1、 1 第第 0 08 8 讲讲 一元二次方程及其应用一元二次方程及其应用 一、考点知识梳理 【考点【考点 1 1 一元二次方程的概念及解法】一元二次方程的概念及解法】 1.一元二次方程的概念:只含有 1 个未知数， 未知数的最高次数是 2， 像这样的整式方程叫一元二次方程 其 一般形式是 ax 2bxc0(a0) 2.一元二次方程的解法: 直接开平方法：这种方法适合于左边是一个完全平方式，而右边是一个非负数的一元二次方程，即形如(x m) 2n(n0)的方程. 配方法：配方法一般适用于解二次项系数为 1，一次项系数为偶数的这类一元二次方程，配方的关键是把方 程左边化为含有未知数的完全平方式，右
2、边是一个非负常数 公式法：求根公式为 xb b 24ac 2a (b 24ac0)，适用于所有的一元二次方程. 因式分解法：因式分解法的步骤：(1)将方程右边化为 0；(2)将方程左边分解为一次因式的乘积；(3)令每 个因式等于 0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解. 【考点【考点 2 2 一元二次方程根的情况】一元二次方程根的情况】 1根的判别式：一元二次方程 ax 2bxc0(a0)的根的情况可由 b24ac 来判定，我们 b24a 将称为 根的判别式 2判别式与根的关系： (1)b 24ac0 方程有两个不相等的实数根； (2)b 24ac0 方程
3、没有实数根； (3)b 24ac0 方程有两个相等的实数根 【考点【考点 3 3 一元二次方程的应用】一元二次方程的应用】 1列一元二次方程解应用题的步骤： (1)审题；(2)设未知数；(3)列方程；(4)解方程；(5)检验；(6)做结论 2一元二次方程应用问题常见的等量关系： (1)增长率中的等量关系：增长率增量基础量； (2)利率中的等量关系：本息和本金利息，利息本金利率时间； (3)利润中的等量关系：毛利润售出价进货价，纯利润售出价进货价其他费用， 利润率利润进货价 二、考点分析 【考点【考点 1 1 一元二次方程的概念及解法】一元二次方程的概念及解法】 【解题技巧】1.判断一个方程是一
4、元二次方程的条件：是整式方程；二次项系数不为零；未知数的 最高次数是 2，且只含有一个未知数 2 2.关于 x 的一元二次方程 ax 2bxc0(a0)的解法： (1)当 b0，c0 时，x 2c a，考虑用直接开平方法解； (2)当 c0，b0 时，用因式分解法解； (3)当 a1，b 为偶数时，用配方法解简便 （1）将一元二次方程配成（x+m） 2n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫 配方法 （2）用配方法解一元二次方程的步骤： 把原方程化为ax 2+bx+c0（a0）的形式； 方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为 1，并把常数项移到方程右边； 方程两边同时加
5、上一次项系数一半的平方； 把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； 如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方 程无实数解 【例 1】 （2019 吉林中考）若关于x的一元二次方程（x+3） 2c 有实数根，则c的值可以为 （写出一个即可） 【举一反三举一反三 1-1】 （2019 安徽中考）解方程： （x1） 24 【举一反三举一反三 1-2】 （2019 山西中考）一元二次方程x 24x10 配方后可化为（ ） A （x+2） 23 B （ x+2） 25 C （x2） 23 D （ x2） 25 【举一反三举一反三 1-3】 （2019
6、 河北中考） （2019兰州）x1 是关于x的一元二次方程x 2+ax+2b0 的解， 则 2a+4b （ ） A2 B3 C1 D6 【举一反三举一反三 1-4】 （2019 内蒙古中考）用配方法求一元二次方程（2x+3） （x6）16 的实数根 【举一反三举一反三 1-5】 （2019 河北衡水中考模拟）我们把形如x 2a（其中 a是常数且a0）这样的方程叫做x 的完全平方方程 如x 29， （3x2）225， （ ） 24都是完全平方方程 3 那么如何求解完全平方方程呢？ 探究思路： 我们可以利用“乘方运算”把二次方程转化为一次方程进行求解 如：解完全平方方程x 29 的思路是：由（+3
7、）29， （3）29 可得 x13，x23 解决问题： （1）解方程： （3x2） 225 解题思路：我们只要把 3x2 看成一个整体就可以利用乘方运算进一步求解方程了 解：根据乘方运算，得 3x25 或 3x2 分别解这两个一元一次方程，得x1，x21 （2）解方程 【考点【考点 2 2 一元二次方程根的情况】一元二次方程根的情况】 【解题技巧】1.一元二次方程有实数根的前提是 b 24ac0；(2)当 a，c 异号时，0. 利用一元二次方程根的判别式（b 24ac）判断方程的根的情况 一元二次方程ax 2+bx+c0（a0）的根与b24ac 有如下关系： 当0 时，方程有两个不相等的两个实
