1、 1 第 11 讲 一次函数及其应用 1一次函数的概念 一般地，形如 ykxb(k0) 的函数叫做一次函数，当 b0 时，ykxb 即为 ykx 叫做正比例函数， 所以说正比例函数是一种特殊的一次函数 2一次函数的图象与性质 (1)一次函数 ykxb(k0)的图象是一条直线， 它与 x 轴的交点坐标为(b k， 0)， 与 y 轴的交点坐标为原点， 正比例函数 ykx(k0)的图象是过(0， b) 的 一条直线 (2)一次函数 ykxb(k0)的图象所经过的象限及增减性 k、b 的符号 函数图象 图象的位置 增减性 k0 b0 图象过第一、二、三象 限 y 随 x 的增大而增大 b0 图象过
2、第一、三象限 y 随 x 的增大而增大 b0 图象过第一、三、四象 限 y 随 x 的增大而增大 k0 函数图象 图象的位置 增减性 b0 图象过第一、二、四象 限 y 随 x 的增大而减小 b0 图象过第二、四象限 y 随 x 的增大而减小 2 b0 图象过 第二、三、四 象限 y 随 x 的增大而减小 3.待定系数法求一次函数解析式的一般步骤 (1)设：设出一次函数解析式一般形式 ykxb(k0); (2)代：将已知条件中函数图象上的两点坐标代入 ykxb 得到方程(组); (3)求：解方程(组)求出 k，b 的值； (4)写：写出一次函数的解析式 4一次函数与方程(组)的关系 (1)一次
3、函数的解析式 ykxb 就是一个二元一次方程； (2)一次函数 ykxb 的图象与 x 轴交点的_横坐标_就是方程 kxb0 的解； (3)一次函数 yk1xb1与 yk2xb2的图象交点的横、纵坐标值就是方程组 yk1xb1 yk2xb2的解 5一次函数与不等式的关系 (1)函数 ykxb 的函数值 y 大于 0 时，自变量 x 的取值范围就是不等式 kxb0 的解集，即函数图象位 于 x 轴的上方部分对应点的横坐标的取值范围； (2)函数 ykxb 的函数值 y 小于 0 时，自变量 x 的取值范围 就是不等式 kxb0 的解集，即函数图象位于 x 轴的下方部分对应点的横坐标的取值范围 6
4、一次函数的实际应用 (1)常见类型：费用问题；销售问题；行程问题；容量问题； 方案问题 (2)解一次函数实际问题的一般步骤： 设出实际问题中的变量； 建立一次函数关系式； 利用待定系数法求出一次函数关系式； 确定自 变量取值范围； 利用一次函数的性质求相应的值，对所得到的解进行检验，是否符合实际意义； 答 考点 1： 一次函数的图象与性质 【例题 1】 （2018江苏扬州3 分）如图，在等腰 RtABO，A=90，点 B 的坐标为（0，2） ，若直线 l： y=mx+m（m0）把ABO 分成面积相等的两部分，则 m 的值为 3 【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据题意即可列出相应的方程，
5、从而可以求得 m 的值 【解答】解：y=mx+m=m（x+1） ， 函数 y=mx+m 一定过点（1，0） ， 当 x=0 时，y=m， 点 C 的坐标为（0，m） ， 由题意可得，直线 AB 的解析式为 y=x+2， ，得， 直线 l：y=mx+m（m0）把ABO 分成面积相等的两部分， ， 解得，m= m2（舍去） ， 故答案为： 2 135 考点 2： 一次函数与方程、不等式的关系 4 【例题 2】 (2018河北 T2410 分)如图，直角坐标系 xOy 中，一次函数 y1 2x5 的图象 l 1分别与 x， y 轴交于 A，B 两点，正比例函数的图象 l2与 l1交于点 C(m，4)
6、 (1)求 m 的值及 l2的解析式； (2)求 SAOCSBOC的值； (3)一次函数 ykx1 的图象为 l3，且 l1，l2，l3不能围成三角形，直接写出 k 的值 【解析】 ：(1)把 C(m，4)代入一次函数 y1 2x5，可得 4 1 2m5， 解得 m2，C(2，4) 设 l2的解析式为 yax，则 42a，解得 a2. l2的解析式为 y2x. (2)过点 C 作 CDAO 于点 D，CEBO 于点 E，则 CD4，CE2， y1 2x5 的图象与 x 轴、y 轴交于 A，B 两点，令 x0，则 y5，令 y0，则 x10， A(10，0)，B(0，5) AO10，BO5. S
