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    第12讲反比例函数及其应用 备战2020中考数学考点举一反三讲练(学生版)

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    第12讲反比例函数及其应用 备战2020中考数学考点举一反三讲练(学生版)

    1、 1 第第 1212 讲讲 反比例函数及其应用反比例函数及其应用 一、考点知识梳理 【考点【考点 1 1 反比例函数的图像及性质】反比例函数的图像及性质】 1.反比例函数的概念:1 1一般地,如果变量 y 与变量 x 之间的函数关系可以表示成 yk x(k 是常数,且 k 0)的形式,则称 y 是 x 的反比例函数,其中 x 是自变量,y 是函数,自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一 切实数。 2.函数图像的性质: 对于反比例函数 yk x(k0), k0 时, 反比例函数图像经过第一、 三象限(x, y 同号), 在每个象限内,y 随 x 的增大而减小,关于直线 yx 对称;k0 时,反

    2、比例函数图像经过第二、四象限 (x,y 异号),在每个象限内,y 随 x 的增大而增大关于直线 yx 对称。 【考点【考点 2 2 反比例函数的实际应用】反比例函数的实际应用】 1.反比例函数表达式的确定的步骤: (1)设所求的反比例函数为 yk x(k0); (2)根据已知条件列出含 k 的方程; (3)由代入法求待定系数 k 的值; (4)把 k 代入函数表达式 yk x中 2.求表达式的两种途径: (1)根据问题中两个变量间的数量关系直接写出; (2)在已知两个变量 x,y 具有反比例关系 yk x(x0)的前提下,根据一对 x,y 的值,列出一个关于 k 的方 程,求得 k 的值,确定

    3、出函数的表达式 【考点【考点 3 3 反比例函数的图像与几何图形的关系】反比例函数的图像与几何图形的关系】 反比例函数与几何图形的面积问题,是最常见的数形结合问题,首先要根据题意画出草图,结合图形分析 其中的几何图形的特点,再求出面积等相关数据 【考点【考点 4 4 反比例函数的图像与其它函数的关系】反比例函数的图像与其它函数的关系】 反比例函数与一次函数、反比例函数与二次函数是近几年中考的常考题型,需要把每个函数的性质了解清 楚,点的坐标适合每个函数的表达式,然后再结合图像特点,总结规律。 二、考点分析 【考点【考点 1 1 反比例函数的图像及性质】反比例函数的图像及性质】 2 【解题技巧】

    4、1.对于反比例函数 yk x(k 是常数,且 k0)k 的几何意义: 设 P(x,y)是反比例函数 yk x图像上任一点,过点 P 作 PMx 轴于 M,PNy 轴于 N,则 S 矩形 PNOMPMPN |y|x|xy|k|. 2.利用图象解决问题,从图上获取有用的信息,是解题的关键所在已知点在图象上,那么点一定满足这 个函数解析式,反过来如果这点满足函数的解析式,那么这个点也一定在函数图象上还能利用图象直接 比较函数值或是自变量的大小将数形结合在一起,是分析解决问题的一种好方法 【例 1】 (2019 安徽中考)已知点A(1,3)关于x轴的对称点A在反比例函数y的图象上,则实数 k的值为(

    5、) A3 B C3 D 【举一反三举一反三 1-1】 (2019 海南中考)如果反比例函数y(a是常数)的图象在第一、三象限,那么a 的取值范围是( ) Aa0 Ba0 Ca2 Da2 【举一反三举一反三 1-2】 (2019 江苏徐州中考)若A(x1,y1) 、B(x2,y2)都在函数y的图象上,且x10 x2,则( ) Ay1y2 By1y2 Cy1y2 Dy1y2 【举一反三举一反三 1-3】 (2019河北石家庄中考模拟)定义新运算:ab=例如:45= ,4( 5)= 则函数 y=2x(x0)的图象大致是( ) 3 A B C D 【举一反三举一反三 1-4】 (2019 吉林中考)已

