1、 1 第第 1919 讲讲 点、直线和圆的位置关系及其计算点、直线和圆的位置关系及其计算 一、考点知识梳理一、考点知识梳理 【考点【考点 1 1 切线的性质与判定】切线的性质与判定】 1.点与圆的位置关系(设 r 为圆的半径，d 为点到圆心的距离) 位置关系,数量(d 与 r) 点在圆内 dr,点在圆上 dr,点在圆外 dr，数量(d 与 r) 2.直线和圆的三种位置关系： 相离：一条直线和圆没有公共点 相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫 切点 相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线 3.判断直线和圆
2、的位置关系：设O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d 位置关系,相离,相切,相交 公共点个数,0,1,2 公共点的名称,无,切点,交点 数量关系,dr,dr,dr 4.切线的判定： 判定切线的方法有三种：利用切线的定义，即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；到圆心的距离等 于半径的直线是圆的切线；经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 5. 切线的五个性质： 切线与圆只有一个公共点； 切线到圆心的距离等于圆的半径； 切线垂直于经过切点的半径； 经过圆心垂直于切线的直线必过切点； 经过切点垂直于切线的直线必过圆心 6.切线长定理： 经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长度，叫
3、做这点到圆的切线长经圆外一点可以引圆 的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 【考点【考点 2 2 三角形内切圆】三角形内切圆】 内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做 圆的外切三角形三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点 2 二、考点分析 【考点【考点 1 1 切线的性质与判定】切线的性质与判定】 【解题技巧】1判断直线与圆相切时：(1)直线与圆的公共点已知时，连半径证垂直；(2)直线与圆的公共 点未知时，过圆心作直线的垂线证垂线段等于半径 2利用切线的性质解决问题，通常连过切点的半径
4、，构造直角三角形来解决 3.由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系简记作：见切点，连 半径，见垂直 【例 1】 （2019 浙江杭州中考）如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA3，则PB （ ） A2 B3 C4 D5 【答案】B 【分析】连接OA、OB、OP，根据切线的性质得出OAPA，OBPB，然后证得 RtAOPRtBOP，即可求得 PBPA3 【解答】解：连接OA、OB、OP， PA，PB分别切圆O于A，B两点， OAPA，OBPB， 在 RtAOP和 RtBOP中， ， RtAOPRtBOP（HL） ， PBPA3， 故选：B
5、【举一反三举一反三 1-1】 （2019 重庆中考）如图，AB是O的直径，AC是O的切线，A为切点，BC与O交于点 D，连结OD若C50，则AOD的度数为（ ） 3 A40 B50 C80 D100 【答案】C 【分析】 由切线的性质得出BAC90， 求出ABC40， 由等腰三角形的性质得出ODBABC40， 再由三角形的外角性质即可得出结果 【解答】解：AC是O的切线， ABAC， BAC90， C50， ABC40， ODOB， ODBABC40， AODODB+ABC80； 故选：C 【举一反三举一反三 1-2】 （2019 上海中考）已知A与B外切，C与A、B都内切，且AB5，AC6，
6、BC7， 那么C的半径长是（ ） A11 B10 C9 D8 【答案】C 【分析】如图，设A，B，C的半径为x，y，z构建方程组即可解决问题 【解答】解：如图，设A，B，C的半径为x，y，z 由题意：， 4 解得， 故选：C 【举一反三举一反三 1-3】 （2019 南京中考）如图，PA、PB是O的切线，A、B为切点，点C、D在O上若P 102，则A+C 【答案】219 【分析】连接AB，根据切线的性质得到PAPB，根据等腰三角形的性质得到PABPBA（180 102）39，由圆内接四边形的性质得到DAB+C180，于是得到结论 【解答】解：连接AB， PA、PB是O的切线， PAPB， P1
