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    第12讲 反比例函数(教师版) 备战2021中考数学专题复习分项提升

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    第12讲 反比例函数(教师版) 备战2021中考数学专题复习分项提升

    1、 1 第第 1212 讲讲 反比例函数反比例函数 反比例函数解析式的确定 (1)确定方法:待定系数法; (2)一般步骤: 设所求的反比例函数解析式为 yk x(k0); 根据已知条件,得到反比例函数图象上一点 P(a,b); 将点 P(a,b)代入反比例函数的解析式得到关于系数 k 的方程; 解方程得待定系数 k 的值; 把 k 的值代入 yk x即可得反比例函数解析式 考点 1: 反比例函数的图像与性质 【例题 1】如图,四边形 ABCD 是平行四边形,点 A(1,0),B(3,1),C(3,3)反比例函数 ym x(x0)的 图象经过点 D,点 P 是一次函数 ykx33k(k0)的图象与

    2、该反比例函数图象的一个公共点 (1)求反比例函数的解析式; (2)通过计算,说明一次函数 ykx33k(k0)的图象一定经过点 C; (3)对于一次函数 ykx33k(k0),当 y 随 x 的增大而增大时,确定点 P 横坐标的取值范围(不必写 出过程) 【解析】 :(1)B(3,1),C(3,3),四边形 ABCD 是平行四边形, ADBC2,BCx 轴 ADx 轴 2 又A(1,0),D(1,2) D 在反比例函数 ym x的图象上, m122.反比例函数的解析式为 y2 x. (2)当 x3 时,ykx33k3, 一次函数 ykx33k(k0)的图象一定过点 C. (3)设点 P 的横坐

    3、标为 a,则2 3a3. 归纳:反比例函数中,y 随 x 的大小变化的情况,应分 x0 与 x0 两种情况讨论,而不能笼统地说成“k 0 时,y 随 x 的增大而增大”双曲线上的点在每个象限内,y 随 x 的变化是一致的运用反比例函数的 性质时,要注意在每一个象限内的要求 考点 2: 反比例函数与一次函数的综合 【例题 2】 如图, 在平面直角坐标系中, 反比例函数 yk x(x0)的图象与边长是 6 的正方形 OABC 的两边 AB, BC 分别相交于 M,N 两点 (1)若点 M 是 AB 边的中点,求反比例函数 yk x的解析式和点 N 的坐标; (2)若 AM2,求直线 MN 的解析式

    4、及OMN 的面积 【点拨】(1)由已知可知点 M 的坐标,求出 k 的值,从而求出点 N 的坐标;(2)确定点 M ,点 N 的坐标,三 角形面积就可求出 【解答】解:(1)点 M 是 AB 边的中点,M(6,3) 反比例函数 yk x经过点 M,3 k 6.k18. 反比例函数的解析式为 y18 x . 当 y6 时,x3,N(3,6) (2)由题意,知 M(6,2),N(2,6) 设直线 MN 的解析式为 yaxb,则 26ab, 62ab,解得 a1, b8. 3 直线 MN 的解析式为 yx8. SOMNS正方形 OABCSOAMSOCNSBMN3666816. 【变式】 在例 2 中

    5、,若OMN 的面积为 10,求点 M,N 的坐标 解:OAOC6,设 M(6,y),则 N(y,6) BMBN6y. SOMN10, 361 26y2 1 2(6y) 210,即 y216. 又y0,y4,M(6,4)N(4,6) 归纳:1确定反比例函数解析式只要一个合适的条件(如图象上一个点的坐标)即可另外将已知点的坐标 或部分坐标代入解析式中,从而确定字母的值是我们经常用的方法 2双曲线 yk x中,根据 k 的几何意义求图形面积常用图形有: S阴影|k| S阴影|k| 2 S阴影|k| 3.第一象限内的双曲线本身是轴对称图形,正方形也是轴对称图形,所以在本题中,图形是关于直线 yx 的轴

