1、 1 【典例分析】 例 1 如图，抛物线顶点 P（1，4） ，与 y 轴交于点 C（0，3） ，与 x 轴交于点 A，B 来源:Zxxk.Com （1）求抛物线的解析式 （2）Q 是抛物线上除点 P 外一点，BCQ 与BCP 的面积相等，求点 Q 的坐标 （3）若 M，N 为抛物线上两个动点，分别过点 M，N 作直线 BC 的垂线段，垂足分别为 D，E是否存在 点 M，N 使四边形 MNED 为正方形？如果存在，求正方形 MNED 的边长；如果不存在，请说明理由 思路点拨 （1）设出抛物线顶点坐标，把 C 坐标代入求出即可； （2）由BCQ 与BCP 的面积相等，得到 PQ 与 BC 平行，过
2、 P 作作 PQBC，交抛物线于点 Q，如图 1 所示；设 G（1，2） ，可得 PG=GH=2，过 H 作直线 Q2Q3BC，交 x 轴于点 H，分别求出 Q 的坐标即可； （3）存在点 M，N 使四边形 MNED 为正方形，如图 2 所示，过 M 作 MFy 轴，过 N 作 NFx 轴，过 N 作 NHy 轴，则有MNF 与NEH 都为等腰直角三角形，设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，设直线解析式为 y=-x+b， 与二次函数解析式联立， 消去 y 得到关于 x 的一元二次方程， 利用根与系数关系表示出 NF2， 由MNF 为等腰直角三角形，得到 MN2=2NF2，若四边形 MN
3、ED 为正方形，得到 NE2=MN2，求出 b 的值，进而确定 出 MN 的长，即为正方形边长 满分解答 （1）设 y=a（x1）2+4（a0） ， 把 C（0，3）代入抛物线解析式得：a+4=3，即 a=1， 则抛物线解析式为 y=（x1）2+4=x2+2x+3； （2）由 B（3，0） ，C（0，3） ，得到直线 BC 解析式为 y=x+3， SOBC=SQBC， 2 PQBC， 过 P 作 PQBC，交抛物线于点 Q，如图 1 所示， （3）存在点 M，N 使四边形 MNED 为正方形， 如图 2 所示，过 M 作 MFy 轴，过 N 作 NFx 轴，过 N 作 NHy 轴，则有MNF
4、与NEH 都为等腰直 角三角形， 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，设直线 MN 解析式为 y=x+b， 3 联立得：， 例 2 如图，已知抛物线与 轴分别交于原点 和点，与对称轴 交于点.矩形的 边在 轴正半轴上，且，边，与抛物线分别交于点 ， .当矩形沿 轴正方向平移，点 ， 位于对称轴 的同侧时，连接，此时，四边形的面积记为 ；点 ， 位于对称轴 的两侧时，连接 ，此时五边形的面积记为 .将点 与点 重合的位置作为矩形平移的起点，设矩形 平移的长度为. （1）求出这条抛物线的表达式； （2）当时，求的值； （3）当矩形沿着 轴的正方向平移时，求 关于的函数表达式，并求出 为何值
5、时， 有最大 值，最大值是多少？ 思路点拨 4 （1）根据点 E、F 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式； （2）找出当 t=0 时，点 B、N 的坐标，进而可得出 OB、BN 的长度，再根据三角形的面积公式可求出 SOBN 的值； （3）分 0t4 和 4t5 两种情况考虑：当 0t4 时（图 1） ，找出点 A、B、M、N 的坐标，进而可得 出 AM、BN 的长度，利用梯形的面积公式即可找出 S 关于 t 的函数关系式，再利用二次函数的性质即可求 出 S 的最大值；当 4t5 时，找出点 A、B、M、N 的坐标，进而可得出 AM、BN 的长度，将五边形分 成两个梯形， 利用梯形的
6、面积公式即可找出 S 关于 t 的函数关系式， 再利用二次函数的性质即可求出 S 的最 大值将中的 S 的最大值进行比较，即可得出结论. 满分解答 （1）将 E（5，5） 、F（10，0）代入 y=ax2+bx， ，解得：， 抛物线的表达式为 y=- x2+2x （2）当 t=0 时，点 B 的坐标为（1，0） ，点 N 的坐标为（1， ） ， BN= ，OB=1， SOBN= BNOB= （3）当 0t4 时（图 1） ，点 A 的坐标为（t，0） ，点 B 的坐标为（t+1，0） ， 点 M 的坐标为（t，- t2+2t） ，点 N 的坐标为（t+1，- （t+1）2+2（t+1） ） ，
