1、 1 【类型综述】 面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题， 是抛物线与直线形结合的觉形式，常见的面积问题有规则的图形的面积（如直角三角形、平行四边形、菱 形、矩形的面积计算问题）以及不规则的图形的面积计算，解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常 考的题型，此类问题计算量较大。有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。解决这类问 题常用到以下与面积相关的知识：图形的割补、等积变形、等比转化等数学方法. 面积的存在性问题常见的 题型和解题策略有两类：一是先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根二是先假设关 系存在，再列方程
2、，后根据方程的解验证假设是否正确 【方法揭秘】 解决动点产生的面积问题，常用到的知识和方法，如下： 如图 1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式 如图 2，图 3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补” 的方法 图 1 图 2 图 3 计算面积长用到的策略还有： 如图 4，同底等高三角形的面积相等平行线间的距离处处相等 如图 5，同底三角形的面积比等于高的比 如图 6，同高三角形的面积比等于底的比 2 图 4 图 5 图 6 【典例分析】 例 1 如图，抛物线 yax2bxc（a0）与 x 轴交于 A(
3、1, 0)，B(4, 0)两点，与 y 轴交于点 C(0, 2)点 M(m, n)是抛物线上一动点，位于对称轴的左侧，并且不在坐标轴上过点 M 作 x 轴的平行线交 y 轴于点 Q， 交抛物线于另一点 E，直线 BM 交 y 轴于点 F （1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标； （2）当 SMFQSMEB13 时，求点 M 的坐标 思路点拨思路点拨 1设交点式求抛物线的解析式比较简便 2把MFQ 和MEB 的底边分别看作 MQ 和 ME，分别求两个三角形高的比，底边的比（用含 m 的式 子表示） ，于是得到关于 m 的方程 3方程有两个解，慎重取舍解压轴题时，时常有这种“一石二鸟”的现象，列
4、一个方程，得到两个符 合条件的解 满分解答满分解答 （1）因为抛物线与 x 轴交于 A(1, 0)，B(4, 0)两点，设 ya(x1)(x4) 代入点 C(0, 2)，得 24a解得 1 2 a 所以 22 1131325 (1)(4)2() 222228 yxxxxx 顶点坐标为 3 25 () 28 ， 3 考点伸展考点伸展 第（2）题 SMFQSMEB13，何需点 M 一定要在抛物线上？ 从上面的解题过程可以看到，MFQ 与MEB 的高的比= 4 FQm MNm 与 n 无关，两条底边的比 = 32 MQm MEm 也与 n 无关 如图 3，因此只要点 E 与点 M 关于直线 x 3
5、2 对称，点 M 在直线的左侧，且点 M 不在坐标轴上，就存 在 SMFQSMEB13，点 M 的横坐标为 1（如图 3）或12（如图 4） 图 3 图 4 4 例 2 如图， 已知抛物线与坐标轴分别交于点、和点 ， 动点 从原点 开始沿 方向以每秒 个单位长度移动，动点 从点 开始沿方向以每秒 个单位长度移动，动点 、 同时出发，当 动点 到达原点 时，点 、 停止运动 直接写出抛物线的解析式：_； 求的面积 与 点运动时间 的函数解析式；当 为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ 当的面积最大时，在抛物线上是否存在点 （点 除外） ，使的面积等于的最大面积？ 若存在，求出 点的坐标；若不存
6、在，请说明理由 思路点拨思路点拨 （1）将点 A（0，8） 、B（8，0）代入抛物线 y=- x2+bx+c 即可求出抛物线的解析式为：y=- x2+3x+8； （2）根据题意得：当 D点运动 t秒时，BD=t，OC=t，然后由点 A（0，8） 、B（8，0） ，可得 OA=8，OB=8， 从而可得 OD=8-t，然后令 y=0，求出点 E 的坐标为（-2，0） ，进而可得 OE=2，DE=2+8-t=10-t，然后利用 三角形的面积公式即可求CED 的面积 S 与 D点运动时间 t的函数解析式为：S=- t2+5t，然后转化为顶点式 即可求出最值为：S最大=； 来源: （3）由（2）知：当
