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    第19讲 点、直线和圆的位置关系及其计算备战2020中考数学考点举一反三讲练(学生版)

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    第19讲 点、直线和圆的位置关系及其计算备战2020中考数学考点举一反三讲练(学生版)

    1、 1 第第 1919 讲讲 点、直线和圆的位置关系及其计算点、直线和圆的位置关系及其计算 一、考点知识梳理一、考点知识梳理 【考点【考点 1 1 切线的性质与判定】切线的性质与判定】 1.点与圆的位置关系(设 r 为圆的半径,d 为点到圆心的距离) 位置关系,数量(d 与 r) 点在圆内 dr,点在圆上 dr,点在圆外 dr,数量(d 与 r) 2.直线和圆的三种位置关系: 相离:一条直线和圆没有公共点 相切:一条直线和圆只有一个公共点,叫做这条直线和圆相切,这条直线叫圆的切线,唯一的公共点叫 切点 相交:一条直线和圆有两个公共点,此时叫做这条直线和圆相交,这条直线叫圆的割线 3.判断直线和圆

    2、的位置关系:设O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d 位置关系,相离,相切,相交 公共点个数,0,1,2 公共点的名称,无,切点,交点 数量关系,dr,dr,dr 4.切线的判定: 判定切线的方法有三种:利用切线的定义,即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线;到圆心的距离等 于半径的直线是圆的切线;经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 5. 切线的五个性质: 切线与圆只有一个公共点; 切线到圆心的距离等于圆的半径; 切线垂直于经过切点的半径; 经过圆心垂直于切线的直线必过切点; 经过切点垂直于切线的直线必过圆心 6.切线长定理: 经过圆外一点作圆的切线,这点与切点之间的线段的长度,叫

    3、做这点到圆的切线长经圆外一点可以引圆 的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 【考点【考点 2 2 三角形内切圆】三角形内切圆】 内切圆的有关概念: 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆,三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做 圆的外切三角形三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点 2 二、考点分析 【考点【考点 1 1 切线的性质与判定】切线的性质与判定】 【解题技巧】1判断直线与圆相切时:(1)直线与圆的公共点已知时,连半径证垂直;(2)直线与圆的公共 点未知时,过圆心作直线的垂线证垂线段等于半径 2利用切线的性质解决问题,通常连过切点的半径

    4、,构造直角三角形来解决 3.由定理可知,若出现圆的切线,必连过切点的半径,构造定理图,得出垂直关系简记作:见切点,连 半径,见垂直 【例 1】 (2019 浙江杭州中考)如图,P为圆O外一点,PA,PB分别切圆O于A,B两点,若PA3,则PB ( ) A2 B3 C4 D5 【举一反三举一反三 1-1】 (2019 重庆中考)如图,AB是O的直径,AC是O的切线,A为切点,BC与O交于点 D,连结OD若C50,则AOD的度数为( ) A40 B50 C80 D100 【举一反三举一反三 1-2】 (2019 上海中考)已知A与B外切,C与A、B都内切,且AB5,AC6,BC7, 那么C的半径长

    5、是( ) A11 B10 C9 D8 【举一反三举一反三 1-3】 (2019 南京中考)如图,PA、PB是O的切线,A、B为切点,点C、D在O上若P 102,则A+C 3 【举一反三举一反三 1-4】(2019 浙江温州中考) 如图, O分别切BAC的两边AB,AC于点E,F, 点P在优弧 () 上,若BAC66,则EPF等于 度 【考点【考点 2 2 三角形内切圆】三角形内切圆】 【解题技巧】1.任何一个三角形有且仅有一个内切圆,而任一个圆都有无数个外切三角形 2.三角形内心的性质:三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的内心与三角形顶点的连线平分这 个内角 3.直角三角形的外接圆与内

    6、切圆半径的求法:若 a,b 是RtABC 的两条直角边,c 为斜边,则(1)直角三角 形的外接圆半径 Rc 2;(2)直角三角形的内切圆半径 r abc 2 . 【例 2】 (2019 云南中考)如图,ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F,且AB5,BC 13,CA12,则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( ) A4 B6.25 C7.5 D9 【举一反三举一反三 2-1】 (2019台湾)如图,直角三角形ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点,根据图 中标示的长度与角度,求AD的长度为何?( ) A B C D 【举一反三举一反三 2-2】 (2019山东济南

    7、模拟)如图,在矩形ABCD中,AB4,AD5,AD,AB,BC分别与O相 切于E,F,G三点,过点D作O的切线BC于点M,切点为N,则DM的长为( ) 4 A B C D2 【举一反三举一反三 2-3】(2019青海) 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作 数书九章 中提出了 “三斜求积术” , 三斜即指三角形的三条边长,可以用该方法求三角形面积若改用现代数学语言表示,其形式为:设a,b, c为三角形三边,S为面积,则S 这是中国古代数学的瑰宝之一 而在文明古国古希腊,也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式,若设p(周长的 一半) ,则S (1)尝试验证这两个公式在表面上形式很不一致,

