1、2020-2021 学年山东省学年山东省德州市德城区德州市德城区九年级（上）期中数学试卷九年级（上）期中数学试卷 一、单选题一、单选题 1下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 2抛物线 y（x2）21 可以由抛物线 yx2平移而得到，下列平移正确的是（ ） A先向左平移 2 个单位长度，然后向上平移 1 个单位长度 B先向左平移 2 个单位长度，然后向下平移 1 个单位长度 C先向右平移 2 个单位长度，然后向上平移 1 个单位长度 D先向右平移 2 个单位长度，然后向下平移 1 个单位长度 3已知关于 x 的方程（m+3）x2+5x+m290 有一个解
2、是 0，则 m 的值为（ ） A3 B3 C3 D不确定 4如图，AB 是O 的弦，半径 OA2，AOB120，则弦 AB 的长是（ ） A B C D 5如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB，垂足为 M，下列结论不成立的是（ ） ACMDM B CACDADC DOMMD 6已知点 A（x2，3）与点 B（x+4，y5）关于原点对称，则 yx的值是（ ） A2 B C4 D8 7已知：如图，O 的两条弦 AE、BC 相交于点 D，连接 AC、BE，若ACB50，则下列结论中正确 的是（ ） AAOB50 BADB50 CAEB30 DAEB50 8如图，将 RtABC 绕其直角顶点 C 按
3、顺时针方向旋转 90后得到 RtDEC，连接 AD，若B55， 则ADE 等于（ ） A5 B10 C15 D20 9在一幅长 80cm，宽 50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要 使整个挂图的面积是 5400cm2，设金色纸边的宽为 xcm，那么 x 满足的方程是（ ） Ax2+130 x14000 Bx2+65x3500 Cx2130 x14000 Dx265x3500 10如图，RtABC 中，C90，ABC30，AC2，ABC 绕点 C 顺时针旋转得A1B1C，当 A1 落在 AB 边上时，连接 B1B，取 BB1的中点 D，连接 A1D，则 A
4、1D 的长度是（ ） A B2 C3 D2 11如图，C 是以 AB 为直径的半圆 O 上一点，连结 AC，BC，分别以 AC、BC 为直径作半圆，其中 M，N 分别是 AC、BC 为直径作半圆弧的中点，的中点分别是 P，Q若 MP+NQ7，AC+BC26，则 AB 的长是（ ） A17 B18 C19 D20 12如图，在 RtABC 中，C90，AC6cm，BC2cm，点 P 在边 AC 上，从点 A 向点 C 移动，点 Q 在边 CB 上，从点 C 向点 B 移动若点 P，Q 均以 1cm/s 的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另 一点也随之停止，连接 PQ，则线段 PQ 的最小值是
5、（ ） A20cm B18cm C2cm D3cm 二、填空题二、填空题 13方程 2x23x10 的两根为 x1，x2，则 x12+x22 14已知点 A（4，y1） ，B（，y2） ，C（2，y3）都在二次函数 y（x2）21 的图象上，则 y1、y2、 y3的大小关系是 15如图所示的一座拱桥，当水面宽 AB 为 12m 时，桥洞顶部离水面 4m，已知桥洞的拱形是抛物线以水 平方向为 x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点 A 为坐标原点，则抛物线的解析式是 16如图，RtOAB 的顶点 A（2，4）在抛物线 yax2上，将 RtOAB 绕点 O 顺时针旋转 90，得到 OCD，边 CD
6、与该抛物线交于点 P，则点 P 的坐标为 17关于 x 的一元二次方程 mx22x+10 有两个实数根，则 m 的取值范围是 18如图，抛物线 yx24 与 x 轴交于 A、B 两点，P 是以点 C（0，3）为圆心，2 为半径的圆上的动点， Q 是线段 PA 的中点，连结 OQ则线段 OQ 的最大值是 三、解答题三、解答题 19解方程： （1） （3y+2）2（2y1）20 （2）3x（x1）2x2 20已知ABC 在平面直角坐标系 xOy 中的位置如图所示 （1）作ABC 关于点 O 成中心对称的A1B1C1； （2）将A1B1C1向右平移 4 个单位，作出平移后的A2B2C2； （3）在
