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    第09讲 不等式(组)及其应用(教师版) 备战2021中考数学专题复习分项提升

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    第09讲 不等式(组)及其应用(教师版) 备战2021中考数学专题复习分项提升

    1、 1 第第 9 9 讲讲 不等式不等式( (组组) )及其应用及其应用 1不等式的基本性质 性质 1:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号方向不改变;如果 ab,那么 acbc; 性质 2:不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号方向不改变;如果 ab,c0,那么 acbc,a c b c; 性质 3:不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号方向改变;如果 ab,c0,那么 acbc,a cb,且 a、b 为常数): 不等式 2 组(ab) 图示 解集 口诀 xa xb xa 同大取大 xa xb xb 同小取小 xb xa axb 大小、小大 中间找 xb xa 无解 小小、大大

    2、找不到 4.一元一次不等式的应用 (1)列不等式解应用题的基本步骤: 审题;设元;找出能够包含未知数的不等量关系;列出不等式;解不等式;在不等式的解中 找出符合题意的未知数的值;写出答案 (2)列不等式解应用题涉及的题型常与方案设计型问题相联系,如最大利润、最优方案等,一般所求问题中 有“至少()” 、 “最多()” 、 “不低于()” 、 “超过()” 、 “不大于()”等词,要正确理解这些词的含 义 考点 1:解一元一次不等式 【例题 1】 (2018 广西桂林) (6.00 分)解不等式x+1,并把它的解集在数轴上表示出来 【解析】 :去分母,得:5x13x+3, 移项,得:5x3x3+

    3、1, 合并同类项,得:2x4, 系数化为 1,得:x2, 3 将不等式的解集表示在数轴上如下: 归纳:1. 本题主要考查解一元一次不等式,解题的关键是掌握解不等式的步骤:去分母;去括号; 移项;合并同类项;化系数为 1;2将不等式(组)的解集直观地表示在数轴上,体现数形结合的思想; 3在画图时,先确定边界点,解集包含边界点,则边界点是实心圆点;解集不包含边界点,则边界点是空 心圆圈,再确定方向(大向右,小向左) 考点 2:解一元一次不等式组 【例题 2】(2018自贡)解不等式组 3x51, 13x 3 4x,并在数轴上表示其解集 【解答】解:解不等式,得 x2. 解不等式,得 x1. 不等式

    4、组的解集为 1x2. 将其表示在数轴上,如图所示 归纳:在数轴上表示解集时,大于号向右,小于号向左,有等号的用实心圆点,无等号的用空心圆圈 (1) 在解不等式的过程注意不等式性质 3 的使用,即给不等式两边同时乘以(或除以)一个负数,不等号要改变 方向;(2)求不等式组的整数解时, “实心”点所表示的实数如果是整数,则该点也是所求整数解,如果不 是整数,要从离该点最近的整数点开始算起; “空心”点所在的实数如果是整数,则该点不是整数解,如果 不是整数,则要从解集中离该点最近的整数点开始算起 考点 3:一元一次不等式的实际应用 【例题 3】 (2019 湖南益阳 10 分)为了提高农田利用效益,

    5、某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种 植一季水稻的“虾稻”轮作模式某农户有农田 20 亩,去年开始实施“虾稻”轮作,去年出售小龙虾每 千克获得的利润为 32 元(利润售价成本) 由于开发成本下降和市场供求关系变化,今年每千克小龙 虾的养殖成本下降 25%,售价下降 10%,出售小龙虾每千克获得利润为 30 元 (1)求去年每千克小龙虾的养殖成本与售价; (2)该农户今年每亩农田收获小龙虾 100 千克,若今年的水稻种植成本为 600 元/亩,稻谷售价为 25 元/ 千克,该农户估计今年可获得“虾稻”轮作收入不少于 8 万元,则稻谷的亩产量至少会达到多少千克? 【分析】 (1)设去年每千克小

    6、龙虾的养殖成本与售价分别为x元、y元,由题意列出方程组,解方程组即可; 4 (2)设今年稻谷的亩产量为z千克,由题意列出不等式,就不等式即可 【解答】解: (1)设去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为x元、y元, 由题意得:, 解得:; 答:去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为 8 元、40 元; (2)设今年稻谷的亩产量为z千克, 由题意得:2010030+202.5z2060080000, 解得:z640; 答:稻谷的亩产量至少会达到 640 千克 归纳:本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用;根据题意列出方程组或不等式是解题 的关键归纳总结:1.利用不等式(组)解决实际

    7、问题,关键是要抓住题目中表示不等关系的语句,列出不 等式,问题的答案不仅要根据解集,还要根据使实际问题有意义确定2在利用不等式组解决实际问题中 的方案选择、优化设计以及最大利润等问题时,为防止漏解和便于比较,我们常用分类讨论的思想方法, 对方案的优劣进行探讨 考点 4:一元一次不等式与其它知识的综合应用 【例题 4】(2018河北中考预测)如图,在数轴上有 A,B,C,D 四点,点 A 对应的数为 a,点 B 对应的数 为 3,点 D 对应的数为 t,若 CD4,且在数轴上移动 (1)若 2AB 表示的数始终位于点 A 的左侧,求 a 的取值范围,并把解集表示在数轴上; (2)当 t 为何值,