7、 AM=- t2+2t，BN=- （t+1）2+2（t+1） ， S= （AM+BN）AB= 1 - t2+2t- （t+1）2+2（t+1）， =- t2+ t+， 5 =- （t- ）2+ ， - 0， 当 t=4 时，S 取最大值，最大值为； 当 4t5 时（图 2） ，点 A 的坐标为（t，0） ，点 B 的坐标为（t+1，0） ， =， 当 t= 时，S 有最大值，最大值是 例 3 如图，抛物线 2 :7Wyaxbx的顶点为3,2 （1）求抛物线W的函数表达式 （2）若抛物线形 W 与W关于x轴对称，求抛物线 W 的函数表达式 （3）在（2）的基础上，设W上的点M、N始终与 W 上的
8、点 M 、 N 分别关于x轴对称，是否存在点 M、N（M、N分别位于抛物线对称轴两侧，且M在N的左侧） ，使四边形MM N N 为正方形？ 6 若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由 思路点拨 1根据顶点坐标，求出, a b的值，求抛物线W的函数表达式 2抛物线 W 与W关于x轴对称，求出抛物线 W 的顶点坐标和二次项系数，即可求得函数表达式. 3根据正方形的边长相等, 2 M MNMMy列出方程，求解即可. 满分解答 （1）抛物线 2 :7Wyaxbx的顶点为3,2 2 3 2 47 2, 4 b a ab a 解得： 1 6. a b 2 2 3267yxxx （2）若抛物线W的顶点坐
9、标为3,2 1.a 若抛物线 W 与W关于x轴对称， 抛物线 W 的顶点坐标为： 3, 2 . 1.a 抛物线 W 的函数表达式为： 2 2 3267yxxx 7 （3）存在 如图，要使四边形MNN M是正方形， / / /MMNNy 轴，则要/ /MNx轴， 且2 M MNMMy 设 2 ,67M mmm， (3)m ， 抛物线的对称轴为：直线3x ， 由抛物线的对称性可知2 3MNm， 2 2 3267mmm 8 例 4 如图，正方形 ABCD 的顶点 A、B 分别在 y 轴和 x 轴上，且 A 点的坐标为（0,1） ，正方形的边长为. (1) 直接写出 D、C 两点的坐标； （2）求经过
10、 A、D、C 三点的抛物线的关系式； （3）若正方形以每秒个单位长度的速度匀速沿射线下滑，直至顶点落在轴上时停 止设正方 形落在轴下方部分的面积为 S，求 S 关于滑行时间 的函数关系式，并写出相应自变量 的取值范围； （4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，到顶点落在轴上时，求抛物线上两点间的抛 物线弧所扫过的面积 思路点拨 （1）可先根据 AB 所在直线的解析式求出 A，B 两点的坐标，即可得出 OA、OB 的长过 D 作 DMy 轴 于 M，则ADMBAO，由此可得出 MD、MA 的长，也就能求出 D 的坐标，同理可求出 C 的坐标； （2）可根据 A、C、D 三点的坐标，用待定
11、系数法求出抛物线的解析式； （3）要分三种情况进行讨论： 当 F 点在 AB之间时，即当 0t1 时，此时 S 为三角形 FBG 的面积，可用正方形的速度求出 AB的长， 即可求出 BF 的长，然后根据GFB的正切值求出 BG 的长，即可得出关于 S、t 的函数关系式 当 A在 x 轴下方，但 C在 x 轴上方或 x 轴上时，即当 1t2 时，S 为梯形 AGBH 的面积，可参照的 9 方法求出 AG 和 BH 的长，那么梯形的上下底就可求出，梯形的高为 AB即正方形的边长，可根据梯形的 面积计算公式得出关于 S、t 的函数关系式 当 D逐渐移动到 x 轴的过程中，即当 2t3 时，此时 S
12、为五边形 ABCHG 的面积，S=正方形 ABCD 的面积-三角形 GHD的面积可据此来列关于 S，t 的函数关系式； （4）CE 扫过的图形是个平行四边形，经过关系不难发现这个平行四边形的面积实际上就是矩形 BCDA的 面积可通过求矩形的面积来求出 CE 扫过的面积 满分解答 （1）； （3）当点 A 运动到点 x 轴时， 当时，如图 1， ， ； 当点 运动到轴上时， 当时，如图 2， 10 ， ， ； 当点 运动到轴上时， 当时，如图 3， ， ， ， ， ， 11 = （4）, = = 例 5 如图，已知抛物线 y=ax2+bx3 过点 A（1，0） ，B（3，0） ，点 M、N 为抛