7、t=5 时，S最大=，进而可知：当 t=5 时，OC=5，OD=3，进而可得 CD= ，从而确 定 C（0，5） ，D（3，0）然后根据待定系数法求出直线 CD 的解析式为：y=- x+5，然后过 E点作 EFCD， 交抛物线与点 P，然后求出直线 EF的解析式，与抛物线联立方程组解得即可得到其中的一个点 P 的坐标， 然后利用面积法求出点 E到 CD 的距离为，然后过点 D 作 DNCD，垂足为 N，且使 DN=，然 后求出 N的坐标，然后过点 N 作 NHCD，与抛物线交与点 P，然后求出直线 NH的解析式，与抛物线联 立方程组求解即可得到其中的另两个点 P 的坐标 满分解答满分解答 5
8、例 3 如图，在平面直角坐标系中，直线 1 1 2 yx与抛物线 yax2bx3 交于 A、B 两点，点 A 在 x 轴上，点 B 的纵坐标为 3点 P 是直线 AB 下方的抛物线上的一动点（不与点 A、B 重合），过点 P 作 x 轴 的垂线交直线 AB 于点 C，作 PDAB 于点 D （1）求 a、b 及 sinACP 的值； （2）设点 P 的横坐标为 m 用含 m 的代数式表示线段 PD 的长，并求出线段 PD 长的最大值； 连结 PB，线段 PC 把PDB 分成两个三角形，是否存在适合的 m 的值，使这两个三角形的面积比为 910？若存在，直接写出 m 的值；若不存在，请说明理由
9、思路点拨思路点拨 1第（1）题由于 CP/y 轴，把ACP 转化为它的同位角 2第（2）题中，PDPCsinACP，第（1）题已经做好了铺垫 3PCD 与PCB 是同底边 PC 的两个三角形，面积比等于对应高 DN 与 BM 的比 4两个三角形的面积比为 910，要分两种情况讨论 满分解答满分解答 （1）设直线 1 1 2 yx与 y 轴交于点 E，那么 A(2,0)，B(4,3)，E(0,1) 在 RtAEO 中，OA2，OE1，所以5AE 所以 2 5 sin 5 AEO 因为 PC/EO，所以ACPAEO因此 2 5 sin 5 ACP 将 A(2,0)、B(4,3)分别代入 yax2b
10、x3，得 4230, 16433. ab ab 解得 1 2 a ， 1 2 b 6 考点伸展考点伸展 第（3）题的思路是：PCD 与PCB 是同底边 PC 的两个三角形，面积比等于对应高 DN 与 BM 的比 而 2 52 511 coscos(4)(2)(4) 5525 DNPDPDNPDACPmmmm ， BM4m 当 SPCDSPCB910 时， 19 (2)(4)(4) 510 mmm解得 5 2 m 当 SPCDSPCB109 时， 110 (2)(4)(4) 59 mmm解得 32 9 m 例 4 如图，已知二次函数的图象过点O(0,0)、A(4，0)、B( 4 3 2, 3 )
11、，M 是OA 的中点 （1）求此二次函数的解析式； （2）设 P 是抛物线上的一点，过 P 作 x 轴的平行线与抛物线交于另一点 Q，要使四边形 PQAM 是菱形， 求点P 的坐标； （3）将抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得曲线 OBA（B为 B 关于 x 轴的对称点） ，在原抛 物线 x 轴的上方部分取一点C，连结CM，CM 与翻折后的曲线OBA 交于点D，若CDA 的面积是MDA 面积 的2 倍，这样的点C 是否存在？若存在求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由 7 思路点拨思路点拨 1设交点式或顶点式求抛物线的解析式都比较简便 2先确定四边形 PQAM 是平行四边形，再验证它是菱
