1、第第 24 章圆填空题精选章圆填空题精选 1 （2020 春东城区校级期末）数学课上，同学提出如下问题： 老师说这个证明可以用反证法完成，思路及过程如下： 小贴士反证法不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾， 由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立在某些情形下，反证法是很有效的证明方法 如图 1，我们想要证明“如果直线 AB，CD 被直线所截 EF，ABCD，那么EOBEOD ”如图 2， 假设EOBEOD，过点 O 作直线 AB，使EOBEOD，可得 ABCD这样过点 O 就有两条 直线 AB， AB都平行于直线 CD， 这与基本事实 矛盾， 说明
2、EOBEOD 的假设是不对的， 于是有EOBEOD 请补充上述证明过程中的基本事实： 2 （2019 秋北京期末）参加篝火晚会时，人们会自然围成一个圆，这是因为圆上任意一点到圆心的距离 都 ，这个距离就是这个圆的 3 （2019 秋顺义区期末） 九章算术是东方数学思想之源，该书中记载： “今有勾八步，股一十五步，问 勾中容圆径几何 ”其意思为： “今有直角三角形，勾（短直角边）长为 8 步，股（长直角边）长为 15 步， 问该直角三角形内切圆的直径是 步？” 4 （2019 秋昌平区期末）如图，正方形 ABCD 内接于O，O 的半径为 6，则 的长为 5 （2019 秋通州区期末）如图，在O
3、中，A，B，C 是O 上三点，如果AOB74，那么C 的度数 为 6 （2019 秋平谷区期末）如图，点 A，B，C 在O 上，BOC2AOB，如果BAC40，那么ACB 的度数是 7 （2019 秋昌平区期末）如图，PA，PB 是O 的切线，切点分别是点 A 和 B，AC 是O 的直径若P 60，PA6，则 BC 的长为 8 （2019 秋北京期末）如图，在平面直角坐标系中，点 A，B，C 都在格点上，过 A，B，C 三点作一圆弧， 则圆心的坐标是 9（2019 秋顺义区期末） 如图， O 的直径 AB10， 弦 CDAB 于点 E， 若 BE2， 则 CD 的长为 10 （2019 秋石景
4、山区期末） 九章算术是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框 架其中卷九中记载了一个问题： “今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？” 其意思是： “如右图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为 8 步，股（长直角边）长为 15 步，问该直 角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？” 根据题意，该内切圆的直径为 步 11 （2019 秋丰台区期末）如图，AB 是O 的一条弦，ODAB 于点 C，交O 于点 D，连接 OA如果 AB8，CD2，那么O 的半径为 12 （2019 秋朝阳区期末）如图，线段 AB 经过O 的圆心，AC，BD 分别与O 相切于点 C，D若 AC B
5、D1，A45，则 的长度为 13 （2019 秋大兴区期末）在半径为 3cm 的圆中，长为 cm 的弧所对的圆心角的度数为 14（2019秋石景山区期末） 如图， 等边ABC内接于O， 若O的半径为3， 则阴影部分的面积为 15 （2019 秋昌平区期末）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧 AB，点 O 是这段弧所在圆的圆心，AB 40m，点 C 是 的中点，且 CD10m，则这段弯路所在圆的半径为 m 16 （2019 秋密云区期末）若边长为 2 的正方形内接于O，则O 的半径是 17 （2019 秋密云区期末）如图，矩形 ABCD 中，AB1，AD= 2以 A 为圆心，AD 的长为半径做弧交
6、 BC 边于点 E，则图中 的弧长是 18 （2019 秋东城区期末）如图，O 上三点 A，B，C，半径 OC1，ABC30，O 的切线 PA 交 OC 延长线于点 P，从现图中选取一条以 P 为端点的线段，此线段的长为 （注明选取的线段） 19 （2019 秋昌平区校级期末）过圆内一点（非圆心）有 条弦，有 条直径 20 （2019 秋昌平区校级期末）锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ，钝角三角形 的外心在 21 （2019 春海淀区校级期末）已知：如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径作圆交 BC 于 D，交 AC 于 E若A84，则 的度数为 22 （2019 春海淀区校