13、物线上的动点，过点 M 作 MDy 轴，交直线 BC 于点 D，交 x 轴于点 E过点 N 作 NFx 轴，垂足为点 F (1)求二次函数 y=ax2+bx3 的表达式； (2)若 M 点是抛物线上对称轴右侧的点，且四边形 MNFE 为正方形，求该正方形的面积； (3)若 M 点是抛物线上对称轴左侧的点，且DMN=90 ，MD=MN，请直接写出点 M 的横坐标 思路点拨 （1）把 A（1，0） ，B（3，0）两点的坐标代入 y=ax2+bx3，利用待定系数法即可求得二次函数 y=ax2+bx 3 的表达式； （2）设点 M 的坐标为（m，m22m3） ，则 m1，分别表示出 ME=|m2+2m
14、3|、MN=2m 2，由四边形 MNFE 为正方形知 ME=MN，据此列出方程，分类讨论求解可得 m 的值，进而求出正方形 的面积； （3）先利用待定系数法求出直线 BC 的解析式，设点 M 的坐标为（t，t22t3） ，则 t1，则点 N （2t，t22t3） ，点 D（t，t3） ，由 MD=MN 列出方程，根据点 M 的位置分类讨论求解可得 满分解答 (1)把 A（1，0） ，B（3，0）代入 y=ax2+bx3， 12 得：， 解得， 故该抛物线解析式为：y=x22x3； 当m2+2m+3=22m 时，解得：m3=2+ ，m4 =2（不符合题意，舍去） ， 当 m=2+时，正方形的面积
15、为2（2+ ）22=24+8； 综上所述，正方形的面积为 24+8或 248 (3)设 BC 所在直线解析式为 y=px+q， 把点 B（3，0） 、C（0，3）代入表达式， 得：，解得： ， 直线 BC 的函数表达式为 y=x3， 设点 M 的坐标为（t，t22t3） ，其中 t1， 则点 N（2t，t22t3） ，点 D（t，t3） ， MN=2tt=22t，MD=|t22t3t+3|=|t23t| MD=MN， |t23t|=22t， 13 分两种情况： 当 t23t=22t 时，解得 t1=1，t2=2（不符合题意，舍去） 当 3tt2=22t 时，解得 t3= ，t2= （不符合题意
16、，舍去） 综上所述，点 M 的横坐标为1 或 【变式训练】 1如图， 为坐标原点，边长为的正方形的顶点 在 轴的正半轴上，将正方形 OABC 绕顶点 顺时 针旋转，使点 落在某抛物线的图象上，则该抛物线的解析式为（ ） A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】 过点 B 向 x 轴引垂线，连接 OB，可得 OB 的长度，进而得到点 B 的坐标，代入二次函数解析式即可求解 【详解】 如图，作 BEx 轴于点 E，连接 OB， 14 【点睛】 本题考查用待定系数法求函数解析式和勾股定理的运用，解题的关键是利用正方形的性质及相应的三角函 数得到点 B 的坐标 2如图，边长为 1 的正方形 AB
17、CD 顶点 A（0，1） ，B（1，1） ；一抛物线 y=ax2+bx+c 过点 M（1，0） 且顶点在正方形 ABCD 内部（包括在正方形的边上） ，则 a 的取值范围是（ ） A2a1 B2a C1a D1a 【答案】C 【解析】 【分析】 15 当顶点与 A 点重合，可以知道顶点坐标为（0，1）且抛物线过（-1，0） ，由此可求出 a；当顶点与 C 点重合， 顶点坐标为（1，2）且抛物线过（-1，0） ，由此也可求 a，然后由此可判断 a 的取值范围 【详解】 【点睛】 本题主要考查了抛物线的解析式 y=ax2+bx+c 中 a、b、c 对抛物线的影响，在对于抛物线的顶点在所给图形 内进
18、行运动的判定，充分利用了利用形数结合的方法，展开讨论，加以解决 3如图，在平面直角坐标系中，二次函数 yax2c（a0）的图象过面积为 2 1 的正方形 ABOC 的三个顶点 A、B、C，则 a 的值为 【答案】-2 【解析】 试题分析： 作BDx轴于点D， BDO=90 ， 四边形ABOC是面积为 2 1 正方形， AB=BO=CO=AC= 2 2 ， AOB=45 ，BOD=DBO=45 ，BD=DO，在 RtABO 和 RtBDO 中由勾股定理得 AO =1， 16 BD=DO= 2 1 ，A（0，1），B（ 2 1 ， 2 1 ）， 1 11 42 c ac ，解得： 2 1 a c
