1、2021 中考数学专题训练中考数学专题训练：一元二次方程及其应用一元二次方程及其应用 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 道小题）道小题） 1. 下列选项中，能使关于 x 的一元二次方程 ax24xc0 一定有实数根的是( ) A. a0 B. a0 C. c0 D. c0 2. 用配方法将方程 x24x40 化成(xm)2n 的形式，则 m，n 的值分别是( ) A2，0 B2，0 C2，8 D2，8 3. 一元二次方程(x1)(x1)2x3 的根的情况是( ) A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 4. 下列一元二次方程中，没有实数根的是
2、( ) Ax22x0 Bx24x10 C2x24x30 D3x25x2 5. 方程 x22020 x0 的根是( ) Ax2020 Bx0 Cx12020，x20 Dx2020 6. 随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展， 家用汽车已越来越多地进入普通家庭， 抽样调查显示，截止至 2015 年底某市汽车拥有量为 16.9 万辆已知 2013 年底该市汽车拥有 量为 10 万辆设 2013 年底至 2015 年底该市汽车拥有量的年平均增长率为 x.根据题意列方程 得( ) A. 10(1x)216.9 B. 10(12x)16.9 C. 10(1x)216.9 D. 10(12x)16
3、.9 7. 若关于 x 的一元二次方程 x22xm0 无实数根，则实数 m 的取值范围是( ) Am1 Bm1 Cm1 Dm1 8. 新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近 几年销售量全球第一，2016 年销售量为 50.7 万辆，销量逐年增加，到 2018 年销量为 125.6 万 辆，设年平均增长率为 x，则可列方程为 ( ) A.50.7(1+x)2=125.6 B.125.6(1-x)2=50.7 C.50.7(1+2x)=125.6 D.50.7(1+x2)=125.6 9. 关于 x 的一元二次方程 x2kx20(k 为实数)根的情况是(
4、) A有两个不相等的实数根 C没有实数根 B有两个相等的实数根 D不能确定 10. 一元二次方程(x1)(x3)2x5 的根的情况是( ) A无实数根 B有一个正根，一个负根 C有两个正根，且都小于 3 D有两个正根，且有一根大于 3 11. 某市 2018 年 GDP 比 2017 年增长了 11.5%，由于受到国际因素的影响，2019 年的 GDP 比 2018 年增长了 7%.若这两年 GDP 的年平均增长率为 x，则 x 满足的关系式是( ) A11.5%7%x B(111.5%) (17%)2(1x) C11.5%7%2x D(111.5%) (17%)(1x)2 12. 以 xb
5、b 24c 2 为根的一元二次方程可能是( ) Ax2bxc0 Bx2bxc0 Cx2bxc0 Dx2bxc0 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 道小题）道小题） 13. 若(m2)3x10 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为_ 14. 一个三角形其中两边的长分别为 3 和 6，第三边的长是方程 x26x80 的一个根，则此 三角形的周长是_ 15. 小明在解方程 x22x10 时出现了错误，其解答过程如下： x22x1.(第一步) x22x111.(第二步) (x1)20.(第三步) x1x21.(第四步) (1)小明的解答过程是从第_步开始出现错误，其错误原因是_； (
6、2)请写出此题正确的解答过程 16. 设 a，b 是方程 x2x20200 的两个实数根，则(a1)(b1)的值为_ 17. 相邻的两个自然数，若它们的平方和比这两数中较小数的 2 倍大 51，则这两个自然数分别 为_ 18. 已知关于 x 的方程 ax2bx10 的两根分别为 x11，x22，则方程 a(x1)2b(x1) 10 的两根之和为_ 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 3 道小题）道小题） 19. 一条直线上有 n 个点，共有 190 条线段，求 n 的值 20. 某广告公司制作广告的收费标准是以面积为单位，在不超过规定的面积 a(m2)的范围内，每 张广告费 1000 元
