1、2020-2021 学年黑龙江省齐齐哈尔市铁锋区九年级（上）期中数学试卷学年黑龙江省齐齐哈尔市铁锋区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A等边三角形 B平行四边形 C圆 D五角星 2下列一元二次方程中有两个相等实数根的是（ ） A2x26x+10 B3x2x50 Cx2+x0 Dx24x+40 3 把二次函数的图象向右平移 2 个单位后， 再向上平移 3 个单位， 所得的函数图象的顶点是 （ ） A （2，3） B （2，3） C （3，2） D （2，3） 4如图，在ABC
2、 中，C90，AC4，BC3，将ABC 绕点 A 逆时针旋转，使点 C 落在线段 AB 上的点 E 处，点 B 落在点 D 处，则 B、D 两点间的距离为（ ） A B2 C3 D2 5如图，AB 是O 的弦，AO 的延长线交过点 B 的O 的切线于点 C，如果ABO30，则C 的度数 是（ ） A70 B45 C30 D20 6如图，在长 70m，宽 40m 的矩形花园中，欲修宽度相等的观赏路（阴影部分） ，要使观赏路面积占总面 积的，则路宽 xm 应满足的方程是（ ） A （40 x） （70 x）400 B （402x） （703x）400 C （40 x） （70 x）2400 D （
3、402x） （703x）2400 7在同一坐标系中，一次函数 ymx+n2与二次函数 yx2+m 的图象可能是（ ） A B C D 8关于 x 的方程 ax2x+10 有实数根，则 a 的取值范围是（ ） Aa且 a0 Ba Ca且 a0 Da 9如图，ABC 中，BAC60，ABC45，AB2，D 是线段 BC 上的一个动点，以 AD 为直 径画圆 O 分别交 AB，AC 于 E，F，连接 EF，则线段 EF 长度的最小值为（ ） A1 B C D2 10如图，已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于点 A（1，0） ，与 y 轴的交点 B 在（0， 2）和（0，1）之
4、间（不包括这两点） ，对称轴为直线 x1下列结论：abc0；4a+2b+c0； 4acb216a；bc其中正确结论个数（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，共分，共 21 分）分） 11已知 x1 是一元二次方程（m2）x2+4xm20 的一个根，则 m 的值是 12若二次函数 yx23x+2m 的最小值是 2，则 m 13一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径 OA1m，水面宽 AB1.2m，某天下雨后，水管水面 上升了 0.2m，则此时排水管水面宽 CD 等于 m 14设 A（1，y1） ，B（0，y2） ，C（2，y3）是抛物线 y
5、x2+2a 上的三点，则 y1，y2，y3由小到大关系 为 15已知（x2+y2） （x2+y25）6，则 x2+y2 16已知O 的直径 CD10，AB 是O 的弦，ABCD，垂足为 M，且 AB8，则 AC 的长为 17如图，将边长为 1 的正三角形 OAP 沿 x 轴正方向连续翻转 2020 次，点 P 依次落在点 P1，P2，P3， P2020的位置，则点 P2020的横坐标为 三、解答题（满分三、解答题（满分 69 分）分） 18 （10 分）解方程： （1）x2+6x20 （2） （2x1）2x（3x+2）7 19 （7 分）研究所在研究某种流感病毒发现，若一人携带此病毒，未进行有
6、效隔离，经过两轮传染后共有 169 人患病（假设每轮每人传染的人数相同） ，求： （1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？ （2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？ 20 （8 分）如图，已知抛物线的顶点为 A（1，4） ，抛物线与 y 轴交于点 B（0，3） ，与 x 轴交于 C、D 两点， 点 P 是 x 轴上的一个动点 （1）求此抛物线的解析式； （2）当 PA+PB 的值最小时，求点 P 的坐标 21 （8 分）AB 是O 的弦，D 为半径 OA 的中点，过 D 作 CDOA 交弦 AB 于点 E，交O 于点 F，且 CE CB （1
7、）求证：BC 是O 的切线； （2）连接 AF，BF，求ABF 的度数 22 （10 分）在“万众创业、大众创新”的新时代下，大学毕业生小张响应国家号召，开办了家饰品店，该 店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件 40 元，售价为每件 60 元，每月可卖出 300 件市场调查反映：售价每下降 1 元每月要多卖 20 件，为了获得更大的利润且让利给顾客，现将饰品售 价降价 x（元/件） （且 x 为整数） ，每月饰品销量为 y（件） ，月利润为 w（元） （1）写出 y 与 x 之间的函数解析式； （2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润； （3）为了使每月利润等于 6
