1、 1 第第 6 讲讲 一次方程一次方程(组组)及其应用及其应用 1等式的基本性质 性质 1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等，即：如果 ab，c 为任意数(或式子)，那么 a c b c； 性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等，即：如果 ab，那么 acbc； 如果 ab，c0，那么a c b c. 2方程及方程的解 (1)方程：含有未知数的等式 (2)方程的解：能够使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解求方程解的过程叫做解方程 3一元一次方程 (1)定义：只含有一个未知数，且未知数的项的次数是 1 的整式方程 (2)解一元一次方程主要有以
2、下步骤：去分母(注意不要漏乘不含分母的项)；去括号(注意括号外是负号 时，去括号后括号内各项均要变号)；移项(注意移项要变号)；合并同类项；系数化 1. 4二元一次方程 (1)定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数为 1 的整式方程 (2)二元一次方程的解：适合二元一次方程的一组未知数的值 注意：二元一次方程的解是满足方程的一对数值，即 xa yb，任何一个二元一次方程都有无数多个解 (3)解法：解二元一次方程时，先用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后给一个未知数取值，求 另一个未知数的值，即可得到该二元一次方程的一个解 5二元一次方程组 (1)定义：将两个或两个以上的方程联立在一
3、起，就构成了一个方程组，方程组中含有两个未知数，且含未 知数的项的次数都是 1，这样的方程组叫二元一次方程组 (2)解二元一次方程组的基本思想是消元，有代入消元法与加减消元法两种方法. 方程组中一个方程里有一个未知数的系数是 1 或1，选择代入消元法较简单； 方程组中同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍，选择加减消元法 6三元一次方程组 2 (1)定义：方程组中含有三个未知数，且未知数的项的次数都是 1 的方程组叫三元一次方程组 (2)三元一次方程组的解法： 三元一次方程组 消元 二元一次方程组 消元 一元一次方程 7列方程(组)解应用题的一般步骤 (1)审：审清题意，分清题中的已知量、未
4、知量； (2)设：设关键未知数； (3)找：找出各量之间的等量关系； (4)列：根据等量关系列方程(组)； (5)解：解方程(组)； (6)验：检验所解出的答案是否正确，是否符合题意； (7)答：规范作答，注意单位名称 8常见一次方程实际应用常见类型及关系式 (1)行程问题：路程速度 时间； 相遇问题：两者路程之和全程； 追及问题：快者路程慢者先走的路程(或相距路程)慢者后走的路程； 水中航行问题： 顺水速度船在静水中速度水流速度； 逆水速度船在静水中速度_水流速度.- (2)工程问题：工作量工作效率 工作时间 ，各部分部分工作量之和总工作量 (3)利润问题： 利润售价进价进价 利润率； 售价
5、标价 折扣率进价 (1利润率)； 总利润总售价总进价单件利润 销量 (4)利息问题： 利息本金 利率 期数； 本息和本金利息 考点 1：一元一次方程(组)的解法 3 【例题 1】(2017 广州)解方程组： xy5， 2x3y11. 【解答】 解：方法一：由，得 x5y. 把代入，得 2(5y)3y11.解得 y1. 把 y1 代入，得 x514. 原方程组的解为 x4， y1. 方法二：由，得 y5x. 把代入，得 2x3(5x)11.解得 x4. 把 x4 代入，得 y541. 原方程组的解为 x4， y1. 方法三： 3，得 x4. 把 x4 代入，得 y1. 原方程组的解为 x4， y
6、1. 方法四： 2，得 y1. 把 y1 代入，得 x4. 原方程组的解为 x4， y1. 考点 2：一元一次方程(组)的应用 【例题 2】 （2019湖北黄石8 分）“今有善行者行一百步，不善行者行六十步”（出自九章算术 ）意思 是：同样时间段内，走路快的人能走 100 步，走路慢的人只能走 60 步假定两者步长相等，据此回答以下 问题： （1）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几何步隔之？即：走 路慢的人先走 100 步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走 600 步时，请问谁在前面，两人相隔多少 步？ （2）今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步
7、及之？即：走路慢的人先走 200 步，请问走路快的人 走多少步才能追上走路慢的人？ 【分析】 （1）设当走路慢的人再走 600 步时，走路快的人的走 x 步，根据同样时间段内，走路快的人能走 100 步，走路慢的人只能走 60 步列方程求解即可； （2）设走路快的人走 y 步才能追上走路慢的人，根据同样时间段内，走路快的人能走 100 步，走路慢的人 4 只能走 60 步，及追及问题可列方程求解 【解答】解： （1）设当走路慢的人再走 600 步时，走路快的人的走 x 步，由题意得 x：600100：60 x1000 1000600100300 答：当走路慢的人再走 600 步时，走路快的人在