19、故答案为-2 考点：二次函数综合题 4如图，正方形的顶点 ， 与正方形的顶点 ， 同在一段抛物线上，且抛物线的顶点同时落在 和 轴上， 正方形边与同时落在 轴上， 若正方形的边长为 ， 则正方形的边长为_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意得出抛物线解析式，进而表示出 G 点坐标，再利用 2OF=FG，进而求出 【详解】 正方形 ABCD 边长为 4， 顶点坐标为： （0，4） ，B（2，0） ， 设抛物线解析式为：y=ax2+4， 将 B 点代入得，0=4a+4， 解得 a=-1， 抛物线解析式为：y=-x2+4， 设 G 点坐标为： （m，-m2+4） ， 则 2m=-m2+4， 整理
20、的：m2+2m-4=0， 解得：m1=-1+ ，m2=-1- （不合题意舍去） ， 正方形 EFGH 的边长 FG=2m=2-2 17 故答案是：2-2 【点睛】 考查了二次函数的综合应用以及一元二次方程的解法，解题关键是运用正方形的性质以及抛物线上点的坐 标性质得出等式 5如图 4，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过点 A（2，0） ，B（6，0） ，交 y 轴于点 C，且 SABC=16 （1）求点 C 的坐标； （2）求抛物线的解析式及其对称轴； （3）若正方形 DEFG 内接于抛物线和 x 轴（边 FG 在 x 轴上，点 D，E 分别在抛物线上） ，求 S正方形DEFG 【答
21、案】 （1） （0，8） ； （2）y= x2x+8，其对称轴为直线 x=4； （3）4 【解析】 【分析】 （1）由 SABC AB OC 求出 OC 的长度，进而确定 C 点坐标； （2）因为抛物线经过点 A（2，0） ，B（6， 0） ，故可以设二次函数的交点式，即 ya（x2） （x6） ，再将 C 点坐标代入即可求得解析式,进一步得到 对称轴； （3）设正方形 DEFG 的边长为 m，再根据题中的条件列出正确的 D、E 坐标，再将 E 点坐标代入 二次函数求出边长 m，进一步求得正方形 DEFG 的面积. 【详解】 （1）A（2，0） ，B（6，0） ， AB624 SABC16，
22、4OC16， 18 OC8， 点 C 的坐标为（0，8） ； （2）抛物线 yax2bxc（a0）经过点 A（2，0） ，B（6，0） ， 可设抛物线的解析式为 ya（x2） （x6） ， 将 C（0，8）代入，得 812a， 解得 a ， y （x2） （x6） x2x8， 故抛物线的解析式为 y x2x8，其对称轴为直线 x4； 【点睛】 本题考查了三角形的面积、二次函数的性质、二次函数图像上点的坐标特征、正方形的性质，注意灵活运 用知识点，另外利用面积求出点 C 坐标、根据二次函数与正方形的性质正确表示 D、E 的坐标是解答此题 的关键. 6如图 1：矩形 OABC 的顶点 A、B 在抛
23、物线上，OC 在轴上，且 （1）求抛物线的解析式及抛物线的对称轴 （2）如图 2，边长为的正方形 ABCD 的边 CD 在轴上，A、B 两点在抛物线上，请用含的代数式表示 点 B 的坐标,并求出正方形边长的值 19 【答案】 （1），对称轴：， （2）， 【解析】 试题分析： （1）根据矩形的性质，可得出点 B 的坐标，将点 B 的坐标代入抛物线 y=x2+bx-3 可得出 b 的值， 继而得出抛物线的解析式及抛物线的对称轴； （2）由（1）中求得的解析式，可得出对称轴，从而可得 OM=1，CM= a，BC=a，得出点 B 的坐标后代入 抛物线解析式，可得 a 的值 （2）由（1）得 OM=1
24、， 由抛物线的对称性，可得：CM= a， 又BC=a， 点 B 的坐标为（ a+1，-a） ， 把 B 点代入函数得： （ a+1）2-2（ a+1）-3=-a， 解得：a1=-2-20（舍去） ，a2=2 -2， 故边长 a=2-2 综上可得点 B 的坐标为（ a+1，-a） ，正方形边长 a=2-2 考点：二次函数综合题 7如图，正方形 OABC 的边长为 4,对角线相交于点 P，顶点 A、C 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，抛物线 20 L 经过 0、P、A 三点，点 E 是正方形内的抛物线上的动点. (1)点 P 的坐标为_ 来源:Z#X#X#K (2)求抛物线 L 的解析式. (3