8、000 元时，应如何确定销售价格 23 （12 分）如图 1，将两个完全相同的三角形纸片 ABC 和 DEC 重合放置，其中C90，BE 30 （1）操作发现 如图 2，固定ABC，使DEC 绕点 C 旋转，当点 D 恰好落在 AB 边上时，填空： 线段 DE 与 AC 的位置关系是 ； 设BDC 的面积为 S1，AEC 的面积为 S2，则 S1与 S2的数量关系是 （2）猜想论证 当DEC 绕点 C 旋转到如图 3 所示的位置时，小明猜想（1）中 S1与 S2的数量关系仍然成立，并尝试分 别作出了BDC 和AEC 中 BC、CE 边上的高，请你证明小明的猜想 （3）拓展探究 已知ABC60，
9、点 D 是角平分线上一点，BDCD4，DEAB 交 BC 于点 E（如图 4） 若在射线 BA 上存在点 F，使 SDCFSBDE，请直接写出相应的 BF 的长 24 （14 分）综合与探究 如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，OA2，OC6，连接 AC 和 BC （1）求抛物线的解析式； （2）点 E 是第四象限内抛物线上的动点，连接 CE 和 BE若设 E 点的横坐标为 t，则请你求出BCE 面积 S 与 t 之间存在怎样的函数关系； （3）若点 M 是 x 轴上的动点，在抛物线的对称轴上是否存在点 N，使以点 A、C、M、N 为顶点的四边
10、 形是平行四边形？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A等边三角形 B平行四边形 C圆 D五角星 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； C、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； D、五角星是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
11、故选：C 2下列一元二次方程中有两个相等实数根的是（ ） A2x26x+10 B3x2x50 Cx2+x0 Dx24x+40 【分析】由根的判别式为b24ac，挨个计算四个选项中的值，由此即可得出结论 【解答】解：A、b24ac（6）2421280， 该方程有两个不相等的实数根； B、b24ac（1）243（5）610， 该方程有两个不相等的实数根； C、b24ac1241010， 该方程有两个不相等的实数根； D、b24ac（4）24140， 该方程有两个相等的实数根 故选：D 3 把二次函数的图象向右平移 2 个单位后， 再向上平移 3 个单位， 所得的函数图象的顶点是 （ ） A （2，
12、3） B （2，3） C （3，2） D （2，3） 【分析】利用平移规律求平移后的顶点坐标即可 【解答】解：二次函数， 原抛物线的顶点为（0，0） ， 把二次函数的图象向右平移 2 个单位后，再向上平移 3 个单位， 新抛物线的顶点为（2，3） ， 故选：A 4如图，在ABC 中，C90，AC4，BC3，将ABC 绕点 A 逆时针旋转，使点 C 落在线段 AB 上的点 E 处，点 B 落在点 D 处，则 B、D 两点间的距离为（ ） A B2 C3 D2 【分析】通过勾股定理计算出 AB 长度，利用旋转性质求出各对应线段长度，利用勾股定理求出 B、D 两 点间的距离 【解答】解：连接 BD
13、在ABC 中，C90，AC4，BC3， AB5， 将ABC 绕点 A 逆时针旋转，使点 C 落在线段 AB 上的点 E 处，点 B 落在点 D 处， AE4，DE3， BE1， 在 RtBED 中， BD 故选：A 5如图，AB 是O 的弦，AO 的延长线交过点 B 的O 的切线于点 C，如果ABO30，则C 的度数 是（ ） A70 B45 C30 D20 【分析】由 BC 是O 的切线，OB 是O 的半径，得到OBC90，根据等腰三角形的性质得到A ABO30，由外角的性质得到BOC60，即可求得C30 【解答】解：BC 是O 的切线，OB 是O 的半径， OBC90， OAOB， AAB
14、O30， BOC60， C30 故选：C 6如图，在长 70m，宽 40m 的矩形花园中，欲修宽度相等的观赏路（阴影部分） ，要使观赏路面积占总面 积的，则路宽 xm 应满足的方程是（ ） A （40 x） （70 x）400 B （402x） （703x）400 C （40 x） （70 x）2400 D （402x） （703x）2400 【分析】根据题意和图形中的数据可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题 【解答】解：由图可得， （402x） （703x）4070（1） ， 即（402x） （703x）2400， 故选：D 7在同一坐标系中，一次函数 ymx+n2与二次函数 yx2