7、，如果超过 a(m2)，那么除了要交 1000 元的广告费以外，超过的部分还要按 每平方米 50a 元交费下表是该公司对两家用户广告的收费面积和广告费情况的记录 红星公司要制作一张大型公益广告，其材料形状是矩形，如果它的四周是空白，并且四周各空 0.5 m，空白部分不收广告费，中间的矩形部分才是广告的收费面积这张广告的长、宽之比 为 32，并且红星公司为此支出 110400 元的广告费 (1)求 a 的值； (2)红星公司要制作的这张广告的长和宽各是多少米？ 解题突破(7 题) 利用烟草公司及食品公司的广告费建立方程求 a 的值， 利用红星公司支出的广告费和收费标准 求其广告的收费面积，利用收
8、费面积和已知条件求这张广告的长与宽 21. 在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根比如对于方程 x2 5x20，操作步骤是： 第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点 A(0，1)，B(5，2)； 第二步： 在坐标平面中移动一个直角三角板， 使一条直角边恒过点 A， 另一条直角边恒过点 B； 第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在 x 轴上点 C 处时，点 C 的横坐标 m 即为该 方程的一个实数根(如图)； 第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在 x 轴上另一点 D 处时，点 D 的横坐标 n 既为 该方程的另一个实数根 (1)在图中，按照“第四步”的操作
9、方法作出点 D(请保留作出点 D 时直角三角板两条直角边的 痕迹)； (2)结合图，请证明“第三步”操作得到的 m 就是方程 x25x20 的一个实数根； (3)上述操作的关键是确定两个固定点的位置若要以此方法找到一元二次方程 ax2bxc 0(a0，b24ac0)的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标； (4)实际上，(3)中的固定点有无数对，一般地，当 m1，n1，m2，n2与 a，b，c 之间满足怎样的 关系时，点 P(m1，n1)Q(m2，n2)就是符合要求的一对固定点？ 答案答案 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 道小题）道小题） 1. 【答案】【答案】D 【解析】该方
10、程是一元二次方程，则有 a0，该一元二次方程根的判别式为 b2 4ac164ac，要使原方程一定有实数根，只需 b24ac0 即可A 选项中 a0，若 c0， 164ac 可能小于 0，不符合题意；B 选项中一元二次方程 a 不能为 0，不符合题意；C 选项同 A 选项，不符合题意；D 选项中当 c0 时，b24ac160，符合题意，故选 D. 2. 【答案】【答案】D 解析 x24x40， x24x4， 则 x24x444，即(x2)28， m2，n8. 3. 【答案】【答案】A 解析 整理，得 x22x40，b24ac(2)216200.故选 A. 4. 【答案】【答案】C 5. 【答案】
11、【答案】C 6. 【答案】【答案】A 【解析】因为年平均增长率为 x，从 2013 年到 2015 年连续增长两年，开始量为 10 万辆，结束量为 16.9 万辆，则可列方程 10(1x)216.9. 7. 【答案】【答案】D 解析 方程无实数根， b24ac(2)24 1 m44m0， 解得 m1. 故选 D. 8. 【答案】【答案】A 解析由题意知， 在2016年50.7万的基础上， 每年增长x， 则到2018年为50.7(1+x)2， 所以选 A. 9. 【答案】【答案】A 解析 a1，bk，c2，b24ack24 1 (2)k280，方 程有两个不相等的实数根故选 A. 10. 【答案
12、】【答案】D 解析 将一元二次方程(x1)(x3)2x5 化简为 x24x20.其判别式 b24ac(4)24 1 280，方程的两根为 x（4） 8 2 ，即 x12 2，x22 2.2 23，2 20，该方程有两个正根，且有一根大于 3.故选 D. 11. 【答案】【答案】D 解析 设 2017 年的 GDP 为 1， 2018 年的 GDP 比 2017 年增长了 11.5%， 2018 年的 GDP 为 111.5%. 2019 年的 GDP 比 2018 年增长了 7%， 2019 年的 GDP 为(111.5%) (17%) 这两年 GDP 的年平均增长率为 x， 2019 年的