25、)求OAE 与OCE 的面积之和的最大值. 【答案】 （1）(2,2);（2） 2 1 2 2 yxx ;（3）9. 【解析】试题分析： （1）根据正方形的边长结合正方形的性质即可得出点OPA、 、三点的坐标； （2） 设抛物线 L 的解析式为 2 .yaxbxc结合点OPA、 、的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解 析式； （3）由点E为正方形内的抛物线上的动点，设出点E的坐标，结合三角形的面积公式找出 OAEOCE SS关 于m的函数解析式，根据二次函数的性质即可得出结论 (2)设抛物线 L 的解析式为 2 .yaxbxc 抛物线 L 经过 O、P、A 三点， 0 0164 242, c
26、 abc abc 解得： 1 2 2 0 a b c ， 抛物线 L 的解析式为 2 1 2 . 2 yxx (3)点 E 是正方形内的抛物线上的动点， 21 设点 E 的坐标为 2 1 ,2(04) 2 mmmm ， 2 2 11 4239 22 OAEOCEEE SSOA yOC xmmmm ， 当 m=3 时，OAE 与OCE 面积之和最大，最大值为 9. 8如图 1，在直角坐标系中，已知点 A（0，2） 、点 B（2，0） ，过点 B 和线 段 OA 的中点 C 作直线 BC，以线段 BC 为边向上作正方形 BCDE. （1）填空：点 D 的坐标为（ ） ，点 E 的坐标为（ ）. （
27、2）若抛物线 2 yaxbxc(a0)经过 A、D、E 三点，求该抛物线的解析式 （3）若正方形和抛物线均以每秒5个单位长度的速度沿射线 BC 同时向上平移，直至正方形的顶点 E 落在 y 轴上时，正方形和抛物线均停止运动. 在运动过程中，设正方形落在 y 轴右侧部分的面积为 s，求 s 关于平移时间 t（秒）的函数关系式， 并写出相应自变量 t 的取值范围. 运动停止时，求抛物线的顶点坐标 【答案】解： （1）D（1，3） ，E（3，2） 。 （2）抛物线经过（0，2） 、 （1，3） 、 （3，2） ，则 c2 abc3 9a3bc2 ，解得 1 a 2 1 b 3 c2 。 抛物线的解析
28、式为 2 13 yxx2 22 （3）求出端点的时间： 当点 D 运动到 y 轴上时，如图 1，DD1= 1 2 DC= 1 2 BC = 5 2 ，t= 1 2 。 22 当点 B 运动到 y 轴上时，如图 2，BB1=BC= 5，t= 5 1 5 。 当点 E 运动到 y 轴上时，如图 2，EE1=EDDE1= 53 5+5 22 ，t= 3 2 。 当 0t 1 2 时，如图 4，正方形落在 y 轴右侧部分的面积为CCF 的面积，设 DC交 y 轴于点 F。 tanBCO= OB OC =2，BCO=FCC， tanFCC=2, 即 FC CC =2。 CC= 5t，FC=25t。 SC
29、CF= 1 2 CCFC= 1 5 2 t2 5t=5 t2。 当 1 2 t1 时，如图 5，正方形落在 y 轴右侧部分的面积为直角梯形 CCDG 的面积，设 DE交 y 轴于点 G， 过 G 作 GHBC于 H。 23 GH=BC= 5，CH= 1 2 GH= 5 2 。 CC= 5t，HC= GD=5t 5 2 。 CC D G 155 S5t+ 5t5=5t 224 梯形 当 1t 3 2 时，如图 6，正方形落在 y 轴右侧部分的面积为五边形 BCDMN 的面积，设 DE、EB分别交 y 轴于点 M、N。 综上所述，S 与 x 的函数关系式为： 24 2 2 1 5t0t 2 5 1
30、 s= 5tt1 4 2 253 5t +15t1t 42 。 当点 E 运动到点E时，运动停止，如图 7 所示。 CBE=BOC=90 ，BCO=BCE， BOCEBC。 OBBC B EE C 。 OB=2，BE=BC= 5， 25 E C5 。 CE= 5 2 。 OE=OC+CE=1+ 57 22 。E（0， 7 2 ） 。 由点 E（3，2）运动到点 E（0， 7 2 ）,可知整条抛物线向右平移了 3 个单位，向上平移了 3 2 个单位。 22 131325 yxx2(x) 22228 ，原抛物线顶点坐标为（ 325 28 ，） 运动停止时，抛物线的顶点坐标为（ 337 28 ，）
