1、2020-2021 学年广东省学年广东省广州市白云区广州市白云区九年级（上）期中数学试卷九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A等边三角形 B直角三角形 C平行四边形 D正方形 2已知抛物线 y（x1）2+4，下列说法错误的是（ ） A开口方向向下 B形状与 yx2相同 C顶点（1，4） D对称轴是 x1 3一元二次方程 x2+kx30 的一个根是 x1，则 k 的值为（ ） A2 B2 C3 D3 4若关于 x 的一元二次方程 kx22x10 有两个不相等的实数根，则实数 k
2、的取值范围是（ ） Ak1 Bk1 且 k0 Ck1 且 k0 Dk1 且 k0 5已知抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴的一个交点为（1，0） ，对称轴为直线 x1，则该抛物线与 x 轴另一个 交点坐标为（ ） A （3，0） B （2，0） C （2，0） D无法确定 6我省 2013 年的快递业务量为 1.4 亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛 发展，2014 年增速位居全国第一若 2015 年的快递业务量达到 4.5 亿件，设 2014 年与 2015 年这两年的 平均增长率为 x，则下列方程正确的是（ ） A1.4（1+x）4.5 B1.4（1+2x）
3、4.5 C1.4（1+x）24.5 D1.4（1+x）+1.4（1+x）24.5 7A（2，y1）B（1，y2）是抛物线 yx22x+2 上的两点，则 y1，y2的大小关系（ ） Ay1y2 By1y2 Cy2y1 D无法判断 8如图，在正方形 ABCD 的外侧，作等边三角形 ADE，AC、BE 相交于点 F，则BFC 为（ ） A45 B55 C60 D75 9二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，那么一次函数 yax+b 的图象大致是（ ） A B C D 10如图，抛物线 y2x2+8x6 与 x 轴交于点 A、B，把抛物线在 x 轴及其上方的部分记作 C1，将 C1向 右平移得
4、 C2，C2与 x 轴交于点 B，D若直线 yx+m 与 C1、C2共有 3 个不同的交点，则 m 的取值范围 是（ ） A2m B3m C3m2 D3m 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，共分，共 15 分）分） 11一元二次方程（x5） （x+1）x5 的解是 12若将二次函数 yx22x+3 配方为 y（xh）2+k 的形式，则 y 13在中秋晚会上，同学们互送礼物，共送出的礼物有 110 件，则参加晚会的同学共有 人 14 若一元二次方程 x2+2xm0 无实数根， 则一次函数 y （m+1） x+m1 的图象不经过第 象限 15已知关于 x 的方程（x+1） （x3）+m0（
5、m0）的两根为 a 和 b，且 ab，用“”连接1、3、a、 b 的大小关系为 三、解答题（共三、解答题（共 75 分）分） 16 （8 分）解方程： （1） （2x1）2（x3）2 （2）x22x10 17 （8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x22（m1）xm（m+2）0 （1）求证：方程总有两个不相等的实数根 （2）若 x2 是此方程的一个根，求方程的另一个根 18 （9 分）一商店销售某种商品，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元为了扩大销售、增加盈利，该 店采取了降价措施，在每件盈利不少于 25 元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低 1 元， 平均每天可多售出
6、 2 件 （1）若降价 3 元，则平均每天销售数量为 件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为 1200 元？ 19 （10 分）已知抛物线 yx2+2x+2 （1）该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标 ； （2）选取适当的数据填入下表，并在如图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； x y （3）若该抛物线上两点 A（x1，y1） ，B（x2，y2）的横坐标满足 x1x21，试比较 y1与 y2的大小 20 （10 分）如图，二次函数 yax24x+c 的图象经过坐标原点，与 x 轴交于点 A（4，0） （1）求二次函数的解析式； （2）在抛物线上存在点 P，满足 SAOP8，请直
