1、 1 第第 4 讲讲 分式及其运算分式及其运算 一、考点知识梳理 【考点【考点 1 分式的概念及性质】分式的概念及性质】 1.分式的定义：形如A B(A，B 是整式，且 B 中含有字母，B0)的式子叫分式，其中 A 叫分子，B 叫分母 2最简分式：分子与分母没有公因式的分式 3有理式：整式和分式统称为有理式 4 分式基本性质 a m b m a b， a m b m a b(m0) 5通分的关键是确定几个分式的最简公分母，约分的关键是确定分式的分子、分母的最大公因式 【考点【考点 2 分式的运算和化简】分式的运算和化简】 1. 同分母分式加减b a c a b c a . 2. 异分母分式加减
2、通过通分转化为同分母分式加减，即b a d c bc ad ac . 2.分式的乘除：b a d c bd ac， b a d c bc ad， a b n a n bn. 3分式的混合运算：在分式的混合运算中，应先算乘方，再算乘除，最后进行加减运算，遇到括号，先算 括号里面的分式运算的结果要化成整式或最简分式 二、考点分析 【考点【考点 1 分式的概念及性质】分式的概念及性质】 【解题技巧】与分式有关的“五个条件”的字母表示： (1)分式A B无意义时，B0； (2)分式A B有意义时，B0； (3)分式A B的值为零时，A0 且 B0； (4)分式A B的值为正时，A，B 同号，即 A0，
3、 B 0或 A0， B 0或 A0， B 0. 【例 1】 （2019 河北沧州中考模拟）若分式 1 2 2 x x 的值为 0，则 x 的值为（ ） A. 1 B. 1 C. 1 D.2 2 【答案】D 【分析】分式值为 0 的条件是分子为 0 而分母不为 0 【解答】x2=0 且 x21 x=2. 故选 D 【举一反三举一反三 11】 （2019 湖北黄石中考）若式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax1 且 x2 Bx1 Cx1 且 x2 Dx1 【答案】A 【分析】分式有意义，分母不等于零；二次根式的被开方数是非负数 【解答】解：依题意，得 x10 且 x200， 解得
4、 x1 且 x2 故选：A 【举一反三举一反三 12】 （2019 河北石家庄中考模拟）要使分式 2 1 x x 有意义，则 x 的取值应满足（ ） Ax2 Bx1 Cx=2 Dx=1 【答案】A 【分析】分式有意义，分母不等于零 【解答】由题意得，x20， 解得 x2 故选：A 【举一反三举一反三 13】 （2019 福建厦门中考模拟）分式 3 3 x x 的值为零，则 x 的值为（ ） A3 B3 C3 D任意实数 【答案】A 【分析】分式值为 0 的条件是分子为 0 而分母不为 0 【解析】：依题意，得 |x|3=0 且 x+30， 解得，x=3 3 故选：A 【举一反三举一反三 14】
5、（2019 河北唐山中考模拟） 设 x0， x， 则代数式的值是 （ ） A1 B C D 【答案】B 【分析】根据完全平方公式以及立方和公式即可求出答案 【解答】解：x， （x）25， x2+7， （x+）2x2+2+9， x0， x+3， x2+13x， x4+17x2， （x2+）2x4+2+， x4+47， x8+147x4， x3+（x+） （x21+） ， x3+18， x6+118x3， 原式 4 故选：B 【考点【考点 2 分式的运算和化简】分式的运算和化简】 【解题技巧】分式化简求值题的一般步骤： (1)若有括号的，先计算括号内的分式运算，括号内如果是异分母加减运算时，需将异
6、分母分式通分化为同 分母分式运算，然后将分子合并同类项，把括号去掉，简称：去括号； (2)若有除法运算的，将分式中除号( )后面的式子分子分母颠倒，并把这个式子前的“”变为“”，保证几个 分式之间除了“”“”就只有“”或“ ”，简称：除法变乘法； (3)利用因式分解、约分进行分式乘法运算； (4)最后按照式子顺序，从左到右计算分式加减运算，直到化为最简形式； (5)将所给数值代入求值，代入数值时要注意使原分式有意义(即使原分式分母不为 0) 【例 2】 （2019 河北中考）如图，若 x 为正整数，则表示的值的点落在（ ）之间. A段 B段 C段 D段 【答案】B 【分析】将所给分式的分母配方
7、化简，再利用分式加减法化简，根据 x 为正整数，从所给图中可得正确答 案 【解答】解1 又x 为正整数， x1 故表示的值的点落在 故选：B 【举一反三举一反三 21】 （2019 山东济南中考模拟）化简 1 2 x x + x x 1 的结果是（ ） 5 Ax+1 Bx1 Cx Dx 【答案】D 【分析】根据同分母的分式加减的法则运算. 【解答】： 1 2 x x + x x 1 = 1 2 x x 1x x = 1 2 x xx = 1 1 x xx =x， 故选：D 【举一反三举一反三 22】 （2019 河北沧州中考模拟）先化简，再求值： （+x2），其中|x|2 【分析】先进行括号里