12、形 3把CDA 与MDA 的面积比，转化为MCA 与MDA 的面积比，进而转化为点 C 与点 D 的纵坐标的 比 满分解答满分解答 （3）如图 3，作 CEx 轴于 E，作 DFx 轴于 F 我们把面积进行两次转换： 如果CDA 的面积是MDA 面积的2 倍，那么MCA 的面积是MDA 面积的3 倍 而MCA 与MDA 是同底三角形，所以高的比CEDF31，即 yCyD31 因此 MEMF31设 MFm，那么 ME3m 原抛物线的解析式为 3 (4) 3 yx x，所以翻折后的抛物线的解析式为 3 (4) 3 yx x 所以 D 3 (2,(2)(24) 3 mmm，C 3 (23 ,(23
13、)(234) 3 mmm 根据yCyD31，列方程 33 (23 )(234)3(2)(24) 33 mmmm 整理，得3m24解得 2 3 3 m 所以2322 3m 8 所以点 C 的坐标为 8 3 (22 3,) 3 （如图3） ，或 8 3 (22 3,) 3 （如图4） 图 2 图 3 图 4 考点伸展考点伸展 第（1）题可以设抛物线的顶点式： 由点O(0,0), A(4，0)，B( 4 3 2, 3 )的坐标，可知点B 是抛物线的顶点 可设 2 4 3 (2) 3 ya x，代入点O(0,0)，得 3 3 a 例例 5 如图，直线 l 经过点 A(1，0)，且与双曲线 m y x
14、(x0)交于点 B(2，1)过点( ,1)P p p(p1)作 x 轴的平行线分别交曲线 m y x (x0)和 m y x (x0)于 M、N 两点 （1）求 m 的值及直线 l 的解析式； （2）若点 P 在直线 y2 上，求证：PMBPNA； （3）是否存在实数 p，使得 SAMN4SAMP？若存在，请求出所有满足条件的 p 的值；若不存在，请说 明理由 思路点拨思路点拨 1第（2）题准确画图，点的位置关系尽在图形中 2第（3）题把 SAMN4SAMP转化为 MN4MP，按照点 M 与线段 NP 的位置关系分两种情况讨论 满分解答满分解答 9 由 P(3，2)、N(1，2)、A(1，0)
15、三点的位置关系，可知PNA 为等腰直角三角形 所以PMBPNA 图 2 图 3 图 4 考点伸展考点伸展 在本题情景下，AMN 能否成为直角三角形？ 情形一，如图 5，AMN90 ，此时点 M 的坐标为（1，2） ，点 P 的坐标为（3，2） 情形二，如图 6，MAN90 ，此时斜边 MN 上的中线等于斜边的一半 不存在ANM90 的情况 10 图 5 图 6 例例 6 如图 1，在ABC 中，C90 ，AC3，BC4，CD 是斜边 AB 上的高，点 E 在斜边 AB 上， 过点 E 作直线与ABC 的直角边相交于点 F，设 AEx，AEF 的面积为 y （1）求线段 AD 的长； （2）若
16、EFAB，当点 E 在斜边 AB 上移动时， 求 y 与 x 的函数关系式（写出自变量 x 的取值范围） ； 当 x 取何值时，y 有最大值？并求出最大值 （3）若点 F 在直角边 AC 上（点 F 与 A、C 不重合） ，点 E 在斜边 AB 上移动，试问，是否存在直线 EF 将ABC 的周长和面积同时平分？若存在直线 EF，求出 x 的值；若不存在直线 EF，请说明理由 图 1 备用图 思路点拨思路点拨 1第（1）题求得的 AD 的长，就是第（2）题分类讨论 x 的临界点 2第（2）题要按照点 F 的位置分两种情况讨论 3第（3）题的一般策略是：先假定平分周长，再列关于面积的方程，根据方程
17、的解的情况作出判断 满分解答满分解答 11 图 2 图 3 图 4 (3)ABC 的周长等于 12，面积等于 6 先假设 EF 平分ABC 的周长，那么 AEx，AF6x，x 的变化范围为 3x5因此 1142 sin(6)(6) 2255 AEF SAE AFAxxx x 解方程 2 (6)3 5 x x，得 1 36 2 x 来源: 因为 1 36 2 x 在 3x5 范围内（如图 4） ，因此存在直线 EF 将ABC 的周长和面积同时平分 考点伸展考点伸展 如果把第 （3） 题的条件“点F 在直角边 AC 上”改为“点F 在直角边 BC 上”， 那么就不存在直线 EF 将ABC 的周长和
18、面积同时平分 先假设 EF 平分ABC 的周长，那么 AEx，BE5x，BFx1 因此 2 1133 sin(5)(1)(45) 22510 BEF SBE BFBx xxx 12 解方程 2 3 (45)3 10 xx整理，得 2 450 xx 此方程无实数根 【变式训练】 1如图，点 A 是直线 y=x 上的动点，点 B 是 x 轴上的动点，若 AB=2，则AOB 面积的最大值为（ ） A2 B+1 C-1 D2 【答案】B 【解析】 解：如图所示， 连接 OD，则 ODOC+CD， 当 O，C，D 在同一直线上时，OD的最大值为 OC+CD=+1， 来源:ZXXK 此时 ODAB， 13