7、02， PABPBA（180102）39， DAB+C180， PAD+CPAB+DAB+C180+39219， 故答案为：219 【举一反三举一反三 1-4】（2019 浙江温州中考） 如图， O分别切BAC的两边AB，AC于点E，F， 点P在优弧 （） 上，若BAC66，则EPF等于 度 5 【答案】57 【分析】连接OE，OF，由切线的性质可得OEAB，OFAC，由四边形内角和定理可求EOF114，即可 求EPF的度数 【解答】解：连接OE，OF O分别切BAC的两边AB，AC于点E，F OEAB，OFAC 又BAC66 EOF114 EOF2EPF EPF57 故答案为：57 【考点【
8、考点 2 2 三角形内切圆】三角形内切圆】 【解题技巧】1.任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形 2.三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这 个内角 3.直角三角形的外接圆与内切圆半径的求法：若 a，b 是RtABC 的两条直角边，c 为斜边，则(1)直角三角 形的外接圆半径 Rc 2；(2)直角三角形的内切圆半径 r abc 2 . 【例 2】 （2019 云南中考）如图，ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB5，BC 13，CA12，则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是（ ） 6 A
9、4 B6.25 C7.5 D9 【答案】A 【分析】利用勾股定理的逆定理得到ABC为直角三角形，A90，再利用切线的性质得到OFAB，OE AC，所以四边形OFAE为正方形，设OEAEAFr，利用切线长定理得到BDBF5r，CDCE12 r，所以 5r+12r13，然后求出r后可计算出阴影部分（即四边形AEOF）的面积 【解答】解：AB5，BC13，CA12， AB 2+CA2BC2， ABC为直角三角形，A90， AB、AC与O分别相切于点E、F OFAB，OEAC， 四边形OFAE为正方形， 设OEr， 则AEAFr， ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F， BDBF5
10、r，CDCE12r， 5r+12r13， r2， 阴影部分（即四边形AEOF）的面积是 224 故选：A 【举一反三举一反三 2-1】 （2019台湾）如图，直角三角形ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点，根据图 中标示的长度与角度，求AD的长度为何？（ ） 7 A B C D 【答案】D 【分析】设ADx，利用切线长定理得到BDBE1，ABx+1，ACAD+CEx+4，然后根据勾股定理得到 （x+1） 2+52（x+4）2，最后解方程即可 【解答】解：设ADx， 直角三角形ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点， BDBE1， ABx+1，ACAD+CEx+4， 在 RtA
11、BC中， （x+1） 2+52（x+4）2，解得 x， 即AD的长度为 故选：D 【举一反三举一反三 2-2】 （2019山东济南模拟）如图，在矩形ABCD中，AB4，AD5，AD，AB，BC分别与O相 切于E，F，G三点，过点D作O的切线BC于点M，切点为N，则DM的长为（ ） A B C D2 【答案】A 【分析】连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，得到AB90，CDAB4，由于AD，AB，BC分别 与O相切于E，F，G三点得到AEOAFOOFBBGO90，推出四边形AFOE，FBGO是正方形， 得到AFBFAEBG2，由勾股定理列方程即可求出结果 【解答】解：连接OE，OF，O
