1、 1 第第 22 讲讲 图形的变换图形的变换 一、考点知识梳理一、考点知识梳理 【考点【考点 1 图形的平移】图形的平移】 1.定义：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移平移不 改变图形的形状和大小 2.三大要素：一是平移的起点，二是平移的方向，三是平移的距离 3.性质：平移前后，对应线段平行且相等、对应角相等；各对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且 相等；平移前后的图形全等 4作图步骤： (1)根据题意，确定平移的方向和平移的距离； (2)找出原图形的关键点； (3)按平移方向和平移距离、平移各个关键点，得到各关键点的对应点； (4)按原图形
2、依次连接对应点，得到平移后的图形 【考点【考点 2 图形的折叠和轴对称】图形的折叠和轴对称】 1. 轴对称图形的定义：如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形 就叫轴对称图形，这条直线叫做对称轴 2.轴对称的定义：如果两个图形对折后，这两个图形能够完全重合，那么我们就说这两个图形成轴对称，这 条直线叫做对称轴 3.轴对称的性质：对应线段相等 对应角相等 对应点所连的线段被对称轴垂直平分 4.轴对称图形与轴对称的区别 (1)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言；对称轴不一 定只有一条 （2）轴对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形；只有一条对
3、称轴 5.轴对称图形与轴对称的关系 (1)沿对称轴对折，两部分重合；(2)如果把轴对称图形沿对称轴分成“两个图 形”，那么这“两个图形”就关于这条直线成轴对称 (1)沿对称轴翻折，两个图形重合；(2)如果把两个成轴对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是一 个轴对称图形 6.翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换 7.折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边 和对应角相等 【考点【考点 3 图形的旋转和中心对称】图形的旋转和中心对称】 1.中心对称图形的定义： 如果一个图形绕某一点旋转 180 后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心
4、 对称图形，这个点叫做它的对称中心 2.中心对称 2 （1）定义：如果一个图形绕某点旋转 180 后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称 （2）性质：对应点连线被对称中心平分；对应线段相等；对应角相等 3.中心对称图形与中心对称的区别：中心对称图形是指具有某种特性的一个图形 中心对称是指两个图形的 关系 4.中心对称图形与中心对称的联系：把中心对称图形的两个部分看成“两个图形”，则这“两个图形”成中心对 称；把成中心对称的两个图形看成一个“整体”，则“整体”成为中心对称图形 5.图形的旋转 （1）定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图
5、形运动 叫旋转这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角 （2）三大要素：旋转中心、旋转方向和_旋转角度_ （3）性质：对应点到旋转中心的距离相等；每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前后 的图形全等 6.作图步骤： (1)根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角； (2)找出原图形的关键点； (3)连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点； (4)按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形 二、考点分析 【考点【考点 1 图形的平移】图形的平移】 【解题技巧】 （1）平移变换与坐标变化 向右平移 a 个单位，坐标 P（x，y）P（x+a，y） 向
6、左平移 a 个单位，坐标 P（x，y）P（xa，y） 向上平移 b 个单位，坐标 P（x，y）P（x，y+b） 向下平移 b 个单位，坐标 P（x，y）P（x，yb） （2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数 a，相应的新图形就是 把原图形向右（或向左）平移 a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数 a，相应的 新图形就是把原图形向上（或向下）平移 a 个单位长度 （即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加， 下移减 ） 【例 1】 （2019 辽宁大连中考）在平面直角坐标系中，将点 P（3，1）向下平移 2 个单位长度，得到的点 P 的
