1、 1 第 10 讲 平面直角坐标系及函数初步 一、考点知识梳理 【考点【考点 1 1 平面直角坐标系及点的坐标】平面直角坐标系及点的坐标】 1有序实数对：坐标平面上任意一点都可以用唯一一对有序实数来表示；反过来，任意一对有序实数都可 以表示坐标平面上唯一一个点 2平面直角坐标系中点的坐标特征 （1）各象限点的坐标的符号特征：第一象限(，)；第二象限(，)；第三象限(，)；第四象限 (，) （2）坐标轴上点的坐标特征：x 轴上的点的纵坐标为 0，y 轴上的点的横坐标为 0，原点的坐标为(0，0) （3）各象限角平分线上点的坐标特征：第一、三象限角平分线上的横、纵坐标相等；第二、四象限角平分 线上
2、的横、纵坐标互为相反数 【考点【考点 2 2 函数的表示方法及其图像】函数的表示方法及其图像】 1变量：在一个变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量 2常量：在一个变化过程中，数值保持不变的量叫做常量 3函数：一般地，在某个变化过程中，有两个变量 x 和 y.如果给定 x 的一个值，就能相应地确定 y 的一个 值，那么，我们就说 y 是 x 的函数其中，x 叫做自变量 4函数的表示方法：数值表、图像、表达式是函数关系的三种不同表达形式，它们分别表现出具体、形象 直观和便于抽象应用的特点 5图像的画法：知道函数的表达式，一般用描点法按下列步骤画出函数的图像 (1)取值根据函数的表达式，取自变量的
3、一些值，得出函数的对应值，按这些对应值列表； (2)描点根据自变量和函数的数值表，在直角坐标系中描点； (3)连线用平滑的曲线将这些点连接起来，即得到函数的图像 6已知函数表达式，判断点 P(x，y)是否在函数图像上的方法：若点 P(x，y)的坐标适合函数表达式，则 点 P(x，y)在其图像上；若点 P(x，y)的坐标不适合函数表达式，则点 P(x，y)不在其图像上 二、考点分析 【考点【考点 1 1 平面直角坐标系及点的坐标】平面直角坐标系及点的坐标】 【解题技巧】1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：到x轴的距离与纵坐 标有关，到y轴的距离与横坐标有关；距离都是非负
4、数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要 加上恰当的符号一般地，点 P(a，b)到 x 轴的距离为|b|，到 y 轴的距离为|a|，到原点的距离为 a 2b2. 2、由图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题 的基本方法和规律 3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题 2 【例 1】 （2019 海南中考）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1） ，点B（3，1） ，平移线段AB， 使点A落在点A1（2，2）处，则点B的对应点B1的坐标为（ ） A （1，1） B （1，0） C （1，0）
5、 D （3，0） 【举一反三举一反三 1-1】 （2019 湖北黄石中考）如图，在平面直角坐标系中，边长为 2 的正方形ABCD的边AB在x 轴上，AB边的中点是坐标原点O， 将正方形绕点C按逆时针方向旋转90后， 点B的对应点B的坐标是 （ ） A （1，2） B （1，4） C （3，2） D （1，0） 【举一反三举一反三 1-2】 （2019 湖北孝感中考）如图，在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转 90得到点P，则P的坐标为（ ） A （3，2） B （3，1） C （2，3） D （3，2） 【举一反三举一反三 1-3】 （2019 浙江杭州中考）在平面直角坐标系
6、中，点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称， 则（ ） Am3，n2 Bm3，n2 Cm2，n3 Dm2，n3 【考点【考点 2 2 函数的表示方法及其图像】函数的表示方法及其图像】 【解题技巧】判断符合题意的函数图像的方法 (1) 与实际问题结合：判断符合实际问题的函数图像时，需遵循以下几点： 找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图像中找相对应点；找特殊点：即指交 点或转折点，说明图像在此点处将发生变化；判断图像趋势：判断出函数的增减性；看是否与坐标轴 相交：即此时另外一个量为 0. 3 (2)与几何图形(含动点)结合：以几何图形为背景判断函数图像的题目，一般的解题思路
7、为设时间为 t，找 因变量与 t 之间存在的函数关系，用含 t 的式子表示，再找相对应的函数图像，要注意的是是否需要分类 讨论自变量的取值范围 (3)分析函数图像判断结论正误： 分清图像的横纵坐标代表的量及函数中自变量的取值范围， 同时也要注意： 分段函数要分段讨论；转折点：判断函数图像的倾斜方向或增减性发生变化的关键点；平行线：函 数值随自变量的增大而保持不变再结合题干推导出实际问题的运动过程，从而判断结论的正误 【例 2】 （2019 湖北孝感中考）一个装有进水管和出水管的空容器，从某时刻开始 4min内只进水不出水， 容器内存水 8L； 在随后的 8min内既进水又出水， 容器内存水 1
8、2L； 接着关闭进水管直到容器内的水放完 若 每分钟进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的函数关系的 图象大致的是（ ） A B C D 【举一反三举一反三 2-1】 （2019 辽宁大连中考）在平面直角坐标系中，将点P（3，1）向下平移 2 个单位长度，得 到的点P的坐标为（ ） A （3，1） B （3，3） C （1，1） D （5，1） 【举一反三举一反三 2-2】 （2019 上海中考）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（ ） Ay By Cy Dy 【举一反三举一反三 2-3】 （2019 北京中考） 如图，P是与弦AB所围