12、N，OG， 在矩形ABCD中， 8 AB90，CDAB4， AD，AB，BC分别与O相切于E，F，G三点， AEOAFOOFBBGO90， 四边形AFOE，FBGO是正方形， AFBFAEBG2， DE3， DM是O的切线， DNDE3，MNMG， CM52MN3MN， 在RtDMC中，DM 2CD2+CM2， （3+NM） 2（3NM）2+42， NM， DM3， 故选：A 【举一反三举一反三 2-3】（2019青海） 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作 数书九章 中提出了 “三斜求积术” ， 三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积若改用现代数学语言表示，其形式为：设a，b， c
13、为三角形三边，S为面积，则S 这是中国古代数学的瑰宝之一 而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设p（周长的 一半） ，则S （1）尝试验证这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以 5，7，8 为三边构成的三角形，分别验证它 们的面积值； （2）问题探究经过验证，你发现公式和等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从 9 或者） ； （3）问题引申三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公 式请你证明如下这个公式：如图，ABC的内切圆半径为r，三角形三边长为a，b，c，仍记p， S为三角形面积，则Spr 【分析】 （1
14、）由公式得：S10，由得：p10，S 10； （2） 求出 2pa+b+c， 把中根号内的式子可化为：（ab+）（ab） （a+b+c） （a+bc） （c+ab） （ca+b）2p（2p2c） （2p2b） （2p2a）p（pa） （pb） （pc） ， 即可得出结论； （3）连接OA、OB、OC，SSAOB+SAOC+SBOC，由三角形面积公式即可得出结论 【解答】解： （1）由得：S10， 由得：p10， S10； （2）公式和等价；推导过程如下： p， 2pa+b+c， 中根号内的式子可化为： （ab+） （ab） （2ab+a 2+b2c2） （2aba2b2+c2） （a+b） 2
15、c2c2（ab）2 （a+b+c） （a+bc） （c+ab） （ca+b） 10 2p（2p2c） （2p2b） （2p2a） p（pa） （pb） （pc） ， ； （3）连接OA、OB、OC，如图所示： SSAOB+SAOC+SBOCrc+rb+ra（）rpr 【举一反三举一反三 2-4】 （2019 山西中考）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 莱昂哈德欧拉（LeonhardEuler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和 定理，下面就是欧拉发现的一个定理：在ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其 中外心和内心，则OI 2R22Rr 如
16、图 1，O和I分别是ABC的外接圆和内切圆，I与AB相切分于点F，设O的半径为R，I的半 径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI d，则有d 2R22Rr 下面是该定理的证明过程（部分） ： 延长AI交O于点D，过点I作O的直径MN，连接DM，AN DN，DMINAI（同弧所对的圆周角相等） MDIANI，IAIDIMIN， 如图 2，在图 1（隐去MD，AN）的基础上作O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF DE是O的直径，所以DBE90 11 I与AB相切于点F，所以AFI90， DBEIFA BADE（同弧所对的圆周角相等） ，
17、AIFEDB， IABDDEIF 任务： （1）观察发现：IMR R+d，IN （用含R，d的代数式表示） ； （2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由 （3）请观察式子和式子，并利用任务（1） ， （2）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩 余部分； （4）应用：若ABC的外接圆的半径为 5cm，内切圆的半径为 2cm，则ABC的外心与内心之间的距离为 cm 【分析】 （1）直接观察可得； （2）BDID，只要证明BIDDBI，由三角形内心性质和圆周角性质即可得证； （3）应用（1） （2）结论即可； （4）直接代入计算 【解答】解： （1）O、I、N三点共线， OI+INON
