1、 1 专题专题 30 规律型问题规律型问题 1.数字猜想型：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过 适当的计算回答问题 2.数式规律型：数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即 函数关系式为主要内容 3.图形规律型：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的 算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合 4.数形结合猜想型：数形结合猜想型问题首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数 或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总结出图形的变化
2、规律，进而解决相 关问题 5.解题方法 规律探索问题的解题方法一般是通过观察、类比特殊情况(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等) 中数据特点，将数据进行分解重组、猜想、归纳得出规律，并用数学语言来表达这种规律，同时要用结论 去检验特殊情况，以肯定结论的正确 【例题【例题 1】 （】 （2019四川省达州市）四川省达州市）a 是不为 1 的有理数，我们把称为 a 的差倒数，如 2 的差倒数为 1， 1 的差倒数， 已知 a15， a2是 a1的差倒数， a3是 a2的差倒数， a4是 a3的差倒数， 依此类推，a2019的值是（ ） A5 B C D 【答案】D 【解析】根据差倒数的定义分别
3、求出前几个数便不难发现，每 3 个数为一个循环组依次循环，用 2019 除以 3，根据余数的情况确定出与 a2019相同的数即可得解 a15， 专题知识回顾专题知识回顾 专题典型题考法及解析专题典型题考法及解析 2 a2， a3， a45， 数列以 5，三个数依次不断循环， 2019 3673， a2019a3 【例题【例题 2】 （】 （2019湖北省咸宁市）湖北省咸宁市）有一列数，按一定规律排列成 1，2，4，8，16，32，其中某三 个相邻数的积是 412，则这三个数的和是 【答案】384 【解析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律 根据题目中的数字
4、，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是 412，可以求得这三个数， 从而可以求得这三个数的和 一列数为 1，2，4，8，16，32， 这列数的第 n 个数可以表示为（2）n 1， 其中某三个相邻数的积是 412， 设这三个相邻的数为（2）n 1.（2）n、 （2）n+1， 则（2）n 1（2）n（2）n+1412， 即（2）3n（22）12， （2）3n224， 3n24， 解得，n8， 这三个数的和是： （2）7+（2）8+（2）9（2）7 （12+4）（128） 3384 【例题【例题 3】 （】 （2019四川省广安市）四川省广安市）如图，在平面直角坐标系中，点 A1的坐
5、标为（1，0） ，以 OA1为直角边作 RtOA1A2，并使A1OA260 ，再以 OA2为直角边作 RtOA2A3，并使A2OA360 ，再以 OA3为直角边作 3 RtOA3A4，并使A3OA460按此规律进行下去，则点 A2019的坐标为 【答案】 （22017，22017） 【解析】通过解直角三角形，依次求 A1，A2，A3，A4，各点的坐标，再从其中找出规律，便可得结论 由题意得， A1的坐标为（1，0） ， A2的坐标为（1，） ， A3的坐标为（2，2） ， A4的坐标为（8，0） ， A5的坐标为（8，8） ， A6的坐标为（16，16） ， A7的坐标为（64，0） ， 由上
6、可知，A 点的方位是每 6 个循环， 与第一点方位相同的点在 x 正半轴上，其横坐标为 2n 1，其纵坐标为 0， 与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为 2n 2，纵坐标为 2n2 ， 与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为2n 2，纵坐标为 2n2 ， 与第四点方位相同的点在 x 负半轴上，其横坐标为2n 1，纵坐标为 0， 与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为2n 2，纵坐标为2n2 ， 与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为 2n 2，纵坐标为2n2 ， 2019 63363， 点 A2019的方位与点 A23的方位相同，在第二象限内，其横坐标为2n 2220