7、坐标为（ ） A （3，1） B （3，3） C （1，1） D （5，1） 【答案】A 3 【分析】根据向下平移，横坐标不变、纵坐标相减列式计算即可得解 【解答】解：将点 P（3，1）向下平移 2 个单位长度，得到的点 P的坐标为（3，12） ，即（3，1） ， 故选：A 【举一反三举一反三1-1】 （2019 江苏徐州中考）已知二次函数的图象经过点 P（2，2） ，顶点为 O（0，0）将该图 象向右平移，当它再次经过点 P 时，所得抛物线的函数表达式为 【答案】y（x4）2 【分析】设原来的抛物线解析式为：yax2利用待定系数法确定函数关系式；然后利用平移规律得到平移 后的解析式，将点 P
8、 的坐标代入即可 【解答】解：设原来的抛物线解析式为：yax2（a0） 把 P（2，2）代入，得 24a， 解得 a 故原来的抛物线解析式是：yx2 设平移后的抛物线解析式为：y（xb）2 把 P（2，2）代入，得 2（2b）2 解得 b0（舍去）或 b4 所以平移后抛物线的解析式是：y（x4）2 故答案是：y（x4）2 【举一反三举一反三1-2】（2019广西） 如图， 在平面直角坐标系中， 已知ABC 的三个顶点坐标分别是 A （2， 1） ， B（1，2） ，C（3，3） （1）将ABC 向上平移 4 个单位长度得到A1B1C1，请画出A1B1C1； （2）请画出与ABC 关于 y 轴对
9、称的A2B2C2； （3）请写出 A1、A2的坐标 4 【分析】 （1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用轴对称的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）利用所画图象得出对应点坐标 【解答】解： （1）如图所示：A1B1C1，即为所求； （2）如图所示：A2B2C2，即为所求； （3）A1（2，3） ，A2（2，1） 【举一反三举一反三1-3】 （2019 安徽中考）如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的 12 12 的网格中，给 出了以格点（网格线的交点）为端点的线段 AB （1）将线段 AB 向右平移 5 个单位，再向上平移 3 个单位得到线段 CD，请
10、画出线段 CD （2）以线段 CD 为一边，作一个菱形 CDEF，且点 E，F 也为格点 （作出一个菱形即可） 【分析】 （1）直接利用平移的性质得出 C，D 点位置，进而得出答案； （2）直接利用菱形的判定方法进而得出答案 5 【解答】解： （1）如图所示：线段 CD 即为所求； （2）如图：菱形 CDEF 即为所求，答案不唯一 【考点【考点 2 图形的折叠和轴对称】图形的折叠和轴对称】 【解题技巧】 凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时， 第一反应即存在一组全等图形， 其次找出与要求几何量相关的条 件量主要存在一下几种情况; 1与三角形结合： (1)若涉及直角， 则优先考虑直角三角形的性
11、质(勾股定理及斜边上的中线等于斜边的一半)， 若为含特殊角的 直角三角形，则应利用其边角关系计算； (2)若涉及两边(角)相等，则利用等腰三角形的相关性质计算，若存在 60 角，则利用等边三角形性质进行相 关计算，一般会作出高线构造特殊角的直角三角形进行求解； (3)若含有中位线，则需利用中位线的位置及数量关系进行量的代换 2与四边形结合： (1)与平行四边形、矩形、菱形、正方形结合，往往会利用其特殊性质求解； (2)若为一般的四边形，则可通过构造特殊的三角形或四边形求解 首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件解题时，我们常常设要求的线段长为 x， 然后根据折叠和轴对称的性质
12、用含 x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定 理列出方程求出答案我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数 【例 2】 （2019 北京中考）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ） A B C D 【答案】C 6 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据 轴对称图形的概念求解 【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，故此选项正确； D、不是轴对称图形，故此选项错误 故选：C 【举一反三举一反三2-1】 （2019 湖北黄石中考）如图，矩形 AB
13、CD 中，AC 与 BD 相交于点 E，AD：AB：1， 将ABD 沿 BD 折叠，点 A 的对应点为 F，连接 AF 交 BC 于点 G，且 BG2，在 AD 边上有一点 H，使得 BH+EH 的值最小，此时（ ） A B C D 【答案】B 【分析】设 BD 与 AF 交于点 M设 ABa，ADa，根据矩形的性质可得ABE、CDE 都是等边三角 形，利用折叠的性质得到 BM 垂直平分 AF，BFABa，DFDAa解直角BGM，求出 BM，再表 示 DM， 由ADMGBM， 求出 a2， 再证明 CFCD2 作 B 点关于 AD 的对称点 B， 连接 BE， 设 BE 与 AD 交于点 H，