18、 INONOIR Rd 故答案为：R Rd； （2）BDID 理由如下： 如图 3，过点I作O直径MN，连接AI交O于D，连接MD，BI，BD， 点I是ABC的内心 BADCAD，CBIABI DBCCAD，BIDBAD+ABI，DBIDBC+CBI BIDDBI BDID （3）由（2）知：BDID 12 IAIDDEIF DEIFIMIN 2Rr（R R+d） （R Rd） R 2d22Rr d 2R22Rr （4）由（3）知：d 2R22Rr；将 R5，r2 代入得： d 2522525， d0 d 故答案为： 三、 【达标测试】 （一）选择题（一）选择题 1.（2019哈尔滨）如图，P
19、A、PB分别与O相切于A、B两点，点C为O上一点，连接AC、BC，若P 50，则ACB的度数为（ ） A60 B75 C70 D65 【答案】D 【分析】先利用切线的性质得OAPOBP90，再利用四边形的内角和计算出AOB的度数，然后根据 圆周角定理计算ACB的度数 【解答】解：连接OA、OB， PA、PB分别与O相切于A、B两点， 13 OAPA，OBPB， OAPOBP90， AOB180P18050130， ACBAOB13065 故选：D 2.（2019广州）平面内，O的半径为 1，点P到O的距离为 2，过点P可作O的切线条数为（ ） A0 条 B1 条 C2 条 D无数条 【答案】C
20、 【分析】先确定点与圆的位置关系，再根据切线的定义即可直接得出答案 【解答】解：O的半径为 1，点P到圆心O的距离为 2， dr， 点P与O的位置关系是：P在O外， 过圆外一点可以作圆的 2 条切线， 故选：C 3.（2019 河北唐山中考模拟）如图，直线yx+1 与x轴、y轴分别相交于A、B两点，P是该直线上的 任一点，过点D（3，0）向以P为圆心，AB为半径的P作两条切线，切点分别为E、F，则四边形PEDF 面积的最小值为（ ） A B C2 D 【答案】A 14 【分析】连接DP，根据直线yx+1 与x轴、y轴分别相交于A、B两点，求得AB的长，即可得出P的 半径，证PEDPFD，可得四
21、边形PEDF面积2SPED2PEDE，当DPAP时，四边形PEDF面积的 最小，利用锐角三角函数求出DP的长，即可得出四边形PEDF面积的最小值 【解答】解：如图，连接DP， 直线yx+1 与x轴、y轴分别相交于A、B两点， 当x0 时，y1，当y0 时，x2， A（2，0） ，B（0，1） ， AB， 过点D（3，0）向以P为圆心，AB为半径的P作两条切线，切点分别为E、F， DEDF，PEDE， PEPF，PDPD， PEDPFD（SSS） ， P的半径为， DE， 当DPAP时，DP最小，此时DPADsinBAO5， 四边形PEDF面积2SPED2PEDEDE， 四边形PEDF面积的最小
22、值为 故选：A 4.（2019 天津北辰区中考模拟）如图，AB、AC为O的切线，B、C是切点，延长OB到D，使BDOB，连 接AD，如果DAC78，那么ADO等于（ ） 15 A70 B64 C62 D51 【答案】B 【分析】连接OC证明CAOOABBAD，从而进一步求解 【解答】解：连接OC 则OCOB，ACAB，OAOA，AOCAOB CAOBAO AB是O的切线， OBAB BDOB， AB是线段OD的垂直平分线，OAAD OABDABOAC7826 ADO180ABDDAB180902664 故选：B 5.（2019 山东威海中考模拟）如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB2
23、，AD10，C是弧 BD上的一个动点， 连接AC， 过D点作DHAC于H， 连接BH， 在点C移动的过程中，BH的最小值是 （ ） A5 B6 C7 D8 16 【答案】D 【分析】如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM由题意点H在以M为圆心，MD为半径的M上，推出当 M、H、B共线时，BH的值最小； 【解答】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM DHAC， AHD90， 点H在以M为圆心，MD为半径的M上， 当M、H、B共线时，BH的值最小， AB是直径， ADB90， BD12， BM13， BH的最小值为BMMH1358 故选：D 6. （2019 辽宁葫芦岛中考模拟） 设