7、x 轴上求作一点 P，使 PA1+PC2的值最小，并求出这个最小值 21如图，已知二次函数 y+bx+c 的图象经过 A（2，0） 、B（0，6）两点 （1）求这个二次函数的解析式； （2）设该二次函数的对称轴与 x 轴交于点 C，连接 BA、BC，求ABC 的面积 22某商家经销一种绿茶，用于装修门面已投资 3000 元，已知绿茶每千克成本 50 元，在第一个月的试销 时间内发现，销量 w（kg）随销售单价 x（元/kg）的变化而变化，具体变化规律如下表所示 销售单价 x （元/kg） 70 75 80 85 90 销售量 w （kg） 100 90 80 70 60 设该绿茶的月销售利润为
8、 y（元） （销售利润单价销售量成本投资） （1）请根据上表，写出 w 与 x 之间的函数关系式（不必写出自变量 x 的取值范围） ； （2）求 y 与 x 之间的函数关系式（不必写出自变量 x 的取值范围） 并求出 x 为何值时，y 的值最大？ （3）若在第一个月里，按使 y 获得最大值的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售 单价不得高于 90 元，要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到 1700 元，那么第二个月里应 该确定销售单价为多少元？ 23如图，以ABC 的一边 AB 为直径的半圆与其它两边 AC，BC 的交点分别为 D，E，且 （1）试判断ABC 的形状，
9、并说明理由； （2）已知半圆的半径为 5，BC12，求 BD 的长 24在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，且EAFCEF45 （1）将ADF 绕点 A 顺时针旋转 90，得到ABG（如图 1） ，求证：BE+DFEF； （2）若直线 EF 与 AB、AD 的延长线分别交于点 M、N（如图 2） ，求证：EF2ME2+NF2； （3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，其余条件不变（如图 3） ，直接写出线段 EF、BE、DF 之间的 数量关系 25如图，抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧） ，与 y 轴交于点 C，且当 x0
10、 和 x2 时，y 的值相等，直线 y3x7 与这条抛物线交于两点，其中一点横坐标为 4，另一点是这条抛物 线的顶点 M （1）求顶点 M 的坐标并求出这条抛物线对应的函数解析式 （2）P 为线段 BM 上一点（P 不与点 B，M 重合） ，作 PQx 轴于点 Q，连接 PC，设 OQt，四边形 PQAC 的面积为 S，求 S 与 t 的函数解析式，并直接写出 t 的取值范围 （3） 在线段 BM 上是否存在点 N， 使NMC 为等腰三角形？若存在， 直接写出点 N 的坐标， 若不存在， 说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单选题一、单选题 1下列手机软件图标中，既是轴对称图形
11、又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形的定义旋转 180后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称 图形的定义即可判断出 【解答】 解： A、 此图形旋转 180后不能与原图形重合， 此图形不是中心对称图形， 是轴对称图形， 故 A 选项错误； B、此图形旋转 180后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故 B 选 项错误； C、此图形旋转 180后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故 C 选项错 误； D、此图形旋转 180后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故 D 选项正 确 故选：D