8、数根； 当0 时，方程有两个相等的两个实数根； 当0 时，方程无实数根 2.一元二次方程根与系数的特点： （1）若二次项系数为 1，常用以下关系：x1，x2是方程x 2+px+q0 的两根时，x 1+x2p，x1x2q，反过来 可得p（x1+x2） ，qx1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数 （2）若二次项系数不为 1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c0（a0）的两根时，x 1+x2 ，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2） ，x1x2 （3）常用根与系数的关系解决以下问题： 不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根已知方程
9、及方程的一个根，求另一个根及未知 4 数不解方程求关于根的式子的值，如求，x1 2+x 2 2等等判断两根的符号求作新方程由给出的 两根满足的条件，确定字母的取值这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a 0，0 这两个前提条件 【例 2】 （2019 甘肃中考）若一元二次方程x 22kx+k20 的一根为 x1，则k的值为（ ） A1 B0 C1 或1 D2 或 0 【举一反三举一反三 2-1】 （2019 广东中考）已知x1，x2是一元二次方程x 22x0 的两个实数根，下列结论错误的 是（ ） Ax1x2 Bx1 22x 10 Cx1+x22 Dx1x22 【举一反三
10、举一反三 2-2】（2019 江西中考） 设x1，x2是一元二次方程x 2x10 的两根， 则 x1+x2+x1x2 【举一反三举一反三 2-3】 （2019 湖北孝感中考）已知关于x的一元二次方程x 22（a1）x+a2a20 有两个不 相等的实数根x1，x2 （1）若a为正整数，求a的值； （2）若x1，x2满足x1 2+x 2 2x 1x216，求a的值 【举一反三举一反三 2-4】 （2019 上海中考）如果关于x的方程x 2x+m0 没有实数根，那么实数 m的取值范围 是 【举一反三举一反三 2-5】 （2019新疆）若关于x的一元二次方程（k1）x 2+x+10 有两个实数根，则
11、k的取值范 围是（ ） Ak Bk Ck且k1 Dk且k1 【考点【考点 3 3 一元二次方程的应用】一元二次方程的应用】 【解题技巧】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系 2设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数 3列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程 4解：准确求出方程的解 5验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题 6答：写出答案 5 列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为 10b+a （2）增长率问题：增长率增长数量/原数
12、量100%如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次 增长后为a（1+x） ；第二次增长后为a（1+x） 2，即 原数（1+增长百分率）2后来数 （3）形积问题：利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长利用三角形、矩形、菱形、 梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程利用相似三角形的对应比例关系， 列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程 （4） 运动点问题： 物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹， 运行的路线与其他条件会构成直角三角形， 可运用直角三角形的性质列方程求解 【例 3】 （2019 山西中考）如图，在一块长 12m，宽 8m的矩形空
13、地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路 （两条道路各与矩形的一条平行） ，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积 77m 2，设道路的宽为 xm，则根据 题意，可列方程为 【举一反三举一反三 3-1】 （2019 江苏南京中考） ） 某地计划对矩形广场进行扩建改造 如图， 原广场长 50m， 宽 40m， 要求扩充后的矩形广场长与宽的比为 3：2扩充区域的扩建费用每平方米 30 元，扩建后在原广场和扩充区 域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米 100 元如果计划总费用 642000 元，扩充后广场的长和宽应分别是 多少米？ 【举一反三举一反三 3-2】 （2019 江苏徐州中考）如图，有一块矩形硬纸板