24、正三角形1的面积为S1， 作1的内切圆， 再作内切圆的内接正三角形， 设为2，面积为S2，如此下去作一系列的正三角形3，4，其面积相应为S3，S4，设S11， TnS1+S2+Sn，则当n充分大时，Tn的值最接近以下哪个值？（ ） A B C D2 【答案】C 【分析】由题意Tn1+（） n1，两边乘 4 得到：4T n4+1+（） n2，得到：3T n 4（） n1，由此即可判断 【解答】解：由题意：S11，S2，S3（） 2，S n（） n1， Tn1+（） n1 两边乘 4 得到：4Tn4+1+（） n2， 17 得到：3Tn4（） n1， 当n充分大时， （） n1接近 0， Tn的值
25、接近， 故选：C 7.（2019 河南郑州中考模拟）如图，A、B、C、D、E是O上的 5 等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA，得 到一个五角星图形和五边形MNFGH 有下列 3 个结论： AOBE， CGDCOD+CAD， BMMNNE 其 中正确的结论是（ ） A B C D 【答案】A 【分析】 根据圆的性质得到AOBE， 故正确； 由A、B、C、D、E是O上的 5 等分点， 得到的度数 72求得COD72根据圆周角定理得到CAD36；连接CD求得CGD108，于是得到CGD COD+CAD，故正确；连接AB，AE，根据全等三角形的性质即可得到结论 【解答】解：A、B、C、D、E是O
26、上的 5 等分点， ， AOBE，故正确； A、B、C、D、E是O上的 5 等分点， 的度数72 COD72 COD2CAD CAD36； 连接CD 18 A、B、C、D、E是O上的 5 等分点， ， BDCDCECAD36， CGD108， CGDCOD+CAD，故正确； 连接AB，AE， 则BAMABMEANAEN36， ABAE， ABMAEN（ASA） ， BMENAMAN， MAN36， AMMN，错误 故选：A 8.（2019 河北沧州中考模拟）如图以正五边形ABCDE的顶点A为圆心，AE为半径作圆弧交BA的延长线于 点A，再以点B为圆心，BA为半径作圆弧交CB的延长线于B，依次进
27、行得到螺旋线，再顺次连结EA， AB，BC，CD，DE，得到 5 块阴影区域，若记它们的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，且满足S5S21， 则S4S3的值为（ ） A B C D 【答案】D 【分析】设五边形的边长为a求出各个阴影部分的面积，根据S5S21，寻找关系式，即可解决问题 19 【解答】解：设五边形的边长为a则S1a 2sin72， S2a2asin72， S3a3asin72， S4a4asin72， S5a5asin72， S5S21， 5a 2 a 2 a 2sin721， a 2 a 2sin721， S4S3a 2 a 2 a 2sin72 a 2 a 2sin72
28、 ， 故选：D （二）（二）填空题填空题 1.（2019 山东淄博中考模拟）如图，已知A（6，0） ，B（4，3）为平面直角坐标系内两点，以点B圆心的 B经过原点O，BCx轴于点C，点D为B上一动点，E为AD的中点，则线段CE长度的最大值 为 【答案】 【分析】如图，作点A关于点C的对称点A，连接BA，BD，DA因为ACCA，DEEA，所以EC DA，求出DA的最大值即可解决问题 【解答】解：如图，作点A关于点C的对称点A，连接BA，BD，DA 20 由题意ACCA2，BC3，BDOB5， BA， ACCA，DEEA， ECDA， DABD+BA， DA5+， DA的最大值为 5+， EC的最
29、大值为， 故答案为 2.（2019 河北衡水中考模拟）点I为ABC的内心，连AI交ABC的外接圆于点D，若AI2CD，点E为 弦AC的中点，连接EI，IC，若IC6，ID5，则IE的长为 【答案】4 【分析】延长ID到M，使得DMID，连接CM想办法求出CM，证明IE是ACM的中位线即可解决问题； 【解答】解：延长ID到M，使得DMID，连接CM 21 I是ABC的内心， IACIAB，ICAICB， DICIAC+ICA，DCIBCD+ICB，BCDIAB， DICDCI， DIDCDM， ICM90， CM8， AI2CD10， AIIM，AEEC， IECM4， 故答案为 4 3.（20