19、 2如图，已知，以为圆心，长为半径作 ， 是上一个动点，直线交 轴于 点， 则面积的最大值是（ ） A B C D 【答案】B 【解析】 当直线 AN 与B 相切时，AOM 面积的最大 连接 AB、BN， 在 RtAOB 和 RtANB 中 RtAOBRtANB， AN=AO=2， 设 BM=x， 14 3如图，在中， ，动点 从点 开始沿向点 以的速度移动， 动点 从点 开始沿向点 以的速度移动.若 ， 两点分别从 ， 两点同时出发， 点到达 点运动停 止，则的面积 随出发时间 的函数关系图象大致是（ ） A B C D 【答案】C 【解析】 15 点睛：此题主要考查了动点问题的函数图象，正
20、确得出函数关系式是解题关键 4如图，在中， ，动点 P 从点 B 开始沿边 BA、AC 向点 C 以 的速度移动，动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以的速度移动，设的面积为运动时间 为，则下列图象能反映 y 与 x 之间关系的是 A B C D 【答案】B 【解析】 当时，图象为开口向上的抛物线； 当时，如下图所示， 16 ，图象为开口向下的抛物线； 故选：B 5如图，在正方形ABCD中，3ABcm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时 动点N自D点出发沿折线DCCB以每秒2cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，设AMN的面 积为 2 y cm，运动时间为x（秒
21、） ，则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是（ ） A B C. D 【答案】A 【解析】 分两部分： 当 0 x1.5 时，如图 1，此时 N 在 DC 上，SAMN=y= 1 2 AMAD= 1 2 x 3= 3 2 x， 当 1.5x3 时，如图 2，此时 N 在 BC 上，DC+CN=2x，BN=62x，SAMN=y= 1 2 AMBN= 1 2 x（6 2x）=x2+3x，故选 A 考点：动点问题的函数图象 6如图，在矩形中，点 是边上的动点（点 不与点 ，点 重合） ，过点 作直 线，交边于 点，再把沿着动直线对折，点 的对应点是 点，设的长度为 ，与 17 矩形重叠部分的
22、面积为 （1）求的度数； （2）当 取何值时，点 落在矩形的边上？ （3）求 与 之间的函数关系式； 当 取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的？ 【答案】解： （1） （2） （3） 综上所述，当时，与矩形重叠部分的面积等于矩形面积的 【解析】 解： （1）如图，四边形是矩形， 又， ， ， ， （2）如图 1， 18 （3）当点 在矩形的内部或边上时， ， ，当时， 当 在矩形的外部时（如图 2） ， 在中， ， 又， 19 矩形面积，当时，函数随自变量的增大而增大，所以 的最大值是 ，而矩形面积的的值， 而，所以，当时， 的值不可能是矩形面积的； 当时，根据题意，得： ，解这个方程，得，
23、因为， 所以不合题意，舍去 所以 综上所述，当时，与矩形重叠部分的面积等于矩形面积的 7已知直角梯形 OABC 在如图所示的平面直角坐标系中，ABOC，AB=10，OC=22，BC=15，动点 M 从 A 点出发，以每秒一个单位长度的速度沿 AB 向点 B 运动，同时动点 N 从 C 点出发，以每秒 2 个单位长度 的速度沿 CO 向 O 点运动。当其中一个动点运动到终点时，两个动点都停止运动。 （1）求 B 点坐标； （2）设运动时间为 t 秒。 当 t 为何值时，四边形 OAMN 的面积是梯形 OABC 面积的一半； 当 t 为何值时，四边形 OAMN 的面积最小，并求出最小面积。 若另有