15、+m 的图象可能是（ ） A B C D 【分析】 本题可先由一次函数 ymx+n2图象得到字母系数的正负， 再与二次函数 yx2+m 的图象相比 较看是否一致 【解答】解：A、由直线与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上可知，n20，错误； B、由抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上可知，m0，由直线可知，m0，错误； C、由抛物线 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上可知，m0，由直线可知，m0，错误； D、由抛物线 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上可知，m0，由直线可知，m0，正确， 故选：D 8关于 x 的方程 ax2x+10 有实数根，则 a 的取值范围是（ ） Aa且 a0 Ba
16、Ca且 a0 Da 【分析】分为两种情况：当 a0，a0，根据已知得出0，求出即可 【解答】解：分为两种情况：当 a0 时，x+10， 解得：x1； 当 a0 时，关于 x 的方程 ax2x+10 有实数根， （1）24a114a0， 解得：a， 故选：B 9如图，ABC 中，BAC60，ABC45，AB2，D 是线段 BC 上的一个动点，以 AD 为直 径画圆 O 分别交 AB，AC 于 E，F，连接 EF，则线段 EF 长度的最小值为（ ） A1 B C D2 【分析】由垂线段的性质可知，当 AD 为ABC 的边 BC 上的高时，直径 AD 最短，此时线段 EF2EH 20EsinEOH2
17、0Esin60，因此当半径 OE 最短时，EF 最短，连接 OE，OF，过 O 点作 OHEF， 垂足为 H，在 RtADB 中，解直角三角形求直径 AD，由圆周角定理可知EOHEOFBAC 60，在 RtEOH 中，解直角三角形求 EH，由垂径定理可知 EF2EH 【解答】解：由垂线段的性质可知，当 AD 为ABC 的边 BC 上的高时，直径 AD 最短， 如图，连接 OE，OF，过 O 点作 OHEF，垂足为 H， 则 EHFH， 在 RtADB 中，ABC45，AB2， ADBDAB2，即此时圆的直径为 2， OE1， 由圆周角定理可知EOHEOFBAC60， 在 RtEOH 中，EHO
18、EsinEOH1， 由垂径定理可知 EF2EH 故选：C 10如图，已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于点 A（1，0） ，与 y 轴的交点 B 在（0， 2）和（0，1）之间（不包括这两点） ，对称轴为直线 x1下列结论：abc0；4a+2b+c0； 4acb216a；bc其中正确结论个数（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【分析】根据对称轴为直线 x1 及图象开口向下可判断出 a、b、c 的符号，从而判断；根据对称轴得 到函数图象经过（3，0） ，则得的判断；根据图象经过（1，0）可得到 a、b、c 之间的关系，从而 对作判断； 从图象与 y 轴的交点
19、B 在 （0， 2） 和 （0， 1） 之间可以判断 c 的大小得出的正误 【解答】解：函数开口方向向上， a0； 对称轴在 y 轴右侧， a、b 异号，b0， 抛物线与 y 轴交点在 y 轴负半轴， c0， abc0， 故正确； 图象与 x 轴交于点 A（1，0） ，对称轴为直线 x1， 图象与 x 轴的另一个交点为（3，0） ， 当 x2 时，y0， 4a+2b+c0， 故错误； 解法一：由图象知：抛物线与 x 轴有两个交点， b24ac0， 4acb20， 16a0， 4acb216a； 解法二：图象与 x 轴交于点 A（1，0） ， 当 x1 时，y（1）2a+b（1）+c0， ab+
20、c0，即 abc，cba， 对称轴为直线 x1， 1，即 b2a， cba（2a）a3a， 4acb24a （3a）（2a）216a20， 16a0， 4acb216a， 故正确 图象与 y 轴的交点 B 在（0，2）和（0，1）之间， 2c1 23a1， a； 故正确 a0， bc0，即 bc； 故正确； 正确结论为：，有 4 个， 故选：C 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，共分，共 21 分）分） 11已知 x1 是一元二次方程（m2）x2+4xm20 的一个根，则 m 的值是 1 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值即把 x1 代