14、则此时 BH+EHBE，值最小建立平面直角坐标系，得出 B（3，2） ，B（3， 2） ，E（0，） ，利用待定系数法求出直线 BE 的解析式，得到 H（1，0） ，然后利用两点间的距离公 式求出 BH4，进而求出 【解答】解：如图，设 BD 与 AF 交于点 M设 ABa，ADa， 四边形 ABCD 是矩形， DAB90 ，tanABD， BDAC2a，ABD60 ， ABE、CDE 都是等边三角形， 7 BEDEAECEABCDa 将ABD 沿 BD 折叠，点 A 的对应点为 F， BM 垂直平分 AF，BFABa，DFDAa 在BGM 中，BMG90 ，GBM30 ，BG2， GMBG1
15、，BMGM， DMBDBM2a 矩形 ABCD 中，BCAD， ADMGBM， ，即， a2， BEDEAECEABCD2，ADBC6，BDAC4 易证BAFFACCADADBBDFCDF30 ， ADF 是等边三角形， AC 平分DAF， AC 垂直平分 DF， CFCD2 作 B 点关于 AD 的对称点 B，连接 BE，设 BE 与 AD 交于点 H，则此时 BH+EHBE，值最小 如图，建立平面直角坐标系，则 A（3，0） ，B（3，2） ，B（3，2） ，E（0，） ， 易求直线 BE 的解析式为 yx+， H（1，0） ， BH4， 故选：B 8 【举一反三举一反三2-2】 （201
16、9 江苏徐州中考）下图均由正六边形与两条对角线所组成，其中不是轴对称图形的 是（ ） A B C D 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的概念求解可得 【解答】解： 不是轴对称图形， 故选：D 【举一反三举一反三2-3】 （2019兰州）如图，边长为的正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，将正方形 ABCD 沿直线 DF 折叠，点 C 落在对角线 BD 上的点 E 处，折痕 DF 交 AC 于点 M，则 OM（ ） 9 A B C1 D1 【答案】D 【分析】根据正方形的性质得到 ABADBCCD，DCBCODBOC90 ，ODOC，求得 BDAB2， 得到 ODBOOC1，
17、 根据折叠的性质得到 DEDC， DFCE， 求得 OE1， 根据全等三角形的性质即可得到结论 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， ABADBCCD，DCBCODBOC90 ，ODOC， BDAB2， ODBOOC1， 将正方形 ABCD 沿直线 DF 折叠，点 C 落在对角线 BD 上的点 E 处， DEDC，DFCE， OE1，EDF+FEDECO+OEC90 ， ODMECO， 在OEC 与OMD 中， OECOMD（ASA） ， OMOE1， 故选：D 【举一反三举一反三2-4】 （2019 吉林中考）如图，在四边形 ABCD 中，AB10，BDAD若将BCD 沿 BD 折叠，
18、点 C 与边 AB 的中点 E 恰好重合，则四边形 BCDE 的周长为 10 【答案】20 【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到 DEBEAB5，再根据折叠的性质，即可得到 四边形 BCDE 的周长为 5 420 【解答】解：BDAD，点 E 是 AB 的中点， DEBEAB5， 由折叠可得，CBBE，CDED， 四边形 BCDE 的周长为 5 420， 故答案为：20 【考点【考点 3 图形的旋转和中心对称】图形的旋转和中心对称】 【解题技巧】1.常见的中心对称图形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、正六边形、圆等 坐标系中的旋转问题： 2.关于原点对称的点的坐标的应用其基础知识为
19、：点 P(x，y)关于原点对称点的坐标为(x，y)，在具体 问题中一般根据坐标特点构建方程组来求解，常用到的关系式：点 P(a，b)，P1(m，n)关于原点对称，则有 am0， bn0. 3坐标系内的旋转作图问题与一般的旋转作图类似，其不同点在于若是作关于原点的中心对称图形，可 以根据点的坐标规律，直接在坐标系内找到对应点的坐标，描点后连线 4.旋转图形的作法： 根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的 边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形;旋转作图有自己独特的特点，决定 图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转
