1、 1 专题专题 32 尺规作图问题尺规作图问题 1.尺规作图的定义：只用不带刻度的直尺和圆规通过有限次操作，完成画图的一种作图方法尺规作图可以 要求写作图步骤，也可以要求不一定要写作图步骤，但必须保留作图痕迹。 2.尺规作图的五种基本情况： （1）作一条线段等于已知线段； （2）作一个角等于已知角； （3）作已知线段的垂直平分线； （4）作已知角的角平分线； （5）过一点作已知直线的垂线。 3.对尺规作图题解法： 写出已知，求作，作法（不要求写出证明过程）并能给出合情推理。 4.中考要求： （1）能完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂 直平分线
2、. （2）能利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三 角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形. （3）能过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆. （4）了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明）. 【例题【例题 1】（】（2019湖南长沙）湖南长沙）如图，RtABC 中，C90 ，B30 ，分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 AB 的长为半径作弧， 两弧相交于 M、 N 两点， 作直线 MN， 交 BC 于点 D， 连接 AD， 则CAD 的度数是 （ ） 专题知识回顾专题知识回顾 专题典型题考法及解析专题典型题考法及
3、解析 2 A20 B30 C45 D60 【答案】B 【解析】根据内角和定理求得BAC60 ，由中垂线性质知 DADB，即DABB30 ，从而得出答 案 在ABC 中，B30 ，C90 ， BAC180 BC60 ， 由作图可知 MN 为 AB 的中垂线， DADB， DABB30 ， CADBACDAB30 。 【例题【例题 2】（】（2019 山东枣庄）山东枣庄）如图，BD 是菱形 ABCD 的对角线，CBD75 ， （1）请用尺规作图法，作 AB 的垂直平分线 EF，垂足为 E，交 AD 于 F； （不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，连接 BF，求DBF 的度数 【答案
4、】见解析。 【解析】（1）分别以 A.B 为圆心，大于AB 长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可。 如图所示，直线 EF 即为所求； （2）根据DBFABDABF 计算即可。 3 四边形 ABCD 是菱形， ABDDBCABC75 ，DCAB，AC ABC150 ，ABC+C180 ， CA30 ， EF 垂直平分线段 AB， AFFB， AFBA30 ， DBFABDFBE45 【例题【例题 3】(2019 年贵州安顺模拟题年贵州安顺模拟题)用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出AOB=AOB 的 依据是（ ） A（SAS） B （SSS） C （ASA） D （AAS） 【答案】B
5、【解析】我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运 用 SSS，答案可得 作图的步骤： 以 O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 OA、OB 于点 C、D； 任意作一点 O，作射线 OA，以 O为圆心，OC 长为半径画弧，交 OA于点 C； 以 C为圆心，CD 长为半径画弧，交前弧于点 D； 过点 D作射线 OB 所以AOB就是与AOB 相等的角； 作图完毕 在OCD 与OCD， ， OCDOCD（SSS）， 4 AOB=AOB， 显然运用的判定方法是 SSS 【例题【例题 4】（】（2019山东青岛）山东青岛）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作
6、图痕迹 已知：，直线 l 及 l 上两点 A，B 求作：RtABC，使点 C 在直线 l 的上方，且ABC90 ，BAC 【答案】见解析。 【解析】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何 图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质 把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作 先作DAB，再过 B 点作 BEAB，则 AD 与 BE 的交点为 C 点 如图，ABC 为所作 一、选择题一、选择题 1.（2019广西北部湾广西北部湾）如图, 在ABC 中，AC=BC, A=400 ，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG
