1、2021 中考数学专题训练中考数学专题训练：锐角三角函数锐角三角函数 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 道小题）道小题） 1. 下列式子错误 的是( ) A. cos40sin50 B. tan15tan751 C. sin225cos2251 D. sin602sin30 2. 在 RtABC 中，C90 ，sinA4 5，AC6 cm.则 BC 的长度为( ) A. 6 cm B. 7 cm C. 8 cm D. 9 cm 3. (2019湖北宜昌)如图，在5 4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC的顶点 都在这些小正方形的顶点上，则sinBAC的值为 A 4 3
2、 B 3 4 C 3 5 D 4 5 4. 如图，平面直角坐标系中，P 经过三点 A(8，0)，O(0，0)，B(0，6)，点 D 是P 上的一 动点，当点 D 到弦 OB 的距离最大时，tanBOD 的值是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 5. (2019湖南湘西州)如图， 在ABC中， C=90， AC=12， AB的垂直平分线EF交AC于点D， 连接BD，若cosBDC= 5 7 ，则BC的长是 A10 B8 C43 D26 6. 如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是 15 米的旗杆 ED，从办公大楼顶端 A 测得旗杆 顶端 E 的俯角 是 45 ，旗杆底端 D 到大楼前梯坎底
3、边的距离 DC 是 20 米，梯坎坡长 BC 是 12米， 梯坎坡度i1 3， 则大楼AB的高度约为(精确到0.1米， 参考数据： 21.41， 31.73， 62.45)( ) A. 30.6 B. 32.1 C. 37.9 D. 39.4 7. 一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与 CA 的夹角为 .现要在楼 梯上铺一条地毯，已知 CA4 米，楼梯宽度 1 米，则地毯的面积至少需要( ) A. 4 sin 米 2 B. 4 cos 米 2 C. (4 4 tan) 米 2 D. (44tan) 米2 8. (2019湖南长沙3 分)如图，一艘轮船从位于灯塔 C
4、 的北偏东 60方向，距离灯塔 60nmile 的小岛 A 出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 C 的南偏东 45方向上的 B 处， 这时轮船 B 与小岛 A 的距离是 A303nmile B60nmile C120nmile D(30+303)nmile 9. 如图， 钓鱼竿 AC 长 6 m， 露在水面上的鱼线 BC 长 3 2 m， 某钓鱼者想看看鱼钩上的情况， 把鱼竿 AC 转到 AC的位置，此时露在水面上的鱼线 BC为 3 3 m，则鱼竿转过的角度是 ( ) A. 60 B. 45 C. 15 D. 90 10. 如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q 四点均
5、在正方形网格的格点上， 线段 AB，PQ 相交于点 M，则图中QMB 的正切值是( ) A. 1 2 B. 1 C. 3 D. 2 11. 如图， 以 O 为圆心， 半径为 1 的弧交坐标轴于 A， B 两点， P 是AB 上一点(不与 A， B 重合)， 连接 OP，设POB，则点 P 的坐标是( ) A. (sin，sin) B. (cos，cos) C. (cos，sin) D. (sin，cos) 12. (2019浙江温州)某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆 AB 的 长为 A 9 5sin 米 B 9 5cos 米 C 5 9sin 米 D 5 9cos 米
6、 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 道小题）道小题） 13. 长为 4 m 的梯子搭在墙上与地面成 45 角，作业时调整为 60 角(如图所示)，则梯子的顶端 沿墙面升高了_m. 14. 如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆 10 m 的 A 处测得旗杆顶端 B 的仰角 为 60 ，测角仪高 AD 为 1 m，则旗杆高 BC 为_m(结果保留根号) 15. (2019湖北随州)计算：(2019)02cos60 =_ 16. 如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM4 米， AB 8 米，MAD45 ，MBC30 ，则警示牌的高 CD 为_米(