7、级期末）已知ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（1，3） ，B（1，3） ，C（3， 3）则ABC 外接圆半径的长度为 23 （2019 春海淀区校级期末）如图，AB，CD 是O 的直径，且 ABCD，P 为 CD 延长线上的一点，PE 切O 于 EBE 交 CD 于 F若 AB6，DP2，则 BF 24 （2019 春朝阳区期末）数学课上，同学提出如下问题：如何证明“两直线平行，同位角相等”？ 老师说这个证明可以用反证法完成，思路及过程如下： 如图 1，我们想要证明“如果直线 AB，CD 被直线所截 EF，ABCD，那么EOBEOD ” 如图 2，假设EOBEOD，过点 O 作直线 AB，使
8、EOBEOD，依据基本事实 ，可得 ABCD这样过点 O 就有两条直线 AB，AB都平行于直线 CD，这与基本事实 矛盾，说明 EOBEOD 的假设是不对的，于是有EOBEOD 请补充上述证明过程中的两条基本事实 25（2018 秋密云区期末） 如图， A、 B、 C 是O 上三点， ACBC， BOC50， 则ACB 的度数为 26 （2018 秋密云区期末）已知O 半径为 2，等边ABC 内接于O，则劣弧 的长为 27 （2018 秋石景山区期末）走进中国科技馆，同学们会在数学区发现截面为“莱洛三角形”的轮子如 图，分别以等边ABC 的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，则 ，组成的封闭图形就
9、是“莱 洛三角形” 若 AB3，则此“莱洛三角形”的周长为 28 （2018 秋东城区期末）如图，以等边ABC 的一边 AB 为直径的半圆 O 交 AC 于点 D，交 BC 于点 E， 若 AB4，则阴影部分的面积是 29 （2018 秋大兴区期末）如图，O 的半径 OA 垂直于弦 BC，垂足是 D，OA5，AD：OD1：4，则 BC 的长为 30 （2018 秋平谷区期末）如图，AB 是O 的直径，D 是 AB 延长线上一点，DC 切O 于 C，连接 AC， 若CAB30，则D 度 31 （2018 秋朝阳区期末）如图，PA，PB 是O 的切线，A，B 为切点，AC 是O 的直径，BAC15
10、， 则P 的度数为 32 （2018 秋海淀区期末）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，P 是直线 y2 上的一个动点，P 的半径为 1，直线 OQ 切P 于点 Q，则线段 OQ 的最小值为 33 （2018 秋西城区期末）如图，O 的半径是 5，点 A 在O 上P 是O 所在平面内一点，且 AP2， 过点 P 作直线 l，使 lPA （1）点 O 到直线 l 距离的最大值为 ； （2）若 M，N 是直线 l 与O 的公共点，则当线段 MN 的长度最大时，OP 的长为 34 （2018 秋海淀区期末）半径为 2 且圆心角为 90的扇形面积为 35（2018 秋昌平区期末） 如图， 正方形 AB
11、CD 内接于O， E 是劣弧 CD 上一动点， 则AEB 36 （2018 秋昌平区期末）如图，PA，PB 分别与O 相切于 A，B 两点，C 是优弧 AB 上的一个动点，若 P40，则ACB 37（2018 秋朝阳区期末） 若圆锥的底面半径是 10， 侧面展开图是一个半圆， 则该圆锥的母线长为 38 （2018 秋门头沟区期末）如图，等边三角形 ABC 的外接圆O 的半径 OA 的长为 2，则其内切圆半径 的长为 39 （2018 秋房山区期末）如图 1，将一个量角器与一张等边三角形（ABC）纸片放置成轴对称图形， CDAB，垂足为 D，半圆（量角器）的圆心与点 D 重合，此时，测得顶点 C
12、 到量角器最高点的距离 CE 2cm，将量角器沿 DC 方向平移 1cm，半圆（量角器）恰与ABC 的边 AC，BC 相切，如图 2，则 AB 的长为 cm 40 （2018 秋顺义区期末）如图所示，ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（4，3） 、B（2，1） 、C（0， 1） ，则ABC 外接圆的圆心坐标是 ；ABC 外接圆的半径为 第第 24 章圆填空题精选章圆填空题精选 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一填空题（共一填空题（共 40 小题）小题） 1 【解答】解：假设EOBEOD，过点 O 作直线 AB，使EOBEOD，依据基本事实 同位角相 等，两直线平行，可得 ABCD这样过点
13、 O 就有两条直线 AB，AB都平行于直线 CD，这与基本 事实 经过直线外一点， 有且只有一条直线与已知直线平行矛盾， 说明EOBEOD 的假设是不对的， 于是有EOBEOD 故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行； 经过直线外一点，有且只有一条直线 与已知直线平行 2 【解答】解：参加篝火晚会时，人们会自然围成一个圆，这是因为圆上任意一点到圆心的距离都相等， 这个距离就是这个圆的半径 故答案为：相等，半径 3 【解答】解：根据勾股定理得：斜边为82+ 152=17， 则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径 r= 8+1517 2 =3（步） ，即直径为 6 步， 故答案