    6、知y是x的反比例函数,并且当x2 时,y6 (1)求y关于x的函数解析式; (2)当x4 时,求y的值 【考点【考点 2 2 反比例函数的实际应用】反比例函数的实际应用】 【解题技巧】利用反比例函数解决实际问题,首先是建立函数模型一般地,建立函数模型有两种思路: 一是通过问题提供的信息, 知道变量之间的函数关系, 在这种情况下, 可先设出函数的表达式 yk x(k0), 再由已知条件确定表达式中 k 的取值即可;二是问题本身的条件中不确定变量间是什么关系,此时要通过 分析找出变量的关系并确定函数表达式 【例 2】 (2019 湖北孝感中考)公元前 3 世纪,古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡,

    7、后来人们把它归纳 为“杠杆原理” ,即:阻力阻力臂动力动力臂小伟欲用撬棍撬动一块石头,已知阻力和阻力臂分别 是 1200N和 0.5m,则动力F(单位:N)关于动力臂l(单位:m)的函数解析式正确的是( ) AF BF CF DF 【举一反三举一反三 2-1】 (2019 浙江温州中考)验光师测得一组关于近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米) 的对应数据如下表,根据表中数据,可得y关于x的函数表达式为( ) 近视眼镜的度 数y(度) 200 250 400 500 1000 镜片焦距x (米) 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10 Ay By Cy Dy 【举一反三举一反三 2-

    8、2】 (2019 河北中考)长为 300m的春游队伍,以v(m/s)的速度向东行进,如图 1 和图 2, 当队伍排尾行进到位置O时,在排尾处的甲有一物品要送到排头,送到后立即返回排尾,甲的往返速度均 为 2v(m/s) ,当甲返回排尾后,他及队伍均停止行进设排尾从位置O开始行进的时间为t(s) ,排头与O 的距离为S头(m) 4 (1)当v2 时,解答: 求S头与t的函数关系式(不写t的取值范围) ; 当甲赶到排头位置时,求S头的值;在甲从排头返回到排尾过程中,设甲与位置O的距离为S甲(m) ,求S 甲与t的函数关系式(不写t的取值范围) (2)设甲这次往返队伍的总时间为T(s) ,求T与v的

    9、函数关系式(不写v的取值范围) ,并写出队伍在此 过程中行进的路程 【举一反三举一反三 2-3】 (2019 浙江杭州中考)方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地,行驶里程为 480 千米, 设小汽车的行驶时间为t(单位:小时) ,行驶速度为v(单位:千米/小时) ,且全程速度限定为不超过 120 千米/小时 (1)求v关于t的函数表达式; (2)方方上午 8 点驾驶小汽车从A地出发 方方需在当天 12 点 48 分至 14 点(含 12 点 48 分和 14 点)间到达B地,求小汽车行驶速度v的范围 方方能否在当天 11 点 30 分前到达B地?说明理由 【考点【考点 3 3 反比例函数的图像

    10、与几何图形的关系】反比例函数的图像与几何图形的关系】 【解题技巧】1.常见的有(1)双曲线与三角形的关系(2)双曲线与四边形的关系(3)双曲线与圆的关系 (4)两条双曲线之间的关系 2.在平面直角坐标系中与几何图形相联系时,通常要构造一个三角形,以坐标轴上的边为底,相对顶点的 横坐标(或纵坐标)的绝对值为高;如果没有坐标轴上的边,则用坐标轴将其分割后求解 【例 3】 (2019 重庆中考)如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的顶点A,D分别在x轴、y轴上,对角 线BDx轴,反比例函数y(k0,x0)的图象经过矩形对角线的交点E若点A(2,0) ,D(0,4) , 则k的值为( ) A16 B

    11、20 C32 D40 【举一反三举一反三 3-1】 (2019河北沧州中考模拟)如图,AOB为等边三角形,点B的坐标为(2,0) ,过点C 5 (2,0)作直线l交AO于点D,交AB于E,点E在反比例函数0)的图象上,若ADE和DCO (即图中两阴影部分)的面积相等,则k值为( ) A B C D 【举一反三举一反三 3-2】 (2019深圳)如图,在 RtABC中,ABC90,C(0,3) ,CD3AD,点A在反比例 函数y图象上,且y轴平分ACB,求k 【举一反三举一反三 3-3】 (2019 河北孝感中考)如图,双曲线y(x0)经过矩形OABC的顶点B,双曲线y (x0)交AB,BC于点