7、 的度 数为（ ） A 400 B 450 C500 D600 【答案】C 【解析】利用等腰三角形的性质和基本作图得到 CGAB，则 CG 平分ACB，利用A=B 和三角形内角 专题典型训练题 专题典型训练题 5 和计算出ACB，从而得到BCG 的度数 本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知 线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）也考查了等腰三角形的性质 由作法得 CGAB， AB=AC， CG 平分ACB，A=B， ACB=180 -40 -40 =100 ， BCG=ACB=50 2. （2019 贵州贵阳）贵
8、州贵阳） 如图， 在ABC 中， ABAC， 以点 C 为圆心， CB 长为半径画弧， 交 AB 于点 B 和点 D， 再分别以点 B，D 为圆心，大于BD 长为半径画弧，两弧相交于点 M，作射线 CM 交 AB 于点 E若 AE 2，BE1，则 EC 的长度是（ ） A2 B3 C D 【答案】D 【解析】利用基本作图得到 CEAB，再根据等腰三角形的性质得到 AC3，然后利用勾股定理计算 CE 的 长 由作法得 CEAB，则AEC90 ， ACABBE+AE2+13， 在 RtACE 中，CE 3.（2019河北省）河北省）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ） 6 A
9、B C D 【答案】C 【解析】三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到 C 选项作了两边的垂直平分线，从而可 用直尺成功找到三角形外心 4（2019山东潍坊）山东潍坊）如图，已知AOB按照以下步骤作图： 以点 O 为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交AOB 的两边于 C，D 两点，连接 CD 分别以点 C，D 为圆心，以大于线段 OC 的长为半径作弧，两弧在AOB 内交于点 E，连接 CE，DE 连接 OE 交 CD 于点 M 下列结论中错误的是（ ） ACEODEO BCMMD COCDECD DS四边形OCEDCDOE 【答案】C 【解析】利用基本作图得出角平分线的作图，进而解
10、答即可 由作图步骤可得：OE 是AOB 的角平分线， CEODEO，CMMD，S四边形OCEDCDOE， 但不能得出OCDECD 5(2019湖北宜昌湖北宜昌)通过如下尺规作图，能确定点 D 是 BC 边中点的是( ) A B C D 【答案】A 7 【解析】作线段 BC 的垂直平分线可得线段 BC 的中点 作线段 BC 的垂直平分线可得线段 BC 的中点由此可知，选项 A 符合条件，故选 A 6.（经典题）（经典题）作一条线段等于已知线段。 已知：如图，线段 a . 求作：线段 AB，使 AB = a . 【答案】见解析。 【解析】作法： 作射线 AP； 在射线 AP 上截取 AB=a .
11、则线段 AB 就是所求作的图形。 7.（经典题）（经典题）已知三边作三角形。 已知：如图，线段 a，b，c. 求作：ABC，使 AB = c，AC = b，BC = a. 【答案】见解析。 【解析】作法： 作线段 AB = c； 以 A 为圆心 b 为半径作弧，以 B 为圆心 a 为半径作弧与前弧相交于 C； 连接 AC，BC。 则ABC 就是所求作的三角形。 8 8.（经典题）（经典题）已知两边及夹角作三角形。 已知：如图，线段 m，n, . 求作：ABC，使A=，AB=m，AC=n. 【答案】见解析。 【解析】作法： 作A=； 在 AB 上截取 AB=m ,AC=n； 连接 BC。 则AB
12、C 就是所求作的三角形。 9.（经典题）（经典题）做已知线段的中点 已知：如图，线段 MN. 求作：点 O，使 MO=NO（即 O 是 MN 的中点）. 【答案】见解析。 【解析】作法： 分别以 M、N 为圆心，大于 1/2MN 的相同 线段为半径画弧，两弧相交于 P，Q； 连接 PQ 交 MN 于 O 则点 O 就是所求作的的中点。 9 10.（经典题）（经典题）作已知角的角平分线。 已知：如图，AOB， 求作：射线 OP, 使AOPBOP（即 OP 平分AOB）。 【答案】见解析。 【解析】作法： 以 O 为圆心，任意长度为半径画弧， 分别交 OA，OB 于 M，N； 分别以 M、为圆心，