7、接写出点 P 的坐标 21 （10 分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段 MN，再砌三面墙，围成一个矩形花园 ABCD（围 墙 MN 最长可利用 25m） ，现在已备足可以砌 40m 长的墙的材料 （1）当 AB 长度是多少时，矩形花园的面积为 150m2； （2）能否围成矩形花园面积为 210m2，为什么？ 22 （8 分）当2x1 时，二次函数 y（x3）2+m2+1 有最大值 4，求实数 m 的值 23 （12 分）已知，如图，抛物线 yax2+3ax+c（a0）与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于 A、B 两点，点 A 在 点 B 左侧，点 B 的坐标为（1，0） 、C（0，3）
8、 （1）求抛物线的解析式 （2）若点 D 是线段 AC 下方抛物线上的动点，求四边形 ABCD 面积的最大值 （3） 若点 E 在 x 轴上， 点 P 在抛物线上， 是否存在以 A、 C、 E、 P 为顶点且以 AC 为一边的平行四边形？ 如存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A等边三角形 B直角三角形 C平行四边形 D正方形 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】解：A、等边三角形
9、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； B、直角三角形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； D、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确 故选：D 2已知抛物线 y（x1）2+4，下列说法错误的是（ ） A开口方向向下 B形状与 yx2相同 C顶点（1，4） D对称轴是 x1 【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解 【解答】解：A、抛物线 y（x1）2+4，a10，抛物线开口向下，此选项正确； B、抛物线 y（x1）2+4 形状与 yx2相同，此选项正确； C、抛物线 y（x1）
10、2+4 顶点坐标是（1，4） ，此选项错误； D、抛物线 y（x1）2+4 对称轴 x1，此选项正确 故选：C 3一元二次方程 x2+kx30 的一个根是 x1，则 k 的值为（ ） A2 B2 C3 D3 【分析】x2+kx30 的一个根是 x1，那么就可以把 x1 代入方程，从而可直接求 k 【解答】解：把 x1 代入 x2+kx30 中，得 1+k30， 解得 k2， 故选：A 4若关于 x 的一元二次方程 kx22x10 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是（ ） Ak1 Bk1 且 k0 Ck1 且 k0 Dk1 且 k0 【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别
11、式的值大于 0 列出不等式，且二次项系数不为 0，即可求出 k 的范围 【解答】解：一元二次方程 kx22x10 有两个不相等的实数根， b24ac4+4k0，且 k0， 解得：k1 且 k0 故选：D 5已知抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴的一个交点为（1，0） ，对称轴为直线 x1，则该抛物线与 x 轴另一个 交点坐标为（ ） A （3，0） B （2，0） C （2，0） D无法确定 【分析】设抛物线与 x 轴另一交点的坐标为（a，0） ，再直接根据中点坐标公式解答即可 【解答】解：设抛物线与 x 轴另一交点的坐标为（a，0） ， 抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴的一个交点为
12、（1，0） ，对称轴为直线 x1， 1，解得 a3， 抛物线与 x 轴另一个交点坐标为（3，0） 故选：A 6我省 2013 年的快递业务量为 1.4 亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛 发展，2014 年增速位居全国第一若 2015 年的快递业务量达到 4.5 亿件，设 2014 年与 2015 年这两年的 平均增长率为 x，则下列方程正确的是（ ） A1.4（1+x）4.5 B1.4（1+2x）4.5 C1.4（1+x）24.5 D1.4（1+x）+1.4（1+x）24.5 【分析】根据题意可得等量关系：2013 年的快递业务量（1+增长率）22015 年的快递