    12、E、F,且与矩形的对角线OB交于点D,连接EF若OD:OB2:3,则BEF 的面积为 【举一反三举一反三 3-4】 (2019辽宁大连中考模拟)如图,点P在双曲线y(x0)上,以P为圆心的P与 两坐标轴都相切,点E为y轴负半轴上的一点,过点P作PFPE交x轴于点F,若OFOE6,则k的值 是 6 【举一反三举一反三 3-5】 (2019兰州)如图,在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y(k0)的图象经过等 边三角形BOC的顶点B,OC2,点A在反比例函数图象上,连接AC,OA (1)求反比例函数y(k0)的表达式; (2)若四边形ACBO的面积是 3,求点A的坐标 【考点【考点 4 4 反比例

    13、函数的图像与其它函数的关系】反比例函数的图像与其它函数的关系】 【解题技巧】反比例函数与一次函数图像的综合应用的四个方面: 探求同一坐标系下两函数的图像常用排除法; 探求两函数表达式常利用两函数的图像的交点坐标; 探求两图像中点的坐标常利用解方程(组)来解决,这也是求两函数图像交点坐标的常用方法; 两个函数值比较大小的方法是以交点为界限,观察交点左、右两边区域的两个函数图像上、下位置关系, 从而写出函数值的大小 反比例函数与一次函数的交点问题 (1)求反比例函数与一次函数的交点坐标,把两个函数关系式联立成方程组求解,若方程组有解则两者有 交点,方程组无解,则两者无交点 (2)判断正比例函数yk

    14、1x和反比例函数y在同一直角坐标系中的交点个数可总结为: 当k1与k2同号时,正比例函数yk1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有 2 个交点; 当k1与k2异号时,正比例函数yk1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有 0 个交点 另外常见的还有反比例函数与二次函数、两个反比例函数之间的关系。 7 【例 4】(2019日照) 在同一平面直角坐标系中, 函数ykx+1 (k0) 和y (k0) 的图象大致是 ( ) A B C D 【举一反三举一反三 4-1】 (2019深圳) 已知yax 2+bx+c (a0) 的图象如图, 则yax+b和y的图象为 ( ) A B C D 【举一反三举一反三

    15、 4-2】 (2017 河北中考)如图,若抛物线yx 2+3 与 x轴围成封闭区域(边界除外)内整点(点 的横、纵坐标都是整数)的个数为k,则反比例函数y(x0)的图象是( ) 8 A B C D 【举一反三举一反三 4-3】 (2019 山东淄博中考模拟)已知点A,B分别在反比例函数y (x0) ,y(x0) 的图象上且OAOB,则 tanB为( ) A B C D 【举一反三举一反三 4-4】 (2018 河北中考)如图是轮滑场地的截面示意图,平台AB距x轴(水平)18 米,与y轴 交于点B,与滑道y(x1)交于点A,且AB1 米运动员(看成点)在BA方向获得速度v米/秒后, 从A处向右下

    16、飞向滑道,点M是下落路线的某位置忽略空气阻力,实验表明:M,A的竖直距离h(米) 与飞出时间t(秒)的平方成正比,且t1 时h5,M,A的水平距离是vt米 (1)求k,并用t表示h; (2)设v5用t表示点M的横坐标x和纵坐标y,并求y与x的关系式(不写x的取值范围) ,及y13 时运动员与正下方滑道的竖直距离; (3)若运动员甲、乙同时从A处飞出,速度分别是 5 米/秒、v乙米/秒当甲距x轴 1.8 米,且乙位于甲右 侧超过 4.5 米的位置时,直接写出t的值及v乙的范围 9 【举一反三举一反三 4-5】 (2019 广东中考)如图,一次函数ykx+b的图象与反比例函数y的图象相交于A、 B