31、。 【解析】二次函数综合题，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，平移的性质，相似三角形的判定和 性质，曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】 （1）构造全等三角形，由全等三角形对应线段之间的相等关系，求出点 D、点 E 的坐标： 由题意可知：OB=2，OC=1。 如图 8 所示，过 D 点作 DHy 轴于 H，过 E 点作 EGx 轴于 G。 25 易证CDHBCO，DH=OC=1，CH=OB=2，D（1，3） 。 同理EBGBCO，BG=OC=1，EG=OB=2，E（3，2） 。 D（1，3） 、E（3，2） 。 （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式。 （3）为求 s 的表达式，需要识别
32、正方形（与抛物线）的运动过程正方形的平移，从开始到结束，总共 历时 3 2 秒，期间可以划分成三个阶段： 0t 1 2 ， 1 2 t1，1t 3 2 ，对照图形，对每个阶段的表达式求 解即可。 当运动停止时，点 E 到达 y 轴，点 E（3，2）运动到点 E（0， 7 2 ） ，可知整条抛物线向右平移了 3 个 单位，向上平移了 3 2 个单位由此由平移前的抛物线顶点坐标推出平移后的抛物线顶点坐标。 9如图，抛物线 y= x2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B，与 y 轴交于点 C，点 B 坐标为（6，0） ，点 C 坐标 为（0，6） ，点 D 是抛物线的顶点，过点 D 作 x 轴
33、的垂线，垂足为 E，连接 BD （1）求抛物线的解析式及点 D 的坐标； （2）点 F 是抛物线上的动点，当FBA=BDE 时，求点 F 的坐标； （3）若点 P 是 x 轴上方抛物线上的动点，以 PB 为边作正方形 PBFG，随着点 P 的运动，正方形的大小、 位置也随着改变，当顶点 F 或 G 恰好落在 y 轴上时，请直接写出点 P 的横坐标 【答案】 （1）D（2，8） ； （2） （1， ）或（3， ） ； （3）点 P 的横坐标为 1+或 4 或 0 【解析】 【分析】 26 （1）由 B、C 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，再求其顶点 D 即可； （2）过 F 作 FGx
34、 轴于点 G，可设出 F 点坐标，利用FBGBDE，由相似三角形的性质可得到关于 F 点坐标的方程，可求得 F 点的坐标； （3）设 P（m， m2+2m+6） ，有四种情况： 如图 2，当 G 在 y 轴上时，过 P 作 PQy 轴于 Q，作 PMx 轴于 M， 证明PQGPMB，则 PQ=PM，列方程可得 m 的值； 当 F 在 y 轴上时，如图 3，过 P 作 PMx 轴于 M，同理得结论； 当 F 在 y 轴上时，如图 4，此时 P 与 C 重合； 当 G 在 y 轴上时，如图 5，过 P 作 PMx 轴于 M，作 PNy 轴于 N，列方程可得 m 的值 【详解】 （2）如图 1，过
35、F 作 FGx 轴于点 G， 设 F（x， x2+2x+6） ，则 FG=| x2+2x+6|， FBA=BDE，FGB=BED=90 ， FBGBDE， ， B（6，0） ，D（2，8） ， E（2，0） ，BE=4，DE=8，OB=6， BG=6x， 27 ， 当点 F 在 x 轴上方时，有 6x=2（ +2x+6） ， 解得 x=1 或 x=6（舍去） ， 此时 F 点的坐标为（1， ） ； 当点 F 在 x 轴下方时，有 6x=2（ 2x6） ， 解得 x=3 或 x=6（舍去） ， 此时 F 点的坐标为（3， ） ； 综上可知 F 点的坐标为（1， ）或（3， ） ； 当 F 在 y
36、 轴上时，如图 3，过 P 作 PMx 轴于 M， 同理得：PMBBOF， OB=PM=6， 即 m2+2m+6=6， m1=0（舍） ，m2=4， P 的横坐标为 4， 当 F 在 y 轴上时，如图 4，此时 P 与 C 重合， 28 此时 P 的横坐标为 0， 综上所述，点 P 的横坐标为 1+ 或 4 或 0 【点睛】 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形和全等三角形的判定和性质、正方形的性质、 方程思想及分类讨论思想等知识在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中构造三角形相似是解题的 关键，注意有两种情况，在（3）中确定出 P 的位置是解题的关键本题考查知识点较多，综
