1、 1 第 16 讲 全等三角形 【考点梳理】 全等三角形 (1)性质：全等三角形对应边相等，对应角相等注意：全等三角形对应线段(中线，高)相等；对应角的平 分线相等；全等三角形的周长、面积也相等 (2)判定： 两边和夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)； 两角和夹边对应相等的两个三角形全等(ASA )； 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)； 三边对应相等的两个三角形全等(SSS)； 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL). 【高频考点】 考点 1： 全等三角形的性质应用 【例题 1】（2018咸宁）已知：AOB 求作：AOB，使AOB=AOB （1）如图 1
2、，以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 OA，OB 于点 C、D； （2）如图 2，画一条射线 OA，以点 O为圆心，OC 长为半径间弧，交 OA于点 C； （3）以点 C为圆心，CD 长为半径画弧，与第 2 步中所而的弧交于点 D； （4）过点 D画射线 OB，则AOB=AOB 根据以上作图步骤，请你证明AOB=AOB 【分析】由基本作图得到 OD=OC=OD=OC，CD=CD，则根据“SSS“可证明OCDOCD， 然后利用全等三角形的性质可得到AOB=AOB 【解答】证明：由作法得 OD=OC=OD=OC，CD=CD， 在OCD 和OCD中 2 ， OCDOCD， COD=COD，
3、即AOB=AOB 考点 2： 全等三角形的判定 【例题 2】(1)如图 1，在四边形 ABCD 中，ABDC，E 是 BC 的中点，若 AE 是BAD 的平分线，试探究 AB， AD，DC 之间的等量关系，证明你的结论； (2)如图 2，在四边形 ABCD 中，ABDC，AF 与 DC 的延长线交于点 F，E 是 BC 的中点，若 AE 是BAF 的 平分线，试探究 AB，AF，CF 之间的等量关系，证明你的结论 【解析】 ：(1)ADDCAB. 证明：延长 AE 交 DC 的延长线于点 F. E 是 BC 的中点，CEBE. ABDC，BAEF. AEBFEC， AEBFEC，ABFC. A
4、E 是BAD 的平分线，BAEEAD. ABCD，BAEF. EADF. ADDF. ADDFDCCFDCAB. (2)ABACCF. 证明：延长 AE 交 DF 的延长线于点 G. E 是 BC 的中点，CEBE. 3 ABDC，BAEG. AEBGEC，AEBGEC. ABGC. AE 是BAF 的平分线，BAGFAG. ABCD，BAGG. FAGG.FAFG. ABCGAFCF. 考点 3： 全等三角形的综合应用 【例题 3】如图，AB50，P 为 AB 中点，点 M 为射线 AC 上(不与点 A 重合)的任意一点，连接 AP， 并使 MP 的延长线交射线 BD 于点 N，设BPN.
5、(1)求证：APMBPN； (2)当 MN2BN 时，求的度数； (3)若BPN 的外心在该三角形的内部，直接写出的取值范围 【解析】 ：(1)证明：P 为 AB 中点， APBP. 在APM 和BPN 中， AB， APBP， APMBPN， APMBPN(ASA) (2)由(1)的结论可知：PMPN， 2PNMN. 又MN2BN，PNBN. B50. (3)4090. 【自我检测】 一、选择题： 4 1. 如图，ACFBDE，点 A、B、C、D 在同一条直线上，下列结论中错误的是（ ） AAFBE BACF=DBE CAB=CD DCFDE 【答案】B 【解答】解：ACFBDE， A=EB
6、D， AFBE，A 正确，不符合题意； ACF=BDE，B 错误，符合题意； AC=BD， AB=CD，C 正确，不符合题意； D=FCA， CFDE，D 正确，不符合题意； 故选：B 2. （2018成都）如图，已知ABC=DCB，添加以下条件，不能判定ABCDCB 的是（ ） AA=D BACB=DBC CAC=DB DAB=DC 【答案】C 【解答】解：A、A=D，ABC=DCB，BC=BC，符合 AAS，即能推出ABCDCB，故本选项错误； B、ABC=DCB，BC=CB，ACB=DBC，符合 ASA，即能推出ABCDCB，故本选项错误； C、ABC=DCB，AC=BD，BC=BC，不
7、符合全等三角形的判定定理，即不能推出ABCDCB，故本选项正 确； D、AB=DC，ABC=DCB，BC=BC，符合 SAS，即能推出ABCDCB，故本选项错误； 故选：C 3. 下列命题：两个周长相等的三角形是全等三角形；两个周长相等的直角三角形是全等三角形；两 5 个周长相等的等腰三角形是全等三角形；两个周长相等的等边三角形是全等三角形其中，真命题有 ( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】D 【解析】:A.周长相等的锐角三角形的对应角不一定相等,对应边也不一定相等,假命题; B.周长相等的直角三角形对应锐角不一定相等, 对应边也不一定相等,假命题; C.周长相等的等腰三角