13、业务量，根据 等量关系列出方程即可 【解答】解：设 2014 年与 2015 年这两年的平均增长率为 x，由题意得： 1.4（1+x）24.5， 故选：C 7A（2，y1）B（1，y2）是抛物线 yx22x+2 上的两点，则 y1，y2的大小关系（ ） Ay1y2 By1y2 Cy2y1 D无法判断 【分析】将点 A，点 B 坐标代入解析式可求解 【解答】解：A（2，y1）B（1，y2）是抛物线 yx22x+2 上的两点， y14+4+22，y212+21， y1y2， 故选：A 8如图，在正方形 ABCD 的外侧，作等边三角形 ADE，AC、BE 相交于点 F，则BFC 为（ ） A45 B
14、55 C60 D75 【分析】根据正方形的性质及等边三角形的性质求出ABE15，BAC45，再求BFC 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， ABAD， 又ADE 是等边三角形， AEADDE，DAE60， ABAE， ABEAEB，BAE90+60150， ABE（180150）215， 又BAC45， BFC45+1560 故选：C 9二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，那么一次函数 yax+b 的图象大致是（ ） A B C D 【分析】由 yax2+bx+c 的图象判断出 a0，b0，于是得到一次函数 yax+b 的图象经过二，三，四 象限，即可得到结论 【解答】解：ya
15、x2+bx+c 的图象的开口向下， a0， 对称轴在 y 轴的左侧， b0， 一次函数 yax+b 的图象经过二，三，四象限 故选：C 10如图，抛物线 y2x2+8x6 与 x 轴交于点 A、B，把抛物线在 x 轴及其上方的部分记作 C1，将 C1向 右平移得 C2，C2与 x 轴交于点 B，D若直线 yx+m 与 C1、C2共有 3 个不同的交点，则 m 的取值范围 是（ ） A2m B3m C3m2 D3m 【分析】首先求出点 A 和点 B 的坐标，然后求出 C2解析式，分别求出直线 yx+m 与抛物线 C2相切时 m 的值以及直线 yx+m 过点 B 时 m 的值，结合图形即可得到答案
16、 【解答】解：令 y2x2+8x60， 即 x24x+30， 解得 x1 或 3， 则点 A（1，0） ，B（3，0） ， 由于将 C1向右平移 2 个长度单位得 C2， 则 C2解析式为 y2（x4）2+2（3x5） ， 当 yx+m1与 C2相切时， 令 yx+m1y2（x4）2+2， 即 2x215x+30+m10， 8m1150， 解得 m1， 当 yx+m2过点 B 时， 即 03+m2， m23， 当3m时直线 yx+m 与 C1、C2共有 3 个不同的交点， 故选：D 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，共分，共 15 分）分） 11一元二次方程（x5） （x+1）x5 的
17、解是 x5 或 x0 【分析】方程移项变形后，利用因式分解法求出解即可 【解答】解：方程整理得： （x5） （x+1）（x5）0， 分解因式得： （x5） （x+11）0， 解得：x5 或 x0 故答案为 x5 或 x0 12若将二次函数 yx22x+3 配方为 y（xh）2+k 的形式，则 y （x1）2+2 【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转 化为顶点式 【解答】解：yx22x+3（x22x+1）+2（x1）2+2 故本题答案为：y（x1）2+2 13在中秋晚会上，同学们互送礼物，共送出的礼物有 110 件，则参加晚会的同学共有 11
18、 人 【分析】设参加晚会的同学共有 x 人，则每个同学需送出（x1）件礼品，根据晚会上共送出礼物 110 件，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论 【解答】解：设参加晚会的同学共有 x 人，则每个同学需送出（x1）件礼品， 依题意，得：x（x1）110， 解得：x111，x210（不合题意，舍去） 故答案为：11 14若一元二次方程 x2+2xm0 无实数根，则一次函数 y（m+1）x+m1 的图象不经过第 一 象限 【分析】根据方程无实数根得出 b24ac0，代入数据即可得出关于 m 的一元一次不等式，解不等式即 可得出 m 的取值范围，再根据 m 的取值范围来确定一次
19、函数系数 k、b 的范围，由此即可得出一次函数 经过的象限，此题得解 【解答】解：由已知得：b24ac2241（m）4+4m0， 解得：m1 一次函数 y（m+1）x+m1 中，km+10，bm10， 该一次函数图象在第二、三、四象限，不经过第一象限 故答案为一 15已知关于 x 的方程（x+1） （x3）+m0（m0）的两根为 a 和 b，且 ab，用“”连接1、3、a、 b 的大小关系为 a13b 【分析】由于（x+1） （x3）m，于是可把 a、b 看作抛物线 y（x+1） （x3）与直线 ym 的两 交点的横坐标，而抛物线 y（x+1） （x3）与 x 轴的两交点坐标为（1，0） ，