    6、对称图形,对解答第(2)问提供解题思路 考点 3:反比例函数的实际应用 【例题 3】 (2018乐山)某蔬菜生产基地的气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜如 图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后,大棚内的温度 y()与时间 x(h)之间的函数关系,其中线 段 AB,BC 表示恒温系统开启阶段,双曲线的一部分 CD 表示恒温系统关闭阶段 请根据图中信息解答下列问题: (1)求这天的温度 y 与时间 x(0 x24)的函数关系式; (2)求恒温系统设定的恒定温度; (3)若大棚内的温度低于 10 时,蔬菜会受到伤害问这天内,恒温系统最多可以关闭多少小时,才能使 蔬菜避免受到伤害?

    7、 【点拨】 (1)用待定系数法分段求函数解析式;(2)观察图象可得;(3)代入临界值 y10 即可 4 【解答】 解:(1)设线段 AB 解析式为 yk1xb(k0), 线段 AB 过点(0,10),(2,14),代入,得 b10, 2k1b14,解得 k12, b10. AB 解析式为 y2x10(0 x5) B 在线段 AB 上,当 x5 时,y20. B 坐标为(5,20) 线段 BC 的解析式为 y20(5x10) 设双曲线 CD 的解析式为 yk 2 x(k 20) C(10,20),k2200. 双曲线 CD 解析式为 y200 x (10 x24) y 关于 x 的函数解析式为

    8、y 2x10(0 x5), 20(5x10), 200 x (10 x24). (2)由(1)可知,恒温系统设定恒定温度为 20 . (3)把 y10 代入 y200 x 中,解得 x20. 201010. 答:恒温系统最多关闭 10 小时,蔬菜才能避免受到伤害 归纳:反比例函数实际应用题是近年中考常见的题型,解题时首先要仔细审读题目(或图象)中给予的信息, 挖掘题目(或图象)中隐含的条件,提取有用信息,综合运用所学知识解决问题 一、选择题: 1. (2018柳州)已知反比例函数的解析式为 y=,则 a 的取值范围是( ) Aa2 Ba2 Ca2 Da=2 【答案】C 5 解析:可得:|a|2

    9、0, 解得:a2, 故选:C 2. (2019 安徽)(4 分)已知点 A(1,3)关于 x 轴的对称点 A在反比例函数 y k x 的图象上,则实数 k 的值为( ) A3 B 1 3 C3 D 1 3 【答案】A 【解答】解:点 A(1,3)关于 x 轴的对称点 A的坐标为(1,3) , 把 A(1,3)代入 y k x 得 k133 故选:A 3. (2018德州)给出下列函数:y=3x+2;y=;y=2x 2;y=3x,上述函数中符合条作“当 x1 时,函数值 y 随自变量 x 增大而增大“的是( ) A B C D 【答案】B 【解析】:y=3x+2,当 x1 时,函数值 y 随自变

    10、量 x 增大而减小,故此选项错误; y=,当 x1 时,函数值 y 随自变量 x 增大而减小,故此选项错误; y=2x 2,当 x1 时,函数值 y 随自变量 x 增大而减小,故此选项正确; y=3x,当 x1 时,函数值 y 随自变量 x 增大而减小,故此选项正确; 故选:B 4. (2018聊城)春季是传染病多发的季节,积极预防传染病是学校高度重视的一项工作,为此,某校对 学生宿舍采取喷洒药物进行消毒在对某宿舍进行消毒的过程中,先经过 5min 的集中药物喷洒,再封闭宿 舍 10min, 然后打开门窗进行通风, 室内每立方米空气中含药量 y (mg/m 3) 与药物在空气中的持续时间 x