13、大于 1/2MN 的相同线段为半径画弧，两弧交AOB 内于； 作射线 OP。则射线 OP 就是AOB 的角平分线。 11.（经典题）（经典题）已知两角及夹边作三角形。 已知：如图，线段 m . 求作：ABC，使A=，B=,AB=m. 【答案】见解析。 10 【解析】作法： 作线段 AB=m； 在 AB 的同旁作A=，作B=， A 与B 的另一边相交于 C。 则ABC 就是所求作的图形（三角形）。 12.（2019河北模拟题）河北模拟题）如图，已知ABC（ACBC），用尺规在 BC 上确定一点 P，使 PA+PC=BC，则符 合要求的作图痕迹是（ ） A B C D 【答案】D 【解析】要使 P
14、A+PC=BC，必有 PA=PB，所以选项中只有作 AB 的中垂线才能满足这个条件，故 D 正确 D 选项中作的是 AB 的中垂线， 11 PA=PB， PB+PC=BC， PA+PC=BC 13.（2019丽水模拟题）丽水模拟题）如图，小红在作线段 AB 的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点 A，B 为圆心， 大于线段 AB 长度一半的长为半径画弧，相交于点 C，D，则直线 CD 即为所求连结 AC，BC，AD，BD， 根据她的作图方法可知，四边形 ADBC 一定是（ ） A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形 【答案】B 【解析】根据垂直平分线的画法得出四边形 ADBC 四边的关系
15、进而得出四边形一定是菱形。 分别以 A 和 B 为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，两弧相交于 C、D， AC=AD=BD=BC， 四边形 ADBC 一定是菱形。 14.(2019湖南益阳湖南益阳)已知 M、N 是线段 AB 上的两点，AMMN2，NB1，以点 A 为圆心，AN 长为半径画 弧；再以点 B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点 C，连接 AC，BC，则ABC 一定是( ) A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 【答案】B 【解析】依据作图即可得到 ACAN4，BCBM3，AB2+2+15，进而得到 AC2+BC2AB2，即可得 出ABC 是直角三角形 如图所
16、示，ACAN4，BCBM3，AB2+2+15， AC2+BC2AB2， ABC 是直角三角形，且ACB90 ，故选 B 12 二、填空题二、填空题 15（2019 武汉）武汉）如图，BD 是矩形 ABCD 的对角线，在 BA 和 BD 上分别截取 BE，BF，使 BEBF；分别 以 E，F 为圆心，以大于EF 的长为半径作弧，两弧在ABD 内交于点 G，作射线 BG 交 AD 于点 P，若 AP3，则点 P 到 BD 的距离为 【答案】3 【解析】结合作图的过程知：BP 平分ABD， A90 ，AP3， 点 P 到 BD 的距离等于 AP 的长，为 3。 16（2019 济南）济南）如图，在
17、RtABC 中，C90 ，以顶点 B 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交 AB， BC 于点 M，N，再分别以点 M，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 BP 交 AC 于点 D若A30 ，则 13 【答案】 【解析】由作法得 BD 平分ABC， C90 ，A30 ， ABC60 ， ABDCBD30 ， DADB， 在 RtBCD 中，BD2CD， AD2CD， 1/2 17. ( 2019 甘肃省兰州市甘肃省兰州市) 如图， 矩形 ABCD， BAC600. 以点 A 为圆心，以任意长为半径作弧分别交 AB.AC 于点 M、N 两点，再分别以点 M、N 为圆心，以
18、大于 2 1 MN 的长为半径作弧交于点 P ，作射线 AP 交 BC 于点 E，若 BE1，则矩形 ABCD 的面积等于_. 【答案】3 3 【解析】 由题可知 AP 是BAC 的角平分线 BAC600 BAEEAC300 AE2 BE2. AB3 AEB600 又AEBEAC+ECA EACECA300 14 AEEC2 BC3 S矩形ABCD33 18. (2019 四川成都）四川成都）如图，ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，按以下步骤作图：以点 A 为圆心， 以任意长为半径作弧， 分别交 AO， AB 于点 M， N； 以点 O 为圆心， 以 AM 长为半径作弧， 交
19、OC 于点 M ； 以点 M 为圆心，以 MN 长为半径作弧，在COB 内部交前面的弧于点 N ；过点 N 作射线N O 交 BC 于点 E，若 AB=8，则线段 OE 的长为 . 【答案】4 【解析】此题考察的是通过尺规作图构造全等三角形的原理及两直线平行的判定，连接MN和NM，因为 MOAM，NOAN，NMMN，所以)(SSSNMOAMN，所以，NOMMAN， 所以ABOE，又因为O是AC中点，所以OE是ABC的中位线，所以ABOE 2 1 ，所以4OE. 三、填空题三、填空题 19 （ （2019六盘水模拟题六盘水模拟题） 如图， 在ABC 中， 利用尺规作图， 画出ABC 的外接圆或内