7、17， 纵坐标为 22017 【例题【例题 4】 （】 （2019 湖南益阳）湖南益阳）观察下列等式： 32（1）2， 4 52（）2， 72（）2， 请你根据以上规律，写出第 6 个等式 【答案】132（）2 【解析】第 n 个等式左边的第 1 个数为 2n+1，根号下的数为 n（n+1） ，利用完全平方公式得到第 n 个等式 右边的式子为（）2（n1 的整数） 写出第 6 个等式为 132（）2 【例题【例题 5】 （】 （2019甘肃庆阳）甘肃庆阳）已知一列数 a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，按照这个规律写下去， 第 9 个数是 【答案】13a+21b 【解析】由题意得
8、出从第 3 个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案 由题意知第 7 个数是 5a+8b，第 8 个数是 8a+13b，第 9 个数是 13a+21b 【例题【例题 6】 （】 （2019湖北省鄂州市）湖北省鄂州市）如图，在平面直角坐标系中，点 A1、A2、A3An在 x 轴上，B1、B2、B3Bn 在直线 yx 上，若 A1（1，0） ，且A1B1A2、A2B2A3AnBnAn+1都是等边三角形，从左到右的小三角 形（阴影部分）的面积分别记为 S1、S2、S3Sn则 Sn可表示为（ ） A22n B22n 1 C22n 2 D22n 3 【答案】D 【解析】 直线 yx 与 x 轴的成
9、角B1OA130 ， 可得OB2A230 ， ， OBnAn30 ， OB1A290 ， ， OBnAn+190 ；根据等腰三角形的性质可知 A1B11，B2A2OA22，B3A34，BnAn2n 1；根据勾 股定理可得 B1B2，B2B32，BnBn+12n，再由面积公式即可求解； 解：A1B1A2、A2B2A3AnBnAn+1都是等边三角形， A1B1A2B2A3B3AnBn，B1A2B2A3B3A4BnAn+1，A1B1A2、A2B2A3AnBnAn+1都是等边 5 三角形， 直线 yx 与 x 轴的成角B1OA130 ，OA1B1120 ， OB1A130 ， OA1A1B1， A1（
10、1，0） ， A1B11， 同理OB2A230 ，OBnAn30 ， B2A2OA22，B3A34，BnAn2n 1， 易得OB1A290 ，OBnAn+190 ， B1B2，B2B32，BnBn+12n， S1 1，S2 2 22，Sn 2n 1 2n 。 一、选择题一、选择题 1.（2019 湖南常德）湖南常德）观察下列等式：701，717，7249，73343，742401，7516807，根据其 中的规律可得 70+71+72+72019的结果的个位数字是（ ） A0 B1 C7 D8 【答案】A 【解析】此题主要考查了尾数特征，正确得出尾数变化规律是解题关键 首先得出尾数变化规律，进
11、而得出 70+71+72+72019的结果的个位数字 701，717，7249，73343，742401，7516807， 个位数 4 个数一循环， （2019+1） 4505， 1+7+9+320， 70+71+72+72019的结果的个位数字是：0 2.（2018 成都）成都）如图所示，下列每个图是由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个顶点） 有 n 盆花，每个图案花盆总数是 S，按此推断 S 与 n 的关系式为（ ） 专题典型训练题 专题典型训练题 6 AS=3n BS=3（n1） CS=3n1 DS=3n+1 【答案】B 【解析】根据实际问题列一次函数关系式；规律型：图形的
12、变化类 由图可知： 第一图：有花盆 3 个，每条边有 2 盆花，那么 3=3 （21）； 第二图：有花盆 6 个，每条边有 3 盆花，那么 6=3 （31）； 第三图：有花盆 9 个，每条边有 4 盆花，那么 9=3 （41）； 由此可知 S 与 n 的关系式为 S=3（n1） 根据图案组成的是三角形的形状，则其周长等于边长的 3 倍，但由于每个顶点重复了一次 所以 S=3n3，即 S=3（n1） 3.（2019 云南）云南）按一定规律排列的单项式：x3，x5，x7，x9，x11，第 n 个单项式是（ ） A.（1）n 1x2n1B.（1）nx2n1 C.（1）n 1x2n1D.（1）nx2n
