1、 1 专题专题 20 矩形矩形 1矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2矩形的性质： （1）矩形的四个角都是直角； （2）矩形的对角线平分且相等。 3矩形判定定理： （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有三个角是直角的四边形是矩形。 4矩形的面积：S矩形=长宽=ab 【例题【例题 1】（】（2019 广西桂林）广西桂林）将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A， C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则 AD AB 的值 为( ) A 6 5 B2 C 3 2
2、 D3 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由折叠可得，AEOEDE，CGOGDG， E，G分别为AD，CD的中点， 设2CDa，2ADb，则2ABaOB，DGOGCGa，3BGa，2BCADb， 90C， Rt BCG中， 222 CGBCBG， 即 222 (2 )(3 )aba， 专题知识回顾专题知识回顾 专题典型题考法及解析专题典型题考法及解析 2 22 2ba， 即2ba，2 b a ， AD AB 的值为2 【例题【例题 2】 （】 （2019 贵州省安顺市）贵州省安顺市） 如图，在 RtABC 中，BAC90，AB3，AC4，点 D 为斜边 BC 上的一个动点，过 D 分别作 D
3、MAB 于点 M，作 DNAC 于点 N，连接 MN，则线段 MN 的最小值为 . 【答案】【答案】 5 12 【解析】【解析】连接 AD，即可证明四边形 AMDN 是矩形；由矩形 AMDN 得出 MNAD，再由三角形的面积关系 求出 AD 的最小值，即可得出结果 连接 AD，如图所示： DMAB，DNAC，AMDAND90， 又BAC90，四边形 AMDN 是矩形；MNAD， BAC90，AB3，AC4，BC5， 当 ADBC 时，AD 最短， 此时ABC 的面积 2 1 BCAD 2 1 ABAC， AD 的最小值 12 5 AB AC BC ， 线段 MN 的最小值为 5 12 。 B
4、D M N C A B D M N C A 专题典型训练题 专题典型训练题 3 一一、选择题、选择题 1.（2019广东广州广东广州）如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线 EF 分别交 BC，AD 于点 E，F，若 BE 3，AF5，则 AC 的长为（ ） A4 B4 C10 D8 【答案】A 【解析】连接 AE，由线段垂直平分线的性质得出 OAOC，AECE，证明AOFCOE 得出 AFCE 5，得出 AECE5，BCBE+CE8，由勾股定理求出 AB4，再由勾股定理求出 AC 即可 连接 AE，如图： EF 是 AC 的垂直平分线， OAOC，AECE， 四边形 ABCD
5、是矩形， B90 ，ADBC， OAFOCE， 在AOF 和COE 中， AOFCOE（ASA） ， AFCE5， AECE5，BCBE+CE3+58， AB4， AC4； 故选：A 4 2.（2019贵州省铜仁市）贵州省铜仁市）如图为矩形 ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内 角和分别为 a 和 b，则 a+b 不可能是（ ） A360 B540 C630 D720 【答案】C 【解答】一条直线将该矩形 ABCD 分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是 180 的 倍数，都能被 180 整除，分析四个答案， 只有 630 不能被 180 整除，所以 a+b 不可