9、成的图形的外部的一定点，C是上一动点， 连接PC交弦AB于点D 小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究下面是小腾的探究过程，请 补充完整： （1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如下表： 位置 1 位置 2 位置 3 位置 4 位置 5 位置 6 位置 7 位置 8 PC/cm 3.44 3.30 3.07 2.70 2.25 2.25 2.64 2.83 4 PD/cm 3.44 2.69 2.00 1.36 0.96 1.13 2.00 2.83 AD/cm 0.00 0.78 1.54 2.30 3.01 4
10、.00 5.11 6.00 在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自 变量的函数； （2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象； （3）结合函数图象，解决问题：当PC2PD时，AD的长度约为 cm 三、 【达标测试】 （一）选择题（一）选择题 1.（2019日照）如图，在单位为 1 的方格纸上，A1A2A3，A3A4A5，A5A6A7，都是斜边在x轴上，斜 边长分别为 2，4，6，的等直角三角形，若A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0） ，A2（1，1） ，A3（0，0） ， 则依图中所示规律，A2019的坐标为（ ）
11、A （1008，0） B （1006，0） C （2，504） D （1，505） 2.（2019青海）大家知道乌鸦喝水的故事，如图，它看到一个水位较低的瓶子，喝不着水，沉思一会后聪 5 明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水从乌鸦看到瓶子的那刻起开始计时， 设时间变量为x，水位高度变量为y，下列图象中最符合故事情景的大致图象是（ ） A B C D 3.（2019呼和浩特）已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点A、B、C、D按逆时针依次排列，若A点的 坐标为（2，） ，则B点与D点的坐标分别为（ ） A （2，） ， （2，） B （，2） ， （，2） C （，2） ，
12、（2，） D （，） （） 4. （2019兰州） 如图， 在平面直角坐标系xOy中， 将四边形ABCD先向下平移， 再向右平移得到四边形A1B1C1D1， 已知A（3，5） ，B（4，3） ，A1（3，3） ，则B1的坐标为（ ） 6 A （1，2） B （2，1） C （1，4） D （4，1） 5. （2019威海） 如图， P与x轴交于点A（5， 0） ，B（1， 0） ， 与y轴的正半轴交于点C 若ACB60， 则点C的纵坐标为（ ） A+ B2+ C4 D2+2 6.（2019武汉） “漏壶”是一种古代计时器，在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，水 从壶底小孔均匀漏出
13、，壶内壁有刻度人们根据壶中水面的位置计算时间，用x表示漏水时间，y表示壶底 到水面的高度，下列图象适合表示y与x的对应关系的是（ ） A B C D 7.（2019南通）如图是王阿姨晚饭后步行的路程s（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象，其中 曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分下列说法不正确的是（ ） 7 A25min50min，王阿姨步行的路程为 800m B线段CD的函数解析式为s32t+400（25t50） C5min20min，王阿姨步行速度由慢到快 D曲线段AB的函数解析式为s3（t20） 2+1200（5t20） 8.（2019台湾）如图的坐标平面上有原点O与A、B、C
14、、D四点若有一直线L通过点（3，4）且与y 轴垂直，则L也会通过下列哪一点？（ ） AA BB CC DD （二）（二）填空题填空题 1.（2019 上海中考）已知f（x）x 21，那么 f（1） 2. （2019日照）规定：在平面直角坐标系xOy中，如果点P的坐标为（a，b） ，那么向量可以表示为： （a，b） ，如果与互相垂直，（x1，y1） ，（x2，y2） ，那么x1x2+y1y20若与互相 垂直，（sin，1） ，（2，） ，则锐角 3.（2019哈尔滨）在函数y中，自变量x的取值范围是 4.（2019成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点为“整点” ，已
15、知点A 的坐标为（5，0） ，点B在x轴的上方，OAB的面积为，则OAB内部（不含边界）的整点的个数 为 8 5.(2019 河北石家庄中考模拟)已知点 P(0，m)在 y 轴的负半轴上，则点 M(m，m1)在 6.(2019 山东济南中考模拟)在函数 y x3 x4 中，自变量 x 的取值范围是 7. （2019 山东德州中考模拟） 如图： 在平面直角坐标系中有两点A（5， 0） ，B（0， 4） ， 则AB= 8.（2019 河北沧州中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，第一次将OAB变换成OA1B1，第二次将OA1B1 变换成OA2B2，第三次将OA2B2变换成OA3B3；已知变换过程中各
