1、 1 第 30 讲 概 率 1事件的分类 事件类型 定义 概率 必然事件 一定会发生的事件 1 不可能事件 一定不会发生的事件 0 随机事件 在一定条件下可能发生也可能不发 生的事件 01 之间 2.概率：一般地，表示一个随机事件 A 发生的可能性大小的数值，叫做这个随机事件 A 发生的概率 3概率的计算 (1)公式法：对于简单的事件直接用公式法计算即可； P(A)事件A发生的可能的结果总数m 所有可能的结果总数n ； (2)列表法：当一次试验涉及两步计算时，且可能出现的结果数目较多时，可采用列表法列出所有可能的结 果，再根据 P(A)m n计算概率； (3)画树状图法：当一次试验涉及两步或两
2、步以上的计算时，可采用画树状图表示所有可能的结果，再根据 P(A)m n计算概率 4几何概型求概率：与几何图形有关的概率的计算，一般是用几何图形中的面积比进行求解，计算公式为 P(A)事件A可能发生的面积 几何图形总面积 . 5频率与概率 (1)用频率估算概率：一般地，在大量重复试验下，随机事件 A 发生的频率m n (这里 n 是总试验次数，它必 须相当大，m 是在 n 次试验中事件 A 发生的次数)会稳定到某个常数 p.于是，我们用 p 这个常数表示事件 A 发生的概率，即 P(A)p； (2)频率与概率的区别与联系 区别：概率是用来表示一个随机事件发生的可能性的大小，只要有一个随机事件存
3、在，就有一个概率存 在，而频率是通过试验得到的，它随着试验次数的变化而变化； 2 联系：当试验次数充分大时，频率稳定在概率的附近摆动，为了求出一个随机事件的概率，通常需要大 量的重复试验，用所得的频率来估计随机事件的概率. 考点 1：频率与概率 【例题 1】 （2019湖北省仙桃市7 分）为了解某地七年级学生身高情况，随机抽取部分学生，测得他们的 身高（单位：cm） ，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列问题 （1）填空：样本容量为 100 ，a 30 ； （2）把频数分布直方图补充完整； （3）若从该地随机抽取 1 名学生，估计这名学生身高低于 160cm的概率 【
4、分析】 （1）用A组的频数除以它所占的百分比得到样本容量，然后计算B组所占的百分比得到a的值； （2）利用B组的频数为 30 补全频数分布直方图； （3）计算出样本中身高低于 160cm的频率，然后利用样本估计总体和利用频率估计概率求解 【解答】解： （1）15100， 所以样本容量为 100； B组的人数为 100153515530， 所以a%100%30%，则a30； 故答案为 100，30； （2）补全频数分布直方图为： 3 （3）样本中身高低于 160cm的人数为 15+3045， 样本中身高低于 160cm的频率为0.45， 所以估计从该地随机抽取 1 名学生，估计这名学生身高低于
5、160cm的概率为 0.45 归纳：利用频率估计概率：用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确 考点 2：一步概率 【例题 2 抛掷一枚质地均匀的立方体骰子一次，骰子的六个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6，则朝上 一面的数字为 2 的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】抛掷一枚质地均匀的立方体骰子一次，则朝上一面的数字可以是 1,2,3,4,5,6 六种情况，其中朝 上一面的数字为 2 的只有一种情况，根据概率公式计算即可。 【解析】 ：抛掷一枚质地均匀的立方体骰子一次，则朝上一面的数字共出现六种等可能情况，其中朝上一 面的数字为 2 的只有一
6、种情况，则朝上一面的数字为 2 的概率是 故答案为：A, 考点 3：几何概型求概率 【例题 3】 （20182018 贵阳贵阳） （3.00 分）如图，小颖在围棋盘上两个格子的格点上任意摆放黑、白两个棋子，且 两个棋子不在同一条网格线上，其中，恰好摆放成如图所示位置的概率是（ ） 4 A B C D 【答案】A 【解析】 ：恰好摆放成如图所示位置的概率是=， 故选：D 考点 4：概率的综合计算 【例题 4】 (2018承德模拟)从背面相同的同一副扑克牌中取出红桃 9 张，黑桃 10 张，方块 11 张，现将 这些牌洗匀背面朝上放在桌面上 (1)求从中抽出一张是红桃的概率； (2)现从桌面上先抽
7、掉若干张黑桃，再放入与抽掉的黑桃张数相同的红桃，并洗匀且背面都朝上排开后，随 机抽一张是红桃的概率不小于2 5，问至少抽掉了多少张黑桃？ (3)若先从桌面上抽掉 9 张红桃和 m(m6)张黑桃后，再在桌面上抽出一张牌，当 m 为何值时，事件“再抽 出的这张牌是方块”为必然事件？当 m 为何值时，事件“再抽出的这张牌是方块”为随机事件？并求出这 个事件的概率的最小值 【解析】(1)抽出一张是红桃的概率是 9 91011 3 10. (2)设至少抽掉了 x 张黑桃，放入 x 张的红桃， 根据题意，得 9x 91011 2 5. 解得 x3. 答：至少抽掉了 3 张黑桃 (3)当 m 为 10 时，