6、能是 630 3 （ （2019山东泰安山东泰安）如图，矩形 ABCD 中，AB4，AD2，E 为 AB 的中点，F 为 EC 上一动点，P 为 DF 中点，连接 PB，则 PB 的最小值是（ ） A2 B4 C D 【答案】D 【解析】根据中位线定理可得出点点 P 的运动轨迹是线段 P1P2，再根据垂线段最短可得当 BPP1P2时， PB 取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知 BP1P1P2，故 BP 的最小值为 BP1的长，由勾股定 理求解即可 如图： 5 当点 F 与点 C 重合时，点 P 在 P1处，CP1DP1， 当点 F 与点 E 重合时，点 P 在 P2处，EP2DP2，
7、 P1P2CE 且 P1P2CE 当点 F 在 EC 上除点 C、E 的位置处时，有 DPFP 由中位线定理可知：P1PCE 且 P1PCF 点 P 的运动轨迹是线段 P1P2， 当 BPP1P2时，PB 取得最小值 矩形 ABCD 中，AB4，AD2，E 为 AB 的中点， CBE、ADE、BCP1为等腰直角三角形，CP12 ADECDECP1B45 ，DEC90 DP2P190 DP1P245 P2P1B90 ，即 BP1P1P2， BP 的最小值为 BP1的长 在等腰直角 BCP1中，CP1BC2 BP12 PB 的最小值是 2 4.（2019 湖北荆州）湖北荆州）如图，矩形 ABCD
8、的顶点 A，B，C 分别落在MON 的边 OM，ON 上，若 OAOC， 要求只用无刻度的直尺作MON 的平分线小明的作法如下：连接 AC，BD 交于点 E，作射线 OE，则射 线 OE 平分MON有以下几条几何性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线互相平分，等腰 三角形的“三线合一” 小明的作法依据是（ ） A B C D 【答案】【答案】C 6 【解析】【解析】四边形 ABCD 为矩形， AECE， 而 OAOC， OE 为AOC 的平分线 二二、填空题、填空题 5 （2019 重庆）重庆）如图，在矩形ABCD中，3AB ，2AD ，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于 点E，图中阴
9、影部分的面积是_（结果保留） 【答案】6 【解析】 2 90 2 3-26- 360 S 阴 6.（2019湖南湖南娄底）娄底）如图，要使平行四边形 ABCD 是矩形，则应添加的条件是 （添加一个条 件即可） 【答案】ABC=90 或 AC=BD 【解析】解：根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩 形；故添加条件：ABC=90 或 AC=BD 故答案为：ABC=90 或 AC=BD 7.（2019 黑龙江省龙东地区）黑龙江省龙东地区）如图，矩形 ABCD 中，AB4，BC6，点 P 是矩形 ABCD 内一动点，且 S PAB 1 2 S PCD ，则
10、PCPD 的最小值是_ CD ABE D A BC P 7 【答案】4 5. 【解析】结合已知条件，根据 S PAB 1 2 S PCD 可判断出点 P 在平行于 AB，与 AB 的距离为 2、与 CD 的距 离为 4 的直线上，再根据“将军饮马问题”的解法解之即可. 过点 P 作直线 lAB，作点 D 关于直线 l 的对称点 D1，连接 CD1，矩形 ABCD 中，AB4，BC6， CD=4,DD1=8, 在 RtCDD1中，由勾股定理得 CD1=4 5，PCPD 的最小值是4 5. 8 （ （2019 内蒙古通辽）内蒙古通辽）如图，在矩形 ABCD 中，AD8，对角线 AC 与 BD 相交
11、于点 O，AEBD，垂足为 点 E，且 AE 平分BAC，则 AB 的长为 【答案】 【解答】四边形 ABCD 是矩形 AOCOBODO， AE 平分BAO BAEEAO，且 AEAE，AEBAEO， ABEAOE（ASA） AOAB，且 AOOB AOABBODO， BD2AB， AD2+AB2BD2， 64+AB24AB2， 8 AB 9.（2019湖北省咸宁市湖北省咸宁市）如图，先有一张矩形纸片 ABCD，AB4，BC8，点 M，N 分别在矩形的边 AD， BC 上，将矩形纸片沿直线 MN 折叠，使点 C 落在矩形的边 AD 上，记为点 P，点 D 落在 G 处，连接 PC， 交 MN