14、，长 30cm，宽 20cm在其四角各剪去一 个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子当剪去正方形的边长取何值时， 所得长方体盒子的侧面积为 200cm 2？ 6 【举一反三举一反三 3-3】 （2019 辽宁大连中考）某村 2016 年的人均收入为 20000 元，2018 年的人均收入为 24200 元 （1）求 2016 年到 2018 年该村人均收入的年平均增长率； （2）假设 2019 年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测 2019 年村该村的人均收 入是多少元？ 【举一反三举一反三 3-4】 （2019青海）某种药品原价每盒 60 元，
15、由于医疗政策改革，价格经过两次下调后现在售 价每盒 48.6 元，则平均每次下调的百分率为 【举一反三举一反三 3-5】 （2019 辽宁大连中考模拟）如图，某小区有一块长为 36m，宽为 24m的矩形空地，计划在 其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为 600m 2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则 人行通道的宽度为 m 三、 【达标测试】 （一）选择题（一）选择题 1.（2019 河南中考）一元二次方程（x+1） （x1）2x+3 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 2.（2019日照）某省加快新旧动能转换，促进
16、企业创新发展某企业一月份的营业额是 1000 万元，月平 均增长率相同，第一季度的总营业额是 3990 万元若设月平均增长率是x，那么可列出的方程是（ ） A1000（1+x） 23990 B1000+1000（1+x）+1000（1+x） 23990 C1000（1+2x）3990 7 D1000+1000（1+x）+1000（1+2x）3990 3.（2019新疆）在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛 36 场设有x个队参赛， 根据题意，可列方程为（ ） Ax（x1）36 Bx（x+1）36 Cx（x1）36 Dx（x+1）36 4.（2019四川内江中考模拟）若关于
17、x 的一元二次方程（k1）x 2+2x2=0 有不相等实数根，则 k 的取值 范围是（ ） Ak Bk Ck 且 k1 Dk 且 k1 5. （2019广西） 扬帆中学有一块长 30m， 宽 20m的矩形空地， 计划在这块空地上划出四分之一的区域种花， 小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度设花带的宽度为xm，则可列方程为（ ） A （30 x） （20 x）2030 B （302x） （20 x）2030 C30 x+220 x2030 D （302x） （20 x）2030 6.（2019 河北中考） （2019哈尔滨）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件 25 元降到每件 16 元，
18、 则平均每次降价的百分率为（ ） A20% B40% C18% D36% 7.（2019 河北中考）小刚在解关于x的方程ax 2+bx+c0（a0）时，只抄对了 a1，b4，解出其中一 个根是x1他核对时发现所抄的c比原方程的c值小 2则原方程的根的情况是（ ） A不存在实数根 B有两个不相等的实数根 C有一个根是x1 D有两个相等的实数根 8. （2016 河北中考） ）a，b，c为常数， 且 （ac） 2a2+c2， 则关于 x的方程ax 2+bx+c0 根的情况是 （ ） A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 8 C无实数根 D有一根为 0 （二）（二）填空题填空题 1.（201
19、9 江苏南京中考）已知 2+是关于x的方程x 24x+m0 的一个根，则 m 2. （2019 宁夏中考） 已知一元二次方程3x 2+4xk0有两个不相等的实数根， 则k 的取值范围 3.（2019威海）一元二次方程 3x 242x 的解是 4.（2019 河南兰考中考模拟）等腰ABC的一边长为 4，另外两边的长是关于x的方程x 210 x+m0 的两 个实数根，则等腰三角形底边的值是 5. （2019 山东聊城中考模拟）一元二次方程x 22x0 的两根分别为 x1和x2，其中x1x2，则x1 22x 2 2的 值为 6.（2019 甘肃兰州中考模拟）如图，RtABC中，AB6，BC8点P从点
20、A出发，以 1 个单位/秒的速度 向B移动，同时，点Q从点B出发，以 2 个单位/秒的速度向点C移动，运动 秒后，PBQ面积为 5 个平方单位 7. （2019 河北沧州中考模拟） 已知x1，x2是方程x 2 x+0 的两根， 若实数a满足a+x1+x2x1x22018， 则a 8.（2019 河北张家口中考模拟） 已知：a、b、c均为非零实数， 关于x的一元二次方程ax 2+bx+c0（a0） 其中一个实数根为 2 （1）填空：abc，4a+2b+c 0，a 0，c 0（填“” ， “”或“” ） ； （2）若关于x的一元二次方程ax 2+bx+c0（a0）的两个实数根，满足一个根为另一个根