21、入方程求解可得 m 的值 【解答】解：把 x1 代入方程（m2）x2+4xm20 得到（m2）+4m20， 解得：m1 或 m2， m20 m1， 故答案为：1 12若二次函数 yx23x+2m 的最小值是 2，则 m 【分析】利用配方法将二次函数方程 yx23x+2m 转化为顶点式方程，然后求该函数的最小值即可 【解答】解：由 yx23x+2m，得 y（x）2+2m， y最小2m2， 解得，m； 故答案是： 13一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径 OA1m，水面宽 AB1.2m，某天下雨后，水管水面 上升了 0.2m，则此时排水管水面宽 CD 等于 1.6 m 【分析】先根据勾股定理
22、求出 OE 的长，再根据垂径定理求出 CF 的长，即可得出结论 【解答】解：如图： AB1.2m，OEAB，OA1m， OE0.8m， 水管水面上升了 0.2m， OF0.80.20.6m， CFm， CD1.6m 故答案为：1.6 14设 A（1，y1） ，B（0，y2） ，C（2，y3）是抛物线 yx2+2a 上的三点，则 y1，y2，y3由小到大关系 为 y3y1y2 【分析】先根据抛物线解析式得到抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质，通过三点与 对称轴距离的远近来比较函数值的大小 【解答】解：yx2+2a， 抛物线开口向下，对称轴为 y 轴， 而 B（0，y2）在对称轴上，
23、A（1，y1）到对称轴的距离比 C（2，y3）近， y3y1y2 故答案为：y3y1y2 15已知（x2+y2） （x2+y25）6，则 x2+y2 6 【分析】 设 x2+y2m， 把原方程转化为含 m 的一元二次方程， 先用因式分解法求解， 再确定 x2+y2的值 【解答】解：设 x2+y2m，原方程可变形为：m（m5）6， 即 m25m60 （m6） （m+1）0， 解得 m16，m21 mx2+y20， x2+y26 故答案为：6 16 已知O的直径CD10， AB是O的弦， ABCD， 垂足为M， 且AB8， 则AC的长为 【分析】连结 OA，由 ABCD，根据垂径定理得到 AM4，
24、再根据勾股定理计算出 OM3，然后分类 讨论：当如图 1 时，CM8；当如图 2 时，CM2，再利用勾股定理分别计算即可 【解答】解：连结 OA， ABCD， AMBMAB84， 在 RtOAM 中，OA5， OM3， 当如图 1 时，CMOC+OM5+38， 在 RtACM 中，AC4； 当如图 2 时，CMOCOM532， 在 RtACM 中，AC2 故答案为 4或 2 17如图，将边长为 1 的正三角形 OAP 沿 x 轴正方向连续翻转 2020 次，点 P 依次落在点 P1，P2，P3， P2020的位置，则点 P2020的横坐标为 2020 【分析】根据图形的翻转，分别得出 P1、P
25、2、P3的横坐标，再根据规律即可得出各个点的横坐标 【解答】解：观察图形结合翻转的方法可以得出 P1、P2的横坐标是 1，P3的横坐标是 2.5，P4、P5的横 坐标是 4，P6的横坐标是 5.5依此类推下去， 因为 20193673， （6731）3+2.52018.5，所以 P2019的横坐标为 2018.5P2019、P2020的横坐标 是 2020 故答案为：2020 三、解答题（满分三、解答题（满分 69 分）分） 18 （10 分）解方程： （1）x2+6x20 （2） （2x1）2x（3x+2）7 【分析】 （1）方程利用配方法求出解即可； （2）方程整理后，利用分解因式分解法求
26、出解即可 【解答】解： （1）方程整理得：x2+6x2， 配方得：x2+6x+911，即（x+3）211， 开方得：x+3， 解得：x13+，x23； （2）方程整理得：x26x+80， 分解因式得： （x2） （x4）0， 可得 x20 或 x40， 解得：x12，x24 19 （7 分）研究所在研究某种流感病毒发现，若一人携带此病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有 169 人患病（假设每轮每人传染的人数相同） ，求： （1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？ （2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？ 【分析】 （1）设每轮传染中平均每
27、个人传染了 x 个人，根据“若一人携带此病毒，未进行有效隔离，经 过两轮传染后共有 169 人患病” ，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用经过三轮传染后患病的人数经过两轮传染后患病的人数（1+12） ，即可求出结论 【解答】解： （1）设每轮传染中平均每个人传染了 x 个人， 依题意，得：1+x+x（x+1）169， 解得：x112，x214（不合题意，舍去） 答：每轮传染中平均每个人传染了 12 个人 （2）169（1+12）2197（人） 答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有 2197 人患病 20 （8 分）如图，已知抛物线的顶点为 A（1，4