13、1 【答案】C 【解析】观察可知，奇数项系数为正，偶数项系数为负，可以用或， （为大于等于 1 的 整数）来控制正负，指数为从第 3 开始的奇数，所以指数部分规律为 。 4 （ （2019 河南）河南）如图，小聪用一张面积为 1 的正方形纸片，按如下方式操作： 将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉； 在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第 2019 次操作时，余下纸片的面积为（ ） A22019 B C D 1 ) 1( n1 ) 1( n n 12 n 7 【答案】C 【解析】正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开， 第一次：
14、余下面积， 第二次：余下面积， 第三次：余下面积， 当完成第 2019 次操作时，余下纸片的面积为 5 （ （2019 湖北宜昌）湖北宜昌）如图，在平面直角坐标系中，将边长为 1 的正方形 OABC 绕点 O 顺时针旋转 45 后得 到正方形 OA1B1C1，依此方式，绕点 O 连续旋转 2019 次得到正方形 OA2019B2019C2019，那么点 A2019的坐标是 （ ） A （，） B （1，0） C （，） D （0，1） 【答案】A 【解析】四边形 OABC 是正方形，且 OA1， A（0，1） ， 将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 45 后得到正方形 OA1B1C1，
15、A1（，） ，A2（1，0） ，A3（，） ， 发现是 8 次一循环，所以 2019 8252余 3， 点 A2019的坐标为（，） 8 6.（2019 广西贺州）广西贺州）计算+的结果是（ ） A B C D 【答案】B 【解析】本题是一个规律计算题，主要考查了有理数的混合运算，关键是把分数乘法转化成分数减法来计 算 把每个分数写成两个分数之差的一半，然后再进行简便运算 原式 7(2019云南云南)按一定规律排列的单项式：x3，x5，x7，x9，x11，第 n 个单项式是( ) A 121 ) 1( nn x B12 ) 1( nn x C 121 ) 1( nn x D12 ) 1( nn
16、 x 【答案】C 【解析】观察各单项式，发现奇数项系数为正，偶数项系数为负，可以用或(为大于等于 1 的整数)来控制正负，指数为从第 3 开始的奇数，所以指数部分规律为 观察可知，奇数项系数为正，偶数项系数为负，可以用或(为大于等于 1 的整数)来控制 正负，指数为从第 3 开始的奇数，所以指数部分规律为，故选 C 二、填空题二、填空题 8.（2018 云南）云南）观察下列各式： ，设 n 表示正整 数，用关于 n 的等式表示这个规律是 【答案】： 1 ) 1( n1 ) 1( n n 12 n 1 ) 1( n1 ) 1( n n 12 n 9 【解析】题考查数字的变化规律，找出式子之间的联
17、系，由特殊找出一般规律解决问题通过观察可以看 出两个数的和等于两个数的积，分数的分母比分子小一，而相乘的整数和相加的整数也比分母大一，由此 规律得出答案即可 由所给的各式可知，不妨设分母为 n，则分子为 n+1，另一个因数和加数也为 n+1，因此可知律为 故答案为： 9.（2019 湖南怀化）湖南怀化）探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分 数墙”，则整面“分数墙”的总面积是 【答案】n1 【解析】由题意“分数墙”的总面积2 +3 +4 +n n1， 故答案为 n1 10.（2019 贵州安顺）贵州安顺）如图，将从 1 开始的自然数按下规律排列，例如位于第 3 行、第 4 列的数是
18、 12，则位 于第 45 行、第 7 列的数是 【答案】2019 【解析】观察图表可知：第 n 行第一个数是 n2， 10 第 45 行第一个数是 2025， 第 45 行、第 7 列的数是 202562019， 故答案为 2019 11.（2019海南省）海南省）有 2019 个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和如 果第一个数是 0，第二个数是 1，那么前 6 个数的和是 ，这 2019 个数的和是 【答案】0，2 【解析】根据题意可以写出这组数据的前几个数，从而可以数字的变化规律，本题得以解决 由题意可得， 这列数为：0，1，1，0，1，1，0，1，1， 前 6
19、 个数的和是：0+1+1+0+（1）+（1）0， 2019 63363， 这 2019 个数的和是：0 336+（0+1+1）2 12.（2019贵州省铜仁市）贵州省铜仁市）按一定规律排列的一列数依次为：，（a0） ，按此 规律排列下去，这列数中的第 n 个数是 （n 为正整数） 【答案】 （1）n 【解析】第 1 个数为（1）1， 第 2 个数为（1）2， 第 3 个数为（1）3， 第 4 个数为（1）4， ， 所以这列数中的第 n 个数是（1）n 13 （ （2019 苏州）苏州）如图，点 B1在直线 l：yx 上，点 B1的横坐标为 2，过 B1作 B1A11，交 x 轴于点 A1， 1