24、一动点 P，在点 M、N 运动的同时，也从点 A 出发沿 AO 运动。在的条件下，PMPN 的长度 也刚好最小，求动点 P 的速度。 20 【答案】解（1）作 BDOC 于 D，则四边形 OABD 是矩形， 设四边形 OAMN 的面积为 S，则 0t10，且 s 随 t 的增大面减小 当 t=10 时，s 最小，最小面积为 54。 如备用图，取 N 点关于 y 轴的对称点 N/，连结 MN/交 AO 于点 P，此时PMPN=PMPN/=MN 长度最 小。 当 t=10 时，AM=t=10=AB，ON=222t=2 M（10，9） ，N（2，0）N/（2，0） 设直线 MN/的函数关系式为 ，则
25、 21 解得 P（0，） AP=OAOP= 动点 P 的速度为个单位长度/ 秒 【解析】 8如图，在中， ，动点 从点 开始沿着边向点 以的速 度移动（不与点 重合） ，动点 从点 开始沿着边向点 以的速度移动（不与点 重合） 若 、 两 点同时移动； 当移动几秒时，的面积为 设四边形的面积为，当移动几秒时，四边形的面积为？ 【答案】 （1）32cm2（2）当移动 秒时，四边形的面积为 【解析】 【分析】 （1）找出运动时间为 t 秒时 PB、BQ 的长度，根据三角形的面积公式结合BPQ 的面积为 32cm2，即可得 出关于 t 的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）用ABC 的面积减去B
26、PQ 的面积即可得出 S，令其等于 108 即可得出关于 t 的一元二次方程，解之 即可得出结论 【详解】 22 9如图，已知抛物线 y= x2+bx+c 与坐标轴分别交于点 A（0，8） 、B（8，0）和点 E，动点 C从原点 O 开始沿 OA方向以每秒 1个单位长度移动， 动点 D从点 B开始沿 BO方向以每秒 1 个单位长度移动， 动点 C、 D 同时出发，当动点 D到达原点 O 时，点 C、D 停止运动 （1）直接写出抛物线的解析式： ； （2）求CED 的面积 S 与 D 点运动时间 t 的函数解析式；当 t 为何值时，CED 的面积最大？最大面积是 多少？ （3）当CED的面积最大
27、时，在抛物线上是否存在点 P（点 E除外） ，使PCD的面积等于CED 的最大面 积？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 （1）y= x2+3x+8； （2）当 t=5 时，S 最大=； （3）P（， ）或 P（8，0）或 P （ ，） 【解析】 （1）将点 A（0，8） 、B（8，0）代入抛物线 y= 1 2 x2+bx+c 得： 8 1 6480 2 c bc ，解得：b=3，c=8， 23 抛物线的解析式为：，故答案为：； （3）由（2）知：当 t=5 时，S最大=，当 t=5 时，OC=5，OD=3，C（0，5） ，D（3，0） ，由勾股定理 得：CD=，设直线
28、 CD 的解析式为： ，将 C（0，5） ，D（3，0） ，代入上式得：k=，b=5， 直线 CD 的解析式为：，过 E 点作 EFCD，交抛物线与点 P，如图 1， 24 综上所述：当CED 的面积最大时，在抛物线上存在点 P（点 E 除外） ，使PCD 的面积等于CED 的最大 面积，点 P 的坐标为：P（，）或 P（8，0）或 P（ ，） 考点：1二次函数综合题；2二次函数的最值；3动点型；4存在型；5最值问题；6分类讨论；7压 轴题 10如图，已知抛物线 y= 1 2 x2+bx+c 与坐标轴分别交于点点 A（0，8） 、B（8，0）和点 E，动点 C 从原 点 O 开始沿 OA 方向
29、以每秒 1 个单位长度移动，动点 D 从点 B 开始沿 BO 方向以每秒 1 个单位长度移动， 动点 C、D 同时出发，当动点 D 到达原点 O 时，点 C、D 停止运动 25 （1）求该抛物线的解析式及点 E 的坐标； （2） 若 D 点运动的时间为 t， CED 的面积为 S， 求 S 关于 t 的函数关系式， 并求出CED 的面积的最大值 【答案】 （1）y= 1 2 x2+3x+8，E（2，0） ； （2）当 t=5 时，S最大= 25 2 【解析】 试题分析： （1）将点 A（0，8） 、B（8，0）代入抛物线 y= 1 2 x2+bx+c 即可求出抛物线的解析式为：y= 1 2 x