28、） ，抛物线与 y 轴交于点 B（0，3） ，与 x 轴交于 C、D 两点， 点 P 是 x 轴上的一个动点 （1）求此抛物线的解析式； （2）当 PA+PB 的值最小时，求点 P 的坐标 【分析】 （1）设抛物线顶点式解析式 ya（x1）2+4，然后把点 B 的坐标代入求出 a 的值，即可得解； （2） 先求出点 B 关于 x 轴的对称点 B的坐标， 连接 AB与 x 轴相交， 根据轴对称确定最短路线问题， 交点即为所求的点 P，然后利用待定系数法求一次函数解析式求出直线 AB的解析式，再求出与 x 轴的 交点即可 【解答】解： （1）抛物线的顶点为 A（1，4） ， 设抛物线的解析式 ya
29、（x1）2+4， 把点 B（0，3）代入得，a+43， 解得 a1， 抛物线的解析式为 y（x1）2+4； （2）点 B 关于 x 轴的对称点 B的坐标为（0，3） ， 由轴对称确定最短路线问题，连接 AB与 x 轴的交点即为点 P， 设直线 AB的解析式为 ykx+b（k0） ， 则， 解得， 直线 AB的解析式为 y7x3， 令 y0，则 7x30， 解得 x， 所以，当 PA+PB 的值最小时的点 P 的坐标为（，0） 21 （8 分）AB 是O 的弦，D 为半径 OA 的中点，过 D 作 CDOA 交弦 AB 于点 E，交O 于点 F，且 CE CB （1）求证：BC 是O 的切线；
30、（2）连接 AF，BF，求ABF 的度数 【分析】 （1）连接 OB，有圆的半径相等和已知条件证明OBC90即可证明 BC 是O 的切线； （2）连接 OF，AF，BF，首先证明OAF 是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所 对圆心角的一半即可求出ABF 的度数； 【解答】 （1）证明：连接 OB OBOA，CECB， AOBA，CEBABC 又CDOA A+AEDA+CEB90 OBA+ABC90 OBBC BC 是O 的切线 （2）解：连接 OF，AF，BF， DADO，CDOA， AFOF， OAOF， OAF 是等边三角形， AOF60 ABFAOF30 22 （10 分
31、）在“万众创业、大众创新”的新时代下，大学毕业生小张响应国家号召，开办了家饰品店，该 店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件 40 元，售价为每件 60 元，每月可卖出 300 件市场调查反映：售价每下降 1 元每月要多卖 20 件，为了获得更大的利润且让利给顾客，现将饰品售 价降价 x（元/件） （且 x 为整数） ，每月饰品销量为 y（件） ，月利润为 w（元） （1）写出 y 与 x 之间的函数解析式； （2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润； （3）为了使每月利润等于 6000 元时，应如何确定销售价格 【分析】 （1）由售价每下降 1 元每月要多卖 20
32、件，可得 y 与 x 之间的函数解析式； （2）由月利润单件利润数量，可得 w 与 x 的函数解析式，由二次函数的性质可求解； （3）将 w6000 代入解析式，解方程可求解 【解答】解： （1）由题意可得：y300+20 x； （2）由题意可得：w（20 x） （300+20 x）20（x2.5）2+6125， 由题意可知 x 应取整数，当 x2 或 3 元时，w 有最大值， 让利给顾客， x3 即当售价为 57 元时，利润最大， 最大利润为 6120 元； （3）由题意，令 w6000，即， 解得 x10（舍去） ，x25， 故将销售价格为 55 元，才能使每月利润等于 6000 元 23
33、 （12 分）如图 1，将两个完全相同的三角形纸片 ABC 和 DEC 重合放置，其中C90，BE 30 （1）操作发现 如图 2，固定ABC，使DEC 绕点 C 旋转，当点 D 恰好落在 AB 边上时，填空： 线段 DE 与 AC 的位置关系是 DEAC ； 设BDC 的面积为 S1，AEC 的面积为 S2，则 S1与 S2的数量关系是 S1S2 （2）猜想论证 当DEC 绕点 C 旋转到如图 3 所示的位置时，小明猜想（1）中 S1与 S2的数量关系仍然成立，并尝试分 别作出了BDC 和AEC 中 BC、CE 边上的高，请你证明小明的猜想 （3）拓展探究 已知ABC60，点 D 是角平分线