12、2抛物线 y（x2）21 可以由抛物线 yx2平移而得到，下列平移正确的是（ ） A先向左平移 2 个单位长度，然后向上平移 1 个单位长度 B先向左平移 2 个单位长度，然后向下平移 1 个单位长度 C先向右平移 2 个单位长度，然后向上平移 1 个单位长度 D先向右平移 2 个单位长度，然后向下平移 1 个单位长度 【分析】抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究 【解答】解：抛物线 yx2顶点为（0，0） ，抛物线 y（x2）21 的顶点为（2，1） ，则抛物线 y x2向右平移 2 个单位，向下平移 1 个单位得到抛物线 y（x2）21 的图象 故选：D 3已知关于
13、x 的方程（m+3）x2+5x+m290 有一个解是 0，则 m 的值为（ ） A3 B3 C3 D不确定 【分析】方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然 成立；将 x0 代入原方程即可求得 m 的值 【解答】解：把 x0 代入原方程得 m290； 解得：m3 故选：C 4如图，AB 是O 的弦，半径 OA2，AOB120，则弦 AB 的长是（ ） A B C D 【分析】过 O 作弦 AB 的垂线，通过构建直角三角形求出弦 AB 的长 【解答】解：过 O 作 OCAB 于 C 在 RtOAC 中，OA2，AOCAOB60， ACOAsin60， 因
14、此 AB2AC2 故选：B 5如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB，垂足为 M，下列结论不成立的是（ ） ACMDM B CACDADC DOMMD 【分析】由直径 AB 垂直于弦 CD，利用垂径定理得到 M 为 CD 的中点，B 为劣弧的中点，可得出 A 和 B 选项成立，再由 AM 为公共边，一对直角相等，CMDM，利用 SAS 可得出三角形 ACM 与三角形 ADM 全等，根据全等三角形的对应角相等可得出选项 C 成立，而 OM 不一定等于 MD，得出选项 D 不 成立 【解答】解：AB 是O 的直径，弦 CDAB，垂足为 M， M 为 CD 的中点，即 CMDM，选项 A 成立； B
15、 为的中点，即，选项 B 成立； 在ACM 和ADM 中， ， ACMADM（SAS） ， ACDADC，选项 C 成立； 而 OM 与 MD 不一定相等，选项 D 不成立 故选：D 6已知点 A（x2，3）与点 B（x+4，y5）关于原点对称，则 yx的值是（ ） A2 B C4 D8 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出 x，y 的值进而得出答案 【解答】解：点 A（x2，3）与点 B（x+4，y5）关于原点对称， x2+x+40， y53， 解得：x1，y2， 则 yx2 1 故选：B 7已知：如图，O 的两条弦 AE、BC 相交于点 D，连接 AC、BE，若ACB50，则下列结论中
16、正确 的是（ ） AAOB50 BADB50 CAEB30 DAEB50 【分析】由圆周角定理知AEBACB50，AOB2ACB100，ADBACB+CAD ACB50，即可得出结论 【解答】解：ACB50， AEBACB50，AOB2ACB100， ADBACB+CADACB50， 故选项 A、B、C 不正确，只有选项 D 正确， 故选：D 8如图，将 RtABC 绕其直角顶点 C 按顺时针方向旋转 90后得到 RtDEC，连接 AD，若B55， 则ADE 等于（ ） A5 B10 C15 D20 【分析】根据旋转的性质可得 ACCD，CEDB，再判断出ACD 是等腰直角三角形，然后根据 等
17、腰直角三角形的性质求出CAD45，由外角的性质可求解 【解答】解：RtABC 绕其直角顶点 C 按顺时针方向旋转 90后得到 RtDEC， ACCD，CEDB55， ACD 是等腰直角三角形， CAD45， ADECEDCAD554510， 故选：B 9在一幅长 80cm，宽 50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要 使整个挂图的面积是 5400cm2，设金色纸边的宽为 xcm，那么 x 满足的方程是（ ） Ax2+130 x14000 Bx2+65x3500 Cx2130 x14000 Dx265x3500 【分析】本题可设长为（80+2x） ，宽为（5