30、2+3x+8；再令 y=0，得： 1 2 x2+3x+8=0，解方程可得点 E 的坐标； （2）根据题意得：当 D 点运动 t 秒时，BD=t，OC=t，然后由点 A（0，8） 、B（8，0） ，可得 OA=8，OB=8， 从而可得 OD=8t，然后令 y=0，点 E 的坐标为（2，0） ，进而可得 OE=2，DE=2+8t=10t，然后利用 三角形的面积公式即可求CED 的面积 S 与 D 点运动时间 t 的函数解析式为：S= 1 2 t2+5t，然后转化为顶 点式即可求出最值为：S最大= 25 2 26 （2）根据题意得：当 D 点运动 t 秒时，BD=t，OC=t， OD=8t， DE=
31、OE+OD=10t， S= 1 2 DEOC= 1 2 （10t）t= 1 2 t2+5t， 即 S= 1 2 t2+5t= 1 2 （t5）2+ 25 2 ， 当 t=5 时，S最大= 25 2 考点：二次函数综合题 11 如图 1， 抛物线 2 yxbxc与x轴交于AB、两点， 与y轴交于点0 2C， 连结 AC， 若tan2.OAC （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线对称轴上有一动点 P，当90APC时，求出点P的坐标； （3）如图 2 所示，连结BC，M是线段BC上（不与B、C重 合）的一个动点.过点M作直线ll ，交 抛物线于点N，连结CN、BN，设点M的横坐标为当 t 为何值时
32、，BCN的面积最大？最大面积为 多少？ 【答案】(1) y=x2-3x+2； ； （2） （ 3 2 ， 1 2 ）或（ 3 2 ， 3 2 ） ； （3）t=1 时，SBCN的最大值为 1. 【解析】 试题分析： （1）已知了 C 点的坐标，即可得到 OC 的长，根据OAC 的正切值即可求出 OA 的长，由此可 得到 A 点的坐标，将 A、C 的坐标代入抛物线中，即可确定该二次函数的解析式； （2）根据抛物线的解析式即可确定其对称轴方程，由此可得到点 P 的横坐标；若APC=90 ，则PAE 和 CPD 是同角的余角，因此两角相等，则它们的正切值也相等，由此可求出线段 PE 的长，即可得到点
33、 P 点的坐标； （用相似三角形求解亦可） 27 （3）根据 B、C 的坐标易求得直线 BC 的解析式，已知了点 M 的横坐标为 t，根据直线 BC 和抛物线的解析 式，即可用 t 表示出 M、N 的纵坐标，由此可求得 MN 的长，以 MN 为底，B 点横坐标的绝对值为高，即 可求出BNC 的面积（或者理解为BNC 的面积是CMN 和MNB 的面积和） ，由此可得到关于 S（BNC 的面积） 、t 的函数关系式，根据所得函数的性质即可求得 S 的最大值及对应的 t 的值 抛物线对应的二次函数的解析式为 y=x2-3x+2； （2）存在. 过点 C 作对称轴 l 的垂线，垂足为 D，如图所示，
34、（3）如图所示，易得直线 BC 的解析式为：y=-x+2， 28 点 M 是直线 l和线段 BC 的交点， M 点的坐标为（t，-t+2） （0t2） ， MN=-t+2-（t2-3t+2）=-t2+2t， SBCN=SMNC+SMNB= 1 2 MN t+ 1 2 MN （2-t） ， = 1 2 MN （t+2-t）=MN=-t2+2t（0t2） ， SBCN=-t2+2t=-（t-1）2+1， 当 t=1 时，SBCN的最大值为 1 考点：二次函数综合题 12在ABC 中，ACB=90 ，AC=BC，D 是 AB 的中点，点 E 是边 AC 上的一动点，点 F 是边 BC 上 的一动点
35、（1）若 AE=CF，试证明 DE=DF； （2）在点 E、点 F 的运动过程中，若 DEDF，试判断 DE 与 DF 是否一定相等？ 并加以说明 （3）在（2）的条件下，若 AC=2，四边形 ECFD 的面积是一个定值吗？若不是， 请说明理由，若是，请 直接写出它的面积 【答案】 （1）详见解析； （2）详见解析;(3）四边形 ECFD 的面积是一定值 1 【解析】 29 （2）DE 与 DF 一定相等 证明：ABC 中，ACB=90 ，AC=BC，D 是 AB 的中点， A=DCF=45 ，CD= 1 2 AB=AD，CDAB， ADC=EDF=90 ， ADE=CDF， 在DAE 和 D