8、事件“再抽出的这张牌是方块”为必然事件， 当 m 为 9，8，7 时，事件“再抽出的这张牌是方块”为随机事件，P(最小) 11 （107）11 11 14. 归纳： (1)判断使用列表或画树状图方法：列表法一般适用于两步计算；画树状图法适合于两步及两步以 上求概率； (2)不重不漏地列举出所有事件出现的可能结果，并判定每种事件发生的可能性是否相等； (3)确定所有可能出现的结果数 n 及所求事件 A 出现的结果数 m； (4)用公式 P(A)m n求事件 A 发生的概率 5 一、选择题： 1. （2019浙江绍兴4 分）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区 100 名九年级男生，
9、 他们的身高 x（cm）统计如下： 组别（cm） x160 160 x170 170 x180 x180 人数 5 38 42 15 根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于 180cm 的概率是（ ） A0.85 B0.57 C0.42 D0.15 【答案】D 【解答】解：样本中身高不低于 180cm 的频率0.15， 所以估计他的身高不低于 180cm 的概率是 0.15 故选：D 2. （2019湖北天门3 分）下列说法正确的是（ ） A了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查 B甲、乙两人跳远成绩的方差分别为 S甲 23，S 乙 24，说明乙的跳远成绩
10、比甲稳定 C一组数据 2，2，3，4 的众数是 2，中位数是 2.5 D可能性是 1%的事件在一次试验中一定不会发生 【答案】C 【解答】解：A了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合抽样调查，A 错误； B甲、乙两人跳远成绩的方差分别为 S甲 23，S 乙 24，说明甲的跳远成绩比乙稳定，B 错误； C一组数据 2，2，3，4 的众数是 2，中位数是 2.5，正确； D可能性是 1%的事件在一次试验中可能会发生，D 错误 故选：C 3. （2019山东省德州市 4 分）甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字 1 4 ， 1 2 ，1 的卡片，乙 中有三张标有数字 1，2，3 的
11、卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一 张卡片， 将其数字记为 a， 从乙中任取一张卡片， 将其数字记为 b 若 a， b 能使关于 x 的一元二次方程 ax 2+bx+1 0 有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜则乙获胜的概率为（ ） A 2 3 B 5 9 C 4 9 D 1 3 【答案】C 【解答】解： （1）画树状图如下： 6 由图可知，共有 9 种等可能的结果，其中能使乙获胜的有 4 种结果数， 乙获胜的概率为 4 9 ， 故选：C 4. （2019湖北武汉3 分）从 1.2.3.4 四个数中随机选取两个不同的数，分别记为 A.c，则关于 x 的一元
12、 二次方程 ax 2+4x+c0 有实数解的概率为（ ） A 1 4 B 1 3 C 1 2 D 2 3 【答案】C 【解答】解：画树状图得： 由树形图可知：一共有 12 种等可能的结果，其中使 ac4 的有 6 种结果， 关于 x 的一元二次方程 ax 2+4x+c0 有实数解的概率为1 2 ， 故选：C 5. （2019湖北省随州市3 分）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，BD，AE交于点O，若随机 向平行四边形ABCD内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（ ） A. 1 10 B. 1 12 C. 1 8 D. 1 6 【答案】B 【解析】解：E 为 BC 的中点， ，
13、=， SBOE=SAOB，SAOB=SABD，SBOE=SABD=SABCD， 米粒落在图中阴影部分的概率为，故选：B 7 二、填空题： 6. (2019 甘肃省陇南市)（4 分）一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证下表是几位科学家 “掷硬币”的实验数据： 实验者 德摩根 蒲丰 费勒 皮尔逊 罗曼诺夫斯基 掷币次数 6140 4040 10000 36000 80640 出现“正面朝上”的次数 3109 2048 4979 18031 39699 频率 0.506 0.507 0.498 0.501 0.492 请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为 0.5 （精确到 0.