13、GDP 也可表示为(1x)2， 可列方程为(111.5%) (17%)(1x)2. 12. 【答案】【答案】D 解析 对照求根公式， 可确定二次项系数、 一次项系数和常数项分别为 1， b， c.故选 D. 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 道小题）道小题） 13. 【答案】【答案】2 解析 由题意得 m222，且 m20，解得 m2. 14. 【答案】【答案】13 解析 解方程 x26x80，得 x12，x24.2，3，6 不能构成三角形， 舍去 x2.当 x4 时，三角形的周长34613. 15. 【答案】【答案】解：(1)一 移项时没有变号 (2)x22x1. x22x111
14、. (x1)22. x1 2. 所以 x11 2，x21 2. 16. 【答案】【答案】2018 解析 根据题意，得 ab1，ab2020，(a1)(b1)ab(a b)12020112018.故答案为：2018. 17. 【答案】【答案】5，6 解析 设较小的自然数为 x，则较大的自然数为(x1) 根据题意，得 x2(x1)22x51， 解得 x15，x25(舍去) 则这两个自然数分别为 5，6. 18. 【答案】【答案】1 解析 设方程 a(x1)2b(x1)10 的两根为 x3，x4，则 x31x1，x41 x2， x30，x41，x3x41. 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共
15、3 道小题）道小题） 19. 【答案】【答案】 解：根据题意，得1 2n(n1)190， 解得 n120，n219(舍去) n20. 20. 【答案】【答案】 解：(1)由题中表格可知 3a6. 根据题意，得 100050a(6a)1400， 解得 a14，a22(舍去)，则 a4. (2)设这张广告的收费面积为 S m2，根据题意，得 100050 4(S4)110400，解得 S551. 设这张广告的长、宽分别为 3x m，2x m. 根据题意，得(3x1)(2x1)551， 整理，得 6x25x5500， 解得 x110，x255 6 (舍去)， 则 3x30，2x20. 答：红星公司要
16、制作的这张广告的长和宽分别是 30 m 和 20 m. 21. 【答案】【答案】 【思路分析】(1)因为点 C 是 x 轴上的一动点，且ACB90 保持不变，所以由圆周角的性质 得，点 C 必在以 AB 为直径的圆上，所以以 AB 为直径画圆，与 x 轴相交于两点，除点 C 的另 一点就是所求；(2)因为ACB90 ，AOC90 ，所以过点 B 作 BEx 轴，垂足为 E，则 构造了一个“K”字型的基本图形， 再由相似三角的性质得出比例式， 化简后得 m25m20， 问题得证；(3)由(2)中的证明过程可知，一个二次项系数为 1 的一元二次方程，一次项系数是 点 A 的横坐标与点 B 的横坐标
17、的和的相反数；常数项是点 A 的纵坐标与点 B 的纵坐标的积， 先把方程 ax2bxc0，化为 x2b ax c a0，再根据上述关系写出一对固定点的坐标；(4)由 (2)的证明中知， 本题的关键点在“K”字型的构造， 所以本小题解题的关键是要抓住图中的“K” 字型，只要 P、Q 两点分别在 AD、BD 上，过 P、Q 分别作 x 轴垂线，垂足为 M、N，这样就 构造出满足条件的基本图形，再应用相似三角形的性质，可得相应的关系式 图 图 (1)解：如解图，先作出 AB 的中点 O1，以 O1为圆心，1 2AB 为半径画圆 x 轴上另外一个交点即为 D 点；(4 分) (2)证明：如解图，过点
18、B 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 E， ADB90 ，ADOBDE90 ， OADADO90 ，OADBDE， AODDEB90 ， AODDEB，(6 分) AO DE OD EB，即 1 5m m 2， m25m20，m 是 x25x20 的一个实根；(8 分) (3)解：(0，1)，(b a ，c a)或(0， 1 a)，( b a，c)；(10 分) (4)解：在解图中，P 在 AD 上，Q 在 BD 上，过 P，Q 分别作 x 轴的垂线交 x 轴于 M，N. 由(2)知 PMDDNQ， n1 m2x xm1 n2 ，(12 分) x2(m1m2)xm1m2n1n20 与 ax2bxc0 同解， b am1m2； c am1m2n1n2.(14 分) 【难点突破】本题是一道考查数形结合思想的题本题解题的突破口要抓住ACB90 保持 不变的特征，构造相似三角形中的基本图形，通过数形结合的方法，以相似三角形的比例式为 桥梁，以此获得关于 m 的等量关系，从而使问题得以解决
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