20、1 以 A1B1为边，向右作正方形 A1B1B2C1，延长 B2C1交 x 轴于点 A2；以 A2B2为边，向右作正方形 A2B2B3C2， 延长 B3C2交 x 轴于点 A3；以 A3B3为边，向右作正方形 A3B3B4C3延长 B4C3交 x 轴于点 A4；按照这个规 律进行下去，点n的横坐标为 （结果用含正整数 n 的代数式表示） 【答案】 【解析】 过点 B1、 C1、 C2、 C3、 C4分别作 B1Dx 轴， C1D1x 轴， C2D2x 轴， C3D3x 轴， C4D4x 轴， 垂足分别为 D、D1、D2、D3、D4 点 B1在直线 l：yx 上，点 B1的横坐标为 2， 点 B
21、1的纵坐标为 1， 即：OD2，B1D1， 图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是 1：2， 点 C1的横坐标为：2+（）0， 点 C2的横坐标为： 2+（）0+（）0 +（）1+（）0 +（）1 点 C3的横坐标为：2+（）0+（）0 +（）1+（）1 +（）2 +（）0 +（）1 +（）2 点 C4的横坐标为：+（）0 +（）1 +（）2 +（）3 点n的横坐标为：+（）0 +（）1 +（）2 +（）3 +（）4 +（）n 1 +（）0+（）1 +（）2+（）3+（）4+（）n 1 12 故答案为： 14 （2019 黑龙江省绥化）黑龙江省绥化）在平面直角坐标系中，若干个边长为 1
22、 个单位长度的等边三角形，按如图中的规 律 摆 放 点P从 原 点O出 发 ， 以 每 秒1个 单 位 长 度 的 速 度 沿 着 等 边 三 角 形 的 边 “OA1A1A2A2A3A3A4A4A5”的路线运动，设第 n 秒运动到点 Pn（n 为正整数） ，则点 P2019的坐标 是 答案答案： 20193 22 ， 解析解析： 13 15. （2019黑龙江省齐齐哈尔市）黑龙江省齐齐哈尔市）如图，直线 l：yx+1 分别交 x 轴、y 轴于点 A 和点 A1，过点 A1作 A1B1l，交 x 轴于点 B1，过点 B1作 B1A2x 轴，交直线 l 于点 A2；过点 A2作 A2B2l，交
23、x 轴于点 B2，过 点 B2作 B2A3x 轴，交直线 l 于点 A3，依此规律，若图中阴影A1OB1的面积为 S1，阴影A2B1B2的面积 为 S2，阴影A3B2B3的面积为 S3，则 Sn 【答案】 【解析】由直线 l：yx+1 可求出与 x 轴交点 A 的坐标，与 y 轴交点 A1的坐标，进而得到 OA，OA1的 长，也可求出 RtOAA1的各个内角的度数，是一个特殊的直角三角形，以下所作的三角形都是含有 30 角 的直角三角形，然后这个求出 S1、S2、S3、S4、根据规律得出 Sn 直线 l：yx+1，当 x0 时，y1；当 y0 时，x A（，0）A1（0，1） OAA130 又
24、A1B1l， OA1B130 ， 14 在 RtOA1B1中，OB1OA1， S1； 同理可求出：A2B1，B1B2， S2； 依次可求出：S3；S4；S5 因此：Sn 故答案为： 16.（2019山东泰安）山东泰安）在平面直角坐标系中，直线 l：yx+1 与 y 轴交于点 A1，如图所示，依次作正方形 OA1B1C1，正方形 C1A2B2C2，正方形 C2A3B3C3，正方形 C3A4B4C4，点 A1，A2，A3，A4，在直线 l 上，点 C1，C2，C3，C4，在 x 轴正半轴上，则前 n 个正方形对角线长的和是 【答案】 （2n1） 【解析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型：
25、点的坐标，解答本题的关键是明确题意，利用 数形结合的思想解答 根据题意和函数图象可以求得点 A1，A2，A3，A4的坐标，从而可以得到前 n 个正方形对角线长的和，本题 得以解决 由题意可得， 15 点 A1的坐标为（0，1） ，点 A2的坐标为（1，2） ，点 A3的坐标为（3，4） ，点 A4的坐标为（7，8） ， OA11，C1A22，C2A34，C3A48， 前 n 个正方形对角线长的和是：（OA1+C1A2+C2A3+C3A4+Cn1An）（1+2+4+8+2n 1） ， 设 S1+2+4+8+2n 1，则 2S2+4+8+2n1+2n， 则 2SS2n1， S2n1， 1+2+4+