21、的 2 倍，我们 就称这样的方程为“倍根方程” ，若原方程是倍根方程，则求a、c之间的关系 （3）若a1 时，设方程的另一根为m（m2） ，在两根之间（不包含两根）的所有整数的绝对值之和是 7， 求b的取值范围 （三）（三）解答题解答题 1. （2019 北京中考） 关于x的方程x 22x+2m10 有实数根， 且 m为正整数， 求m的值及此时方程的根 2.（2019 河北衡水中考模拟）某县农场小刘承包了一片荒山，在山上种植了一部分优质核桃，今年已进入 9 第三年收获期今年收获核桃 2880 千克，已知小刘第一年收获的核桃重量为 2000 千克求去年和今年两 年核桃产量的年平均增长率，照此增长
22、率，预计明年核桃的产量为多少千克？ 3.（2019 辽宁辽阳中考模拟）构建模型：生活中的实际问题，往往需要构建相应的数学模型来解决，这就 是模型的思想譬如：某校要举办足球赛，若有 5 个球队参加比赛，每个队都要和其他各队比赛一场，则 该校一共要安排多少场比赛？为解决上述问题，我们构建如下数学模型： （1）如图，在平面内画出 5 个点（任意 3 个点都不共线） ，其中每个点各代表一个足球队，两个队之间 比赛一场就用一条线段把他们连接起来，其中连接线段的条数就是安排比赛的场数由于每个队都要与其 他各队比赛一场，即每个点与另外 4 个点都可连成一条线段，这样总共可连成线段是 54 条，如果不考虑 线
23、段端点的顺序，那么连成线段只有条，所以该校一共要安排10 场比赛 （2）根据图回答：若学校有 6 个足球队参加比赛，则该校一共要安排 场比赛； （3）根据以上规律，若学校有n个足球队参加比赛，则该校一共要安排 _场比赛； 问题解决： （4）小凡今年参加了学校新组建的合唱队，老师让所有人每两人相互握手，认识彼此（每两人之间不重复 握手） ，小凡发现所有人握手次数总和为 36 次，求合唱队有多少人？（写出求解过程） 4.（2019广州）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以 5G等为代表的战略性新兴产业， 据统计，目前广东 5G基站的数量约 1.5 万座，计划到 2020 年底，全省
24、5G基站数是目前的 4 倍，到 2022 年底，全省 5G基站数量将达到 17.34 万座 （1）计划到 2020 年底，全省 5G基站的数量是多少万座？ （2）按照计划，求 2020 年底到 2022 年底，全省 5G基站数量的年平均增长率 10 5.（2019 山东烟台中考模拟）把一边长为 40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子 （纸板的厚度忽略不计） 如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一 个无盖的长方形盒子 （1）要使折成的长方形盒子的底面积为 484cm 2，那么剪掉的正方形的边长为多少？ （2）折成的长方形盒子的侧面积为 600c
25、m 2，那么剪掉的正方形的边长为多少？ 6.（2019 河北唐山中考模拟）已知关于x的一元二次方程tx 26x+m+40 有两个实数根 x1、x2 （1）当tm1 时，若x1x2，求x1、x2； （2）当m1 时，求t的取值范围； （3）当t1 时，若x1、x2满足 3|x1|x2+4，求m的值 7.（2017 河北中考） ）某厂按用户的月需求量x（件）完成一种产品的生产，其中x0，每件的售价为 18 万元，每件的成本y（万元）是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量x（件）成 反比，经市场调研发现，月需求量x与月份n（n为整数，1n12） ，符合关系式x2n 22kn+9（
26、k+3） （k 为常数） ，且得到了表中的数据 月份n（月） 1 2 成本y（万元/件） 11 12 需求量x（件/月） 120 100 （1）求y与x满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是 12 万元； （2）求k，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损； （3）在这一年 12 个月中，若第m个月和第（m+1）个月的利润相差最大，求m 11 8.（2019 重庆中考）某文明小区 50 平方米和 80 平方米两种户型的住宅，50 平方米住宅套数是 80 平方米 住宅套数的 2 倍物管公司月底按每平方米 2 元收取当月物管费，该小区全部住宅都人住且每户均按时全 额缴纳物管费 （1）该小区每月可收
27、取物管费 90000 元，问该小区共有多少套 80 平方米的住宅？ （2）为建设“资源节约型社会” ，该小区物管公司 5 月初推出活动一： “垃圾分类送礼物” ，50 平方米和 80 平方米的住户分别有 40%和 20%参加了此次括动为提离大家的积扱性，6 月份准备把活动一升级为活动二： “拉圾分类抵扣物管费” ，同时终止活动一经调査与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活 动二的住户会大幅增加，这样，6 月份参加活动的 50 平方米的总户数在 5 月份参加活动的同户型户数的基 础上将增加 2a%，每户物管费将会减少a%；6 月份参加活动的 80 平方米的总户数在 5 月份参加活动的同 户型户数的基础上将增加 6a%，每户物管费将会减少a%这样，参加活动的这部分住户 6 月份总共缴纳的 物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少a%，求a的值
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