30、19 湖北黄石中考模拟）如图，矩形ABCD中，AB4，AD8，点E，F分别在边AD，BC上，且点B， F关于过点E的直线对称，如果EF与以CD为直径的圆恰好相切，那么AE 【答案】6 【分析】设O与EF相切于M，连接EB，作EHBC于H由题意易知四边形AEHB是矩形，设AEBHx， 由切线长定理可知，EDEM，FCFM，由B、F关于EH对称，推出HFBHx，EDEM8x，FCFM8 2x，EF163x，在 RtEFH中，根据EF 2EH2+HF2，列出方程即可解决问题 【解答】解：如图，设O与EF相切于M，连接EB，作EHBC于H 22 由题意易知四边形AEHB是矩形，设AEBHx， 由切线长
31、定理可知，EDEM，FCFM， B、F关于EH对称， HFBHx，EDEM8x，FCFM82x，EF163x， 在 RtEFH中，EF 2EH2+HF2， 4 2+x2（163x）2， 解得x6或 6+（舍弃） ， AE6， 故答案为：6 4.（2019 上海黄浦区中考模拟）如图，ABCDE是正五边形，已知AG1，则FG+JH+CD 【答案】+1 【分析】根据对称性可知：GJBH，GBJH，推出四边形JHBG是平行四边形，推出JHBG，同理可证：四 边形CDFB是平行四边形，推出CDFB，推出FG+JH+CDFG+BG+FB2BF，设FGx，由AFGBFA，推 出AF 2FGFB，由此构建方程
32、求出 x即可解决问题； 【解答】解：根据对称性可知：GJBH，GBJH， 四边形JHBG是平行四边形， JHBG， 同理可证：四边形CDFB是平行四边形， CDFB， FG+JH+CDFG+BG+FB2BF， 23 设FGx， AFGAFB，FAGABF36， AFGBFA， AF 2FGFB， AFAGBG1， x（x+1）1， x（负根已经舍弃） ， BF+1， FG+JH+CD+1 故答案为+1 5.（2019 天津南开区中考模拟）如图，已知AB为O的直径，直线l与O相切于点D，ACl于C，AC交 O于点E，DFAB于F若AE3，CD2，则O的直径为 【答案】5 【分析】利用切线的性质，
33、易得ODAC，继而证明AD是BAC的角平分线，根据角平分线的性质定理可证 得：CDDF，AFAC，进而证得BDFEDC，则BFCE；根据ACAF，BFCE即可求解 【解答】解：连接DE，BD DC是圆的切线 EDCDAC，OD直线l， AC直线l ODAC， ADODAC， OAOD， OADADO， OADDAC， 24 DFCD2，ADFADC， AFAC， DCEACD， CDECAD， CD：CACE：CD， CD 2CECA，即 4CE（CE+3） ， 解得：CE1， DFAB，ACl于C， BFDDCE90， 在BDF和EDC中， ， BDFEDC（AAS） ， FBCE1， AB
34、BF+AFBF+AC1+AE+CE1+3+15 方法二：连接BE交OD于H，解直角三角形OEH即可解决问题； 故答案为：5 6.（2019 河北廊坊中考模拟）如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径 1，直线l的解析式为y x+t若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是 【答案】t或1t1 【分析】若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切于点C或从直线过点A开始到直线 25 过点B结束（不包括直线过点A） 当直线和半圆相切于点C时， 根据直线的解析式知直线与x轴所形成的锐角是 45， 从而求得DOC45， 即可求出点C的坐标，进一步求得t的值；当直线过点B时，直接根据待定系
35、数法求得t的值 【解答】解：若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切于点C或从直线过点A开始到 直线过点B结束（不包括直线过点A） 直线yx+t与x轴所形成的锐角是 45 当直线和半圆相切于点C时，则OC垂直于直线，COD45 又OC1，则CDOD，即点C（，） ， 把点C的坐标代入直线解析式，得 tyx， 当直线过点A时，把点A（1，0）代入直线解析式，得tyx1 当直线过点B时，把点B（1，0）代入直线解析式，得tyx1 即当t或1t1 时，直线和圆只有一个公共点； 故答案为t或1t1 7.（2019 四川成都中考模拟）如图，在ABC中，C90，AC8，AB10，点P在AC上