14、1） 【答案】0.5 【解答】解：因为表中硬币出现“正面朝上”的频率在 0.5 左右波动， 所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为 0.5 故答案为 0.5 7. （2019 浙江丽水 3 分）一个布袋里装有 2 个红球、3 个黄球和 5 个白球，除颜色外其它都相同搅匀后 任意摸出一个球，是白球的概率为 . 【答案】 1 2 【解答】袋子里装有 2 个红球、3 个黄球和 5 个白球共 10 个球，从中摸出一个球是白球的概率是 5 10 = 1 2 8. （2019黑龙江省齐齐哈尔市3 分）在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑 三种颜色的小球已知袋中有红球 5 个，白球 23
15、 个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是，则袋中黑 球的个数为 . 【答案】22 【解答】解：设袋中黑球的个数为 x， 根据题意得，解得 x22， 即袋中黑球的个数为 22 个 8 9. （2019山东省德州市 4 分）甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字 1 4 ， 1 2 ，1 的卡片，乙 中有三张标有数字 1，2，3 的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一 张卡片， 将其数字记为 a， 从乙中任取一张卡片， 将其数字记为 b 若 a， b 能使关于 x 的一元二次方程 ax 2+bx+1 0 有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜则乙获胜的概率为
16、. 【答案】 4 9 【解答】解： （1）画树状图如下： 由图可知，共有 9 种等可能的结果，其中能使乙获胜的有 4 种结果数， 乙获胜的概率为 4 9 ， 三、解答题： 10. （2019海南省8 分）为宣传 6 月 6 日世界海洋日，某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源，保护海 洋生物多样性”的知识竞赛活动为了解全年级 500 名学生此次竞赛成绩（百分制）的情况，随机抽取了 部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表（表 1）和统计图（如图） 请根据图表信息解答 以下问题： （1）本次调查一共随机抽取了 50 个参赛学生的成绩； （2）表 1 中a 8 ； （3）所抽取的参赛学生的
17、成绩的中位数落在的“组别”是 C ； （4）请你估计，该校九年级竞赛成绩达到 80 分以上（含 80 分）的学生约有 320 人 表 1 知识竞赛成绩分组统计表 组别 分数/分 频数 A 60 x70 a B 70 x80 10 C 80 x90 14 D 90 x100 18 9 【分析】 （1）本次调查一共随机抽取学生：1836%50（人） ； （2）a501814108； （3）本次调查一共随机抽取 50 名学生，中位数落在C组； （4）该校九年级竞赛成绩达到 80 分以上（含 80 分）的学生有 500320（人） 【解答】解： （1）本次调查一共随机抽取学生：1836%50（人） ，
18、 故答案为 50； （2）a501814108， 故答案为 8； （3）本次调查一共随机抽取 50 名学生，中位数落在C组，故答案为C； （4）该校九年级竞赛成绩达到 80 分以上（含 80 分）的学生有 500320（人） ，故答案为 320 11. (2018遵义)某超市在端午节期间开展优惠活动，凡购物者可以通过转动转盘的方式享受折扣优惠， 本次活动共有两种方式，方式一：转动转盘甲，指针指向 A 区域时，所购买物品享受 9 折优惠、指针指向 其他区域无优惠；方式二：同时转动转盘甲和转盘乙，若两个转盘的指针指向每个区域的字母相同，所购 买物品享受 8 折优惠，其他情况无优惠在每个转盘中，指针