37、合性较强，难 度适中 10如图，已 知直线交坐标轴于两点，以线段为边向上作正方形 ，过点 的抛物线与直线另一个交点为 （1）请直接写出点的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线下滑，直至顶点落在 x 轴上时停止设正方形落 在轴下方部分的面积为，求关于滑行时间 的函数关系式，并写出相应自变量 的取值范围； （4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上两点间的抛物线弧所扫过 的面积 【答案】 （1）（2） 29 (3)当时， 当时，S= 当时，S=(4) 【解析】 来源:Z&xx&k.Com （3）当点 A 运动到点 F 时， 当时，如
38、图 1， ， ；2 分 当点 运动到轴上时， 当时，如图 2， 30 ， ， ；（2 分） 当点 运动到轴上时， 当时，如图 3， ， ， ， 31 ， ， =（2 分） （4）, （1 分） = =（1 分） 11如图，抛物线 y=ax2+bx（a0）过点 E（10，0） ，矩形 ABCD 的边 AB 在线段 OE 上（点 A 在点 B 的左 边） ，点 C，D 在抛物线上设 A（t，0） ，当 t=2 时，AD=4 （1）求抛物线的函数表达式 （2）当 t 为何值时，矩形 ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？ （3）保持 t=2 时的矩形 ABCD 不动，向右平移抛物线当平移后的抛物线
39、与矩形的边有两个交点 G，H， 且直线 GH 平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离 【答案】 （1） 抛物线的函数表达式为 y= x2+ x； （2） 当 t=1 时， 矩形 ABCD 的周长有最大值， 最大值为； 32 （3）抛物线向右平移的距离是 4 个单位 【解析】分析： （1）由点 E 的坐标设抛物线的交点式，再把点 D 的坐标（2，4）代入计算可得； （2）由抛物线的对称性得 BE=OA=t，据此知 AB=10-2t，再由 x=t 时 AD=- t2+ t，根据矩形的周长公式列 出函数解析式，配方成顶点式即可得； （3）由 t=2 得出点 A、B、C、D 及对角线交点 P 的坐标，由
40、直线 GH 平分矩形的面积知直线 GH 必过点 P， 根据ABCD知线段OD平移后得到的线段是GH， 由线段OD的中点Q平移后的对应点是P知PQ是OBD 中位线，据此可得 （2）由抛物线的对称性得 BE=OA=t， AB=10-2t， 当 x=t 时，AD=- t2+ t， 矩形 ABCD 的周长=2（AB+AD） =2（10-2t）+（- t2+ t） =- t2+t+20 =- （t-1）2+ ， - 0， 当 t=1 时，矩形 ABCD 的周长有最大值，最大值为； （3）如图， 33 点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质 及平移变换
41、的性质等知识点 12如图，四边形 ABCO 为矩形，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，且点 B 的坐标为（2,1） ，将此矩形绕点 O 逆时针旋转 90 得矩形 DEFO，抛物线 y=-x2+bx+c 过 B、E 两点. （1）求此抛物线的函数解析式. （2）将矩形 DEFO 向右平移，当点 E 的对应点 E在抛物线上时，求线段 DF 扫过的面积. （3）若将矩形 ABCO 向上平移 d 个单位长度后，能使此抛物线的顶点在此矩形的边上，求 d 的值. 34 【答案】 （1）； （2）平行四边形 DDFF 的面积为； （3） 平移的距离或. 【解析】 【分析】 （1）直接利用待定系数法