    17、两点,其中点A的坐标为(1,4) ,点B的坐标为(4,n) (1)根据图象,直接写出满足kx+b的x的取值范围; (2)求这两个函数的表达式; (3)点P在线段AB上,且SAOP:SBOP1:2,求点P的坐标 三、 【达标测试】 (一)选择题(一)选择题 1.(2019 云南中考)若点(3,5)在反比例函数y(k0)的图象上,则k( ) A9 B25 C15 D30 2.(2019 天津中考)若点A(3,y1) ,B(2,y2) ,C(1,y3)都在反比例函数y的图象上,则 y1,y2,y3的大小关系是( ) Ay2y1y3 By3y1y2 Cy1y2y3 Dy3y2y1 3.(2019长春)

    18、如图,在平面直角坐标系中,RtABC的顶点A、C的坐标分别是(0,3) 、 (3、0) ACB 90,AC2BC,则函数y(k0,x0)的图象经过点B,则k的值为( ) 10 A B9 C D 4.(2019广西)若点(1,y1) , (2,y2) , (3,y3)在反比例函数y(k0)的图象上,则y1,y2,y3 的大小关系是( ) Ay1y2y3 By3y2y1 Cy1y3y2 Dy2y3y1 5.(2019哈尔滨)点(1,4)在反比例函数y的图象上,则下列各点在此函数图象上的是( ) A (4,1) B (,1) C (4,1) D (,2) 6.(2019武汉)已知反比例函数y的图象分

    19、别位于第二、第四象限,A(x1,y1) 、B(x2,y2)两点在该 图象上,下列命题:过点A作ACx轴,C为垂足,连接OA若ACO的面积为 3,则k6;若x1 0 x2,则y1y2;若x1+x20,则y1+y20,其中真命题个数是( ) A0 B1 C2 D3 7.(2019广州)若点A(1,y1) ,B(2,y2) ,C(3,y3)在反比例函数y的图象上,则y1,y2,y3的 大小关系是( ) Ay3y2y1 By2y1y3 Cy1y3y2 Dy1y2y3 8.(2019 河北中考)如图,函数y的图象所在坐标系的原点是( ) A点M B点N C点P D点Q (二)(二)填空题填空题 1.(2

    20、019 陕西中考)如图,D是矩形AOBC的对称中心,A(0,4) ,B(6,0) ,若一个反比例函数的图象经 11 过点D,交AC于点M,则点M的坐标为 2.(2019南通)如图,过点C(3,4)的直线y2x+b交x轴于点A,ABC90,ABCB,曲线y(x 0)过点B,将点A沿y轴正方向平移a个单位长度恰好落在该曲线上,则a的值为 3.(2019日照)如图,已知动点A在函数的图象上,ABx轴于点B,ACy轴于点C,延长 CA交以A为圆心AB长为半径的圆弧于点E,延长BA交以A为圆心AC长为半径的圆弧于点F,直线EF分别 交x轴、y轴于点M、N,当NF4EM时,图中阴影部分的面积等于 4.(2

    21、019沈阳)如图,正比例函数y1k1x的图象与反比例函数y2(x0)的图象相交于点A(, 2) ,点B是反比例函数图象上一点,它的横坐标是 3,连接OB,AB,则AOB的面积是 12 5.(2019新疆)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知正比例函数y2x与反比例函数y的图象交 于A(a,4) ,B两点,过原点O的另一条直线l与双曲线y交于P,Q两点(P点在第二象限) ,若以 点A,B,P,Q为顶点的四边形面积为 24,则点P的坐标是 6. (2019兰州) 如图, 矩形OABC的顶点B在反比例函数y (k0) 的图象上,S矩形OABC6, 则k _ 7.如图,在平面直角坐标系中,点A,B在反

    22、比例函数y(k0)的图象上运动,且始终保持线段AB 4的长度不变M为线段AB的中点, 连接OM 则线段OM长度的最小值是 (用含k的代数式表示) 8.(2019 山东济南中考模拟)已知:如图,一次函数yax+b(a0)的图象与反比例函数y(k0) 的图象交于点A,与x交于点B,ACx轴于点C,连结OA (1)若a,b2,且OA平分BAC时,k ; (2)当a1,b2,k8 时,点P(t,0)是x轴上的一个动点,如果APOBAO,则t的取值范围 是 13 (三)(三)解答题解答题 1.(2019成都)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数yx+5 和y2x的图象相交于点A,反比 例函数y的图象