19、指向每个区城的可能性相同(若指针指向分界 线，则重新转动转盘) (1)若顾客选择方式一，则享受 9 折优惠的概率为1 4； (2)若顾客选择方式二，请用树状图或列表法列出所有可能，并求顾客享受 8 折优惠的概率 解：画树状图如下： 10 由树状图可知，共有 12 种等可能结果，其中指针指向每个区域的字母相同的有 2 种结果， P(顾客享受 8 折优惠) 2 12 1 6. 12. (2019(2019 湖北仙桃湖北仙桃) )（7 分）为了解某地七年级学生身高情况，随机抽取部分学生，测得他们的身高（单 位：cm） ，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列问题 （1）填空：
20、样本容量为 100 ，a 30 ； （2）把频数分布直方图补充完整； （3）若从该地随机抽取 1 名学生，估计这名学生身高低于 160cm的概率 【分析】 （1）用A组的频数除以它所占的百分比得到样本容量，然后计算B组所占的百分比得到a的值； （2）利用B组的频数为 30 补全频数分布直方图； （3）计算出样本中身高低于 160cm的频率，然后利用样本估计总体和利用频率估计概率求解 【解答】解： （1）15100， 所以样本容量为 100； B组的人数为 100153515530， 所以a%100%30%，则a30； 故答案为 100，30； （2）补全频数分布直方图为： 11 （3）样本中身
21、高低于 160cm的人数为 15+3045， 样本中身高低于 160cm的频率为0.45， 所以估计从该地随机抽取 1 名学生，估计这名学生身高低于 160cm的概率为 0.45 13. (2018邢台三模)嘉嘉和琪琪一块去选汽车牌照，现只有四个牌照可随机选取，这四个牌照编号末尾 数字如图所示 牌照末尾数字 5 6 7 数量(个) 1 1 2 (1)求嘉嘉选取牌照编号末尾数字是 6 的概率； (2)求她俩选取牌照编号末尾数字正好差 1 的概率 【解析】 ：(1)一共有四个牌照，四种等可能结果，其中末尾数字是 6 的只有一种等可能结果，以 P(摇到牌 照末尾数字是 6)1 4. (2)将这四个牌
22、照编号，末尾数字为 5 的记为 a，末尾数字为 6 的记为 b，末尾数字为 7 的分别为 c1，c2， a b c1 c2 a (a，b) (a，c1) (a，c2) b (b，a) (b，c1) (b，c2) c1 (c1，a) (c1，b) (c1，c2) c2 (c2，a) (c2，b) (c2，c1) 一共有 12 种等可能结果，其中末尾数字正好差 1 有 6 种等可能结果， 12 所以 P(末尾数字正好差 1)1 2. 14. （2019 湖北省鄂州市） （8 分）某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目 的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中
23、选出一类最喜爱的电视节目，以下是根 据调查结果绘制的统计图表的一部分 类别 A B C D E 类型 新闻 体育 动画 娱乐 戏曲 人数 11 20 40 m 4 请你根据以上信息，回答下列问题： （1）统计表中 m 的值为 25 ，统计图中 n 的值为 25 ，A 类对应扇形的圆心角为 39.6 度； （2）该校共有 1500 名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱体育节目的学生人数； （3）样本数据中最喜爱戏曲节目的有 4 人，其中仅有 1 名男生从这 4 人中任选 2 名同学去观赏戏曲表演， 请用树状图或列表求所选 2 名同学中有男生的概率 【分析】 （1）先根据 B 类别人数及其百分比求
24、出总人数，再由各类别人数之和等于总人数求出 m，继而由百 分比概念得出 n 的值，用 360乘以 A 类别人数所占比例即可得； （2）利用样本估计总体思想求解可得 【解答】解： （1）样本容量为 2020%100， m100（11+20+40+4）25，n% 25 100 100%25%，A 类对应扇形的圆心角为 360 11 100 39.6， 故答案为：25、25、39.6 （2）1500 20 100 300（人） 答：该校最喜爱体育节目的人数约有 300 人； （3）画树状图如下： 13 共有 12 种情况，所选 2 名同学中有男生的有 6 种结果， 所以所选 2 名同学中有男生的概率为 1 2
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