42、即可解决问题 （2） 由平移可知 DF 扫过的面积为平行四边形 DDFF 的面积.根据点 E 向右平移后的对应点 E在抛物线上， 可得 E的坐标，从而求出平移的距离即可求出面积。 （3）求出抛物线顶点坐标，点 B 坐标，即可解决问题 【详解】 由题意可知，点 E 的坐标为（-1,2）. 把（2,1） ， （-1,2）分别代入， 可得，解得. 此抛物线的解析式为. 如图，由平移可知 DF 扫过的面积为平行四边形 DDFF 的面积. 当点 E 向右平移后的对应点 E在抛物线上时， 有，则，解得， E（） ， ， 平行四边形 DDFF 的面积为. 35 【点睛】 本题考查二次函数与几何变换，矩形的性
43、质旋转变换、平移变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识 解决问题，属于中考常考题型 13如图 1，平面直角坐标系中，点，OC=8，若抛物线平移后经过 C，D 两点，得到 图 1 中的抛物线 W （1）求抛物线 W 的表达式及抛物线 W 与 轴另一个交点 的坐标； （2）如图 2，以 OA，OC 为边作矩形 OABC，连结 OB，若矩形 OABC 从 O 点出发沿射线 OB 方向匀速运 动，速度为每秒 1 个单位得到矩形，求当点落在抛物线 W 上时矩形的运动时间； （3）在（2）的条件下，如图 3，矩形从 O 点出发的同时，点 P 从出发沿矩形的边以每秒 个单位的速度匀速运动，当点 P 到达
44、时，矩形和点 P 同时停止运动，设运动时间为 秒 请用含 的代数式表示点 P 的坐标； 已知：点 P 在边上运动时所经过的路径是一条线段，求点 P 在边上运动多少秒时，点 D 到 CP 的 距离最大 36 【答案】 （1），6，0） ； （2）； （3）当时，当时， ； 【解析】 试题分析： （1）先得到 C 的坐标，再把 D、C 的坐标代入平移后的解析式即可，令 y=0，可以得到和 x 轴的 另一交点的坐标； （2）经过 t 秒后，点的坐标为：，将代入，即可求出落在抛物线上的时间； （3） 设，分两种情况讨论：(I)当时，即点 P 在边上，(II)当时，即点 P 在 边上（不包含点） ， 当
45、点 在运动时，可以求出点 P 所经过的路径所在函数解析式，还可以求出直线解析式 为：，得到 DCAP，从而有DCP 面积为定值当 CP 取得最小值时，点 D 到 CP 的距离最大， 即当 CPAP 时，CP 取得最小值 试题解析： （1）依题意得：，抛物线的解析式为：，另一交点为（6， 0） ； （2）依题意：在运动过程中，经过 t 秒后，点的坐标为：，将代入，舍去负值 得：，经过秒落在抛物线上； 37 （3） 设， (I)当时，即点 P 在 边上，； (II)当时，即点 P 在 边上（不包含点） ， ， 综上所述：当时，当时， 考点：二次函数综合题 14如图，将矩形 OABC 置于平面直角坐
46、标系 xOy 中，A（2 3，0） ，C（0，2） 38 （1）抛物线 y=-x2+bx+c 经过点 B、C，求该抛物线的解析式； （2）将矩形 OABC 绕原点顺时针旋转一个角度 （0 90 ） ，在旋转过程中，当矩形的顶点落在（1） 中的抛物线的对称轴上时，求此时这个顶点的坐标； （3）如图（2） ，将矩形 OABC 绕原点顺时针旋转一个角度 （0 180 ） ，将得到矩形 OABC，设 AC 的中点为点 E，连接 CE，当 = 时，线段 CE 的长度最大，最大值为 【答案】 （1）y=-x2+2 3x+2 （2）A（ 3，-3） C（3，1） （3）120 ，4 【解析】 试题分析： （
47、1）首先根据矩形的性质以及 A、C 点的坐标确定点 B 的坐标，再利用待定系数法确定该抛物 线的解析式 （2）设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 D，若矩形的顶点 恰好落在抛物线对称轴上时，该顶点、O、D 正 好构成一个直角三角形，由勾股定理即可确定这个顶点的坐标 （3）观察图示可知：当点 E 运动到 y 轴负半轴上时，CE 最长，找出了这个关键位置，解答问题就简单多 了 试题解析： （1）矩形 OABC，A（2 3，0） ，C（0，2） ，B（2 3，2） 抛物线的对称轴为 x= 3b=2 3 二次函数的解析式为：y=-x2+2 3x+2 （2）当顶点 A 落在对称轴上时，设点 A 的对应点为点 A，连接 OA，
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