12、于点 Q，连接 CM下列结论： CQCD； 四边形 CMPN 是菱形； P，A 重合时，MN2； PQM 的面积 S 的取值范围是 3S5 其中正确的是 （把正确结论的序号都填上） 【答案】 【解析】先判断出四边形 CFHE 是平行四边形，再根据翻折的性质可得 CNNP，然后根据邻边相等的平 行四边形是菱形证明，判断出正确；假设 CQCD，得 RtCMQCMD，进而得DCMQCM BCP30 ，这个不一定成立，判断错误；点 P 与点 A 重合时，设 BNx，表示出 ANNC8x，利用 勾股定理列出方程求解得 x 的值，进而用勾股定理求得 MN，判断出正确；当 MN 过 D 点时，求得四边形 C
13、MPN 的最小面积，进而得 S 的最小值，当 P 与 A 重合时，S 的值最大，求得最大值便可 如图 1， PMCN， PMNMNC， MNCPNM，PMNPNM，PMPN， NCNP，PMCN， 9 MPCN， 四边形 CNPM 是平行四边形， CNNP，四边形 CNPM 是菱形，故正确； CPMN，BCPMCP， MQCD90 ， CPCP， 若 CQCD，则 RtCMQCMD， DCMQCMBCP30 ，这个不一定成立， 故错误； 点 P 与点 A 重合时，如图 2， 设 BNx，则 ANNC8x， 在 RtABN 中，AB2+BN2AN2， 即 42+x2（8x）2， 解得 x3， C
14、N835，AC， ， ， MN2QN2 故正确； 当 MN 过点 D 时，如图 3， 10 此时，CN 最短，四边形 CMPN 的面积最小，则 S 最小为 S， 当 P 点与 A 点重合时，CN 最长，四边形 CMPN 的面积最大，则 S 最大为 S， 4S5，故错误故答案为： 10.（2019 贵州贵阳）贵州贵阳）如图，在矩形 ABCD 中，AB4，DCA30 ，点 F 是对角线 AC 上的一个动点，连 接 DF，以 DF 为斜边作DFE30 的直角三角形 DEF，使点 E 和点 A 位于 DF 两侧，点 F 从点 A 到点 C 的运动过程中，点 E 的运动路径长是 【答案】 【解析】E 的
15、运动路径是 EE的长； AB4，DCA30 ， BC， 当 F 与 A 点重合时， 在 RtADE中，AD，DAE30 ，ADE60 ， DE，CDE30 ， 当 F 与 C 重合时，EDC60 ， EDE90 ，DEE30 ， 在 RtDEE中，EE . 11 11 （ （2019山东潍坊山东潍坊）如图，在矩形 ABCD 中，AD2将A 向内翻折，点 A 落在 BC 上，记为 A，折痕 为 DE若将B 沿 EA向内翻折，点 B 恰好落在 DE 上，记为 B，则 AB 【答案】 【解析】 利用矩形的性质， 证明ADEADEADC30 ， CABD90 ， 推出DBADCA， CDBD，设 AB
16、DCx，在 RtADE 中，通过勾股定理可求出 AB 的长度 四边形 ABCD 为矩形， ADCCB90 ，ABDC， 由翻折知，AEDAED，ABEABE，ABEBABD90 ， AEDAED，AEBAEB，BEBE， AEDAEDAEB 180 60 ， ADE90 AED30 ，ADE90 AEB30 ， ADEADEADC30 ， 又CABD90 ，DADA， DBADCA（AAS） ， DCDB， 在 RtAED 中， ADE30 ，AD2， 12 AE， 设 ABDCx，则 BEBEx AE2+AD2DE2， （）2+22（x+x）2， 解得，x1（负值舍去） ，x2 12.（20
17、19 北京市）北京市）在矩形 ABCD 中，M，N，P，Q 分别为边 AB，BC，CD，DA 上的点（不与端点重合） 对 于任意矩形 ABCD，下面四个结论中， 存在无数个四边形 MNPQ 是平行四边形； 存在无数个四边形 MNPQ 是矩形； 存在无数个四边形 MNPQ 是菱形； 至少存在一个四边形 MNPQ 是正方形 所有正确结论的序号是_ 【答案】【答案】 【解析解析】如图，O 为矩形 ABCD 对角线的交点， 图中任过点 O 的两条线段 PM，QN，则四边形 MNPQ 是平行四边形；显然有无数个.本结论正确. 图中任过点 O 的两条相等的线段 PM，QN，则四边形 MNPQ 是矩形；显然