8、前面，两人相隔 300 步 （2）设走路快的人走 y 步才能追上走路慢的人，由题意得 y200+ 60 100 yy y500 答：走路快的人走 500 步才能追上走路慢的人 归纳：1.列方程(组)解应用题的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的数量关系，并根据题意或 生活实际建立等量关系；2.可根据公式寻找数量关系，如周长、面积、体积等；3.在有倍数、和差关系的应 用题中，应抓住两种量的关系，建立等量关系，这类题目中常有“一共是”、“比多(少)”、“是的几倍”、 “比几倍多(少)”等；4.涉及几何图形的应用问题时，等量关系一般隐藏在图形的性质中，如矩形对边相等， 正方形四边相等或裁剪拼
9、接和折叠前后的对应关系等 考点 3：二元一次方程(组)的解法 【例题 3】 （2018德州） 对于实数 a， b， 定义运算“”： ab=， 例如 43， 因为 43 所 以 43=5若 x，y 满足方程组 ，则 xy= 【分析】根据二元一次方程组的解法以及新定义运算法则即可求出答案 【解答】：由题意可知：， 解得： xy， 原式=5 12=60 故答案为：60 考点 4：二元一次方程(组)的应用 【例题 4】(2019 甘肃省陇南市)（6 分）小甘到文具超市去买文具请你根据如图中的对话信息，求中性笔 和笔记本的单价分别是多少元？ 5 【分析】根据对话分别利用总钱数得出等式求出答案 【解答】解
10、：设中性笔和笔记本的单价分别是 x 元、y 元，根据题意可得： 1220112 12 +20144 yx xy ， 解得： 2 6 x y ， 答：中性笔和笔记本的单价分别是 2 元、6 元 一、选择题： 1. （2019湖南怀化4 分）一元一次方程 x20 的解是（ ） Ax2 Bx2 Cx0 Dx1 【答案】A 【解答】解：x20， 解得：x2 故选：A 2. 若方程组的解 x、y 的值相等，则 a 的值为（ ） A4 B4 C2 D1 【考点】解三元一次方程组 【答案】C 【解答】：由题意可得方程 x=y，将此方程代入原方程组的第二个方程得：4x+3x=14，则 x=y=2； 然后代入第
11、一个方程得：2a+2（a1）=6； 解得：a=2 6 故选 C 3. （2019， 四川巴中， 4 分） 已知关于 x、 y 的二元一次方程组的解是， 则 a+b 的值是 （ ） A1 B2 C1 D0 【答案】B 【解答】解：将代入得： ， a+b2； 故选：B 4. （2019浙江宁波4 分）小慧去花店购买鲜花，若买 5 支玫瑰和 3 支百合，则她所带的钱还剩下 10 元； 若买 3 支玫瑰和 5 支百合，则她所带的钱还缺 4 元若只买 8 支玫瑰，则她所带的钱还剩下（ ） A31 元 B30 元 C25 元 D19 元 【答案】A 【解答】解：设每支玫瑰 x 元，每支百合 y 元， 依题
12、意，得：5x+3y+103x+5y4， yx+7， 5x+3y+108x5x+3（x+7）+108x31 故选：A 5. ( 2019 甘肃省兰州市) （4 分）九章算术是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题:五只雀、六 只燕共重一斤；雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量 为 x 斤，一只燕的重量为 y 斤，则可列方程为 （ ） A. xyyx yx 65 165 B. xyyx yx 65 156 C. xyyx yx 54 165 D. xyyx yx 54 156 【答案】C 【解析】根据题目条件找出等量关系并列出方程： （1）五只雀和六只
13、燕共重一斤，列出方程:5x+6y1 (2) 互换其中一只，恰好一样重，即四只雀和一只燕的重量等于五只燕一只雀的重量，列出方程： 4x+y5y+x，故选 C. 二、填空题： 6. 如图，宽为 50 cm 的长方形图案由 10 个相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为_cm2. 7 【答案】10 40400(cm2) 【解析】 ：设小长方形的长为 x cm，则宽为(50 x)cm，根据题意可得： 2xx4(50 x)， 解得：x40， 故 50 x10(cm) 则一个小长方形的面积为：10 40400(cm2) 7. 一组“数值转换机”按下面的程序计算， 如果输入的数是 36， 则输出的结果
14、为 106， 要使输出的结果为 127， 则输入的最小正整数是_ 【答案】15 【解答】 当 y=127 时，解得：x=43； 当 y=43 时，解得：x=15； 当 x=15 时,解得不符合条件。 则输入的最小正整数是 15. 故答案为：15. 8. （2019湖南岳阳4 分）我国古代的数学名著九章算术中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五 日织五尺问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5 日共织布 5 尺问每日各织 多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布 5 31 尺 【答案】 5 31 【解答】解：设第一天织布 x 尺，则第二天织布 2x 尺，第三天
