正切三角函数定义求值 【解答】解：(1)证明：四边形 ABCD 是正方形， ABBCCDDA，BADABCBCDCDA90. 在ABF 和BCG 中， ABBC， ABCBCD， BFCG， ABFBC
24、G(SAS) BAFGBC. BAFAFB90，GBCAFB90. BNF90.MNPBNF90. 同理可得NPQPQM90.四边形 MNPQ 是矩形 在ABN 和BCP 中， BAFCBG， ANBBPC， ABBC， ABNBCP(AAS) ANBP. 在AME 和BNF 中， BAFGBC， AMEBNF， AEBF， AMEBNF(AAS) AMBN.MNNP.四边形 MNPQ 是正方形 17 (2)证明：四边形 ABCD 是正方形， ABCD90，ABBCCDDA. 又AEBFCGDH，AHBECFDG. AEHBFECGFDHG(SAS) EHFEGFGH，AEHBFE. 四边形
25、EFGH 是菱形 BEFBFE90，BEFAEH90.HEF90. 四边形 EFGH 是正方形 四边形 EFGH 的面积为 50 cm 2，EF250 cm2. 设 BECFx cm，则 BF(8x)cm. 在 RtBEF 中，由勾股定理，得 BE 2BF2EF2，即 x2(8x)250. 解得 x11，x27. 当 BE1 cm 时，BF7 cm，tanFEBBF BE7； 当 BE7 cm 时，BF1 cm，tanFEBBF BE 1 7. tanFEB 的值为1 7或 7. 14. （2019湖南株洲8 分）如图所示，已知正方形 OEFG 的顶点 O 为正方形 ABCD 对角线 AC.B
26、D 的交点，连 接 CE.DG （1）求证：DOGCOE； （2）若 DGBD，正方形 ABCD 的边长为 2，线段 AD 与线段 OG 相交于点 M，AM，求正方形 OEFG 的边长 【分析】 （1）由正方形 ABCD 与正方形 OEFG，对角线 AC.BD，可得DOADOC90，GOE90，即 可证得GODCOE，因 DOOC，GOEO，则可利用“边角边”即可证两三角形全等 18 （2）过点 M 作 MHDO 交 DO 于点 H，由于MDB45，由可得 DH，MH 长，从而求得 HO，即可求得 MO， 再通过 MHDG，易证得OHMODG，则有，求得 GO 即为正方形 OEFG 的边长 【解答】解： （1）正方形 ABCD 与正方形 OEFG，对角线 AC.BD DOOC DBAC， DOADOC90 GOE90 GOD+DOEDOE+COE90 GODCOE GOOE 在DOG 和COE 中 DOGCOE（SAS） （2）如图，过点 M 作 MHDO 交 DO 于点 H AM，DA2 DM MDB45 MHDHsin45DM，DOcos45DA HODODH 在 RtMHO 中，由勾股定理得 MO DGBD，MHDO MHDG 易证OHMODG 19 ，得 GO2 则正方形 OEFG 的边长为 2
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