14、为：6 4 【解答】解：连接 OB，OC，则 OCOB6，BOC90， 的弧长为 90 18063， 故答案为 3 5 【解答】解：AOB 与ACB 都对 ，且AOB74， ACB= 1 2AOB37， 故答案为：37 6 【解答】解：BAC= 1 2BOC，ACB= 1 2AOB， BOC2AOB， ACB= 1 2BAC20 故答案为：20 7 【解答】解：连接 AB， PA，PB 是O 的切线， PAPB， P60， PAB 为等边三角形， ABPA6，PAB60， PA 是O 的切线， PAC90， CAB30， AC 是O 的直径， ABC90， 在 RtABC 中，BCABtanC
15、AB6 3 3 =23， 故答案为：23 8 【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦 AB 和 BC 的垂直平分线，交点即为圆心 如图所示，则圆心是（2，1） 故答案为： （2，1） 9 【解答】解：如图，连接 OC O 的直径 AB10， OBOC5， OEOBBE523， 弦 CDAB 于点 E， CEED= 1 2CD 在 RtOEC 中，OEC90，OE3，OC5， CE=2 2=52 32=4， CD2CE8 故答案为 8 10 【解答】解：根据勾股定理得：斜边 AB=82+ 152=17， 内切圆直径8+15176（步） ， 故答案为：6 11 【解答】
16、解：设O 的半径为 R，则 OCR2， ODAB， AC= 1 2AB4， 在 RtAOC 中，OA2OC2+AC2，即 R2（R2）2+42， 解得，R5， 故答案为：5 12 【解答】解：连接 OC、OD， AC，BD 分别与O 相切于点 C，D OCAC，ODBD， A45， AOC45， ACOC1， ACBD1，OCOD1， ODBD， BOD45， COD180454590， 的长度为：901 180 = 1 2， 故答案为：1 2 13 【解答】解：设圆心角为 n 由题意：3 180 =， 解得 n60， 故答案为 60 14 【解答】解：等边ABC 内接于O， AOC= 360
17、 3 =120， 阴影部分的面积= 12032 360 =3， 故答案为：3 15 【解答】解：OCAB， ADDB20m， 在 RtAOD 中，OA2OD2+AD2， 设半径为 r 得：r2（r10）2+202， 解得：r25m， 这段弯路的半径为 25m 故答案为：25 16 【解答】解：连接 OB，OC，则 OCOB，BOC90， 在 RtBOC 中，OB= 2 = 2 2 = 2 O 的半径是2， 故答案为：2 17 【解答】解：在矩形 ABCD 中，AB1，AD= 2，以 A 为圆心，AD 的长为半径做弧交 BC 边于点 E， BBAD90，ADAE= 2， BE1， ABBE， B
18、AEBEA45， EAD45， 图中 的弧长是：452 180 = 2 4 ， 故答案为：2 4 18 【解答】解：连接 OA， ABC30， AOC2ABC60， 过点 A 作O 的切线交 OC 的延长线于点 P， OAP90， OAOC1， APOAtan601 3 = 3 故答案为：PA= 3（答案不唯一） 19 【解答】解：过圆内一点（非圆心）有无数条弦，有 1 条直径 故答案为无数，1 20 【解答】解：三角形内，斜边上，三角形外 21 【解答】解：取 AB 的中点 O，连接 OE， AB 为直径， OAOE， AAEO84， AOE18028412， 则 的度数为 12， 故答案为
19、：12 22 【解答】解：设ABC 的外心为 M，如图： A（1，3） ，B（1，3） ，C（3，3） ， AB、BC 的垂直平分线过（1，0） ，故 M（1，0） ； MA 就是M 的半径长， 由勾股定理得：MA=22+ 32= 13， 即ABC 的外接圆半径为13 故答案为：13 23 【解答】解：如图，连接 OE， PEF90OEB90OBEOFBEFP， PFPE， AB6，AB，CD 是O 的直径， OEODOCOBOA3， PE 切O 于 E， PEO90， 在 RtOPE 中，DP2， OP3+25， 由勾股定理可得 OP2PE2+OE2， 52PE2+32，解得 PE4， PF