8、形对应角不一定相等,对应边也不一定相等,假命题; D.两个周长相等的等边三角形的对应角一定相等,都是 60,对应边也一定相等,真命题. 故选 D. 4. （2018台湾分）如图，五边形 ABCDE 中有一正三角形 ACD，若 AB=DE，BC=AE，E=115，则BAE 的度数为何？（ ） A115 B120 C125 D130 【答案】C 【解答】解：正三角形 ACD， AC=AD，ACD=ADC=CAD=60， AB=DE，BC=AE， ABCAED， B=E=115，ACB=EAD，BAC=ADE， ACB+BAC=BAC+DAE=180115=65， BAE=BAC+DAE+CAD=6
9、5+60=125， 故选：C 5. （2019山东青岛3 分）如图，BD 是ABC 的角平分线，AEBD，垂足为 F若ABC35，C50， 则CDE 的度数为（ ） 6 A35 B40 C45 D50 【答案】A 【解答】解：BD 是ABC 的角平分线，AEBD， ABDEBD，AFBEFB， BFBF， ABFEBF（ASA） ， AFEF，ABBE， ADDE， ABC35，C50， BAC180ABCC95， 在DAB 与DEB 中， ABDEAD（SSS） ， BEDBAD95， ADE360959535145， CDE180ADE35， 故选：A 二、填空题： 6. 如图，OC 是A
10、OB 的平分线，点 P 在 OC 上，PDOA 于 D 点，PD=6，则 P 到 OB 的距离为 cm 【答案】6 【解答】解：如图，过点 P 作 PEOB， OC 是AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，且 PDOA，PEOB， PE=PD，又 PD=6cm， PE=PD=6cm 7 故填 6 7. （2019山东威海3 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABDC，过点 C 作 CEBC，交 AD 于点 E，连接 BE， BECDEC，若 AB6，则 CD 3 【答案】3 【解答】解：如图，延长 BC、AD 相交于点 F， CEBC， BCEFCE90， BECDEC，CECE， EBCE
11、FC（ASA） ， BCCF， ABDC， ADDF， DC=3 故答案为：3 8. （2018金华）如图，ABC 的两条高 AD，BE 相交于点 F，请添加一个条件，使得ADCBEC（不添 8 加其他字母及辅助线），你添加的条件是 【答案】AC=BC 【解答】解：添加 AC=BC， ABC 的两条高 AD，BE， ADC=BEC=90， DAC+C=90，EBC+C=90， EBC=DAC， 在ADC 和BEC 中， ADCBEC（AAS）， 故答案为：AC=BC 9. （2017 山东滨州）如图，点 P 为定角AOB 的平分线上的一个定点，且MPN 与AOB 互补，若MPN 在 绕点 P
12、旋转的过程中，其两边分别与 OA、OB 相交于 M、N 两点，则以下结论： （1）PM=PN 恒成立； （2）OM+ON 的值不变； （3）四边形 PMON 的面积不变； （4）MN 的长不变，其中正确的个数为 。 【答案】3 【解答】解：如图作 PEOA 于 E，PFOB 于 F PEO=PFO=90， EPF+AOB=180， MPN+AOB=180， EPF=MPN， 9 EPM=FPN， OP 平分AOB，PEOA 于 E，PFOB 于 F， PE=PF， 在POE 和POF 中， ， POEPOF， OE=OF， 在PEM 和PFN 中， ， PEMPFN， EM=NF，PM=PN，
13、故（1）正确， SPEM=SPNF， S四边形 PMON=S四边形 PEOF=定值，故（3）正确， OM+ON=OE+ME+OFNF=2OE=定值，故（2）正确， MN 的长度是变化的，故（4）错误，故为 3 个。 三、解答题： 10. (2018陕西)如图，ABCD，E，F 分别为 AB，CD 上的点，且 ECBF，连接 AD，分别与 EC，BF 相交于 点 G，H.若 ABCD，求证：AGDH. 证明：ABCD，ECBF， 10 四边形 BFCE 是平行四边形，AD. BECBFC，BECF， AEGDFH. ABCD，AEDF. AEGDFH(ASA)， AGDH. 11. （2019