20、切圆 （任选一个 不 写作法，必须保留作图痕迹） 【答案】见解析。 15 【解析】分别利用三角形外心的确定方法以及内心的确定方法得出圆心位置，进而得出即可。 如图所示： 20.（2019 石景山二模）石景山二模）下面是小华设计的“作一个角等于已知角的 2 倍”的尺规作图过程 已知：AOB 求作：APC，使得APC=2AOB 作法：如图， 在射线 OB 上任取一点 C； 作线段 OC 的垂直平分线， 交 OA 于点 P，交 OB 于点 D； 连接 PC； 所以APC 即为所求作的角 根据小华设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明（说明：括号里填
21、写推理的依据） 证明：DP 是线段 OC 的垂直平分线， OP= （ ） O=PCO APC=O+PCO（ ） 16 APC =2AOB 【答案】见解析。 【解析】（1）补全的图形如图所示： （2）PC；线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等； 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 21.（2019湖北省仙桃市）湖北省仙桃市）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹 （1）如图，四边形 ABCD 中，ABAD，BD，画出四边形 ABCD 的对称轴 m； （2）如图，四边形 ABCD 中，ADBC，AD，画出 BC 边的垂直平分线 n 【答案】见解析。 【解析】本题考
22、查了轴对称作图，根据全等关系可以确定点与点的对称关系，从而确定对称轴所在，即 可画出直线 （1）连接 AC，AC 所在直线即为对称轴 m 如图，直线 m 即为所求 （2）（2）延长 BA，CD 交于一点，连接 AC，BC 交于一点，连接两点获得垂直平分线 n 如图，直线 n 即为所求 17 22.（2019四川省达州市）四川省达州市）如图，在 RtABC 中，ACB90 ，AC2，BC3 （1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹 作ACB 的平分线，交斜边 AB 于点 D； 过点 D 作 BC 的垂线，垂足为点 E （2）在（1）作出的图形中，求 DE 的长 【答案】见解析。 【解析】（1）利用
23、基本作图，先画出 CD 平分ACB，然后作 DEBC 于 E。 如图，DE 为所作； （2） 利用 CD 平分ACB 得到BCD45 ， 再判断CDE 为等腰直角三角形， 所以 DECE， 然后证明BDE BAC，从而利用相似比计算出 DE CD 平分ACB， BCDACB45 ， DEBC， CDE 为等腰直角三角形，DECE， DEAC，BDEBAC， ，即， DE 23.（2019广东）广东）如图，在ABC 中，点 D 是 AB 边上的一点 （1）请用尺规作图法，在ABC 内，求作ADE使ADE=B，DE 交 AC 于 E；（不要 求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若 D
24、B AD =2，求 EC AE 的值 18 【答案】见解析。 【解析】（1）如图所示，ADE 为所求. （2）ADE=B DEBC EC AE = DB AD DB AD =2 EC AE =2 24.（2019广西贵港）广西贵港）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）： 如图，已知ABC，请根据“SAS”基本事实作出DEF，使DEFABC 【答案】见解析。 【解析】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何 图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质 把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了全等三角
25、形的判定 先作一个DA，然后在D 的两边分别截取 EDBA，DFAC，连接 EF 即可得到DEF。如图， 19 DEF 即为所求 25.（2019湖北孝感湖北孝感）如图，RtABC 中，ACB90 ，一同学利用直尺和圆规完成如下操作： 以点 C 为圆心，以 CB 为半径画弧，交 AB 于点 G；分别以点 G、B 为圆心，以大于GB 的长为半径画 弧，两弧交点 K，作射线 CK； 以点 B 为圆心， 以适当的长为半径画弧， 交 BC 于点 M， 交 AB 的延长线于点 N； 分别以点 M、 N 为圆心， 以大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，作直线 BP 交 AC 的延长线于点 D，交射线