8、面的加减运算，再进行分式的乘除运算. 【解答】解：原式 ， |x|2 时， x 2， 由分式有意义的条件可知：x2， 原式3 【举一反三举一反三 23】 （2019 福建中考）先化简，再求值： （x1） （x） ，其中 x+1 【分析】先化简分式，然后将 x 的值代入计算即可 【解答】解：原式（x1） （x1） ， 当 x+1， 原式 1+ 三、【达标测试】 （一）（一）选择题选择题 6 1.（2019 山东德州中考模拟）如果将分式中 x，y 都扩大到原来的 2 倍，则分式的值（ ） A扩大到原来的 2 倍 B不变 C扩大到原来的 4 倍 D缩小到原来的 【答案】A 【分析】x，y 都扩大成原
9、来的 2 倍就是变成 2x 和 2y用 2x 和 2y 代替式子中的 x 和 y，看得到的式子与原 来的式子的关系 【解答】解：用 2x 和 2y 代替式子中的 x 和 y 得：， 则分式的值扩大为原来的 2 倍 故选：A 2.（2019 山东济南中考模拟）计算（x1） （1）x 的结果是（ ） Ax2 B1 Cx2 D1 【答案】C 【分析】先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，最后约分即可得 【解答】解：原式（x1）x （x1）x x2， 故选：C 3.（2019兰州中考）化简：（ ） Aa1 Ba+1 C D 【答案】A 【分析】先根据法则计算，再因式分解、约分即可得 【解答】解：原式
10、 a1， 7 故选：A 4. （2019 河南郑州中考模拟） 已知 x 为整数， 且分式的值为整数， 满足条件的整数 x 的个数有 （ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】C 【分析】先化简得到原式，然后利用整数的整除性得到 2 只能被1，1，2，2 这几个整数整除， 从而得到 x 的值 【解答】解：原式， x+1 为 1， 2 时，的值为整数， x210， x1， x 为2，0，3，个数有 3 个 故选：C 5.（2019 山东青岛中考模拟）若 a+b5，则代数式（a） （）的值为（ ） A5 B5 C D 【答案】B 【分析】根据 a+b5，可以求得题目中所求式子的值，本题
11、得以解决 【解答】解：a+b5， （a） （） （a+b） 5， 故选：B 6.（2019 河北衡水中考模拟）若（a+）2与|b1|互为相反数，则的值为（ ） A B+1 C1 D1 【答案】C有 8 【分析】根据互为相反数的两个数等于 0 得出（a+）2+|b1|0，推出 a+0，b10，求出 a ，b1，代入求出即可 【解答】解：（a+）2与|b1|互为相反数， （a+）2+|b1|0， a+0，b10， a，b1， 1， 故选：C 7. （2019 山西太原中考模拟）化简 22 2 mn mmn 的结果是（ ） A 2 mn m B mn m C mn m D mn mn 【答案】B.
12、【分析】化简时分子，分母是多项式的先分解，再约分. 【解答】原式=(m+n)(m-n) m(m+n) =m-n m , 故选 B. 8.（2019 河北衡水中考模拟）下列运算正确的是（ ） A a b a b11 B 22 2 2bababa C12 3 16 a a D22 2 【答案】B. 【分析】根据分式的性质、完全平方公式以及开方运算. 【解答】A 错b-1 a =-b-1 a . B 正确. C 错, 6a+1 3 =2a+1 3. D 错， (-2)2=2. 故选择 B. （二）填空题 9 1.（2019武汉中考）计算的结果是 【答案】. 【分析】异分母分式相加减，先通分变为同分母
13、分式，然后再加减 【解答】解：原式 故答案为： 2.（2019 山东淄博中考模拟）已知 请计算 y2019 （用含 x 的代数式表示） 【答案】 【分析】首先把 y1代入 y2，利用 x 表示出 y2，进而表示出 y3，y4，得到循环关系 【解答】解：y2； y32x； y4， 则 y 的值 3 个一次循环，则 y2019y1 故答案是 3.（2019 山东济南中考模拟）先化简 2 3 1 x x 2 2 23 21 xx xx + 1 1x ，再在1，0，1，3 中选择一个合适的 x 值代入求值 【答案】当 x=0 时，原式=2. 【分析】根据分式的运算法则，先因式分解，再乘除运算，约分，最
14、后加减运算，得出结果. 10 【解答】原式= 3 11 x xx 2 1 31 x xx + 1 1x = 1 1x + 1 1x = 2 1x . 由题知，x1 和 3.当 x=0 时， 原式= 2 01 =2. 4.（2019 辽宁葫芦岛中考模拟）若 3x4yz0，2x+y8z0，则的值为 【答案】2 【分析】先把 z 当作已知条件表示出 x、y 的值，再代入原式进行计算即可 【解答】解：解方程组，解得， 原式2 故答案为：2 5.（2019 河北沧州中考模拟）如果分式的值为正数，则 x 的取值范围是 【答案】x2 或 x1 【分析】由分式的值为正数得出分子、分母同为正数或同为负数，据此列
15、出关于 x 的不等式组，解之可得 【解答】解：分式的值为正数， 或， 解得：x2 或 x1， 故答案为：x2 或 x1 6.（2019 河北唐山中考模拟）如果分式的值小于 3，则 x 的取值范围是 【答案】x1 或 x3 【分析】首先根据题意可得：3，然后分别从若 x+10 与若 x+10 去分析，利用不等式的知识，即 可求得答案 11 【解答】解：根据题意得：3， 若 x+10，即 x1 时， 则 x33（x+1） ， 解得：x3， x1； 若 x+10，即 x1 时， 则 x33（x+1） ， 解得：x3， x3； x 的取值范围是：x1 或 x3 7.（2019 山东威海中考模拟）实数