20、（3，0） ，然后画出函数 图象，再利用函数图象即可得到1、3、a、b 的大小关系 【解答】解：（x+1） （x3）+m0（m0） ， （x+1） （x3）m， a、b 可看作抛物线 y（x+1） （x3）与直线 ym 的两交点的横坐标， 抛物线 y（x+1） （x3）与 x 轴的两交点坐标为（1，0） ， （3，0） ，如图， 用“”连接1、3、a、b 的大小关系为 a13b 故答案为：a13b 三、解答题（共三、解答题（共 75 分）分） 16 （8 分）解方程： （1） （2x1）2（x3）2 （2）x22x10 【分析】 （1）先变形得到（2x1）2（x3）20，然后利用因式分解法解方
21、程； （2）先计算判别式的值，然后利用因式分解法解方程 【解答】解： （1） （2x1）2（x3）20， （2x1+x3） （2x1x+3）0， 2x1+x30 或 2x1x+30， 所以 x1，x22； （2）（2）24（1）12， x， 所以 x1，x2+ 17 （8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x22（m1）xm（m+2）0 （1）求证：方程总有两个不相等的实数根 （2）若 x2 是此方程的一个根，求方程的另一个根 【分析】 （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出8m2+40，进而即可证出：方程总有两个不 相等的实数根； （2）代入 x2 可求出 m 值，根据根与系数的关系结合
22、 m 的值即可求出方程的另一个根 【解答】 （1）证明：2（m1）241m（m+2）8m2+4 m20， 8m2+40，即0， 方程总有两个不相等的实数根 （2）当 x2 时，原方程为 4+4（m1）m（m+2）0，即 m22m0， 解得：m10，m22 设方程的另一根为 x1， 当 m0 时，有2x10， 解得：x10； 当 m2 时，有2x18， 解得：x14 综上所述：当 x2 是此方程的一个根时，方程的另一个根为 0 或 4 18 （9 分）一商店销售某种商品，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元为了扩大销售、增加盈利，该 店采取了降价措施，在每件盈利不少于 25 元的前提下，
23、经过一段时间销售，发现销售单价每降低 1 元， 平均每天可多售出 2 件 （1）若降价 3 元，则平均每天销售数量为 26 件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为 1200 元？ 【分析】 （1）根据销售单价每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件，可得若降价 3 元，则平均每天可多售 出 236 件，即平均每天销售数量为 20+626 件； （2）利用商品平均每天售出的件数每件盈利每天销售这种商品利润列出方程解答即可 【解答】解： （1）若降价 3 元，则平均每天销售数量为 20+2326 件 故答案为：26； （2）设每件商品应降价 x 元时，该商店每天销售利润为 120
24、0 元 根据题意，得 （40 x） （20+2x）1200， 整理，得 x230 x+2000， 解得：x110，x220 要求每件盈利不少于 25 元， x220 应舍去， x10 答：每件商品应降价 10 元时，该商店每天销售利润为 1200 元 19 （10 分）已知抛物线 yx2+2x+2 （1）该抛物线的对称轴是 x1 ，顶点坐标 （1，3） ； （2）选取适当的数据填入下表，并在如图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； x y （3）若该抛物线上两点 A（x1，y1） ，B（x2，y2）的横坐标满足 x1x21，试比较 y1与 y2的大小 【分析】 （1）代入对称轴公式和顶点公式
25、（，）即可； （2）尽量让 x 选取整数值，通过解析式可求出对应的 y 的值，填表即可； （3）结合图象可知这两点位于对称轴右边，图象随着 x 的增大而减少，因此 y1y2 【解答】解： （1）x1； （1，3） （2） x 1 0 1 2 3 y 1 2 3 2 1 （3）因为在对称轴 x1 右侧，y 随 x 的增大而减小，又 x1x21，所以 y1y2 20 （10 分）如图，二次函数 yax24x+c 的图象经过坐标原点，与 x 轴交于点 A（4，0） （1）求二次函数的解析式； （2）在抛物线上存在点 P，满足 SAOP8，请直接写出点 P 的坐标 【分析】 （1）把点 A 原点的坐标
26、代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答； （2） 根据三角形的面积公式求出点P到AO 的距离， 然后分点P在x 轴的上方与下方两种情况解答即可 【解答】解： （1）由已知条件得， 解得， 所以，此二次函数的解析式为 yx24x； （2）点 A 的坐标为（4，0） ， AO4， 设点 P 到 x 轴的距离为 h， 则 SAOP4h8， 解得 h4， 当点 P 在 x 轴上方时，x24x4， 解得 x2， 所以，点 P 的坐标为（2，4） ， 当点 P 在 x 轴下方时，x24x4， 解得 x12+2，x222， 所以，点 P 的坐标为（2+2，4）或（22，4） ， 综上所述，点 P
