2018-2019学年河南省七年级下期末数学试卷（A）含答案解析

1、2018-2019 学年河南省七年级（下）期末数学试卷（学年河南省七年级（下）期末数学试卷（A 卷）卷） 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代 号字母填在题后括号内 1 （3 分）下列方程中，二元一次方程的个数有（ ） x2+y23；3x+4；2x+3y0；+7 A1 B2 C3 D4 2 （3 分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 3 （3 分）观察下面图案，在（A） （B） （C） （D）四幅图案中，能通过图案（1）平移得到的是（ ） A B C D 4 （3 分）关于 y 的

2、方程 2m+ym 与 3y32y1 的解相同，则 m 的值为（ ） A0 B2 C D2 5 （3 分）小王到瓷砖店购买一种正多边形瓷砖铺设无缝地板，瓷砖形状不可以是（ ） A正三角形 B正四边形 C正五边形 D正六边形 6 （3 分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A B C D 7 （3 分）用一条直线 m 将如图 1 的直角铁皮分成面积相等的两部分图 2、图 3 分别是甲、乙两同学给出 的作法，对于两人的作法判断正确的是（ ） A甲正确，乙不正确 B甲不正确，乙正确 C甲、乙都正确 D甲、乙都不正确 8 （3 分）如图，在ABC 中，点 D 在边 BA 的延长线上，ABC 的平分线和

3、DAC 的平分线相交于点 M， 若BAC80，C60，则M 的大小为（ ） A20 B25 C30 D35 9 （3 分）已知关于 x 的方程 2xax1 的解是非负数，则 a 的取值范围为（ ） Aa1 Ba1 Ca1 Da1 10 （3 分）如图所示，下列图形都是由面积为 1 的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积 为 1 的正方形有 2 个，第（2）个图形中面积为 1 的正方形有 5 个，第（3）个图形中面积为 1 的正方形有 9 个，按此规律，则第 50 个图形中面积为 1 的正方形的个数为（ ） A1322 B1323 C1324 D1325 二、填空题（本大题共二、填

4、空题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11 （3 分）方程 1去分母后为_ 12 （3 分）如果等腰三角形的两边长分别为 3 和 5，那么这个等腰三角形的周长是_ 13 （3 分）如图，已知ABC 为直角三角形，C90，若沿图中虚线剪去C，则1+2 等于_度 14 （3 分）如图，将ABE 向右平移 2cm 得到DCF，AE、DC 交于点 G如果ABE 的周长是 16cm，那么 ADG 与CEG 的周长之和是_cm 15 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，ABC30，将ABC 绕点 C 顺时针旋转至ABC， 使得点 A恰好落在 AB 上，

5、则旋转角度为_ 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 75 分）分） 16 （8 分）解下列方程（组） ： （1）1 （2） 17 （9 分）解下列不等式（组） ，并在数轴上表示解集： （1）1； （2） 18 （9 分）在图中网格上按要求画出图形，并回答问题： （1）如果将三角形 ABC 平移，使得点 A 平移到图中点 D 位置，点 B、点 C 的对应点分别为点 E、点 F，请 画出三角形 DEF； （2）画出三角形 ABC 关于点 D 成中心对称的三角形 A1B1C1； （3）三角形 DEF 与三角形 A1B1C1_（填“是”或“否” ）关于某个点成中心对称？如果

6、是，请在 图中画出这个对称中心，并记作点 O 19 （9 分）如图，已知ABCDBE，点 D 在 AC 上，BC 与 DE 交于点 P，若 ADDC2.4，BC4.1 （1）若ABE162，DBC30，求CBE 的度数； （2）求DCP 与BPE 的周长和 20 （9 分）用“”定义一种新运算：对于任意有理数 a 和 b，规定 abab2+2ab+a 如：12122+212+19 （1） （2）3_； （2）若316，求 a 的值； （3）若 2xm， （x）3n（其中 x 为有理数） ，试比较 m，n 的大小 21 （10 分）如图，在ABC 中，AD 是高线，AE、BF 是角平分线，它们相