36、CF 中， ， DAEDCF（ASA） ， DE=DF； 30 13如图，在ABC中，已知ACAB ， 0 90BAC ，cmBC6，直线BCCM ，动点 D 从点 C 开始以每秒 2cm 的速度运动到 B 点，动点也同时从点 C 开始沿射线 CM 方向以每秒 1cm 的速度运动 （1）问运动多少秒时，ACEABD，并说明理由 （2）设运动时间为x秒，请用含x的代数式来表示ABD的面积 （3）运动多少秒时，ABD与ACE的面积比为 3:1 【答案】 （1）2； （2）9-3x； （3）12 【解析】 A 31 （2）过点 A 作 AFBC 于点 F， ACAB ， 0 90BAC ，cmBC6
37、， AF=3cm 由（1）得，BD=6-2x， 11 (62 )393 . 22 ABD SBD AFxx （3）过点 A 作 AGCM 于点 G， ，可得四边形 AFCG 为矩形， AF=AG， 11 , 22 ABDACE SBD AF SCE AG ，ABD与ACE的面积比为 3:1， BD：CE=3：1， 由（1）得，CE=x，BD=6-2x， （6-2x） ：x=3：1， 解得 x=12 运动 12 秒时，ABD与ACE的面积比为 3:1 考点：全等三角形的判定及性质；方程思想的运用 14在平面直角坐标系中，平行四边形如 图放置，点 、 的坐标分别是、，将此平行四 边形绕点 顺时针旋
38、转，得到平行四边形 32 如抛物线经过点 、 、，求此抛物线的解析式； 在情况下，点 是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点 在何处时，的面积最大？最大面 积是多少？并求出此时 的坐标； 在的情况下，若 为抛物线上一动点， 为 轴上的一动点，点 坐标为，当 、 、 、 构成以 作为一边的平行四边形时，求点 的坐标 【答案】(1) 抛物线的解析式为：；(2) 当时，的面积最大，最大值， 的坐标为：；(3) 点 的坐标为：， 【解析】 解：平行四边形绕点 顺时针旋转，得到平行四边形，且点 的坐标是， 点的坐标为：， 点 、 的坐标分别是、，抛物线经过点 、 、， 连接，设直线的解析式为：， 33
39、， 解得：， 直线的解析式为：， 设点 的坐标为：， 则， 当时，的面积最大，最大值， 的坐标为：； 设点 的坐标为，当 ， ， ， 构成平行四边形时， 平行四边形中，点 、 的坐标分别是、， 点 的坐标为， 点 坐标为， 为抛物线上一动点， 为 轴上的一动点， 34 15如图，直线 y= 1 2 x+1 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，抛物线 y=x2+bx+c 经过 A、B 两点 （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 是第一象限抛物线上的一点，连接 PA、PB、PO， 若POA 的面积是POB 面积的 4 3 倍求点 P 的坐标； 当四边形 AOBP 的面积最大时，求点 P
40、的坐标； （3）点 M 为直线 AB 上的动点，点 N 为抛物线上的动点，当以点 O、B、M、N 为顶点的四边形是平行四 边形时，请直接写出点 M 的坐标 【答案】 （1）抛物线解析式为 2 3 1 2 yxx ； （2）P（ 3 2 ，1） ，P（1，0.5） ； （3）满足条件的点 M 的坐标（1+ 2， 1 2 （1 2） ）或（12， 1 2 （1+ 2） ）或（1，0.5）或 M 35 （1- 2） ， 1 2 （3+ 2） ）或 M（1+2） ， 1 2 （3 2） ） ； 【解析】 （2）由（1）知，A（2，0） ，B（0，1） ，OA=2，OB=1， 由（1）知，抛物线解析式为
41、 2 3 1 2 yxx 点 P 是第一象限抛物线上的一点， 设 P（a，a2+ 3 2 a+1） ， （ （a0，a2+ 3 2 a+10） ， SPOA 1 2 =OA Py= 1 2 2 （a2+ 3 2 a+1）=a2+ 3 2 a+1 SPOB= 1 2 OB Px= 1 2 1 a= 1 2 a POA 的面积是POB 面积的 4 3 倍 a2 3 2 +a+1= 4 3 1 2 a， a = 3 2 或 a= 2 3 （舍） P（ 3 2 ，1） ； 36 （3）即：满足条件的点 M 的坐标（1+ 2， 1 2 （1 2） ）或（12 ， 1 2 （1+ 2） ）或（1，0.5）