    23、经过点A (1)求反比例函数的表达式; (2) 设一次函数yx+5 的图象与反比例函数y的图象的另一个交点为B, 连接OB, 求ABO的面积 2.(2019广州)如图,在平面直角坐标系xOy中,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P(1,2) ,ABx 轴于点E,正比例函数ymx的图象与反比例函数y的图象相交于A,P两点 (1)求m,n的值与点A的坐标; (2)求证:CPDAEO; (3)求 sinCDB的值 3.(2019威海) (1)阅读理解 如图,点A,B在反比例函数y的图象上,连接AB,取线段AB的中点C分别过点A,C,B作x轴的垂 线,垂足为E,F,G,CF交反比例函数y的图象于点D

    24、点E,F,G的横坐标分别为n1,n,n+1(n 14 1) 小红通过观察反比例函数y的图象,并运用几何知识得出结论: AE+BG2CF,CFDF 由此得出一个关于,之间数量关系的命题: 若n1,则 _ (2)证明命题 小东认为:可以通过“若ab0,则ab”的思路证明上述命题 小晴认为:可以通过“若a0,b0,且ab1,则ab”的思路证明上述命题 请你选择一种方法证明(1)中的命题 4.(2019呼和浩特)如图,在平面直角坐标系中,矩形OCAB(OCOB)的对角线长为 5,周长为 14若反 比例函数y的图象经过矩形顶点A (1)求反比例函数解析式;若点(a,y1)和(a+1,y2)在反比例函数的

    25、图象上,试比较y1与y2的大小; (2)若一次函数ykx+b的图象过点A并与x轴交于点(1,0) ,求出一次函数解析式,并直接写出kx+b 0 成立时,对应x的取值范围 5.(2019 辽宁大连中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(3,2)在反比例函数y(x0)的 图象上,点B在OA的廷长线上,BCx轴,垂足为C,BC与反比例函数的图象相交于点D,连接AC,AD (1)求该反比例函数的解析式; (2)若SACD,设点C的坐标为(a,0) ,求线段BD的长 15 6.(2019 江苏徐州中考)如图,平面直角坐标系中,O为原点,点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上 AOB的两条外角平分线交于点

    26、P,P在反比例函数y的图象上PA的延长线交x轴于点C,PB的延长线 交y轴于点D,连接CD (1)求P的度数及点P的坐标; (2)求OCD的面积; (3)AOB的面积是否存在最大值?若存在,求出最大面积;若不存在,请说明理由 7.(2019 河南中考)模具厂计划生产面积为 4,周长为m的矩形模具对于m的取值范围,小亮已经能用 “代数”的方法解决,现在他又尝试从“图形”的角度进行探究,过程如下: (1)建立函数模型 设矩形相邻两边的长分别为x,y,由矩形的面积为 4,得xy4,即y;由周长为m,得 2(x+y)m, 即yx+满足要求的(x,y)应是两个函数图象在第 象限内交点的坐标 (2)画出函

    27、数图象 函数y(x0)的图象如图所示,而函数yx+的图象可由直线yx平移得到请在同一直角 坐标系中直接画出直线yx (3)平移直线yx,观察函数图象 当直线平移到与函数y(x0)的图象有唯一交点(2,2)时,周长m的值为 ; 在直线平移过程中,交点个数还有哪些情况?请写出交点个数及对应的周长m的取值范围 (4)得出结论 16 若能生产出面积为 4 的矩形模具,则周长m的取值范围为 8.(2016 河北中考)如图,抛物线L:y(xt) (xt+4) (常数t0)与x轴从左到右的交点为B, A,过线段OA的中点M作MPx轴,交双曲线y(k0,x0)于点P,且OAMP12, (1)求k值; (2)当t1 时,求AB的长,并求直线MP与L对称轴之间的距离; (3)把L在直线MP左侧部分的图象(含与直线MP的交点)记为G,用t表示图象G最高点的坐标; (4)设L与双曲线有个交点的横坐标为x0,且满足 4x06,通过L位置随t变化的过程,直接写出t的 取值范围


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