    11、(min) 之间的函数关系,在打开门窗通风前分别满足两个一次函数,在通风后又成反比例,如图所示下面四个 选项中错误的是( ) 6 A经过 5min 集中喷洒药物,室内空气中的含药量最高达到 10mg/m 3 B室内空气中的含药量不低于 8mg/m 3的持续时间达到了 11min C当室内空气中的含药量不低于 5mg/m 3且持续时间不低于 35 分钟,才能有效杀灭某种传染病毒此次消 毒完全有效 D 当室内空气中的含药量低于 2mg/m 3时, 对人体才是安全的, 所以从室内空气中的含药量达到 2mg/m3开始, 需经过 59min 后,学生才能进入室内 【答案】C 【解答】解:A、正确不符合题

    12、意 B、由题意 x=4 时,y=8,室内空气中的含药量不低于 8mg/m 3的持续时间达到了 11min, 正确, 不符合题意; C、y=5 时,x=2.5 或 24,242.5=21.535,故本选项错误,符合题意; D、正确不符合题意, 故选:C 5. (2018遵义)如图,直角三角形的直角顶点在坐标原点,OAB=30,若点 A 在反比例函数 y=(x 0)的图象上,则经过点 B 的反比例函数解析式为( ) Ay= By= Cy= Dy= 【答案】C 解析:点 B 作 BCx 轴于点 C,过点 A 作 ADx 轴于点 D, BOA=90, BOC+AOD=90, 7 AOD+OAD=90,

    13、 BOC=OAD, 又BCO=ADO=90, BCOODA, =tan30=, =, ADDO=xy=3, SBCO=BCCO=SAOD=1, SAOD=2, 经过点 B 的反比例函数图象在第二象限, 故反比例函数解析式为:y= 故选:C 二、填空题: 6. (2018四川宜宾3 分)已知:点 P(m,n)在直线 y=x+2 上,也在双曲线 y=上,则 m 2+n2的值 为 6 【答案】6 【解答】解:点 P(m,n)在直线 y=x+2 上, n+m=2, 点 P(m,n)在双曲线 y=上, mn=1, m 2+n2=(n+m)22mn=4+2=6 故答案为:6 8 7. (2019浙江绍兴5

    14、 分)如图,矩形 ABCD 的顶点 A,C 都在曲线 y(常数是0,x0)上,若顶点 D 的坐标为(5,3) ,则直线 BD 的函数表达式是 yx 【答案】y 3 5 x 【解答】解:D(5,3) , A( 3 k ,3) ,C(5, 5 k ) , B( 3 k , 5 k ) , 设直线 BD 的解析式为 ymx+n, 把 D(5,3) ,B( 3 k , 5 k )代入得,解得, 直线 BD 的解析式为 y 3 5 x 故答案为 y 3 5 x 8. (2018安顺)如图,已知直线 y=k1x+b 与 x 轴、y 轴相交于 P、Q 两点,与 y=的图象相交于 A(2, m) 、 B (1

    15、, n) 两点, 连接 OA、 OB, 给出下列结论: k1k20; m+n=0; SAOP=SBOQ; 不等式 k1x+b 的解集是 x2 或 0 x1,其中正确的结论的序号是 【答案】 9 【解答】解:由图象知,k10,k20, k1k20,故错误; 把 A(2,m)、B(1,n)代入 y=中得2m=n, m+n=0,故正确; 把 A(2,m)、B(1,n)代入 y=k1x+b 得, , 2m=n, y=mxm, 已知直线 y=k1x+b 与 x 轴、y 轴相交于 P、Q 两点, P(1,0),Q(0,m), OP=1,OQ=m, SAOP=m,SBOQ=m, SAOP=SBOQ;故正确;

    16、 由图象知不等式 k1x+b的解集是 x2 或 0 x1,故正确; 故答案为: 9. (2019贵州毕节5 分)如图,在平面直角坐标中,一次函数 y4x+4 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A.B 两点正方形 ABCD 的顶点 C.D 在第一象限,顶点 D 在反比例函数 y k x (k0)的图象上若正方形 ABCD 向左平移 n 个单位后,顶点 C 恰好落在反比例函数的图象上,则 n 的值是 10 【答案】3 【解答】解:过点 D 作 DEx 轴,过点 C 作 CFy 轴, ABAD, BAODAE, ABAD,BOADEA, ABODAE(AAS) , AEBO,DEOA, 易求 A(1