7、结果精确到 0.1 米，参 考数据： 21.41， 31.73) 17. 如图， 航拍无人机从 A 处测得一幢建筑物顶部 B 的仰角为 30 ， 测得底部 C 的俯角为 60 ， 此时航拍无人机与该建筑物的水平距离 AD 为 90 米，那么该建筑物的高度 BC 约为_ 米(精确到 1 米，参考数据： 31.73) 18. (2019江苏宿迁)如图，MAN=60，若ABC 的顶点 B 在射线 AM 上，且 AB=2，点 C 在射线 AN 上运动，当ABC 是锐角三角形时，BC 的取值范围是_ 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 3 道小题）道小题） 19. 如图， 在数学活动课中， 小敏为
8、了测量校园内旗杆 CD 的高度， 先在教学楼的底端 A 点处， 观测到旗杆顶端 C 的仰角CAD60 ， 然后爬到教学楼上的 B 处， 观测到旗杆底端 D 的俯角 是 30 . 已知教学楼 AB 高 4 米 (1)求教学楼与旗杆的水平距离 AD；(结果保留根号 ) (2)求旗杆 CD 的高度 20. (2019铜仁)如图，A、B 两个小岛相距 10km，一架直升飞机由 B 岛飞往 A 岛，其飞行高度 一直保持在海平面以上的 hkm，当直升机飞到 P 处时，由 P 处测得 B 岛和 A 岛的俯角分别是 45和 60，已知 A、B、P 和海平面上一点 M 都在同一个平面上，且 M 位于 P 的正下
9、方， 求 h(结果取整数，31.732) 21. 如图，O 是 ABC 的外接圆，AB 是直径，D 是 AC 中点，直线 OD 与O 相交于 E，F 两点，P 是O 外一点，且 P 在直线 OD 上，连接 PA，PC，AF，满足PCA=ABC. (1)求证:PA 是O 的切线; (2)证明:EF2=4OD OP; (3)若 BC=8，tanAFP=2 3，求 DE 的长. 答案答案 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 道小题）道小题） 1. 【答案】【答案】D 【解析】逐项分析如下： 选项 逐项分析 正误 A cos40sin(90 40 )sin50 B tan15tan75 1
10、 tan75tan751 C sin2Acos2A1 D sin60 3 2 ，2sin302 1 21，sin602sin30 2. 【答案】【答案】C 【解析】sinABC AB 4 5，设 BC4a，则 AB5a，AC （5a）2（4a）2 3a，3a6，即 a2，故 BC4a8 cm. 3. 【答案】【答案】D 【解析】如图，过C作CDAB于D，则ADC=90 ，AC= 22 ADCD = 22 34 =5sinBAC= CD AC = 4 5 故选D 4. 【答案】【答案】B 解析如图所示，当点 D 到弦 OB 的距离最大时，DEOB 于 E 点，且 D，E，P 三点共线.连接 AB
11、，由题意可知 AB 为P 的直径，A(8，0)，OA=8，B(0，6)，OB=6， OE=BE=1 2OB=3，在 Rt AOB 中，AB= 2 + 2=10，BP=1 2AB= 1 2 10=5，在 Rt PEB 中，PE=2-2=4， DE=EP+DP=4+5=9，tanDOB= = 9 3=3，故选 B. 5. 【答案】【答案】D 【解析】C=90，cosBDC= 5 7 ，设CD=5x，BD=7x，BC=26x， AB的垂直平分线EF交AC于点D，AD=BD=7x，AC=12x， AC=12，x=1，BC=26；故选D 6. 【答案】【答案】D 【解析】如解图，设 AB 与 DC 的延
12、长线交于点 G，过点 E 作 EFAB 于点 F， 过点 B 作 BHED 于点 H， 则可得四边形 GDEF 为矩形 在 RtBCG 中， BC12， iBCBG CG 3 3 ，BCG30 ，BG6，CG6 3，BFFGBGDEBG1569， AEF45 ， AFEFDGCGCD6 320， ABBFAF9206 339.4(米) 7. 【答案】【答案】D 【解析】在 RtABC 中，BAC，CA4 米，BCCA tan4tan.地毯 长为(44tan)米，宽为 1 米，其面积为(44tan) 1(44tan)米 2. 8. 【答案】【答案】D 【解析】过 C 作 CDAB 于 D 点，A
13、CD=30，BCD=45，AC=60 在 RtACD 中，cosACD= CD AC ，CD=ACcosACD=60 3 2 =303 在 RtDCB 中，BCD=B=45，CD=BD=303，AB=AD+BD=30+30 3 所以此时轮船所在的 B 处与灯塔 P 的距离是(30+303)nmile故选 D 9. 【答案】【答案】C 【解析】sinCABBC AC 3 2 6 2 2 ，CAB45 ，sinCABBC AC 3 3 6 3 2 ，CAB60 ，CAC60 45 15 ，即鱼竿转过的角度是 15 . 10. 【答案】【答案】D 【解析】如解图，将 AB 平移到 PE 位置，连接