18、0+2x） ，再根据面积公式列出方程，化简即可 【解答】解：依题意得： （80+2x） （50+2x）5400， 即 4000+260 x+4x25400， 化简为：4x2+260 x14000， 即 x2+65x3500 故选：B 10如图，RtABC 中，C90，ABC30，AC2，ABC 绕点 C 顺时针旋转得A1B1C，当 A1 落在 AB 边上时，连接 B1B，取 BB1的中点 D，连接 A1D，则 A1D 的长度是（ ） A B2 C3 D2 【分析】首先证明ACA1，BCB1是等边三角形，推出A1BD 是直角三角形即可解决问题 【解答】解：ACB90，ABC30，AC2， A90
19、ABC60，AB4，BC2， CACA1， ACA1是等边三角形，AA1ACBA12， BCB1ACA160， CBCB1， BCB1是等边三角形， BB12，BA12，A1BB190， BDDB1， A1D 故选：A 11如图，C 是以 AB 为直径的半圆 O 上一点，连结 AC，BC，分别以 AC、BC 为直径作半圆，其中 M，N 分别是 AC、BC 为直径作半圆弧的中点，的中点分别是 P，Q若 MP+NQ7，AC+BC26，则 AB 的长是（ ） A17 B18 C19 D20 【分析】连接 OP，OQ，根据 M，N 分别是 AC、BC 为直径作半圆弧的中点，的中点分别是 P， Q 得到
20、 OPAC， OQBC， 从而得到 H、 I 是 AC、 BC 的中点， 利用中位线定理得到 OH+OI （AC+BC） 13 和 PH+QI6，从而利用 ABOP+OQOH+OI+PH+QI 求解 【解答】解：连接 OP，OQ，分别交 AC，BC 于 H，I， M，N 分别是 AC、BC 为直径作半圆弧的中点，的中点分别是 P，Q， OPAC，OQBC，由对称性可知：H，P，M 三点共线，I，Q，N 三点共线， H、I 是 AC、BC 的中点， OH+OI（AC+BC）13， MH+NIAC+BC13，MP+NQ7， PH+QI1376， ABOP+OQOH+OI+PH+QI13+619，
21、故选：C 12如图，在 RtABC 中，C90，AC6cm，BC2cm，点 P 在边 AC 上，从点 A 向点 C 移动，点 Q 在边 CB 上，从点 C 向点 B 移动若点 P，Q 均以 1cm/s 的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另 一点也随之停止，连接 PQ，则线段 PQ 的最小值是（ ） A20cm B18cm C2cm D3cm 【分析】根据已知条件得到 CP6t，得到 PQ，于 是得到结论 【解答】解：APCQt， CP6t， PQ， 0t2， 当 t2 时，PQ 的值最小， 线段 PQ 的最小值是 2， 故选：C 二、填空题二、填空题 13方程 2x23x10 的两根为 x
22、1，x2，则 x12+x22 【分析】根据根与系数的关系得出“x1+x2，x1x2” ，再利用完全平方公式将 x12+x22 转化成2x1x2，代入数据即可得出结论 【解答】解：方程 2x23x10 的两根为 x1，x2， x1+x2，x1x2， x12+x222x1x22（） 故答案为： 14已知点 A（4，y1） ，B（，y2） ，C（2，y3）都在二次函数 y（x2）21 的图象上，则 y1、y2、 y3的大小关系是 y3y1y2 【分析】分别计算出自变量为 4，和2 时的函数值，然后比较函数值得大小即可 【解答】解：把 A（4，y1） ，B（，y2） ，C（2，y3）分别代入 y（x2
23、）21 得： y1（x2）213，y2（x2）2154，y3（x2）2115， 54315， 所以 y3y1y2 故答案为 y3y1y2 15如图所示的一座拱桥，当水面宽 AB 为 12m 时，桥洞顶部离水面 4m，已知桥洞的拱形是抛物线以水 平方向为 x 轴， 建立平面直角坐标系， 若选取点 A 为坐标原点， 则抛物线的解析式是 yx2+x 【分析】根据题意可知抛物线经过点（0，0） 、 （12，0） 、 （6，4） ，然后利用待定系数法求解即可 【解答】解：设抛物线的解析式为 yax（x12） ，将点（6，4）代入得：36a4 解得：a 抛物线的解析式为 yx2+x 故答案为：yx2+x
24、16如图，RtOAB 的顶点 A（2，4）在抛物线 yax2上，将 RtOAB 绕点 O 顺时针旋转 90，得到 OCD，边 CD 与该抛物线交于点 P，则点 P 的坐标为 （，2） 【分析】先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据题意求得 D（0，2） ，且 DCx 轴，从而求 得 P 的纵坐标为 2，代入求得的解析式即可求得 P 的坐标 【解答】解：RtOAB 的顶点 A（2，4）在抛物线 yax2上， 44a，解得 a1， 抛物线为 yx2， 点 A（2，4） ， B（2，0） ， OB2， 将 RtOAB 绕点 O 顺时针旋转 90，得到OCD， D 点在 y 轴上，且 ODOB2