    17、,0) ,B(0,4) , D(5,1) , 顶点 D 在反比例函数 y k x 上, k5, y 5 x , 易证CBFBAO(AAS) , CF4,BF1, C(4,5) , C 向左移动 n 个单位后为(4n,5) , 5(4n)5, n3, 故答案为 3; 三、解答题: 10. 甲、乙两家商场进行促销活动,甲商场采用“满 200 减 100”的促销方式,即购买商品的总金额满 200 元但不足 400 元,少付 100 元;满 400 元但不足 600 元,少付 200 元乙商场按顾客购买商品的总金额 11 打 6 折促销 (1)若顾客在甲商场购买了 510 元的商品,付款时应付多少钱?

    18、 (2)若顾客在甲商场购买商品的总金额为 x(400 x600)元,优惠后得到商家的优惠率为 p(p 优惠金额 购买商品的总金额),写出 p 与 x 之间的函数关系式,并说明 p 随 x 的变化情况; (3)品牌、质量、规格等都相同的某种商品,在甲、乙两商场的标价都是 x(200 x400)元,你认为选择哪 家商场购买商品花钱较少?请说明理由 【解析】 :(1)510200310(元) (2)p200 x (400 x600);p 随 x 的增大而减小 (3)购 x 元(200 x400)在甲商场的优惠额是 100 元,乙商场的优惠额是 x0.6x0.4x.当 0.4x100, 即 200 x

    19、250 时,选甲商场优惠; 当 0.4x100,即 x250 时,选甲、乙商场一样优惠; 当 0.4x100,即 250 x400 时,选乙商场优惠 11. (2018菏泽)如图,已知点 D 在反比例函数 y=的图象上,过点 D 作 DBy 轴,垂足为 B(0,3), 直线 y=kx+b 经过点 A(5,0),与 y 轴交于点 C,且 BD=OC,OC:OA=2:5 (1)求反比例函数 y=和一次函数 y=kx+b 的表达式; (2)直接写出关于 x 的不等式kx+b 的解集 【分析】(1)由 OC、OA、BD 之间的关系结合点 A、B 的坐标可得出点 C、D 的坐标,由点 D 的坐标利用反

    20、比例函数图象上点的坐标特征可求出 a 值,进而可得出反比例函数的表达式,再由点 A、C 的坐标利用待定 系数法,即可求出一次函数的表达式; (2)将一次函数表达式代入反比例函数表达式中,利用根的判别式0 可得出两函数图象无交点,再观 察图形,利用两函数图象的上下位置关系即可找出不等式kx+b 的解集 12 解:(1)BD=OC,OC:OA=2:5,点 A(5,0),点 B(0,3), OA=5,OC=BD=2,OB=3, 又点 C 在 y 轴负半轴,点 D 在第二象限, 点 C 的坐标为(0,2),点 D 的坐标为(2,3) 点 D(2,3)在反比例函数 y=的图象上, a=23=6, 反比例

    21、函数的表达式为 y= 将 A(5,0)、B(0,2)代入 y=kx+b, ,解得:, 一次函数的表达式为 y=x2 (2)将 y=x2 代入 y=,整理得: x 22x+6=0, =(2) 24 6=0, 一次函数图象与反比例函数图象无交点 观察图形,可知:当 x0 时,反比例函数图象在一次函数图象上方, 不等式kx+b 的解集为 x0 12. (2018泰安)如图,矩形 ABCD 的两边 AD,AB 的长分别为 3,8,E 是 DC 的中点,反比例函数 ym x的 图象经过点 E,与 AB 交于点 F. (1)若点 B 坐标为(6,0),求 m 的值及图象经过 A,E 两点的一次函数的解析式