16、a 满足丨 a 丨+a0，且 a1，那么 【答案】当1a0 时，原式1； 当 a1 时，原式1 【分析】根据实数 a 满足丨 a 丨+a0，且 a1，可求出 a0 或者 a0，然后代入即可求解 【解答】解：实数 a 满足丨 a 丨+a0，且 a1， a0 或者 a0，且 a1， 当 a0 时，代入1 当1a0 且 a1 时，代入1， 当 a1 时，代入1 综上所述：当1a0 时，原式1； 当 a1 时，原式1 8.（2019 河北石家庄中考模拟）阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化分母有理化的方 法， 一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式， 使分母不含根号 例如：， （1）将分
17、母有理化可得 ； （2）关于 x 的方程 3x+ 的解是 12 【答案】 （1）1（2） 【分析】 （1）根据材料进行分母有理化即可； （2）先分母有理化，再根据式子的规律即可求解 【解答】解： （1）1 故答案为：1； （2）3x+， 3x+， 3x+ ， 3x（+） ， 6x11+， 6x3， x， 故答案为： （三）解答题 1.（2019 广东中考）先化简，再求值： （），其中 x 【分析】先化简分式，然后将 x 的值代入计算即可 【解答】解：原式 当 x时， 原式 2.（2019 陕西中考）化简： （+） 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，
18、约分即可得到 结果 13 【解答】解：原式 a 3.（2019 浙江杭州中考）化简：1 圆圆的解答如下： 14x2（x+2）（x24）x2+2x 圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的答案 【分析】直接将分式进行通分，进而化简得出答案 【解答】解：圆圆的解答错误， 正确解法：1 4.（2019成都中考）先化简，再求值： （1），其中 x+1 【分析】可先对进行通分，可化为，再利用除法法则进行计算即可 【解答】解： 原式 将 x+1 代入原式 5.（2019青岛中考）化简： （2n） ； 【分析】按分式的运算顺序和运算法则计算求值； 14 【解答】解： （1）原式 ； 6.（2019广州中考）
19、已知 P（ab） （1）化简 P； （2）若点（a，b）在一次函数 yx的图象上，求 P 的值 【分析】 （1）P； （2）将点（a，b）代入 yx得到 ab，再将 ab代入化简后的 P，即可求解； 【解答】解： （1）P； （2）点（a，b）在一次函数 yx的图象上， ba， ab， P； 7.（2019 河北衡水中考模拟）阅读下列分式的计算过程，请你观察和思考，并回答所提出的问题： 计算： （第一步） 12x（第二步） x1（第三步） 该同学在计算中，第一步用数学算理是 ； 上述计算过程是从第 步开始出现错误； 请你直接写出该分式正确的结果是 【分析】根据分式的基本性质即可判断； 根据分式
20、的加减运算法则即可判断； 依据分式加减运算法则计算可得 【解答】解：该同学在计算中，第一步用数学算理是分式的基本性质：分式的分子和分母乘（或除以） 同一个不等于 0 的整式，分式值不变， 15 故答案为：分式的基本性质：分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式值不变； 上述计算过程是从第二步开始出现错误， 故答案为：二； ， 所以该分式正确的结果是， 故答案为： 8.（2019 山东济南中考模拟）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式， 则称这个分式为“和谐分式”如：，则是“和谐分式” （1）下列分式中，属于“和谐分式”的是 （填序号） ； ； （2
21、）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： （要写出变形过程） ； （3）应用：先化简，并求 x 取什么整数时，该式的值为整数 【分析】 （1）由“和谐分式”的定义对变形即可得； （2）由原式+a1+可得； （3）将原式变形为2+，据此得出 x+1 1 或 x+1 2，即 x0 或2 或 1 或3，又 x0、 1、1、2，据此可得答案 【解答】解： （1）1+，是和谐分式； 16 1+，不是和谐分式； 1+，是和谐分式； 1+，是和谐分式； 故答案为： （2）+a1+， 故答案为：a1+ （3）原式 2+， 当 x+1 1 或 x+1 2 时，分式的值为整数， 此时 x0 或2 或 1 或3， 又分式有意义时 x0、1、1、2， x3
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