16、点坐标分别为A（1，3） ，A1（2，3） ，A2 （4，3） ，A3（8，3） ，B（2，0） ，B1（4，0） ，B2（8，0） ，B3（16，0） （1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将OA3B3变换成OA4B4，则A4的坐标 为 ，B4的坐标为 （2） 按以上规律将OAB进行n次变换得到OAnBn， 则An的坐标为 ，Bn的坐标为 ； （3）OAnBn的面积为 （三）（三）解答题解答题 1.（2019 湖北黄石中考模拟）已知：点P（2m+4，m1） 试分别根据下列条件，求出P点的坐标 （1）点P在y轴上； （2）点P的纵坐标比横坐标大 3； （3）点P在过A（2
17、，4）点且与x轴平行的直线上 9 2.（2019 湖北黄石中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（2，0） ， （0，2） （1）请在图中描出点A，B，注明字母 （2）若点C在第一象限内，且ACBC，BCA90，点C的横纵坐标均为正数 请在图中描出点C，并画出ABC； 填空：ABC的周长是 ，AC边上的高长为 3.（2019 河北张家口中考模拟）在平面直角坐标系中，点P（2m，3m+6） （1）若点P在y轴上，则m （2）若点P到y轴距离为 2，则m （3）若点P到两坐标轴的距离相等，m 4.（2019 山东青岛中考模拟）如图格中每个小正方形的边长都是 1，依次完成下列各问：
18、 （1）任选一点作为原点，建立平面直角坐标系； （2）写出A、B、C、D、E各点的坐标； （3）求五边形ABCDE的面积 5.(2019 辽宁营口中考模拟)甲车从 A 地出发匀速驶往 B 地， 同时乙车从 B 地出发匀速驶往 A 地 如 图表示甲、乙两车在全程行驶的过程中，离各自出发地的路程 y（千米）与出发时间 x（时） 的函数图象 （1）A、B 两地相距 千米；甲车的速度为 千米/时； （2）当乙车距 A 地的路程为 A、B 两地距离的 3 1 时，甲车刚好行驶 80 千米求此时乙车到达 A 地还需行驶多长时间 10 6.（2019兰州）如图，在ABC中，ABAC6cm，BC8cm，点D为
19、BC的中点，BEDE，将BDE绕点D 顺时针旋转度（083） ，角的两边分别交直线AB于M、N两点，设B、M两点间的距离为xcm，M， N两点间的距离为ycm 小涛根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究 下面是小涛的探究过程，请补充完整 （1）列表：下表的已知数据是B，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对 应值： x/m 0 0.30 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 3.68 3.81 3.90 3.93 4.10 y/m 2.88 2.81 2.69 2.67 2.80 3.15 3.85 5.24
20、6.01 6.71 7.27 7.44 8.87 请你通过计算，补全表格； （2）描点、连线，在平面直角坐标系xOy中，描出表格中各组数值所对应的点（x，y） ，并画出函数y关 于x的图象 （3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势： . （4）解决问题：当MN2BM时，BM的长度大约是 cm （保留两位小数） 11 7. （2019 天津中考） 在平面直角坐标系中，O为原点， 点A（6， 0） ， 点B在y轴的正半轴上， ABO30 矩 形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD2 （）如图，求点E的坐标； （）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形CODE，点C
21、，O，D，E的对应点分别为C，O， D，E设OOt，矩形CODE与ABO重叠部分的面积为S 如图，当矩形CODE与ABO重叠部分为五边形时，CE，ED分别与AB相交于点M，F， 试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； 当S5时，求t的取值范围（直接写出结果即可） 8.（2019 江西中考）数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究： 如图 1，将长为 12cm的铅笔AB斜靠在垂直于水平桌面AE的直尺FO的边沿上，一端A固定在桌面上，图 2 是示意图 活动一 如图 3，将铅笔AB绕端点A顺时针旋转，AB与OF交于点D，当旋转至水平位置时，铅笔AB的中点C与点 O重合 数学思考 （1）设CDxcm，点B到OF的距离GBycm 12 用含x的代数式表示：AD的长是 cm，BD的长是 cm； y与x的函数关系式是 ，自变量x的取值范围是 活动二 （2）列表：根据（1）中所求函数关系式计算并补全表格 x（cm） 6 5 4 3.5 3 2.5 2 1 0.5 0 y（cm） 0 0.55 1.2 1.58 2.47 3 4.29 5.08 描点：根据表中数值，继续描出中剩余的两个点（x，y） 连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象 数学思考 （3）请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论
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