20、中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等 【例 3】 （2019 甘肃中考）下列四个图案中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 【答案】A 【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】解：A此图案是中心对称图形，符合题意； B此图案不是中心对称图形，不合题意； C此图案不是中心对称图形，不合题意； 11 D此图案不是中心对称图形，不合题意； 故选：A 【举一反三举一反三3-1】 （2019 河南中考）如图，在OAB 中，顶点 O（0，0） ，A（3，4） ，B（3，4） ，将OAB 与正方形 ABCD 组成的图形绕点 O 顺时针旋转， 每次旋转 90 ， 则第 7
21、0 次旋转结束时， 点 D 的坐标为 （ ） A （10，3） B （3，10） C （10，3） D （3，10） 【答案】D 【分析】先求出 AB6，再利用正方形的性质确定 D（3，10） ，由于 704 17+2，所以第 70 次旋转结束 时，相当于OAB 与正方形 ABCD 组成的图形绕点 O 顺时针旋转 2 次，每次旋转 90 ，此时旋转前后的点 D 关于原点对称，于是利用关于原点对称的点的坐标特征可出旋转后的点 D 的坐标 【解答】解：A（3，4） ，B（3，4） ， AB3+36， 四边形 ABCD 为正方形， ADAB6， D（3，10） ， 704 17+2， 每 4 次一个
22、循环， 第 70 次旋转结束时， 相当于OAB 与正方形 ABCD 组成的图形绕点 O 顺时针旋转 2 次， 每次旋转 90 ， 点 D 的坐标为（3，10） 故选：D 【举一反三举一反三3-2】 （2019 湖北黄石中考）如图，在平面直角坐标系中，边长为 2 的正方形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，AB 边的中点是坐标原点 O，将正方形绕点 C 按逆时针方向旋转 90 后，点 B 的对应点 B的坐标 是（ ） 12 A （1，2） B （1，4） C （3，2） D （1，0） 【答案】C 【分析】根据旋转可得：CBCB2，BCB90 ，可得 B的坐标 【解答】解：如图所示， 由旋转得
23、：CBCB2，BCB90 ， 四边形 ABCD 是正方形，且 O 是 AB 的中点， OB1， B（2+1，2） ，即 B（3，2） ， 故选：C 【举一反三举一反三3-3】 （2019武汉）问题背景：如图 1，将ABC 绕点 A 逆时针旋转 60 得到ADE，DE 与 BC 交于点 P，可推出结论：PA+PCPE 问题解决：如图 2，在MNG 中，MN6，M75 ，MG点 O 是MNG 内一点，则点 O 到MNG 三个顶点的距离和的最小值是 【答案】2， 【分析】 （1）在 BC 上截取 BGPD，通过三角形全等证得 AGAP，BGDP，得出AGP 是等边三角形， 得出 APGP，则 PA+
24、PCGP+PCGCPE，即可证得结论； （2）以 MG 为边作等边三角形MGD，以 OM 为边作等边OME连接 ND，可证GMODME，可得 13 GODE，则 MO+NO+GONO+OE+DE，即当 D、E、O、N 四点共线时，MO+NO+GO 值最小，最小值为 ND 的长度，根据勾股定理先求得 MF、DF，然后求 ND 的长度，即可求 MO+NO+GO 的最小值 【解答】 （1）证明：如图 1，在 BC 上截取 BGPD， 在ABG 和ADP 中 ， ABGADP（SAS） ， AGAP，BGDP， GCPE， GAPBAD60 ， AGP 是等边三角形， APGP， PA+PCGP+PC
25、GCPE PA+PCPE； （2）解：如图 2：以 MG 为边作等边三角形MGD，以 OM 为边作等边OME连接 ND，作 DFNM，交 NM 的延长线于 F MGD 和OME 是等边三角形 OEOMME，DMGOME60 ，MGMD， GMODME 在GMO 和DME 中 GMODME（SAS） ， OGDE NO+GO+MODE+OE+NO 当 D、E、O、M 四点共线时，NO+GO+MO 值最小， NMG75 ，GMD60 ， NMD135 ， DMF45 ， 14 MG MFDF4， NFMN+MF6+410， ND2， MO+NO+GO 最小值为 2， 故答案为 2， 【举一反三举一
26、反三3-4】 （2019 海南中考）如图，将 RtABC 的斜边 AB 绕点 A 顺时针旋转 （0 90 ）得到 AE，直角边 AC 绕点 A 逆时针旋转 （0 90 ）得到 AF，连结 EF若 AB3，AC2，且 +B， 则 EF 【答案】 【分析】由旋转的性质可得 AEAB3，ACAF2，由勾股定理可求 EF 的长 【解答】解：由旋转的性质可得 AEAB3，ACAF2， B+BAC90 ，且 +B， BAC+90 EAF90 15 EF 故答案为： 【举一反三举一反三3-5】 （2019 福建中考）在 RtABC 中，ABC90 ，ACB30 ，将ABC 绕点 A 顺时针旋 转一定的角度
27、得到DEC，点 A、B 的对应点分别是 D、E （1）当点 E 恰好在 AC 上时，如图 1，求ADE 的大小； （2）若 60 时，点 F 是边 AC 中点，如图 2，求证：四边形 BEDF 是平行四边形 【分析】 （1）如图 1，利用旋转的性质得 CACD，ECDBCA30 ，DECABC90 ，再根据等腰 三角形的性质和三角形内角和计算出CAD，从而利用互余和计算出ADE 的度数； （2）如图 2，利用直角三角形斜边上的中线性质得到 BFAC，利用含 30 度的直角三角形三边的关系得 到 ABAC，则 BFAB，再根据旋转的性质得到BCEACD60 ，CBCE，DEAB，从而得到 DE