25、， D（0，2） ， DCOD， DCx 轴， P 点的纵坐标为 2， 代入 yx2，得 2x2， 解得 x， P（，2） 故答案为（，2） 17关于 x 的一元二次方程 mx22x+10 有两个实数根，则 m 的取值范围是 m1 且 m0 【分析】根据一元二次方程有两个实数根可知，0，列出关于 m 的不等式，解答即可 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 mx22x+l0 有两个实数根， b24ac（2）24m44m0， m1 又mx22x+l0 是一元二次方程， m0， 故 m 的取值范围是 m1 且 m0 故答案为 m1 且 m0 18如图，抛物线 yx24 与 x 轴交于 A、B 两点
26、，P 是以点 C（0，3）为圆心，2 为半径的圆上的动点， Q 是线段 PA 的中点，连结 OQ则线段 OQ 的最大值是 3.5 【分析】当 B、C、P 三点共线，且点 C 在 PB 之间时，PB 最大，而 OQ 是ABP 的中位线，即可求解 【解答】解：令 yx240，则 x4， 故点 B（4，0） ， 设圆的半径为 r，则 r2， 当 B、C、P 三点共线，且点 C 在 PB 之间时，PB 最大， 而点 Q、O 分别为 AP、AB 的中点，故 OQ 是ABP 的中位线， 则 OEBP（BC+r）（+2）3.5， 故答案为 3.5 三、解答题三、解答题 19解方程： （1） （3y+2）2（
27、2y1）20 （2）3x（x1）2x2 【分析】 （1）利用因式分解法求解可得答案； （2）利用因式分解法求解可得答案 【解答】解： （1）（3y+2）2（2y1）20 （3y+2+2y1） （3y+22y+1）0， （5y+1） （y+3）0， 5y+10 或 y+30， y1，y23 （2）3x（x1）2x2 3x（x1）2（x1） （3x2） （x1）0， 3x20 或 x10， x1，x21 20已知ABC 在平面直角坐标系 xOy 中的位置如图所示 （1）作ABC 关于点 O 成中心对称的A1B1C1； （2）将A1B1C1向右平移 4 个单位，作出平移后的A2B2C2； （3）在
28、x 轴上求作一点 P，使 PA1+PC2的值最小，并求出这个最小值 【分析】 （1）直接利用关于点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用平移的性质进而得出对应点位置进而得出答案； （3）利用轴对称求最短路线的方法进而得出答案 【解答】解： （1）如图所示：A1B1C1，即为所求； （2）如图所示：A2B2C2，即为所求； （3）如图所示：点 P 即为所求，此时 PA1+PC2的值最小为：AC2 21如图，已知二次函数 y+bx+c 的图象经过 A（2，0） 、B（0，6）两点 （1）求这个二次函数的解析式； （2）设该二次函数的对称轴与 x 轴交于点 C，连接 BA、BC，求AB
29、C 的面积 【分析】 （1）二次函数图象经过 A（2，0） 、B（0，6）两点，两点代入 y+bx+c，算出 b 和 c， 即可得解析式 （2）先求出对称轴方程，写出 C 点的坐标，计算出 AC，然后由面积公式计算值 【解答】解： （1）把 A（2，0） 、B（0，6）代入 y+bx+c， 得： 解得， 这个二次函数的解析式为 y+4x6 （2）该抛物线对称轴为直线 x4， 点 C 的坐标为（4，0） ， ACOCOA422， SABCACOB266 22某商家经销一种绿茶，用于装修门面已投资 3000 元，已知绿茶每千克成本 50 元，在第一个月的试销 时间内发现，销量 w（kg）随销售单价
30、 x（元/kg）的变化而变化，具体变化规律如下表所示 销售单价 x （元/kg） 70 75 80 85 90 销售量 w （kg） 100 90 80 70 60 设该绿茶的月销售利润为 y（元） （销售利润单价销售量成本投资） （1）请根据上表，写出 w 与 x 之间的函数关系式（不必写出自变量 x 的取值范围） ； （2）求 y 与 x 之间的函数关系式（不必写出自变量 x 的取值范围） 并求出 x 为何值时，y 的值最大？ （3）若在第一个月里，按使 y 获得最大值的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售 单价不得高于 90 元，要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润