18、有无数个.本结论正确. 图中任过点 O 的两条垂直的线段 PM，QN，则四边形 MNPQ 是菱形；显然有无数个.本结论正确. 图中过点 O 的两条相等且垂直的线段 PM，QN，则四边形 MNPQ 是正方形；显然有一个.本结论错误. 故填： . 13.（2019 辽宁本溪）辽宁本溪）如图，BD 是矩形 ABCD 的对角线，在 BA 和 BD 上分别截取 BE，BF，使 BE=BF； 分别以 E，F 为圆心，以大于 1 2 EF 的长为半径作弧，两弧在ABD 内交于点 G，作射线 BG 交 AD 于点 P， 若 AP=3，则点 P 到 BD 的距离为 . 13 【答案】【答案】3. 【解析】【解析
19、】过点 P 作 PQBD，垂足为 Q， 根据题意可得 BP 平分ABD. 四边形 ABCD 为矩形， A=90 ， PA=PQ. PA=3， PQ=3， 故答案为 3. 14 （ （2019 辽宁抚顺）辽宁抚顺）在矩形 ABCD 中，AB6，AD3，E 是 AB 边上一点，AE2，F 是直线 CD 上一动 点， 将AEF沿直线EF折叠， 点A的对应点为点A， 当点E、 A、 C三点在一条直线上时， DF的长度为 【答案】1 或 11； 【解析】在旋转过程中 A 有两次和 E，C 在一条直线上，第一次在 EC 线段上，第二次在 CE 线段的延长线 上，利用平行的性质证出 CFCE，即可求解； 如
20、图 1： 将AEF 沿直线 EF 折叠，点 A 的对应点为点 A， 14 AEFEAF，AEAE， ABCD， AEFCFE， CFCE， AB6，AD3，AE2， CFCE6DF，AE2，BE4，BC3， EC5， 6DF5， DF1； 如图 2： 由折叠FEAFEA， ABCD， CFECEF， CFCE， CF5， DF11； 故答案为 1 或 11； 三三、解答题、解答题 15 （ （2019 湖南怀化）湖南怀化）已知：如图，在ABCD 中，AEBC，CFAD，E，F 分别为垂足 （1）求证：ABECDF； （2）求证：四边形 AECF 是矩形 15 【答案】 （1）见解析； （2）见
21、解析 【解析】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， BD，ABCD，ADBC， AEBC，CFAD， AEBAECCFDAFC90， 在ABE 和CDF 中， ABECDF（AAS） ； （2）证明：ADBC， EAFAEB90， EAFAECAFC90， 四边形 AECF 是矩形 16 （ （2019 湖南郴州）湖南郴州）如图 1，矩形 ABCD 中，点 E 为 AB 边上的动点（不与 A，B 重合） ， 把ADE 沿 DE 翻折，点 A 的对应点为 A1，延长 EA1交直线 DC 于点 F，再把BEF 折叠， 使点 B 的对应点 B1落在 EF 上，折痕 EH 交直线 BC 于点
22、 H （1）求证：A1DEB1EH； （2）如图 2，直线 MN 是矩形 ABCD 的对称轴，若点 A1恰好落在直线 MN 上，试判断DEF 的形状，并说 明理由； （3）如图 3，在（2）的条件下，点 G 为DEF 内一点，且DGF150 ，试探究 DG，EG，FG 的数量关 系 【答案】 （1）见解析； （2）DEF 是等边三角形，理由见解析； （3）DG2+GF2GE2 16 【解析】解： （1）证明：由折叠的性质可知：DAEDA1E90，EBHEB1H90，AED A1ED，BEHB1EH， DEA1+HEB190 又HEB1+EHB190， DEA1EHB1， A1DEB1EH； （
23、2）结论：DEF 是等边三角形； 理由如下： 直线 MN 是矩形 ABCD 的对称轴， 点 A1是 EF 的中点，即 A1EA1F， A1DEA1DF（SAS） ， DEDF，FDA1EDA1， 又ADEA1DE，ADF90 ADEEDA1FDA130， EDF60 ， DEF 是等边三角形； （3）DG，EG，FG 的数量关系是 DG2+GF2GE2， 理由如下：由（2）可知DEF 是等边三角形；将DGE 逆时针旋转 60到DGF 位置，如解图（1） ， GFGE，DGDG，GDG60 ， DGG是等边三角形， GGDG，DGG60 ， DGF150 ， GGF90 ， GG2+GF2GF2