27、 的坐标是： （2，4） 、 （2+2，4） 、 （22，4） 21 （10 分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段 MN，再砌三面墙，围成一个矩形花园 ABCD（围 墙 MN 最长可利用 25m） ，现在已备足可以砌 40m 长的墙的材料 （1）当 AB 长度是多少时，矩形花园的面积为 150m2； （2）能否围成矩形花园面积为 210m2，为什么？ 【分析】 （1）设 BCxm，则 ABCD（40 x）m，x25，则（40 x）x150，解得：x10 或 30（舍去 30） ，即可求解； （2）由题意得：则（40 x）x210，化简得：x240 x+4200，160044200，即可求
28、解 【解答】解： （1）设 BCxm，则 ABCD（40 x）m，x25， 则（40 x）x150， 解得：x10 或 30（舍去 30） ， 故 x10（m） ； AB15（m） 答：当 AB 长度是 15m 时，矩形花园的面积为 150m2； （2）由题意得：则（40 x）x210， 化简得：x240 x+4200，160044200， 故不能围成矩形花园面积为 210m2 22 （8 分）当2x1 时，二次函数 y（x3）2+m2+1 有最大值 4，求实数 m 的值 【分析】根据二次函数的性质得到当 x3 时，y 随 x 的增大而增大，根据题意列式计算即可 【解答】解：二次函数 y（x3
29、）2+m2+1 的对称轴是 x3， a10， 当 x3 时，y 随 x 的增大而增大， 由题意得，当 x1 时，二次函数 y（x3）2+m2+1 有最大值 4， 则（13）2+m2+14， 解得，m1，m2 23 （12 分）已知，如图，抛物线 yax2+3ax+c（a0）与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于 A、B 两点，点 A 在 点 B 左侧，点 B 的坐标为（1，0） 、C（0，3） （1）求抛物线的解析式 （2）若点 D 是线段 AC 下方抛物线上的动点，求四边形 ABCD 面积的最大值 （3） 若点 E 在 x 轴上， 点 P 在抛物线上， 是否存在以 A、 C、 E、 P 为顶点
30、且以 AC 为一边的平行四边形？ 如存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）将 B、C 的坐标代入抛物线中，求出待定系数的值，即可得出抛物线的解析式 （2）根据 A、C 的坐标，易求得直线 AC 的解析式由于 AB、OC 都是定值，则ABC 的面积不变，若 四边形 ABCD 面积最大，则ADC 的面积最大；过点 D 作 DEy 轴交 AC 于 E，则 E（m，m3） ， 可得到当ADC 面积有最大值时，四边形 BCD 的面积最大值，然后列出四边形的面积与 m 的函数关系 式，利用配方法可求得此时 m 的取值范围； （3）本题应分情况讨论：过 C 作 x 轴的平行线，与抛物
31、线的交点符合 P 点的要求，此时 P、C 的纵 坐标相同，代入抛物线的解析式中即可求出 P 点坐标；将 AC 平移，令 C 点落在 x 轴（即 E 点） 、A 点落在抛物线（即 P 点） 上；可根据平行四边形的性质， 得出 P 点纵坐标（P、C 纵坐标的绝对值相等） ， 代入抛物线的解析式中即可求得 P 点坐标 【解答】解： （1）将点 B、C 的坐标代入抛物线的解析式得：， 解得：a，c3 抛物线的解析式为 yx2+x3 （2）令 y0，则x2+x30，解得 x11，x24 A（4，0） 、B（1，0） 令 x0，则 y3 C（0，3） SABCABOC53 设 D（m，m2+m3） 过点
32、D 作 DEy 轴交 AC 于 E直线 AC 的解析式为 yx3，则 E（m，m3） DEm3（m2+m3）（m+2）2+3 当 m2 时，DE 有最大值为 3 此时，SACD有最大值为DE42DE6 四边形 ABCD 的面积的最大值为 6+ （3）如图所示： 过点 C 作 CP1x 轴交抛物线于点 P1，过点 P1作 P1E1AC 交 x 轴于点 E1，此时四边形 ACP1E1为平 行四边形， C（0，3） 设 P1（x，3） x2+x33 解得 x10，x23 P1（3，3） ； 平移直线 AC 交 x 轴于点 E， 交 x 轴上方的抛物线于点 P， 当 ACPE 时， 四边形 ACEP 为平行四边形， C（0，3） 设 P（x，3） ， x2+x33， 解得 x或 x， P2（，3）或 P3（，3） 综上所述存在 3 个点符合题意，坐标分别是 P1（3，3）或 P2（，3）或 P3（，3）
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