28、BF，ACD 和BCE 为等边三角形，接着证明CFDABC 得到 DFBC，然后根据平行四边形的判定 方法得到结论 【解答】 （1）解：如图 1，ABC 绕点 A 顺时针旋转 得到DEC，点 E 恰好在 AC 上， CACD，ECDBCA30 ，DECABC90 ， CACD， CADCDA（180 30 ）75 ， ADE90 75 25 ； （2）证明：如图 2， 点 F 是边 AC 中点， BFAC， ACB30 ， ABAC， 16 BFAB， ABC 绕点 A 顺时针旋转 60 得到DEC， BCEACD60 ，CBCE，DEAB， DEBF，ACD 和BCE 为等边三角形， BEC
29、B， 点 F 为ACD 的边 AC 的中点， DFAC， 易证得CFDABC， DFBC， DFBE， 而 BFDE， 四边形 BEDF 是平行四边形 三、 【达标测试】 （一）选择题（一）选择题 1.（2019 福建中考）下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A等边三角形 B直角三角形 C平行四边形 D正方形 【答案】D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； B、直角三角形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，
30、故本选项错误； D、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确 故选：D 2.（2019 广东中考）下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A B C D 【答案】C 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 17 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误 故选：C 3.（2019 湖北黄石中考）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C
31、 D 【答案】D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确 故选：D 4.（2019 吉林中考）把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至 少为（ ） A30 B90 C120 D180 【答案】C 【分析】根据图形的对称性，用 360 除以 3 计算即可得解 【解答】解：360 3120 ， 旋转的角度是 120 的整
32、数倍， 旋转的角度至少是 120 故选：C 5.（2019 江苏南京中考）如图，ABC是由ABC 经过平移得到的，ABC 还可以看作是ABC 经过怎样 的图形变化得到？下列结论：1 次旋转；1 次旋转和 1 次轴对称；2 次旋转；2 次轴对称其中所 18 有正确结论的序号是（ ） A B C D 【答案】D 【分析】依据旋转变换以及轴对称变换，即可使ABC 与ABC重合 【解答】解：先将ABC 绕着 BC 的中点旋转 180 ，再将所得的三角形绕着 BC的中点旋转 180 ，即可得 到ABC； 先将ABC 沿着 BC 的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着 BC的垂直平分线翻折，即可得到ABC
33、； 故选：D 6.（2019 辽宁大连中考）下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A等腰三角形 B等边三角形 C菱形 D平行四边形 【答案】C 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】解：A、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； C、菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确； D、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误 故选：C 7.（2019 辽宁大连中考）如图，将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 C 与点 A 重合，折痕为 EF，
34、若 AB4，BC 8则 DF 的长为（ ） A2 B4 C3 D2 【答案】C 19 【分析】 由矩形的性质得出BD90 ， CDAB4， ADBC， 得出AFECEF， 由折叠的性质得： AEF CEF，AECE，DD90 ，ADCD4，AFEAEF，得出 AFAECE，设 AFAECE x，则 BE8x，在 RtABE 中，由勾股定理得出方程，解方程得出 AF5，在 RtAFD中，由勾股定理即 可得出结果 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， BD90 ，CDAB4，ADBC， AFECEF， 由折叠的性质得：AEFCEF，AECE，DD90 ，ADCD4， AFEAEF， AFAECE