    8、请你用以 5,7,8 为三边构成的三角形,分别验证它 们的面积值; (2)问题探究经过验证,你发现公式和等价吗?若等价,请给出一个一般性推导过程(可以从 或者) ; (3)问题引申三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值,很多数学家给出了不同形式的计算公 式请你证明如下这个公式:如图,ABC的内切圆半径为r,三角形三边长为a,b,c,仍记p, S为三角形面积,则Spr 【举一反三举一反三 2-4】 (2019 山西中考)阅读以下材料,并按要求完成相应的任务: 莱昂哈德欧拉(LeonhardEuler)是瑞士数学家,在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数,公式和 定理,下面就是欧拉发现的一

    9、个定理:在ABC中,R和r分别为外接圆和内切圆的半径,O和I分别为其 中外心和内心,则OI 2R22Rr 5 如图 1,O和I分别是ABC的外接圆和内切圆,I与AB相切分于点F,设O的半径为R,I的半 径为r,外心O(三角形三边垂直平分线的交点)与内心I(三角形三条角平分线的交点)之间的距离OI d,则有d 2R22Rr 下面是该定理的证明过程(部分) : 延长AI交O于点D,过点I作O的直径MN,连接DM,AN DN,DMINAI(同弧所对的圆周角相等) MDIANI,IAIDIMIN, 如图 2,在图 1(隐去MD,AN)的基础上作O的直径DE,连接BE,BD,BI,IF DE是O的直径,

    10、所以DBE90 I与AB相切于点F,所以AFI90, DBEIFA BADE(同弧所对的圆周角相等) , AIFEDB, IABDDEIF 任务: (1)观察发现:IMR R+d,IN (用含R,d的代数式表示) ; (2)请判断BD和ID的数量关系,并说明理由 (3)请观察式子和式子,并利用任务(1) , (2)的结论,按照上面的证明思路,完成该定理证明的剩 余部分; (4)应用:若ABC的外接圆的半径为 5cm,内切圆的半径为 2cm,则ABC的外心与内心之间的距离为 cm 三、 【达标测试】 (一)选择题(一)选择题 6 1.(2019哈尔滨)如图,PA、PB分别与O相切于A、B两点,点

    11、C为O上一点,连接AC、BC,若P 50,则ACB的度数为( ) A60 B75 C70 D65 2.(2019广州)平面内,O的半径为 1,点P到O的距离为 2,过点P可作O的切线条数为( ) A0 条 B1 条 C2 条 D无数条 3.(2019 河北唐山中考模拟)如图,直线yx+1 与x轴、y轴分别相交于A、B两点,P是该直线上的 任一点,过点D(3,0)向以P为圆心,AB为半径的P作两条切线,切点分别为E、F,则四边形PEDF 面积的最小值为( ) A B C2 D 4.(2019 天津北辰区中考模拟)如图,AB、AC为O的切线,B、C是切点,延长OB到D,使BDOB,连 接AD,如果

    12、DAC78,那么ADO等于( ) A70 B64 C62 D51 5.(2019 山东威海中考模拟)如图,AB是半圆O的直径,点D在半圆O上,AB2,AD10,C是弧 BD上的一个动点, 连接AC, 过D点作DHAC于H, 连接BH, 在点C移动的过程中,BH的最小值是 ( ) 7 A5 B6 C7 D8 6. (2019 辽宁葫芦岛中考模拟) 设正三角形1的面积为S1, 作1的内切圆, 再作内切圆的内接正三角形, 设为2,面积为S2,如此下去作一系列的正三角形3,4,其面积相应为S3,S4,设S11, TnS1+S2+Sn,则当n充分大时,Tn的值最接近以下哪个值?( ) A B C D2

    13、7.(2019 河南郑州中考模拟)如图,A、B、C、D、E是O上的 5 等分点,连接AC、CE、EB、BD、DA,得 到一个五角星图形和五边形MNFGH 有下列 3 个结论: AOBE, CGDCOD+CAD, BMMNNE 其 中正确的结论是( ) A B C D 8.(2019 河北沧州中考模拟)如图以正五边形ABCDE的顶点A为圆心,AE为半径作圆弧交BA的延长线于 点A,再以点B为圆心,BA为半径作圆弧交CB的延长线于B,依次进行得到螺旋线,再顺次连结EA, AB,BC,CD,DE,得到 5 块阴影区域,若记它们的面积分别为S1,S2,S3,S4,S5,且满足S5S21, 则S4S3的