24、， DG2+GF2GE2， 17 17 （ （2019 湖南益阳）湖南益阳）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 ABCD 的边 AB4，BC6若 不改变矩形 ABCD 的形状和大小，当矩形顶点 A 在 x 轴的正半轴上左右移动时，矩形的另 一个顶点 D 始终在 y 轴的正半轴上随之上下移动 （1）当OAD30时，求点 C 的坐标； （2）设 AD 的中点为 M，连接 OM、MC，当四边形 OMCD 的面积为时，求 OA 的长； （3）当点 A 移动到某一位置时，点 C 到点 O 的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时 cosOAD 的 值 【答案】 （1） （2，3+2） ； （2）
25、OA3； （3）当 O、M、C 三点在同一直线时，OC 有最大值 8，cosOAD 【解析】解： （1）如图 1，过点 C 作 CEy 轴于点 E， 矩形 ABCD 中，CDAD， CDE+ADO90， 18 又OAD+ADO90， CDEOAD30， 在 RtCED 中，CECD2，DE2， 在 RtOAD 中，OAD30， ODAD3， 点 C 的坐标为（2，3+2） ； （2）M 为 AD 的中点， DM3，SDCM6， 又 S四边形OMCD， SODM， SOAD9， 设 OAx、ODy，则 x2+y236， 1 2 xy9， x2+y22xy，即 xy， 将 xy 代入 x2+y23
26、6 得 x218， 解得 x3（负值舍去） ， OA3； （3）OC 的最大值为 8， 如图 2，M 为 AD 的中点， OM3，CM5， OCOM+CM8， 当 O、M、C 三点在同一直线时，OC 有最大值 8， 连接 OC，则此时 OC 与 AD 的交点为 M，过点 O 作 ONAD，垂足为 N， 19 CDMONM90，CMDOMN， CMDOMN， ，即， 解得 MN，ON， ANAMMN， 在 RtOAN 中，OA， cosOAD 18.（2019湖北省鄂州市）湖北省鄂州市）如图，矩形 ABCD 中，AB8，AD6，点 O 是对角线 BD 的中点，过点 O 的直 线分别交 AB、CD
27、 边于点 E、F （1）求证：四边形 DEBF 是平行四边形； （2）当 DEDF 时，求 EF 的长 【答案】见解析。 【解析】根据矩形的性质得到 ABCD，由平行线的性质得到DFOBEO，根据全等三角形的性质得到 DFBE，于是得到四边形 BEDF 是平行四边形；推出四边形 BEDF 是菱形，得到 DEBE，EFBD，OE OF，设 AEx，则 DEBE8x 根据勾股定理即可得到结论 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形， ABCD， DFOBEO， 又因为DOFBOE，ODOB， DOFBOE（ASA） ， DFBE， 又因为 DFBE， 四边形 BEDF 是平行四边形； 20 （2）解
28、：DEDF，四边形 BEDF 是平行四边形 四边形 BEDF 是菱形， DEBE，EFBD，OEOF， 设 AEx，则 DEBE8x 在 RtADE 中，根据勾股定理，有 AE2+AD2DE2 x2+62（8x）2， 解之得：x， DE8， 在 RtABD 中，根据勾股定理，有 AB2+AD2BD2 BD， OD BD5， 在 RtDOE 中，根据勾股定理，有 DE2 OD2OE2， OE， EF2OE 19. (2019 黑龙江大庆黑龙江大庆)如图在矩形 ABCD 中,AB3,BC4,M,N 在对角线 AC 上,且 AMCN,E,F 分别是 AD,BC 的中点. (1)求证:ABMCDN; (2)点 G 是对角线 AC 上的点,EGF90,求 AG 的长. 【答案】见解析。 【解析】【解析】(1)在矩形 ABCD 中,ABCD,所以BAMDCN, 又因为 ABCD,AMCN, 21 所以ABMCDN(SAS); （2）以 EF 为直径作圆,交 AC 于点 G1,G2,连接 EG1,FG1,EG2,FG2,则EG1FEG2F90, 因为 EFAB3,所以 G1HG2H 1 2 EF 3 2 , 在 RtABC 中,AC 22 ABBC5, 所以 AH 1 2 AC 5 2 , 所以 AG11,AG24.
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