14、湖南益阳 8 分） 已知， 如图， ABAE， ABDE， ECB70， D110， 求证： ABCEAD 【分析】由ECB70得ACB110，再由 ABDE，证得CABE，再结合已知条件 ABAE，可利 用 AAS 证得ABCEAD 【解答】证明：由ECB70得ACB110 又D110 ACBD ABDE CABE 在ABC 和EAD 中 ABCEAD（AAS） 12. （2018 湖北荆州） （8.00 分）如图，对折矩形纸片 ABCD，使 AB 与 DC 重合，得到折痕 MN，将纸片展平； 再一次折叠，使点 D 落到 MN 上的点 F 处，折痕 AP 交 MN 于 E；延长 PF 交 A
15、B 于 G求证： （1）AFGAFP； （2）APG 为等边三角形 11 【分析】 （1）由折叠的性质得到 M、N 分别为 AD、BC 的中点，利用平行线分线段成比例得到 F 为 PG 的中点， 再由折叠的性质得到 AF 垂直于 PG，利用 SAS 即可得证； （2）由（1）的全等三角形，得到对应边相等，利用三线合一得到2=3，由折叠的性质及等量代换得到 PAG 为 60，根据 AP=AG 且有一个角为 60即可得证 【解答】证明： （1）由折叠可得：M、N 分别为 AD、BC 的中点， DCMNAB， F 为 PG 的中点，即 PF=GF， 由折叠可得：PFA=D=90，1=2， 在AFP
16、和AFG 中， ， AFPAFG（SAS） ； （2）AFPAFG， AP=AG， AFPG， 2=3， 1=2， 1=2=3=30， 2+3=60，即PAG=60， APG 为等边三角形 13. 如图，ABC 中，ABAC，BAC40，将ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 100，得到ADE，连接 BD，CE 交于点 F. (1)求证：ABDACE； (2)求ACE 的度数； 12 (3)求证：四边形 ABFE 是菱形 【解析】 ：(1)证明：由旋转性质，得BACDAE40，BADCAE100， 又ABAC， ABACADAE. 在ABD 和ACE 中， ABAC， BADCAE， ADAE
17、， ABDACE(SAS) (2)CAE100，ACAE，ACE1 2(180CAE) 1 2(180100)40. (3)证明：BADCAE100，ABACADAE，ABDADBACEAEC40. BAEBADDAE140， BFE360BAEABDAEC140. BAEBFE.四边形 ABFE 是平行四边形 ABAE，四边形 ABFE 是菱形 14. 如图 1 所示，在ABC 中，ABAC，BAC90，点 D 为射线 BC 上一动点，连接 AD，以 AD 为直角边， A 为直角顶点，在 AD 左侧作等腰直角ADF，连接 CF. (1)当点 D 在线段 BC 上时(不与点 B 重合)，线段
18、CF 和 BD 的数量关系与位置关系分别是什么？请给予 证明； (2)当点 D 在线段 BC 的延长线上时，(1)的结论是否仍然成立？请在图 2 中画出相应的图形，并说明理 由 【点拨】 可证明ACFABD，再利用全等三角形的性质，可得 CFBD，CFBD. 13 【解答】 解：(1)CFBD，且 CFBD. 证明：FADCAB90，FACDAB. 在ACF 和ABD 中， ACAB， CAFBAD， AFAD， ACFABD(SAS) CFBD，FCADBA. FCDFCAACDDBAACD90，即 FCCB. 综上，CFBD，且 CFBD. (2)(1)的结论仍然成立 CABDAF90，
19、CABCADDAFCAD，即CAFBAD. 在ACF 和ABD 中， ACAB， CAFBAD， AFAD， ACFABD(SAS) CFBD，ACFB. ABAC，BAC90， BACB45. BCFACFACB454590，即 CFBD. 综上，CFBD，且 CFBD. 15. （2019河北省9 分）如图，ABC 和ADE 中，ABAD6，BCDE，BD30，边 AD 与边 BC 交于点 P（不与点 B，C 重合） ，点 B，E 在 AD 异侧，I 为APC 的内心 （1）求证：BADCAE； （2）设 APx，请用含 x 的式子表示 PD，并求 PD 的最大值； （3）当 ABAC 时
20、，AIC 的取值范围为 mAICn，分别直接写出 m，n 的值 14 【解答】解： （1）在ABC 和ADE 中， （如图 1） ABCADE（SAS） BACDAE 即BAD+DACDAC+CAE BADCAE （2）AD6，APx， PD6x 当 ADBC 时，APAB3 最小，即 PD633 为 PD 的最大值 （3）如图 2，设BAP，则APC+30， ABAC BAC90，PCA60，PAC90， I 为APC 的内心 AI、CI 分别平分PAC，PCA， IACPAC，ICAPCA AIC180（IAC+ICA）180（PAC+PCA） 180（90+60）+105 090， 105+105150，即 105AIC150， m105，n150 15
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