35、， 设 AFAECEx，则 BE8x， 在 RtABE 中，由勾股定理得：AB2+BE2AE2， 即 42+（8x）2x2， 解得：x5， AF5， 在 RtAFD中，由勾股定理得：DF3； 故选：C 8.（2019 天津中考）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形下面 4 个汉字中，可以看作是轴对称图形 的是（ ） A B C D 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的概念求解 【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误 故选：A 9.（2019 云南中考）下列图形既是轴对称图形，又是中心
36、对称图形的是（ ） 20 A B C D 【答案】B 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、此图形旋转 180 后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此 选项错误； B、此图形旋转 180 后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确； C、此图形旋转 180 后能与原图形不重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； D、此图形旋转 180 后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误 故选：B 10. （2019 重庆中考） 如图， 在ABC 中， D 是 AC 边上的中点， 连
37、结 BD， 把BDC 沿 BD 翻折， 得到BDC， DC与 AB 交于点 E，连结 AC，若 ADAC2，BD3，则点 D 到 BC的距离为（ ） A B C D 【答案】B 【分析】连接 CC，交 BD 于点 M，过点 D 作 DHBC于点 H，由翻折知，BDCBDC，BD 垂直平分 CC，证ADC为等边三角形，利用解直角三角形求出 DM1，CMDM，BM2，在 RtBMC 中，利用勾股定理求出 BC的长，在BDC中利用面积法求出 DH 的长 【解答】解：如图，连接 CC，交 BD 于点 M，过点 D 作 DHBC于点 H， ADAC2，D 是 AC 边上的中点， DCAD2， 由翻折知，
38、BDCBDC，BD 垂直平分 CC， DCDC2，BCBC，CMCM， ADACDC2， ADC为等边三角形， 21 ADCACDCAC60 ， DCDC， DCCDCC 60 30 ， 在 RtCDM 中， DCC30 ，DC2， DM1，CMDM， BMBDDM312， 在 RtBMC中， BC， SBDCBCDHBDCM， DH3， DH， 故选：B （二）（二）填空题填空题 1.（2019 甘肃中考）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第 1 幅图中有 1 个菱形，第 2 幅图中有 3 个菱形，第 3 幅图中有 5 个菱形，如果第 n 幅图中有 2019 个菱形，则 n 【答案】10
39、10 【分析】根据题意分析可得：第 1 幅图中有 1 个，第 2 幅图中有 2 213 个，第 3 幅图中有 2 315 个，可以发现，每个图形都比前一个图形多 2 个，继而即可得出答案 【解答】解：根据题意分析可得：第 1 幅图中有 1 个 第 2 幅图中有 2 213 个 22 第 3 幅图中有 2 315 个 第 4 幅图中有 2 417 个 可以发现，每个图形都比前一个图形多 2 个 故第 n 幅图中共有（2n1）个 当图中有 2019 个菱形时， 2n12019， n1010， 故答案为：1010 2.（2019 陕西中考）如图，在正方形 ABCD 中，AB8，AC 与 BD 交于点
40、 O，N 是 AO 的中点，点 M 在 BC 边上，且 BM6P 为对角线 BD 上一点，则 PMPN 的最大值为 【答案】2 【分析】作以 BD 为对称轴作 N 的对称点 N，连接 PN，MN，依据 PMPNPMPNMN，可得当 P， M，N三点共线时，取“”，再求得，即可得出 PMABCD，CMN90 ，再根据NCM 为等腰直角三角形，即可得到 CMMN2 【解答】解：如图所示，作以 BD 为对称轴作 N 的对称点 N，连接 PN，MN， 根据轴对称性质可知，PNPN， PMPNPMPNMN， 当 P，M，N三点共线时，取“”， 正方形边长为 8， ACAB， O 为 AC 中点， AOO