7、AOCSBOC1 2104 1 25215. (3)k 的值为3 2或 2 或 1 2. 考点 3： 一次函数的实际应用 【例题 3】 （2019四川省广安市8 分）为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知 3 只 A 型节能灯和 5 只 B 型节能灯共需 50 元，2 只 A 型节能灯和 3 只 B 型节能灯共需 31 元 （1）求 1 只 A 型节能灯和 1 只 B 型节能灯的售价各是多少元？ （2） 学校准备购买这两种型号的节能灯共 200 只， 要求 A 型节能灯的数量不超过 B 型节能灯的数量的 3 倍， 请设计出最省钱的购买方案，并说明理由 【分析】 （1）根据题意可以
8、列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题； （2）根据题意可以得到费用与购买 A 型号节能灯的关系式，然后根据一次函数的性质即可解答本题 5 【解答】解： （1）设 1 只 A 型节能灯的售价是 x 元，1 只 B 型节能灯的售价是 y 元， 3550 2331 xy xy ，解得， 5 7 x y ， 答：1 只 A 型节能灯的售价是 5 元，1 只 B 型节能灯的售价是 7 元； （2）设购买 A 型号的节能灯 a 只，则购买 B 型号的节能灯（200a）只，费用为 w 元， w5a+7（200a）2a+1400， a3（200a） ， a150， 当 a150 时，w 取得最小值，此时
9、 w1100，200a50， 答：当购买 A 型号节能灯 150 只，B 型号节能灯 50 只时最省钱 归纳： 1.对于一次函数方案设计题，关键是读懂题意，然后在列方案时找出其中的数量关系并列出不等 式；通过解不等式求出未知数的取值范围，然后取其整数解，将每一组符合题意的整数解定为一种方案， 在选择最优方案时，通过将每一组解代入相应的关系式中，满足题意的最优解即可定为最优方案2在遇 到求解一次函数最值问题时，切入问题的关键点在于确定自变量的取值范围，通过给定自变量的范围，选 取合适的数值代入解析式求解即可同时，一次函数确定最值时还应注意以下两点： 当在确定一次函数自变量时，有时需要列不等式解题
10、，对于某些关键字要特别注意，如“不超过” 、 “不 多于” 、 “最多”等字眼需要使用“” ；而“至少” 、 “不少于”等字眼要使用“” ； 从方程中得到的解一定要进行检验，即要符合原方程和实际意义，切不可忽略 3涉及图象问题的实际应用要注意： 在观察函数图象时，首先要弄清横轴与纵轴所表示的函数变量，然后在分析函数图象时应注意拐点、交点 的实际意义，最后在分析图象时要考虑到函数自变量的取值范围 一、选择题： 1. （2019四川省广安市3 分）一次函数 y2x3 的图象经过的象限是（ ） A一、二、三 B二、三、四 C一、三、四 D一、二、四 【答案】C 【解答】解：一次函数 y2x3，该函数
11、经过第一、三、四象限，故选：C 2. （2018湘潭）若 b0，则一次函数 y=x+b 的图象大致是（ ） 6 A B C D 【答案】C 【解答】解：一次函数 y=x+b 中 k=10，b0， 一次函数的图象经过一、二、四象限， 故选：C 3. (2019 湖北荆门)（3 分）如果函数ykx+b（k，b是常数）的图象不经过第二象限，那么k，b应满足 的条件是（ ） Ak0 且b0 Bk0 且b0 Ck0 且b0 Dk0 且b0 【答案】A 【解答】解：ykx+b（k，b是常数）的图象不经过第二象限， 当k0，b0 时成立； 当k0，b0 时成立； 综上所述，k0，b0； 故选：A 4. （2
12、019山东临沂3 分）下列关于一次函数ykx+b（k0，b0）的说法，错误的是（ ） A图象经过第一、二、四象限 By随x的增大而减小 C图象与y轴交于点（0，b） D当x时，y0 【答案】D 【解答】解：ykx+b（k0，b0） ， 图象经过第一、二、四象限，A正确； k0，y随x的增大而减小，B正确； 令x0 时，yb，图象与y轴的交点为（0，b） ，C正确； 令y0 时，x，当x时，y0；D不正确；故选：D 5. （2018包头）如图，在平面直角坐标系中，直线 l1：y=x+1 与 x 轴，y 轴分别交于点 A 和点 B，直 线 l2：y=kx（k0）与直线 l1在第一象限交于点 C若B
13、OC=BCO，则 k 的值为（ ） 7 A B C D2 【答案】B 【解答】直线 l1：y=x+1 中，令 x=0，则 y=1，令 y=0，则 x=2， 即 A（2，0）B（0，1）， RtAOB 中，AB=3， 如图，过 C 作 CDOA 于 D， BOC=BCO， CB=BO=1，AC=2， CDBO， OD=AO=，CD=BO=， 即 C（，）， 把 C（，）代入直线 l2：y=kx，可得 =k， 即 k=， 故选：B 二、填空题： 6. （2019山东潍坊3 分）当直线 y（22k）x+k3 经过第二、三、四象限时，则 k 的取值范围是 1 k3 8 【答案】1k3； 【解答】解：y