7、交于点 O，BAC50，C 70，求EAD 与BOA 的度数 22 （10 分）某新建成学校举行“美化绿化校园”活动，计划购买 A、B 两种花木共 300 棵，其中 A 花木每 棵 20 元，B 花木每棵 30 元 （1）若购进 A，B 两种花木刚好用去 7300 元，则购买了 A，B 两种花木各多少棵？ （2） 如果购买 B 花木的数量不少于 A 花木的数量的 1.5 倍， 且购买 A、 B 两种花木的总费用不超过 7820 元， 请问学校有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？ 23 （11 分）如图，在数学活动课中，小明剪了一张ABC 的纸片，其中A60，他将ABC 折叠压平 使点 A 落在点

8、 B 处，折痕 DE，D 在 AB 上，E 在 AC 上 （1）请作出折痕 DE； （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）判断ABE 的形状并说明； （3）若 AE5，BCE 的周长为 12，求ABC 的周长 2018-2019 学学年河南省七年级（下）期末数学试卷（年河南省七年级（下）期末数学试卷（A 卷）卷） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代 号字母填在题后括号内 1 （3 分）下列方程中，二元一次方程的个数有（ ） x2+y23；3x+4；2x+3y0；+7

9、A1 B2 C3 D4 【分析】根据二元一次方程定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1，像这样的方程叫做 二元一次方程进行分析即可 【解答】解：x2+y23，是二元二次方程； 3x+4，是分式方程； 2x+3y0，是二元一次方程； +7，是二元一次方程 所以有是二元一次方程， 故选：B 【点评】 此题主要考查了二元一次方程， 关键是掌握二元一次方程需满足三个条件： 首先是整式方程 方程中共含有两个未知数所有未知项的次数都是一次不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方 程 2 （3 分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形的概念即可求解

10、【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意 故选：C 【点评】本题考查了中心对称的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合，难度 一般 3 （3 分）观察下面图案，在（A） （B） （C） （D）四幅图案中，能通过图案（1）平移得到的是（ ） A B C D 【分析】把一个图形整体沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状和大小完全相同 【解答】解：因为平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置， 所以在（A） （B） （C） （D）四幅图案中，能通过图案（1

11、）平移得到的是 C 选项的图案， 故选：C 【点评】本题主要考查了平移的性质，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图 形与原图形的形状和大小完全相同 4 （3 分）关于 y 的方程 2m+ym 与 3y32y1 的解相同，则 m 的值为（ ） A0 B2 C D2 【分析】分别解出两方程的解，两解相等，就得到关于 m 的方程，从而可以求出 m 的值 【解答】解：由 3y32y1，得 y2 由关于 y 的方程 2m+ym 与 3y32y1 的解相同，得 2m+2m， 解得 m2 故选：D 【点评】本题考查了同解方程，解决的关键是能够求解关于 x 的方程，根据同解的定义建立方程

12、 5 （3 分）小王到瓷砖店购买一种正多边形瓷砖铺设无缝地板，瓷砖形状不可以是（ ） A正三角形 B正四边形 C正五边形 D正六边形 【分析】平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构 成周角若能构成 360，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能 【解答】解：用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平 面图案， 小王到瓷砖店购买一种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是正五边形 故选：C 【点评】此题考查平面镶嵌问题，用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边 形能镶嵌成一个平面图案 6

13、 （3 分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A B C D 【分析】分别求出各不等式的解集，再在数轴上表示出来即可 【解答】解：， 由得，x1， 由得，x2， 故此不等式组得解集为：x2 在数轴上表示为： 故选：A 【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式组得解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键 7 （3 分）用一条直线 m 将如图 1 的直角铁皮分成面积相等的两部分图 2、图 3 分别是甲、乙两同学给出 的作法，对于两人的作法判断正确的是（ ） A甲正确，乙不正确 B甲不正确，乙正确 C甲、乙都正确 D甲、乙都不正确 【分析】根据图形中所画出的虚线，可以利用图形中的长方形、梯形

14、的面积比较得出直线两旁的面积的大 小关系 【解答】解：如图：图形 2 中，直线 m 经过了大长方形和小长方形的对角线的交点，所以两旁的图形的面 积都是大长方形和小长方形面积的一半，所以这条直线把这个图形分成了面积相等的两部分，即甲做法正 确； 图形 3 中，经过大正方形和图形外不添补的长方形的对角线的交点，直线两旁的面积都是大正方形面积的 一半添补的长方形面积的一半，所以这条直线把这个图形分成了面积相等的两部分，即乙做法正确 故选：C 【点评】此题主要考查了中心对称，根据图形中的割补情况，抓住经过对角线的交点的直线都能把长方形 分成面积相等的两部分这一特点，即可解决问题 8 （3 分）如图，在