41、C， N 为 OA 中点， 23 ON， ONCN， AN， BM6， CMABBM862， PMABCD，CMN90 ， NCM45 ， NCM 为等腰直角三角形， CMMN2， 即 PMPN 的最大值为 2， 故答案为：2 3.（2019 上海中考）如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 AD 的中点将ABE 沿直线 BE 翻折，点 A 落在点 F 处，联结 DF，那么EDF 的正切值是 【答案】2 【分析】 由折叠可得 AEFE， AEBFEB， 由折叠的性质以及三角形外角性质， 即可得到AEBEDF， 进而得到 tanEDFtanAEB2 【解答】解：如图所示，由折叠可得 AEFE，A
42、EBFEBAEF， 正方形 ABCD 中，E 是 AD 的中点， 24 AEDEADAB， DEFE， EDFEFD， 又AEF 是DEF 的外角， AEFEDF+EFD， EDFAEF， AEBEDF， tanEDFtanAEB2 故答案为：2 4.（2019 天津中考）如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 12，E 是边 CD 上一点，连接 AE、折叠该纸片，使 点A落在AE上的G点， 并使折痕经过点B， 得到折痕BF， 点F在AD上， 若DE5， 则GE的长为 【答案】 【分析】 由折叠及轴对称的性质可知， ABFGBF， BF 垂直平分 AG， 先证ABFDAE， 推出 AF 的长，
43、再利用勾股定理求出 BF 的长，最后在 RtADF 中利用面积法可求出 AH 的长，可进一步求出 AG 的长，GE 的长 【解答】解：四边形 ABCD 为正方形， ABAD12，BADD90 ， 由折叠及轴对称的性质可知，ABFGBF，BF 垂直平分 AG， BFAE，AHGH， FAH+AFH90 ， 25 又FAH+BAH90 ， AFHBAH， ABFDAE（AAS） ， AFDE5， 在 RtADF 中， BF13， SABFABAFBFAH， 12 513AH， AH， AG2AH， AEBF13， GEAEAG13， 故答案为： 5.（2019 浙江杭州中考）如图，把某矩形纸片 A
44、BCD 沿 EF，GH 折叠（点 E，H 在 AD 边上，点 F，G 在 BC 边上） ，使点 B 和点 C 落在 AD 边上同一点 P 处，A 点的对称点为 A点，D 点的对称点为 D点，若FPG 90 ，AEP 的面积为 4，DPH 的面积为 1，则矩形 ABCD 的面积等于 【答案】2（5+3） 【分析】设 ABCDx，由翻折可知：PAABx，PDCDx，因为AEP 的面积为 4，DPH 的面积 26 为 1，推出 AE4DH，设 DHa，则 AE4a，由AEPDPH，推出，推出， 可得 x2a，再利用三角形的面积公式求出 a 即可解决问题 【解答】解：四边形 ABC 是矩形， ABCD
45、，ADBC，设 ABCDx， 由翻折可知：PAABx，PDCDx， AEP 的面积为 4，DPH 的面积为 1， AE4DH，设 DHa，则 AE4a， AEPDPH， ， ， x24a2， x2a 或2a（舍弃） ， PAPD2a， a2a1， a1， x2， ABCD2，PE2，PH， AD4+2+15+3， 矩形 ABCD 的面积2（5+3） 故答案为 2（5+3） 6. （2019青海） 如图， 在直角坐标系中， 已知点 A （3， 2） ， 将ABO 绕点 O 逆时针方向旋转 180 后得到CDO， 则点 C 的坐标是 【答案】 （3，2） 27 【分析】根据中心对称的性质解决问题即
46、可 【解答】解：由题意 A，C 关于原点对称， A（3，2） ， C（3，2） ， 股本答案为（3，2） 7.（2019济南） 如图， 在矩形纸片 ABCD 中，将 AB 沿 BM 翻折， 使点 A 落在 BC 上的点 N 处， BM 为折痕， 连接 MN；再将 CD 沿 CE 翻折，使点 D 恰好落在 MN 上的点 F 处，CE 为折痕，连接 EF 并延长交 BM 于 点 P，若 AD8，AB5，则线段 PE 的长等于 【答案】 【分析】根据折叠可得 ABNM 是正方形，CDCF5，DCFE90 ，EDEF，可求出三角形 FNC 的 三边为 3，4，5，在 RtMEF 中，由勾股定理可以求出
47、三边的长，通过作辅助线，可证FNCPGF，三 边占比为 3：4：5，设未知数，通过 PGHN，列方程求出待定系数，进而求出 PF 的长，然后求 PE 的长 【解答】解：过点 P 作 PGFN，PHBN，垂足为 G、H， 由折叠得：ABNM 是正方形，ABBNNMMA5， CDCF5，DCFE90 ，EDEF， NCMD853， 在 RtFNC 中，FN4， MF541， 在 RtMEF 中，设 EFx，则 ME3x，由勾股定理得， 12+（3x）2x2， 解得：x， CFN+PFG90 ，PFG+FPG90 ， FNCPGF， 28 FG：PG：PFNC：FN：FC3：4：5， 设 FG3m，则 PG4m，PF5m， GNPHBH43m，HN5（43m）1+3mPG4m， 解得：m1， PF5m5， PEPF+FE5+， 故答案为： 8.（2019深圳）如图，在正方形 ABCD 中，BE1，将 BC 沿 CE 翻折，使 B 点对应点刚好落在对角线 AC 上，将 AD 沿 AF 翻折，使 D 点对应点刚好落在对角线
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