    22、; (2)若 AFAE2,求反比例函数的解析式 13 【解析】 :(1)点 B 坐标为(6,0),AD3,AB8,E 为 CD 的中点, 点 A(6,8),E(3,4) 函数图象经过点 E, m3412. 设 AE 的解析式为 ykxb,将点 A,E 坐标代入,得 6kb8, 3kb4,解得 k4 3, b0. 一次函数的解析式为 y4 3x. (2)AD3,DE4, AE AD 2DE25. AFAE2,AF7,BF1. 设点 E 坐标为(a,4),则点 F 坐标为(a3,1), E,F 两点在函数 ym x图象上, 4aa3,解得 a1. E(1,4) m144. 反比例函数的解析式为 y

    23、4 x. 13. (2018山东青岛8 分)已知反比例函数的图象经过三个点 A(4,3) ,B(2m,y1) ,C(6m,y2) , 其中 m0 (1)当 y1y2=4 时,求 m 的值; (2)如图,过点 B、C 分别作 x 轴、y 轴的垂线,两垂线相交于点 D,点 P 在 x 轴上,若三角形 PBD 的面积 是 8,请写出点 P 坐标(不需要写解答过程) 14 【分析】 (1)先根据反比例函数的图象经过点 A(4,3) ,利用待定系数法求出反比例函数的解析式为 y= 12 x , 再由反比例函数图象上点的坐标特征得出 y1= 12 2m = 6 m , y2= 12 6m = 2 m ,

    24、然后根据 y1y2=4 列出方程 6 m 2 m =4,解方程即可求出 m 的值; (2)设 BD 与 x 轴交于点 E根据三角形 PBD 的面积是 8 列出方程 4 m PE=8,求出 PE=4m,再由 E(2m, 0) ,点 P 在 x 轴上,即可求出点 P 的坐标 【解答】解: (1)设反比例函数的解析式为 y= k x , 反比例函数的图象经过点 A(4,3) , k=4(3)=12, 反比例函数的解析式为 y= 12 x , 反比例函数的图象经过点 B(2m,y1) ,C(6m,y2) , y1= 12 2m = 6 m ,y2= 12 6m = 2 m , y1y2=4, 6 m

    25、2 m =4, m=1; (2)设 BD 与 x 轴交于点 E 点 B(2m, 6 m ) ,C(6m, 2 m ) ,过点 B、C 分别作 x 轴、y 轴的垂线,两垂线相交于点 D, D(2m, 2 m ) ,BD= 6 m 2 m = 4 m 三角形 PBD 的面积是 8, BDPE=8, 15 4 m PE=8, PE=4m, E(2m,0) ,点 P 在 x 轴上, 点 P 坐标为(2m,0)或(6m,0) 14.( 2018保定二模)如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,ABO 的边 AB 垂直于 x 轴,垂足为点 B, 反比例函数 yk x(x0)的图象经过 AO 的中点 C,

    26、且与 AB 相交于点 D,OB4,AD3. (1)求反比例函数 yk x的解析式; (2)求 cosOAB 的值; (3)求经过 C,D 两点的一次函数解析式 【解析】 :(1)设点 D 的坐标为(4,m)(m0),则点 A 的坐标为(4,3m) 点 C 为线段 AO 的中点, 点 C 的坐标为(2,3m 2 ) 点 C,D 均在反比例函数 yk x的图象上, k4m, k23m 2 ,解得 m1, k4. 反比例函数的解析式为 y4 x. (2)m1,点 A 的坐标为(4,4), OB4,AB4. 16 RtAOB 是等腰直角三角形 cosOABcos45 2 2 . (3)m1, 点 C 的坐标为(2,2),点 D 的坐标为(4,1) 设经过点 C,D 的一次函数的解析式为 yaxb,则有 22ab, 14ab,解得 a1 2, b3. 经过 C,D 两点的一次函数解析式为 y1 2x3.


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