36、，AP2，若 O的圆心在线段BP上，且O与AB、AC都相切，则O的半径是 【答案】1 【分析】设O和AC，AB分别相切于点D、E，连接OD、OE设圆的半径是x根据切线长定理和勾股定理 求解 【解答】解：设O和AC，AB分别相切于点D、E，连接OD、OE 26 设圆的半径是x在直角三角形ABC中，根据勾股定理得BC6 又PC826，则BCPC， 所以BPC45， PDODx，ADx+2， 根据切线长定理得AEx+2，BE10（2+x）8x，OBBPOP6x； 在直角三角形OBE中，根据勾股定理得： （6x） 2x2+（8x）2， x1，即O的半径是 1 故答案为O的半径是 1 8.（2019 山
37、东济南中考模拟）图 1 为一锐角是 30的直角三角尺，其边框为透明塑料制成（内、外直角三 角形对应边互相平行且三处所示宽度相等） 将三角尺移向直径为 4cm的O，它的内 RtABC的斜边AB恰 好等于O的直径，它的外 RtABC的直角边AC恰好与O相切（如图 2） 则边BC的 长 【答案】 （3+）cm 【分析】过O作ODAC于D，交AC于E，由AC与AC，根据与平行线中的一条直线垂直，与另一 条也垂直，得到OD与AC垂直，可得DE为三角尺的宽，由AC与圆O相切，根据切线的性质得到OD为 圆的半径，根据直径AB的长，求出半径OA，OB及OD的长，在直角三角形AOE中，根据A30，利用 直角三角
38、形中，30角所对的直角边等于斜边的一半可得出OE等于OA的一半，由OA的长求出OE的长， 再由ODOE求出DE的长，即三角尺的宽为 1，设直线AC交AB于M，交BC于N，过A点作AHA 27 B于H，则有AMH30，AH1，得到AM2AH2，可计算出MN，在 RtMBN中利用含 30的直角 三角形三边的关系得到BN长，即可得出答案 【解答】解：过O作ODAC于D，交AC于E， ACAC， ACOD， AC与O相切，AB为圆O的直径，且AB4cm， ODOAOBAB4cm2cm， 在 RtAOE中，A30， OEOA2cm1cm， DEODOE2cm1cm1cm， 则三角尺的宽为 1cm， 在
39、RtACB中，AB4cm，BAC30， BCAB2cm，ACBC2cm， 设直线AC交AB于M，交BC于N，过A点作AHAB于H， 则有AMH30，AH1cm，得到AM2AH2cm， MNAM+AC+CN（3+2）cm， 在 RtMBN中，BMN30， BNMNtan30（3+2）（+2）cm， 则BCBN N+NC（3+）cm， 故答案为： （3+）cm （三）（三）解答题解答题 1.（2019 甘肃中考）如图，在 RtABC中，C90，以BC为直径的O交AB于点D，切线DE交AC于 28 点E （1）求证：AADE； （2）若AD8，DE5，求BC的长 【分析】 （1）只要证明A+B90，
40、ADE+B90即可解决问题； （2） 首先证明AC2DE10，在 RtADC中，DC6， 设BDx， 在 RtBDC中，BC 2x2+62， 在 RtABC 中， BC 2（x+8）2102，可得 x 2+62（x+8）2102，解方程即可解决问题 【解答】 （1）证明：连接OD， DE是切线， ODE90， ADE+BDO90， ACB90， A+B90， ODOB， BBDO， ADEA （2）解：连接CD ADEA， AEDE， BC是O的直径，ACB90， EC是O的切线， EDEC， AEEC， DE5， AC2DE10， 在 RtADC中，DC6， 29 设BDx，在 RtBDC中
41、，BC 2x2+62，在 RtABC 中，BC 2（x+8）2102， x 2+62（x+8）2102， 解得x， BC 2.（2019 广东中考）如图 1，在ABC中，ABAC，O是ABC的外接圆，过点C作BCDACB交O 于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CFAC，连接AF （1）求证：EDEC； （2）求证：AF是O的切线； （3）如图 2，若点G是ACD的内心，BCBE25，求BG的长 【分析】 （1）由ABAC知ABCACB，结合ACBBCD，ABCADC得BCDADC，从而得证； （2）连接OA，由CAFCFA知ACDCAF+CFA2CAF，结合ACBBCD得ACD2