20、PE4，OFOPPF541， ABCD， BOF90， 在 RtOBF 中，由勾定理可得 BF2OB2+OF2， 即 BF232+1210， FB= 10 故答案为：10 24 【解答】解：假设EOBEOD，过点 O 作直线 AB，使EOBEOD，依据基本事实 同位角相 等，两直线平行，可得 ABCD这样过点 O 就有两条直线 AB，AB都平行于直线 CD，这与基本 事实 经过直线外一点， 有且只有一条直线与已知直线平行矛盾， 说明EOBEOD 的假设是不对的， 于是有EOBEOD 故答案为：同位角相等，两直线平行；经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 25 【解答】解：A、B、C
21、是O 上三点，BOC50， BAC= 1 2BOC25， ACBC， CBABAC25， ACB180CBABAC1802525130 故答案为：130 26 【解答】解：连接 OA、OB， ABC 是等边三角形， C60， 由圆周角定理得，AOB2C120， 弧 的长= 1202 180 = 4 3 ， 故答案为：4 3 27 【解答】解：连接 OB、OC，作 ODBC 于 D， ABC 是正三角形， BAC60， 的长为：603 180 =， “莱洛三角形”的周长33 故答案为 3 28 【解答】解：如图，连接 OD，OE，DE ABC 是等边三角形， AB60， OAODOBOE2， A
22、OD，EOB 都是等边三角形， AODEOB60， DOE60，DOE 是等边三角形， DOEEOB， 弓形 DE 与弓形 BE 的面积相等， CDDECE2， CDE 是等边三角形， S阴SCDE= 3 4 22= 3， 故答案为3 29 【解答】解：连接 OB， OA5，AD：OD1：4， AD1，OD4，OB5， 在 RtODB 中，由勾股定理得：OB2OD2+BD2， 5242+BD2， 解得：BD3， ODBC，OD 过 O， BC2BD6， 故答案为：6 30 【解答】解：连接 OC，如图， DC 切O 于 C， OCCD， OCD90， OAOC， ACOCAB30， CODAC
23、O+CAB60， D90COD906030 故答案为 30 31 【解答】解：PA 为切线， OAPA， CAP90， PAB90BAC901575， PA，PB 是O 的切线， PAPB， PBAPAB75， P180757530 故答案为 30 32 【解答】解：连接 PQ、OP，如图， 直线 OQ 切P 于点 Q， PQOQ， 在 RtOPQ 中，OQ=2 2=2 1， 当 OP 最小时，OQ 最小， 当 OP直线 y2 时，OP 有最小值 2， OQ 的最小值为22 1 = 3 故答案为3 33 【解答】解： （1）如图 1，lPA， 当点 P 在圆外且 O，A，P 三点共线时，点 O
24、 到直线 l 距离的最大， 最大值为 AO+AP5+27； （2）如图 2，M，N 是直线 l 与O 的公共点，当线段 MN 的长度最大时， 线段 MN 是O 的直径， lPA， APO90， AP2，OA5， OP=2 2= 21， 故答案为：7，21 34 【解答】解：扇形的面积是902 2 360 =， 故答案为 35 【解答】解：连接 OA、OB，如图， 四边形 ABCD 为正方形， AOB90， AEB= 1 2AOB45 故答案为 45 36 【解答】解：连接 OA、OB，如图， PA，PB 分别与O 相切于 A，B 两点， OAPA，OBPB， OAPOBP90， AOB180P
25、18040140， ACB= 1 2AOB= 1 2 14070 故答案为 70 37 【解答】解：设母线长为 x，根据题意得 2x2210， 解得 x20 故答案为：20 38 【解答】解：过点 O 作 OHAB 与点 H， ABC 是等边三角形， CAB60， O 为三角形外心， OAH30， OH= 1 2OA1， 故答案为：1 39 【解答】解：如图，设图中半圆的圆心为 O，与 BC 的切点为 M， 连接 OM， 则 OMMC， OMC90， 依题意知道DCB30， 设 AB 为 2xcm， ABC 是等边三角形， CD= 3xcm， 而 CE2cm，又将量角器沿 DC 方向平移 1c
26、m， 半圆的半径为（3x2）cm，OC（3x1）cm， sinDCB= = 1 2， 32 31 = 1 2， x= 3， AB2x23（cm） ， 故答案为：23 40 【解答】解：A（4，3） 、B（2，1） 、C（0，1） ， AB2（4+2）2+（31）240，AC2（40）2+（3+1）232，BC2（20）2+（1+1）28， AC2+BC2AB2， ACB90， AB= 40 =210， ABC 的外接圆的半径是1 2 210 = 10， 过 B 作 BMx 轴于 M，过 A 作 ANx 轴于 N，过 O作 OEx 轴于 E， A（4，3） 、B（2，1） ， BM1，AN3，MN4+26，BMOEAN， O为 AB 中点， E 为 MN 中点， OE= 1 2 （BM+AN）2，EN= 1 2MN3， OE431， 即 O的坐标是（1，2） ， 故答案为： （1，2） ，10
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