34、上一点，BDCD4，DEAB 交 BC 于点 E（如图 4） 若在射线 BA 上存在点 F，使 SDCFSBDE，请直接写出相应的 BF 的长 【分析】 （1）根据旋转的性质可得 ACCD，然后求出ACD 是等边三角形，根据等边三角形的性质 可得ACD60，然后根据内错角相等，两直线平行解答； 根据等边三角形的性质可得 ACAD，再根据直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半求出 ACAB， 然后求出 ACBD， 再根据等边三角形的性质求出点 C 到 AB 的距离等于点 D 到 AC 的距离， 然后根据等底等高的三角形的面积相等解答； （2）根据旋转的性质可得 BCCE，ACCD，再求出A
35、CNDCM，然后利用“角角边”证明ACN 和DCM 全等， 根据全等三角形对应边相等可得 ANDM， 然后利用等底等高的三角形的面积相等证明； （3）过点 D 作 DF1BE，求出四边形 BEDF1是菱形，根据菱形的对边相等可得 BEDF1，然后根据等 底等高的三角形的面积相等可知点 F1为所求的点，过点 D 作 DF2BD，求出F1DF260，从而得 到DF1F2是等边三角形，然后求出 DF1DF2，再求出CDF1CDF2，利用“边角边”证明CDF1 和CDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点 F2也是所求的点，然后在等腰BDE 中求出 BE 的 长，即可得解 【解答】解： （1）DEC
36、 绕点 C 旋转点 D 恰好落在 AB 边上， ACCD， BAC90B903060， ACD 是等边三角形， ACD60， 又CDEBAC60， ACDCDE， DEAC； B30，C90， CDACAB， BDADAC， 根据等边三角形的性质，ACD 的边 AC、AD 上的高相等， BDC 的面积和AEC 的面积相等（等底等高的三角形的面积相等） ， 即 S1S2； 故答案为：DEAC；S1S2； （2）如图，DEC 是由ABC 绕点 C 旋转得到， BCCE，ACCD， ACN+BCN90，DCM+BCN1809090， ACNDCM， 在ACN 和DCM 中， ， ACNDCM（AAS
37、） ， ANDM， BDC 的面积和AEC 的面积相等（等底等高的三角形的面积相等） ， 即 S1S2； （3）如图，过点 D 作 DF1BE，易求四边形 BEDF1是菱形， 所以 BEDF1，且 BE、DF1上的高相等， 此时 SDCF1SBDE； 过点 D 作 DF2BD， ABC60，F1DBE， F2F1DABC60， BF1DF1，F1BDABC30，F2DB90， F1DF2ABC60， DF1F2是等边三角形， DF1DF2， BDCD，ABC60，点 D 是角平分线上一点， DBCDCB6030， CDF1180BCD18030150， CDF236015060150， CDF
38、1CDF2， 在CDF1和CDF2中， ， CDF1CDF2（SAS） ， 点 F2也是所求的点， ABC60，点 D 是角平分线上一点，DEAB， DBCBDEABD6030， 又BD4， BE4cos302， BF1，BF2BF1+F1F2+， 故 BF 的长为或 24 （14 分）综合与探究 如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，OA2，OC6，连接 AC 和 BC （1）求抛物线的解析式； （2）点 E 是第四象限内抛物线上的动点，连接 CE 和 BE若设 E 点的横坐标为 t，则请你求出BCE 面积 S 与 t 之间存在怎样的函数关系；
39、 （3）若点 M 是 x 轴上的动点，在抛物线的对称轴上是否存在点 N，使以点 A、C、M、N 为顶点的四边 形是平行四边形？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）用待定系数法即可求解； （2）由 SSHEB+SHECEHOB，即可求解； （3）分 AC 是边、AC 是对角线利用图形的平移的性质和中点公式即可求解 【解答】解： （1）OA2，OC6，则点 A、C 的坐标分别为（2，0） 、 （0，6） ， 将点 A、C 的坐标代入抛物线表达式得，解得， 故抛物线的表达式为 yx2x6； （2）令 yx2x60，解得 x2 和 3，故点 B（3，0） ，则函数的
40、对称轴为 x， 由点 B、C 的坐标得，直线 BC 的表达式为 y2x6， 过点 E 作 y 轴的平行线交 BC 于点 H， 设点 E（t，t2t6） ，则点 H（t，2t6） ， 则 SSHEB+SHECEHOB3（2t6t2+t+6）t2+t； （3）存在，理由： 设点 M（x，0） ，点 N（，m） ， 当 AC 是边时， 点 A 向右平移 2 个单位向下平移 6 个单位得到点 C，同样点 M（N）向右平移 2 个单位向下平移 6 个单 位得到点 N（M） ， 即 x2，解得 x1.5 或 2.5； 当 AC 是对角线时， 由中点公式得：（2+0）（x+） ，解得 x2.5， 故点 E 的坐标为（1.5，0）或（2.5，0）或（2.5，0）
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