42、 或 M（1- 2） ， 1 2 （3+ 2） ）或 M（1+2） ， 1 2 （3 2） ； 点睛：本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积，平行四边形的性质，解本题的 关键是求抛物线解析式.解答（3）时，注意分类讨论. 16 如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A （1，0） 、B（0，3）及 C（3，0）点，动点 D 从原点 O 开始沿 OB 方向以每秒 1 个单位长度移动，动点 E 从点 C 开始沿 CO 方向以每秒 1 个长度单位移动，动点 D、E 同 时出发，当动点 E 到达原点 O 时，点 D、E 停止运动 （1）求抛物线的解析式及顶点 P 的坐标；
43、（2）若 F（1，0） ，求DEF 的面积 S 与 E 点运动时间 t 的函数解析式；当 t 为何值时，DEF 的面积最 大？最大面积是多少？ （3）当DEF 的面积最大时，抛物线的对称轴上是否存在一点 N，使EBN 是直角三角形？若存在，求出 N 点的坐标，若不存在，请说明理由 【答案】 （1）y=x24x+3， （2，1） ； （2）当 t=2 时，S 最大=2； （3）N 点的坐标（2，2） ， （2，1） ， （2，11 3 ） ， 37 （2， 1 3 ） 【解析】 试题分析： （1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标； （2）根据三角形的面积公式，可得函数解析
44、式，根据二次函数的性质，可得答案； （3）根据勾股定理的逆定理，可得关于 a 的方程，根据解方程，可得 N 点坐标 （2）如图 1 由题意，得 CE=t，OE=3t，FE=4t，OD=t S= 1 2 FEOD= 1 2 （4t）t= 1 2 t2+2t= 1 2 （t2）2+2， 当 t=2 时，S最大=2； 38 考点：二次函数综合题 17如图，抛物线与 轴交于点 和点，与 轴交于点 ，其对称轴 为 求抛物线的解析式并写出其顶点坐标； 若动点 在第二象限内的抛物线上，动点 在对称轴 上 当，且时，求此时点 的坐标； 当四边形的面积最大时，求四边形面积的最大值及此时点 的坐标 【 答 案 】
45、 ， 顶 点 坐 标 为； 点； 当时 ， ， 【解析】 来源:Z&xx&k.Com 39 令，解得或， 点， 作轴于点 ， 点 在上， 设点 ，且， ， ， 即， 解得（舍去）或， 点； 设，则， 40 ， 当时，此时， 所以 18如图，直线与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，抛物线 经过 、 两点 求抛物线的解析式； 如图，点 是直线上方抛物线上的一动点，当面积最大时，请求出点 的坐标和面积的最 大值？ 在的结论下，过点 作 轴的平行线交直线于点 ，连接，点 是抛物线对称轴上的动点，在抛物 线上是否存在点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点 的坐标； 如果
46、不存在，请说明理由 【答案】 （1）； （2）当时，即点 的坐标是时，的面积最大，最大面积是 ； （3）点 的坐标是、 41 （2）如图 1，过点 E作 y轴的平行线 EF交直线 BC于点 M，EF交 x轴于点 F 点 E是直线 BC上方抛物线上的一动点， 设点 E的坐标是 （x， x2+ x+3） ， 则点 M的坐标是 （x， x+3） ， EM= x2+ x+3（ x+3）= x2+ x，SBEC=SBEM+SMEC = （ x2+ x） 4= x2+3x= （x2）2+3 当 x=2 时，即点 E 的坐标是（2，3）时，BEC的面积最大，最大面积是 3 （3）在抛物线上存在点 P，使得以 P、Q、A、M 为顶点的四边形是平行四边形 如图 2，由（2） ，可得点 M的横坐标是 2 42 解得：或 x0，点 P 的坐标是（3，） 如图 3，由（2） ，可得点 M的横坐标是 2 点 M 在直线 y= x+3上，点 M的坐标是（2， ） 又点 A 的坐标是（2，0） ，AM=， AM 所在的直线的斜率是：； 43 如图 4，由（2） ，可得点 M的横坐标是 2 点 M 在直线 y= x+3上，点
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