15、ABC 中，点 D 在边 BA 的延长线上，ABC 的平分线和DAC 的平分线相交于点 M， 若BAC80，C60，则M 的大小为（ ） A20 B25 C30 D35 【分析】根据三角形的内角和定理列式计算即可求出ABC40，再根据角平分线的定义求出ABM， CAM，然后利用三角形的内角和定理求出M 即可 【解答】解：BAC80，C60， ABC40， ABC 的平分线和DAC 的平分线相交于点 M， ABM20，CAM， M18020508030， 故选：C 【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念是解题的 关键 9 （3 分）已知关于 x 的方

16、程 2xax1 的解是非负数，则 a 的取值范围为（ ） Aa1 Ba1 Ca1 Da1 【分析】本题首先要解这个关于 x 的方程，然后根据解是非负数，就可以得到一个关于 a 的不等式，最后 求出 a 的取值范围 【解答】解：原方程可整理为： （21）xa1， 解得：xa1， 关于 x 的方程 2xax1 的解是非负数， a10， 解得：a1 故选：A 【点评】本题综合考查了一元一次方程的解与解一元一次不等式解关于 x 的不等式是本题的一个难点 10 （3 分）如图所示，下列图形都是由面积为 1 的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积 为 1 的正方形有 2 个，第（2）个图形中

17、面积为 1 的正方形有 5 个，第（3）个图形中面积为 1 的正方形有 9 个，按此规律，则第 50 个图形中面积为 1 的正方形的个数为（ ） A1322 B1323 C1324 D1325 【分析】 第 （1） 个图形中面积为 1 的正方形有 2 个， 第 （2） 个图形中面积为 1 的图象有 2+35 个， 第 （3） 个图形中面积为 1 的正方形有 2+3+49 个， ， 按此规律， 第 n 个图形中面积为 1 的正方形有 2+3+4+n+1 【解答】解：第（1）个图形中面积为 1 的正方形有 2 个， 第（2）个图形中面积为 1 的图象有 2+35 个， 第（3）个图形中面积为 1

18、的正方形有 2+3+49 个， ， 按此规律，第 n 个图形中面积为 1 的正方形有 2+3+4+（n+1）个 当 n50 时，1325， 即第 50 个图形中面积为 1 的正方形的个数为 1325， 故选：D 【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形与数字之间的运算规律，利用规律解决问题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11 （3 分）方程 1去分母后为 62（35x）3（2x5） 【分析】根据一元一次方程的解法即可求出答案 【解答】解：去分母可得：62（35x）3（2x5） ， 故答案为：62（35x）3（2x5）

19、【点评】本题考查一元一次方程，解题的关键是熟练运用一元一次方程的解法，本题属于基础题型 12 （3 分）如果等腰三角形的两边长分别为 3 和 5，那么这个等腰三角形的周长是 11 或 13 【分析】由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长 【解答】解： （1）当等腰三角形的腰为 3，底为 5 时，3，3，5 能够组成三角形，此时周长为 3+3+511 （2）当等腰三角形的腰为 5，底为 3 时，3，5，5 能够组成三角形，此时周长为 5+5+313 则这个等腰三角形的周长是 11 或 13 故答案为 11 或 13 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已

20、知没有明确腰和底边的题目一定要想到两 种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键 13（3 分） 如图， 已知ABC 为直角三角形， C90， 若沿图中虚线剪去C， 则1+2 等于 270 度 【分析】本题利用了四边形内角和为 360和直角三角形的性质求解 【解答】解：四边形的内角和为 360，直角三角形中两个锐角和为 90， 1+2360（A+B）36090270 故答案为：270 【点评】本题是一道根据四边形内角和为 360和直角三角形的性质求解的综合题，有利于锻炼学生综合运 用所学知识的能力 14 （3 分）如图，将ABE 向右平移 2c

21、m 得到DCF，AE、DC 交于点 G如果ABE 的周长是 16cm，那么 ADG 与CEG 的周长之和是 16 cm 【分析】 根据平移的性质可得 DFAE， 然后判断出ADG 与CEG 的周长之和AD+CE+CD+AEBE+AB+AE， 然后代入数据计算即可得解 【解答】解：ABE 向右平移 2cm 得到DCF， DFAE， ADG 与CEG 的周长之和AD+CE+CD+AEBE+AB+AE16， 故答案为：16； 【点评】本题考查平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平 行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等 15 （3 分）如图，在 RtABC 中，A