31、达到 1700 元，那么第二个月里应 该确定销售单价为多少元？ 【分析】 （1）利用表格中数据，设出解析式，进而求出一次函数关系式，整理即可； （2）利用销售利润单价销售量成本列出函数关系式，利用配方法可求最值； （3）首先根据第一个月的利润，得出要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到 1700 元，即 第二个月必须获得 2250 元的利润，把函数值 2250 代入，解一元二次方程即可 【解答】解： （1）设 wkx+b， 将（70，100） ， （75，90）代入上式得： ， 解得：， 则 w2x+240； （2）y（x50） w3000（x50） （2x+240）30002x2+3
32、40 x15000， 因此 y 与 x 的关系式为： y2x2+340 x15000， 2（x85）2550， 故当 x85 时，y 的值最大为550 （3）故第 1 个月还有 550 元的投资成本没有收回， 则要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到 1700 元， 可得方程（x50） （2x+240）2250， 解这个方程，得 x195，x275； 根据题意，x295 不合题意应舍去 答：当销售单价为每千克 75 元时，可获得销售利润 2250 元，即在全部收回投资的基础上使第二个月的 利润达到 1700 元 23如图，以ABC 的一边 AB 为直径的半圆与其它两边 AC，BC 的交
33、点分别为 D，E，且 （1）试判断ABC 的形状，并说明理由； （2）已知半圆的半径为 5，BC12，求 BD 的长 【分析】 （1）结论：ABC 为等腰三角形证明CABC 即可解决问题 （2）利用勾股定理求出 AB，再利用面积法解决问题即可 【解答】解： （1）ABC 为等腰三角形 理由如下：连结 AE，如图， ， DAEBAE，即 AE 平分BAC， AB 为直径， AEB90， AEBC， C+CAE90，ABC+BAE90， CABC， ACAB， ABC 为等腰三角形； （2）ABC 为等腰三角形，AEBC， ， 在 RtABE 中，AB10，BE6， AE8， AB 为直径， AD
34、B90， ， ， 24在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，且EAFCEF45 （1）将ADF 绕点 A 顺时针旋转 90，得到ABG（如图 1） ，求证：BE+DFEF； （2）若直线 EF 与 AB、AD 的延长线分别交于点 M、N（如图 2） ，求证：EF2ME2+NF2； （3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，其余条件不变（如图 3） ，直接写出线段 EF、BE、DF 之间的 数量关系 【分析】 （1）根据旋转的性质可知 AFAG，EAFGAE45，证明AEGAEF，可得结论 （2）将ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90，得到ABG，连结 GM由（1）知AEGA
35、EF，则 EG EF再由BME、DNF、CEF 均为等腰直角三角形，得出 CECF，BEBM，NFDF，然 后证明GME90， MGNF， 利用勾股定理得出EG2ME2+MG2， 等量代换即可证明 EF2ME2+NF2 （3）延长 EF 交 AB 延长线于 M 点，交 AD 延长线于 N 点，将ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90，得到 AGH，连结 HM，HE由（1）知AEHAEF，结合勾股定理以及相等线段可得（GH+BE）2+（BE GH）2EF2，所以 2（DF2+BE2）EF2 【解答】 （1）证明：如图 1 中， ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90，得到ABG， AFAG，FAG9