15、织布 4x 尺，第四天织布 8x 尺，第五天织布 8 16x 尺，根据题意可得： x+2x+4x+8x+16x5， 解得：x 5 31 ， 即该女子第一天织布 5 31 尺 故答案为： 5 31 9. 当y=3时， 二元一次方程3x+5y=3和3y2ax=a+2 （关于x， y的方程） 有相同的解， 则a的值是 【答案】 【解答】：当 y=3 时， 3x+5 （3）=3， 解得：x=4， 把 y=3，x=4 代入 3y2ax=a+2 中得， 3 （3）2a 4=a+2， 解得：a= 三、解答题： 10. (2018 嘉兴)用消元法解方程组 x3y5， 4x3y2 时，两位同学的解法如下： 解法
16、一：由，得 3x3. 解法二：由，得 3x(x3y)2， 把代入，得 3x52. (1)反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有错误，请在错误处打“”； (2)请选择一种你喜欢的方法，完成解答 【解析(1)解法一中的解题过程有错误， 由，得 3x3“” 应为由，得3x3. (2)由，得3x3，解得 x1. 把 x1 代入，得13y5，解得 y2. 故原方程组的解是 x1， y2. 11. 已知 n 边形的内角和 (n2) 180 . 9 (1)甲同学说， 能取 360 ；而乙同学说， 也能取 630 .甲、乙的说法对吗？若对，求出边数 n；若不对，说 明理由； (2)若 n 边形变为(nx)
17、边形，发现内角和增加了 360 ，用列方程的方法确定 x. 【解析(1)甲对，乙不对理由： 360 ，(n2) 180 360 . 解得 n4. 630 ，(n2) 180 630 .解得 n11 2 . n 为整数， 不能取 630 . (2)依题意，得 (n2) 180 360 (nx2) 180 . 解得 x2. 12. (2017 海南)在某市“棚户区改造”建设工程中，有甲、乙两种车辆参加运土，已知 5 辆甲种车和 2 辆乙种 车一次共运土 64 立方米，3 辆甲种车和 1 辆乙种车一次共运土 36 立方米，求甲、乙两种车每辆一次分别运 土多少立方米 【解答】 解：方法一：设甲种车每辆
18、一次运土 x 立方米，乙种车每辆一次运土 y 立方米，由题意，得 5x2y64， 3xy36. 解得 x8， y12. 答：甲种车每辆一次运土 8 立方米，乙种车每辆一次运土 12 立方米 方法二：设甲种车每辆一次运土 x 立方米，则乙种车每辆一次运土(363x)立方米，由题意，得 5x2(363x)64，解得 x8.则 363x 12. 答：甲种车每辆一次运土 8 立方米，乙种车每辆一次运土 12 立方米 方法三：设乙种车每辆一次运土 x 立方米，则甲种车每辆一次运土36x 3 立方米，由题意，得 5 36x 3 2x64，解得 x12.则36x 3 8. 答：甲种车每辆一次运土 8 立方米
19、，乙种车每辆一次运土 12 立方米 方法四：设甲种车每辆一次运土 x 立方米，则乙种车每辆一次运土645x 2 立方米，由题意，得 3x645x 2 36，解得 x8.则645x 2 12. 答：甲种车每辆一次运土 8 立方米，乙种车每辆一次运土 12 立方米 方法五：设乙种车每辆一次运土 x 立方米，则甲种车每辆一次运土642x 5 立方米，由题意，得 10 3 642x 5 x36，解得 x12.则642x 5 8. 答：甲种车每辆一次运土 8 立方米，乙种车每辆一次运土 12 立方米 13. (2019 安徽)（8 分）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一
20、条高 速公路其中一段长为 146 米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工甲工程队独立工作 2 天后， 乙工程队加入，两工程队又联合工作了 1 天，这 3 天共掘进 26 米已知甲工程队每天比乙工程队多掘进 2 米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？ 【分析】设甲工程队每天掘进 x 米，则乙工程队每天掘进（x2）米根据“甲工程队独立工作 2 天后，乙 工程队加入，两工程队又联合工作了 1 天，这 3 天共掘进 26 米”列出方程，然后求工作时间 【解答】解：设甲工程队每天掘进 x 米，则乙工程队每天掘进（x2）米， 由题意，得 2x+（x+x2）26， 解得
21、x7， 所以乙工程队每天掘进 5 米， 146-26 7+5 =10（天） 答：甲乙两个工程队还需联合工作 10 天 14. 如图，已知数轴上一枚硬币恰好与原点 O 相切，将这枚硬币沿数轴向右无滑动滚动一周，点 O 恰好到 达点 A 处 (1)将这枚硬币从点 A 开始沿坐标轴向左滚动两周，到达点 B，则点 B 对应的数是3； (2)将这枚硬币从表示数 a 的点 C 处开始，先向左滚动 1 周，得到点 D，再向右滚动 5 周得到点 E，最后向 左滚动 2 周得到点 F.若点 D，E，F 所代表的数字之和为 8，求 a 的值 【解析】根据题意，点 C 表示的数为 a，向左滚动 1 周得到点 D， 则点 D 表示的数为 a3，再向右滚动 5 周得到点 E， 则点 E 表示的数为 a33 5，再向左滚动 2 周得到点 F， 则点 F 表示的数为 a33 53 2， a3(a315)(a3156)8， 解得 a7 3.
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