22、CB90，ABC30，将ABC 绕点 C 顺时针旋转至ABC， 使得点 A恰好落在 AB 上，则旋转角度为 60 【分析】 先利用互余得到A60， 再根据旋转的性质得 CACA， ACA等于旋转角， 然后判断ACA 为等边三角形得到ACA60，从而得到旋转角的度数 【解答】解：ACB90，ABC30， A60， ABC 绕点 C 顺时针旋转至ABC，使得点 A恰好落在 AB 上， CACA，ACA等于旋转角， ACA为等边三角形， ACA60， 即旋转角度为 60 故答案为 60 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 旋转角；旋转前、后的

23、图形全等本题的关键是证明ACA为等边三角形， 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 75 分）分） 16 （8 分）解下列方程（组） ： （1）1 （2） 【分析】 （1）方程去分母，去括号，移项合并，把 x 系数化为 1，即可求出解； （2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可 【解答】解： （1）去分母得：3（x3）（2x+1）6， 去括号得：3x92x16， 解得：x16； （2）方程组整理得， 2 得：2x4y2， 得：3y8，即 y， 将 y代入得：x， 则原方程组的解为 【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及解一元一次方程组，解方程组利用了消元的思想，

24、消元的方 法有：代入消元法与加减消元法 17 （9 分）解下列不等式（组） ，并在数轴上表示解集： （1）1； （2） 【分析】 （1）先去分母、去括号，再移项，合并同类项，把 x 的系数化为 1 即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可 【解答】解： （1）1， 3（3x2）5（2x+1）15， 9x610 x+515， x4， x4， 在数轴表示不等式的解集： （2）解得：x3， 解得：x2， 不等式组的解集为：2x3， 在数轴上表示为： 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找 不到”的法则是解答此

25、题的关键 18 （9 分）在图中网格上按要求画出图形，并回答问题： （1）如果将三角形 ABC 平移，使得点 A 平移到图中点 D 位置，点 B、点 C 的对应点分别为点 E、点 F，请 画出三角形 DEF； （2）画出三角形 ABC 关于点 D 成中心对称的三角形 A1B1C1； （3）三角形 DEF 与三角形 A1B1C1 是 （填“是”或“否” ）关于某个点成中心对称？如果是，请在图中 画出这个对称中心，并记作点 O 【分析】 （1）由题意得出，需将点 B 与点 C 先向左平移 3 个单位，再向下平移 1 个单位，据此可得； （2）分别作出三顶点分别关于点 D 的对称点，再首尾顺次连接可

26、得； （3）连接两组对应点即可得 【解答】解： （1）如图所示，DEF 即为所求 （2）如图所示，A1B1C1 即为所求； （3）如图所示，DEF 与A1B1C1 是关于点 O 成中心对称， 故答案为：是 【点评】本题主要考查作图旋转变换和平移变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换和平移变换的定义和 性质，并据此得出变换后的对应点 19 （9 分）如图，已知ABCDBE，点 D 在 AC 上，BC 与 DE 交于点 P，若 ADDC2.4，BC4.1 （1）若ABE162，DBC30，求CBE 的度数； （2）求DCP 与BPE 的周长和 【分析】 （1）根据全等三角形的性质得到ABCDBE，计算

27、即可； （2）根据全等三角形的性质求出 BE、DE，根据三角形的周长公式计算即可 【解答】解： （1）ABE162，DBC30， ABD+CBE132， ABCDBE， ABCDBE， ABDCBE132266， 即CBE 的度数为 66； （2）ABCDBE， DEAD+DC4.8，BEBC4.1， DCP 和BPE 的周长和DC+DP+BP+BP+PE+BEDC+DE+BC+BE15.4 【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理的应用，掌握全等三角形的对应边相等、全 等三角形的对应角相等是解题的关键 20 （9 分）用“”定义一种新运算：对于任意有理数 a 和 b，规定 ab