42、ACB， CAFACB，据此可知AFBC，从而得OAAF，从而得证； （3）证ABECBA得AB 2BCBE，据此知 AB5，连接AG，得BAGBAD+DAG，BGAGAC+ ACB，由点G为内心知DAGGAC，结合BAD+DAGGDC+ACB得BAGBGA，从而得出BGAB 5 【解答】解： （1）ABAC， ABCACB， 又ACBBCD，ABCADC， BCDADC， 30 EDEC； （2）如图 1，连接OA， ABAC， ， OABC， CACF， CAFCFA， ACDCAF+CFA2CAF， ACBBCD， ACD2ACB， CAFACB， AFBC， OAAF， AF为O的切线
43、； （3）ABECBA，BADBCDACB， ABECBA， ， AB 2BCBE， BCBE25， AB5， 如图 2，连接AG， 31 BAGBAD+DAG，BGAGAC+ACB， 点G为内心， DAGGAC， 又BAD+DAGGDC+ACB， BAGBGA， BGAB5 3.（2019 江徐州苏中考）如图，AB为O的直径，C为O上一点，D为的中点过点D作直线AC的垂 线，垂足为E，连接OD （1）求证：ADOB； （2）DE与O有怎样的位置关系？请说明理由 【分析】 （1）连接OC，由D为的中点，得到，根据圆周角定理即可得到结论； （2）根据平行线的判定定理得到AEOD，根据平行线性质得
44、到ODDE，于是得到结论 【解答】 （1）证明：连接OC， D为的中点， ， BODBOC， BACBOC， 32 ADOB； （2）解：DE与O相切， 理由：ADOB， AEOD， DEAE， ODDE， DE与O相切 4.（2019 辽宁大连中考）如图 1，四边形ABCD内接于O，AC是O的直径，过点A的切线与CD的延长线 相交于点P且APCBCP （1）求证：BAC2ACD； （2）过图 1 中的点D作DEAC，垂足为E（如图 2） ，当BC6，AE2 时，求O的半径 【分析】（1） 作DFBC于F， 连接DB， 根据切线的性质得到PAC90， 根据圆周角定理得到ADC90， 得到DBC
45、DCB，得到DBDC，根据线段垂直平分线的性质、圆周角定理证明即可； （2）根据垂径定理求出FC，证明DECCFD，根据全等三角形的性质得到DEFC3，根据射影定理计 算即可 【解答】 （1）证明：作DFBC于F，连接DB， AP是O的切线， PAC90，即P+ACP90， AC是O的直径， 33 ADC90，即PCA+DAC90， PDACDBC， APCBCP， DBCDCB， DBDC， DFBC， DF是BC的垂直平分线， DF经过点O， ODOC， ODCOCD， BDC2ODC， BACBDC2ODC2OCD； （2）解：DF经过点O，DFBC， FCBC3， 在DEC和CFD中，
46、 ， DECCFD（AAS） DEFC3， ADC90，DEAC， DE 2AEEC， 则EC， AC2+， O的半径为 34 5.（2019 天津中考）已知PA，PB分别与O相切于点A，B，APB80，C为O上一点 （）如图，求ACB的大小； （）如图，AE为O的直径，AE与BC相交于点D若ABAD，求EAC的大小 【分析】 （） 连接OA、OB， 根据切线的性质得到OAPOBP90， 根据四边形内角和等于 360计算； （）连接CE，根据圆周角定理得到ACE90，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算即可 【解答】解： （）连接OA、OB， PA，PB是O的切线， OAPOBP90，
47、AOB360909080100， 由圆周角定理得，ACBAOB50； （）连接CE， AE为O的直径， ACE90， 35 ACB50， BCE905040， BAEBCE40， ABAD， ABDADB70， EACADBACB20 6.（2019 云南中考）如图，AB是O的直径，M、D两点在AB的延长线上，E是C上的点， 且DE 2DBDA， 延长AE至F，使得AEEF，设BF10，cosBED （1）求证：DEBDAE； （2）求DA，DE的长； （3）若点F在B、E、M三点确定的圆上，求MD的长 【分析】 （1）DD，DE 2DBDA，即可求解； （2）由，即：，即可求解； 36 （3）在BED中，过点B作HBED于点H，36（
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