    8、且是整数时,点 B 落在 C,D 两点之间 【解析】 :(1)AB3a,2AB 表示的数始终位于点 A 的左侧, 2(3a)2. a3, a 的取值范围为 2a3, t43.解得 3tx1 2 3x34 ,并求出其最小整数解 解:令: 3(x1)x1 2 3x34 , 解不等式得 x2, 解不等式得2 3x1,不等式两边同乘以 3 2得 x 3 2.原不等式组的解集为2x 3 2. 原不等式组的最小整数解是1 10. 甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材若甲单独整理需要 40 分钟完工;若甲、乙共同整理 20 分 钟后,乙需再单独整理 20 分钟才能完工 (1)问乙单独整理多少分钟完工? (2

    9、)若乙因工作需要,他的整理时间不超过 30 分钟,则甲至少整理多少分钟才能完工? 【解析】 :(1)设乙单独整理 x 分钟完工,根据题意,得 20 40 2020 x 1.解得 x80. 经检验,x80 是原分式方程的解,且符合题意 答:乙单独整理 80 分钟完工 (2)设甲整理 y 分钟,根据题意,得 30 80 y 401.解得 y25. 答:甲至少整理 25 分钟才能完工. 11. (2018唐山丰润区一模)小明解不等式1x 2 2x1 3 1 的过程如图请指出他解答过程中错误步骤的 序号,并写出正确的解答过程 解:去分母,得 3(1x)2(2x1)1. 去括号,得 33x4x11. 移

    10、项,得 3x4x131. 合并同类项,得x3. 两边都除以1,得 x3. 【解析】 :错误的是,正确解答过程如下: 9 去分母,得 3(1x)2(2x1)6. 去括号,得 33x4x26. 移项,得 3x4x632. 合并同类项,得x5. 两边都除以1,得 x5. 12. (2019四川省凉山州10 分)根据有理数乘法(除法)法则可知: 若ab0(或0) ,则或; 若ab0(或0) ,则或 根据上述知识,求不等式(x2) (x+3)0 的解集 解:原不等式可化为: (1)或(2) 由(1)得,x2, 由(2)得,x3, 原不等式的解集为:x3 或x2 请你运用所学知识,结合上述材料解答下列问题

    11、: (1)不等式x 22x30 的解集为 1x3 (2)求不等式0 的解集(要求写出解答过程) 【分析】 (1)根据有理数乘法运算法则可得不等式组,仿照有理数乘法运算法则得出两个不等式组,分别 求解可得 (2)根据有理数除法运算法则可得不等式组,仿照有理数除法运算法则得出两个不等式组,分别求解可得 【解答】解: (1)原不等式可化为:或 由得,空集, 由得,1x3, 原不等式的解集为:1x3, 故答案为:1x3 10 (2)由0 知或, 解不等式组,得:x1; 解不等式组,得:x4; 所以不等式0 的解集为x1 或x4 13. (2018郴州)郴州市正在创建“全国文明城市” ,某校拟举办“创文

    12、知识”抢答赛,欲购买 A、B 两种 奖品以鼓励抢答者如果购买 A 种 20 件,B 种 15 件,共需 380 元;如果购买 A 种 15 件,B 种 10 件,共需 280 元 (1)A、B 两种奖品每件各多少元? (2)现要购买 A、B 两种奖品共 100 件,总费用不超过 900 元,那么 A 种奖品最多购买多少件? 【分析】 (1)设 A 种奖品每件 x 元,B 种奖品每件 y 元,根据“如果购买 A 种 20 件,B 种 15 件,共需 380 元;如果购买 A 种 15 件,B 种 10 件,共需 280 元” ,列方程组求解可得;(2)设 A 种奖品购买 a 件,则 B 种 奖品

    13、购买(100a)件,根据总价单价购买数量结合总费用不超过 900 元列不等式,解之取其中最大的 整数即可得出结论 【解答】 解:(1)设 A 种奖品每件 x 元,B 种奖品每件 y 元,根据题意,得 20 x15y380, 15x10y280. 解得 x16, y4. 答:A 种奖品每件 16 元,B 种奖品每件 4 元 (2)设 A 种奖品购买 a 件,则 B 种奖品购买(100a)件,根据题意,得 16a4(100a)900.解得 a125 3 . a 为整数,a41. 答:A 种奖品最多购买 41 件 14. (2019山东省聊城市8 分)某商场的运动服装专柜,对A,B两种品牌的运动服分

    14、两次采购试销后, 效益可观,计划继续采购进行销售已知这两种服装过去两次的进货情况如下表: 第一次 第二次 A品牌运动服装数/件 20 30 B品牌运动服装数/件 30 40 累计采购款/元 10200 14400 (1)问A,B两种品牌运动服的进货单价各是多少元? 11 (2)由于B品牌运动服的销量明显好于A品牌,商家决定采购B品牌的件数比A品牌件数的倍多 5 件, 在采购总价不超过 21300 元的情况下,最多能购进多少件B品牌运动服? 【分析】 (1)直接利用两次采购的总费用得出等式进而得出答案; (2)利用采购B品牌的件数比A品牌件数的倍多 5 件,在采购总价不超过 21300 元,进而得出不等式求 出答案 【解答】解: (1)设A,B两种品牌运动服的进货单价各是x元和y元,根据题意可得: , 解得:, 答:A,B两种品牌运动服的进货单价各是 240 元和 180 元; (2)设购进A品牌运动服m件,购进B品牌运动服(m+5)件, 则 240m+180(m+5)21300, 解得:m40, 经检验,不等式的解符合题意, m+540+565, 答:最多能购进 65 件B品牌运动服


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