26、 CK 于点 E 请你观察图形，根据操作结果解答下列问题； （1）线段 CD 与 CE 的大小关系是 ； （2）过点 D 作 DFAB 交 AB 的延长线于点 F，若 AC12，BC5，求 tanDBF 的值 【答案】见解析。 【解析】（1）由作图知 CEAB，BD 平分CBF，据此得123，结合CEB+32+CDE 90 知CEBCDE，从而得出答案； CDCE， 由作图知 CEAB，BD 平分CBF， 123， 20 CEB+32+CDE90 ， CEBCDE， CDCE， 故答案为：CDCE； （2）证BCDBFD 得 CDDF，从而设 CDDFx，求出 AB13，知 sinDAF ，即
27、，解之求得 x，结合 BCBF5 可得答案 BD 平分CBF，BCCD，BFDF， BCBF，CBDFBD， 在BCD 和BFD 中， ， BCDBFD（AAS）， CDDF， 设 CDDFx， 在 RtACB 中，AB13， sinDAF，即， 解得 x， BCBF5， tanDBF 26.（ 2019广东模拟题）广东模拟题）如图，点 D 在ABC 的 AB 边上，且ACD=A （1）作BDC 的平分线 DE，交 BC 于点 E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，判断直线 DE 与直线 AC 的位置关系（不要求证明） 21 【答案】见解析。 【解析】（1）
28、根据角平分线基本作图的作法作图即可； （2）根据角平分线的性质可得BDE= BDC，根据三角形内角与外角的性质可得A= BDE，再根据 同位角相等两直线平行可得结论 DEAC DE 平分BDC， BDE= BDC， ACD=A，ACD+A=BDC， A= BDC， A=BDE， DEAC 27.（2019 平谷二模）平谷二模）下面是小元设计的“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程 已知：如图 1，直线 l 和 l 外一点 P 求作：直线 l 的垂线，使它经过点 P 作法：如图 2， 22 （1）在直线 l 上任取一点 A； （2）连接 AP，以点 P 为圆心，AP 长为半径作弧，
29、交直线 l 于点 B（点 A，B 不重合）； （3）连接 BP，作APB 的角平分线，交 AB 于点 H； （4）作直线 PH，交直线 l 于点 H 所以直线 PH 就是所求作的垂线 根据小元设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形 （保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明. 证明：PH 平分APB， APH= PA= ， PH直线 l 于 H( )(填推理的依据) 【答案】见解析。 【解析】（1）如图所示。 （2）证明：PH 平分APB， APH= BPH PA= PB ， PH直线 l 于 H( 等腰三角形三线合一 ) 28.（2019甘肃庆阳）甘肃庆阳）已知：在ABC 中，A
30、BAC （1）求作：ABC 的外接圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） l H B P A 23 （2）若ABC 的外接圆的圆心 O 到 BC 边的距离为 4，BC6，则 SO 【答案】见解析。 【解析】本题考查作图复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟 练掌握基本知识，属于中考常考题型 （1）作线段 AB，BC 的垂直平分线，两线交于点 O，以 O 为圆心，OB 为半径作O，O 即为所求如 图O 即为所求 （2）在 RtOBE 中，利用勾股定理求出 OB 即可解决问题 设线段 BC 的垂直平分线交 BC 于点 E 由题意 OE4，BEEC3， 在 Rt
31、OBE 中，OB5， S圆O5225 29.（2019广东广州）广东广州）如图，O 的直径 AB10，弦 AC8，连接 BC （1）尺规作图：作弦 CD，使 CDBC（点 D 不与 B 重合），连接 AD；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求四边形 ABCD 的周长 【答案】见解析。 24 【解析】（1）以 C 为圆心，CB 为半径画弧，交O 于 D，线段 CD 即为所求 如图，线段 CD 即为所求 （2）连接 BD，OC 交于点 E，设 OEx，构建方程求出 x 即可解决问题 连接 BD，OC 交于点 E，设 OEx AB 是直径， ACB90 ， BC6， BCCD， ， OCBD 于 E BEDE， BE2BC2EC2OB2OE2， 62（5x）252x2， 解得 x， BEDE，BOOA， AD2OE， 四边形 ABCD 的周长6+6+10+
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