26、8+2n 12n1， 前 n 个正方形对角线长的和是： （2n1） 。 17 （ （2019山东潍坊）山东潍坊）如图所示，在平面直角坐标系 xoy 中，一组同心圆的圆心为坐标原点 O，它们的半径 分别为 1，2，3，按照“加 1”依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，都与 x 轴垂直，相邻两直线的间 距为 l，其中 l0与 y 轴重合若半径为 2 的圆与 l1在第一象限内交于点 P1，半径为 3 的圆与 l2在第一象限内交 于点 P2，半径为 n+1 的圆与 ln在第一象限内交于点 Pn，则点 Pn的坐标为 （n 为正整数） 【答案】 （n，） 【解析】连 OP1，OP2，OP3，l1
27、、l2、l3与 x 轴分别交于 A1、A2、A3，在 RtOA1P1中，OA11，OP12， 由勾股定理得出 A1P1，同理：A2P2，A3P3，得出 P1的坐标为（ 1， ） ，P2的坐标为（ 2，） ，P3的坐标为（3，） ，得出规律，即可得出结果 连接 OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与 x 轴分别交于 A1、A2、A3，如图所示： 在 RtOA1P1中，OA11，OP12， A1P1， 同理：A2P2，A3P3， 16 P1的坐标为（ 1，） ，P2的坐标为（ 2，） ，P3的坐标为（3，） ， 按照此规律可得点 Pn的坐标是（n，） ，即（n，） 故答案为： （n，） 三、解
28、答题三、解答题 18 （ （2019 湖南张家界）湖南张家界）阅读下面的材料： 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项排在第一位的数称为第一 项，记为 a1，排在第二位的数称为第二项，记为 a2，依此类推，排在第 n 位的数称为第 n 项，记为 an所 以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，an， 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列， 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用 d 表示如：数列 1，3，5，7，为等差数列，其中 a11，a2 3，公差为 d2 根据以上材料，解答下列问题： （1）等差数
29、列 5，10，15，的公差 d 为 ，第 5 项是 （2）如果一个数列 a1，a2，a3，an，是等差数列，且公差为 d，那么根据定义可得到 a2a1d，a3 a2d，a4a3d，anan1d， 所以 a2a1+d a3a2+d（a1+d）+da1+2d， a4a3+d（a1+2d）+da1+3d， 由此，请你填空完成等差数列的通项公式：ana1+（ ）d 17 （3）4041 是不是等差数列5，7，9的项？如果是，是第几项？ 【答案】 （1）5，25； （2）n1； （3）4041 是等差数列5，7，9的项， 它是此数列的第 2019 项 【解析】 （1）根据题意得，d1055； a315，
30、 a4a3+d15+520， a5a4+d20+525， 故答案为：5；25 （2）a2a1+d a3a2+d（a1+d）+da1+2d， a4a3+d（a1+2d）+da1+3d， ana1+（n1）d 故答案为：n1 （3）根据题意得， 等差数列5，7，9的项的通项公式为：an52（n1） ， 则52（n1）4041， 解之得：n2019 4041 是等差数列5，7，9的项，它是此数列的第 2019 项 19. （2019四川自贡）四川自贡）阅读下列材料：小明为了计算 1+2+22+22017+22018的值，采用以下方法： 设 S1+2+22+22017+22018 则 2S2+22+2
31、2018+22019 得 2SSS220191 S1+2+22+22017+22018220191 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）1+2+22+29 ； （2）3+32+310 ； （3）求 1+a+a2+an的和（a0，n 是正整数，请写出计算过程） 【答案】见解析。 18 【解析】 （1）设 S1+2+22+29 则 2S2+22+210 得 2SSS2101 S1+2+22+292101； 故答案为：2101 （2）设 S1+3+32+33+34+310 ， 则 3S3+32+33+34+35+311 ， 得 2S3111， 所以 S， 即 1+3+32+33+34+310； 故答案为：； （3）设 S1+a+a2+a3+a4+.+an， 则 aSa+a2+a3+a4+.+an+an+1， 得： （a1）San+11， 所以 S， 即 1+a+a2+a3+a4+an 。
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