    14、值为( ) A B C D (二)(二)填空题填空题 1.(2019 山东淄博中考模拟)如图,已知A(6,0) ,B(4,3)为平面直角坐标系内两点,以点B圆心的 B经过原点O,BCx轴于点C,点D为B上一动点,E为AD的中点,则线段CE长度的最大值 为 8 2.(2019 河北衡水中考模拟)点I为ABC的内心,连AI交ABC的外接圆于点D,若AI2CD,点E为 弦AC的中点,连接EI,IC,若IC6,ID5,则IE的长为 3.(2019 湖北黄石中考模拟)如图,矩形ABCD中,AB4,AD8,点E,F分别在边AD,BC上,且点B, F关于过点E的直线对称,如果EF与以CD为直径的圆恰好相切,

    15、那么AE 4.(2019 上海黄浦区中考模拟)如图,ABCDE是正五边形,已知AG1,则FG+JH+CD 5.(2019 天津南开区中考模拟)如图,已知AB为O的直径,直线l与O相切于点D,ACl于C,AC交 O于点E,DFAB于F若AE3,CD2,则O的直径为 6.(2019 河北廊坊中考模拟)如图,半圆的圆心与坐标原点重合,半圆的半径 1,直线l的解析式为y 9 x+t若直线l与半圆只有一个交点,则t的取值范围是 7.(2019 四川成都中考模拟)如图,在ABC中,C90,AC8,AB10,点P在AC上,AP2,若 O的圆心在线段BP上,且O与AB、AC都相切,则O的半径是 8.(2019

    16、 山东济南中考模拟)图 1 为一锐角是 30的直角三角尺,其边框为透明塑料制成(内、外直角三 角形对应边互相平行且三处所示宽度相等) 将三角尺移向直径为 4cm的O,它的内 RtABC的斜边AB恰 好等于O的直径,它的外 RtABC的直角边AC恰好与O相切(如图 2) 则边BC的 长 (三)(三)解答题解答题 1.(2019 甘肃中考)如图,在 RtABC中,C90,以BC为直径的O交AB于点D,切线DE交AC于 点E (1)求证:AADE; (2)若AD8,DE5,求BC的长 10 2.(2019 广东中考)如图 1,在ABC中,ABAC,O是ABC的外接圆,过点C作BCDACB交O 于点D

    17、,连接AD交BC于点E,延长DC至点F,使CFAC,连接AF (1)求证:EDEC; (2)求证:AF是O的切线; (3)如图 2,若点G是ACD的内心,BCBE25,求BG的长 3.(2019 江徐州苏中考)如图,AB为O的直径,C为O上一点,D为的中点过点D作直线AC的垂 线,垂足为E,连接OD (1)求证:ADOB; (2)DE与O有怎样的位置关系?请说明理由 4.(2019 辽宁大连中考)如图 1,四边形ABCD内接于O,AC是O的直径,过点A的切线与CD的延长线 相交于点P且APCBCP (1)求证:BAC2ACD; (2)过图 1 中的点D作DEAC,垂足为E(如图 2) ,当BC

    18、6,AE2 时,求O的半径 11 5.(2019 天津中考)已知PA,PB分别与O相切于点A,B,APB80,C为O上一点 ()如图,求ACB的大小; ()如图,AE为O的直径,AE与BC相交于点D若ABAD,求EAC的大小 6.(2019 云南中考)如图,AB是O的直径,M、D两点在AB的延长线上,E是C上的点, 且DE 2DBDA, 延长AE至F,使得AEEF,设BF10,cosBED (1)求证:DEBDAE; (2)求DA,DE的长; (3)若点F在B、E、M三点确定的圆上,求MD的长 7.(2019 浙江杭州中考)如图,已知锐角三角形ABC内接于圆O,ODBC于点D,连接OA (1)

    19、若BAC60, 求证:ODOA 当OA1 时,求ABC面积的最大值 (2)点E在线段OA上,OEOD,连接DE,设ABCmOED,ACBnOED(m,n是正数) ,若ABC 12 ACB,求证:mn+20 8.(2019 山东济南中考) (2019济南)如图,AB、CD是O的两条直径,过点C的O的切线交AB的延长 线于点E,连接AC、BD (1)求证;ABDCAB; (2)若B是OE的中点,AC12,求O的半径 9.(2019青海)如图,在O中,点C、D分别是半径OB、弦AB的中点,过点A作AECD于点E (1)求证:AE是O的切线; (2)若AE2,sinADE,求O的半径 10.(2019呼和浩特)如图,以 RtABC的直角边AB为直径的O交斜边AC于点D,过点D作O的切线 与BC交于点E,弦DM与AB垂直,垂足为H (1)求证:E为BC的中点; (2)若O的面积为 12,两个三角形AHD和BMH的外接圆面积之比为 3,求DEC的内切圆面积S1 和四边形OBED的外接圆面积S2的比 13


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