14、（22k）x+k3 经过第二、三、四象限， 22k0，k30， k1，k3， 1k3； 故答案为 1k3； 7. （2018邵阳）如图所示，一次函数 y=ax+b 的图象与 x 轴相交于点（2，0），与 y 轴相交于点（0，4）， 结合图象可知，关于 x 的方程 ax+b=0 的解是 【答案】x=2 【解答】解：一次函数 y=ax+b 的图象与 x 轴相交于点（2，0）， 关于 x 的方程 ax+b=0 的解是 x=2 故答案为 x=2 8. （2019广西河池3 分）如图，在平面直角坐标系中，A（2，0） ，B（0，1） ，AC由AB绕点A顺时针旋 转 90而得，则AC所在直线的解析式是 y
15、2x4 【答案】y2x4 【解答】解：A（2，0） ，B（0，1） OA2，OB1 过点C作CDx轴于点D， 9 则易知ACDBAO（AAS） ADOB1，CDOA2 C（3，2） 设直线AC的解析式为ykx+b，将点A，点C坐标代入得 02 23 kb kb 2 4 k b 直线AC的解析式为y2x4 故答案为：y2x4 9. （2019山东省聊城市3 分）如图，在 RtABO中，OBA90，A（4，4） ，点C在边AB上，且 ，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐 标为 . 【答案】P（，） ， 【解答】解：在 RtABO中，OB
16、A90，A（4，4） ， ABOB4，AOB45， ，点D为OB的中点， BC3，ODBD2， D（0，2） ，C（4，3） ， 10 作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P， 则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2） ， 直线OA 的解析式为yx， 设直线EC的解析式为ykx+b， ， 解得：， 直线EC的解析式为yx+2， 解得， P（，） ， 三、解答题： 10. （2019湖北省仙桃市8 分）某农贸公司销售一批玉米种子，若一次购买不超过 5 千克，则种子价格为 20 元/千克，若一次购买超过 5 千克，则超过 5 千克部分的种子价格打 8 折设一次购买量为x千克，付款 金额
17、为y元 （1）求y关于x的函数解析式； （2）某农户一次购买玉米种子 30 千克，需付款多少元？ 【分析】 （1）根据题意，得当 0 x5 时，y20 x；当x5，y200.8（x5）+20516x+20； （2）把x30 代入y16x+20，即可求解； 【解答】解： （1）根据题意，得 当 0 x5 时，y20 x； 当x5，y200.8（x5）+20516x+20； （2）把x30 代入y16x+20， 11 y1630+20500； 一次购买玉米种子 30 千克，需付款 500 元； 11. (2017台州改编)如图，直线 l1：y2x1 与直线 l2：ymx4 相交于点 P(1，b)
18、(1)求 b，m 的值； (2)直接写出关于 x 的不等式 2x1mx4 的解集； (3)垂直于 x 轴的直线 xa 与直线 l1，l2分别交于点 C，D.若线段 CD 长为 2，求 a 的值 【点拨】 (1)把点 P 的坐标代入 l1求出 b，再将(1，b)代入 l2求出 m；(2)观察图象，由两直线的交点 P 的 横坐标可得；(3)C，D 两点横坐标相同时，线段 CD 的长等于其纵坐标的差，但要注意有两种情况 【解答】解：(1)点 P(1，b)在直线 l1：y2x1 上， b2113. 点 P(1，3)在直线 l2：ymx4 上， 3m4.m1. (2)xl2，即 当 n2 时(4)当 C
19、D2 时，需分点 C 在点 D 上方和下方进行讨论 【自主解答】 解：(1)直线 y2x 经过点 B， 42m，m2，即 B(2，4) 设直线 l1的解析式为 ykxb， 直线 l1的经过点 A，B， 06kb， 42kb， 解得 k1 2， b3. 直线 l1的解析式为 y1 2x3. (2)当 x0 时，y3，M(0，3) SAOM1 2639. (3)n2. (4)当点 C 在点 D 上方时，有1 2x32x2，解得 x 2 3. 此时点 C 的坐标为(2 3， 10 3 )； 当点 C 在点 D 下方时，有 2x(1 2x3)2，解得 x 10 3 . 此时点 C 的坐标为(10 3 ，14 3 )
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