14、QE, 则 PQ2 10，PE2 2， QE4 2，PEQ 中，PE2QE2PQ2，则PEQ90 ，tanQMB tanPQE PE2. 11. 【答案】【答案】C 【解析】如解图，过点 P 作 PCOB 于点 C，则在 RtOPC 中，OCOP cos POB1coscos，PCOP sinPOB1 sinsin，即点 P 的坐标为(cos，sin ) 12. 【答案】【答案】B 【解析】如图，作 ADBC 于点 D，则 BD 3 2 0.3 9 5 ， cos BD AB ，cos 9 5 AB ，解得 AB 9 5cos 米， 故选 B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 道小
15、题）道小题） 13. 【答案】【答案】2( 3 2) 【解析】开始时梯子顶端离地面距离为 4 sin45 4 2 2 2 2，移动 后梯子顶端离地面距离为 4 sin60 4 3 2 2 3， 故梯子顶端沿墙面升高了 2 32 22( 3 2)m. 14. 【答案】【答案】10 31 【解析】如解图，过点 A 作 AEBC，垂足为点 E，则 AECD10 m， 在RtAEB中， BEAE tan6010 310 3 m， BCBEECBEAD(10 31)m. 15. 【答案】【答案】0 【解析】原式=12 =11=0，故答案为：0 16. 【答案】【答案】2.9 【解析】在 RtAMD 中，
16、DMtanDAMAMtan4544 米，在 Rt BMC 中，CMtanMBCBMtan30124 3 米，故 CDCMDM4 342.9 米 17. 【答案】【答案】208 【解析】在 RtABD 中，BDAD tanBAD90 tan3030 3，在 Rt ACD 中，CDAD tanCAD90 tan6090 3，BCBDCD30 390 3120 3 208(米) 18. 【答案】【答案】BC2 【解析】如图，过点 B 作 BC1AN，垂足为 C1，BC2AM，交 AN 于点 C2， 在 RtABC1 中， AB=2， A=60， ABC1=30， AC1=AB=1， 由勾股定理得：
17、BC1= ， 在 RtABC2 中， AB=2， A=60， AC2B=30， AC2=4， 由勾股定理得： BC2=2 ， 当ABC 是锐角三角形时， 点 C 在 C1C2 上移动， 此时BC2 故答案为：BC2 33 1 2 3 3333 3 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 3 道小题）道小题） 19. 【答案】【答案】 解：(1)在教学楼 B 点处观测旗杆底端 D 处的俯角是 30 ， ADB30 ，(1 分) 在 RtABD 中，BAD90 ，ADB30 ，AB4(米)，(2 分) AD AB tanADB 4 tan304 3(米)(3 分) 答：教学楼与旗杆的水平距离是
18、4 3 米(4 分) (也可先求ABD60 ，利用 tan60去计算得到结论) (2)在 RtACD 中，ADC90 ，CAD60 ，AD4 3 米，(5 分) CDAD tan604 3 312(米)(7 分) 答：旗杆 CD 的高度是 12 米(8 分) 20. 【答案】【答案】 由题意得，A=30，B=45，AB=10km， 在 RtAPM 和 RtBPM 中，tanA= h AM =3，tanB= h BM =1， AM= 3 h = 3 3 h，BM=h， AM+BM=AB=10， 3 3 h+h=10， 解得 h=15536 答：h 约为 6km 21. 【答案】【答案】 解:(1
19、)因为点 D 是 AC 中点，所以 ODAC，所以 PA=PC，所以PCA=PAC，因为 AB 是 O 的直径， 所以ACB=90 ，所以ABC+BAC=90 ， 因为PCA=ABC，所以PAC=ABC， 所以PAC+BAC=90 ，所以 PAAB，所以 PA 是O 的切线. (2)因为PAO=ADO=90 ，AOD=POA，所以 PAOADO，所以 = ， 所以 AO2=OD OP， 所以 EF2=AB2=(2AO)2=4AO2=4OD OP. (3)因为 tanAFP=2 3，所以设 AD=2x， 则 FD=3x， 连接 AE，易证 ADEFDA， 所以 = = 2 3， 所以 ED=2 3AD= 4 3x， 所以 EF=13 3 x，EO=13 6 x，DO=5 6x， 在 ABC 中，DO 为中位线， 所以 DO=1 2BC=4， 所以5 6x=4，x= 24 5 ，所以 ED=4 3x= 32 5 .
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