36、0， EAF45， GAE45， 在AGE 与AFE 中， ， AGEAFE（SAS） ， EGEF， EGEB+BGBE+DF， EFEB+DF （2）证明：如图 2 中，设正方形 ABCD 的边长为 a将ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90，得到ABG， 连结 GM则ADFABG，DFBG 由（1）知AEGAEF， EGEF CEF45， BME、DNF、CEF 均为等腰直角三角形， CECF，BEBM，NFDF， aBEaDF， BEDF， BEBMDFBG， BMG45， GME45+4590， EG2ME2+MG2， EGEF，MGBMDFNF， EF2ME2+NF2 （3）解：结论
37、：EF22BE2+2DF2 理由：如图所示，延长 EF 交 AB 延长线于 M 点，交 AD 延长线于 N 点， 将ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90，得到AGH，连结 HM，HE 由（1）知AEHAEF， 则由勾股定理有（GH+BE）2+BG2EH2， 即（GH+BE）2+（BMGM）2EH2 又EFHE，DFGHGM，BEBM， （GH+BE）2+（BEGH）2EF2， 即 2（DF2+BE2）EF2， EF22BE2+2DF2 25如图，抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧） ，与 y 轴交于点 C，且当 x0 和 x2 时，y 的值相等，直
38、线 y3x7 与这条抛物线交于两点，其中一点横坐标为 4，另一点是这条抛物 线的顶点 M （1）求顶点 M 的坐标并求出这条抛物线对应的函数解析式 （2）P 为线段 BM 上一点（P 不与点 B，M 重合） ，作 PQx 轴于点 Q，连接 PC，设 OQt，四边形 PQAC 的面积为 S，求 S 与 t 的函数解析式，并直接写出 t 的取值范围 （3） 在线段 BM 上是否存在点 N， 使NMC 为等腰三角形？若存在， 直接写出点 N 的坐标， 若不存在， 说明理由 【分析】 （1）当 x0 和 x2 时，y 的值相等，可知抛物线的对称轴为 x1，将 x1 代入直线的解析式 中即可求出抛物线顶
39、点的坐标，根据直线的解析式还可求出另一交点的坐标，可用顶点式二次函数通式 来设抛物线的解析式，然后将另一交点的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式 （2）由于四边形 QACP 不是规则的四边形，因此可将其分成直角三角形 AOC 和直角梯形 QOCP 两部分 进行计算先求出直线 BM 的解析式，然后将 xt 代入直线 BM 的解析式中即可求出 QP 的长，然后根 据梯形的面积计算公式即可求出梯形QOCP的面积 然后根据四边形QACP的面积计算方法即可得出S， t 的函数关系式 （3）可分三种情况进行讨论：NMMC；NMNC；MCNC可根据直线 BM 的解析式设出 N 点的坐标，然后用坐标系中
40、两点间的距离公式表示出各线段的长，进而求解 【解答】解： （1）由题意可知：抛物线的对称轴为 x1 当 x1 时，y3x74，因此抛物线的顶点 M 的坐标为（1，4） 当 x4 时，y3x75，因此直线 y3x7 与抛物线的另一交点为（4，5） 设抛物线的解析式为 ya（x1）24， 则有：a（41）245，a1 抛物线的解析式为：yx22x3； （2）根据（1）的抛物线可知：A（1，0）B（3，0）C（0，3） ； 由点 B、M 的坐标知，直线 BM 的解析式为 y2x6， 当 xt 时，y2t6， 因此 PQ62t； S四边形PQACS梯形QPCO+SAOC（3+62t）t+3 即：SS四
41、边形PQACt2+t+（1t3） ； （3）假设存在这样的点 N，使NMC 为等腰三角形 点 N 在 BM 上，不妨设 N 点坐标为（m，2m6） ， 则 CM212+122，CN2m2+3（62m）2，或 CN2m2+（62m）32 MN2（m1）2+4（62m）2 NMC 为等腰三角形，有以下三种可能： 若 CNCM，则 m2+（62m）322， m1，m21（舍去） N（，） 若 MCMN，则（m1）2+4（62m）212+12 m1 1m3， m1应舍去 N（1+，4） 若 NCNM，则 m2+3（62m）2（m1）2+4（62m）2 解得 m2 N（2，2） 故假设成立 综上所述， 存在这样的点 N， 使NMC 为等腰三角形， 且点 N 的坐标为 （， ） 或 （1+， 4）或（2，2）
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