28、ab2+2ab+a 如：12122+212+19 （1） （2）3 32 ； （2）若316，求 a 的值； （3）若 2xm， （x）3n（其中 x 为有理数） ，试比较 m，n 的大小 【分析】 （1）根据新运算展开，再求出即可； （2）先根据新运算展开，再解一元一次方程即可； （3）先根据新运算展开，再求出 m、n，即可得出答案 【解答】解： （1）原式232+2（2）3+（2） 18122 32， 故答案为：32 （2）因为332+23+8a+8， 所以 8a+816， 解得 a1； （3）根据题意，得 m2x2+22x+22x2+4x+2， nx32+2x3+x4x， 则 mn2x2

29、+20， 所以 mn 【点评】本题考查了解一元一次方程，能根据新运算展开是解此题的关键，注意：解一元一次方程的步骤 是：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成 1 即可 21 （10 分）如图，在ABC 中，AD 是高线，AE、BF 是角平分线，它们相交于点 O，BAC50，C 70，求EAD 与BOA 的度数 【分析】因为 AD 是高，所以ADC90，又因为C70，求出DAC 度数，根据EADEAC DAC 可求EAD；因为BAC50，C70，所以BAO25，ABC60，BF 是ABC 的角平分 线，则ABO30，故BOA 的度数可求 【解答】解：ADBC ADC90 C70 DAC18

30、0907020， AE 平分BAC， CAE5025 EADEACDAC25205； BAC50，C70 BAO25，ABC60 BF 是ABC 的角平分线 ABO30 BOA180BAOABO1802530125 【点评】本题考查了同学们利用角平分线的性质解决问题的能力，有利于培养同学们的发散思维能力 22 （10 分）某新建成学校举行“美化绿化校园”活动，计划购买 A、B 两种花木共 300 棵，其中 A 花木每 棵 20 元，B 花木每棵 30 元 （1）若购进 A，B 两种花木刚好用去 7300 元，则购买了 A，B 两种花木各多少棵？ （2） 如果购买 B 花木的数量不少于 A 花木

31、的数量的 1.5 倍， 且购买 A、 B 两种花木的总费用不超过 7820 元， 请问学校有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？ 【分析】 （1）设购买 A 种花木 x 棵，B 种花木 y 棵，根据“A，B 两种花木共 100 棵、购进 A，B 两种花木刚 好用去 8000 元”列方程组求解可得； （2）设购买 A 种花木 a 棵，则购买 B 种花木（300a）棵，根据“B 花木的数量不少于 A 花木的数量的 1.5 倍且购买 A、B 两种花木的总费用不超过 7820 元”即可得出关于 a 的一元一次不等式组，解之即可得出 a 的取值范围，进而可得出各购买方案，再根据总价单价购进数量求出各购买方案

32、所需总费用，比较后 即可得出结论 【解答】解： （1）设购买 A 种花木 x 棵，B 种花木 y 棵， 根据题意，得：， 解得： 答：购买 A 种花木 170 棵，B 种花木 130 棵； （2）设购买 A 种花木 a 棵，则购买 B 种花木（300a）棵， 根据题意，得：， 解得：118a120， 学校共有三种购买方案方案一：购买 118 棵 A 种花木，182 棵 B 种花木；方案二：购买 119 棵 A 种花 木，181 棵 B 种花木；方案三：购买 120 棵 A 种花木，180 棵 B 种花木 方案一所需费用 11820+182307820（元） ， 方案二所需费用 11920+18

33、1307810（元） ， 方案三所需费用 12020+180307800（元） 782078107800， 方案三最省钱 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是： （1）找准等量 关系，正确列出二元一次方程组； （2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组 23 （11 分）如图，在数学活动课中，小明剪了一张ABC 的纸片，其中A60，他将ABC 折叠压平 使点 A 落在点 B 处，折痕 DE，D 在 AB 上，E 在 AC 上 （1）请作出折痕 DE； （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）判断ABE 的形状并说明； （3）若 AE

34、5，BCE 的周长为 12，求ABC 的周长 【分析】 （1）作 AB 的垂直平分线 DE，垂足为 D，交 AC 于 E，DE 即为所求； （2）由线段垂直平分线的性质得出 AEBE，由A60，即可得出ABE 是等边三角形； （3）由三角形的周长和 AEBE 得出 BC+AC12，由等边三角形的性质得出 ABAE5，即可得出ABC 的周长 【解答】解： （1）根据题意得： 作 AB 的垂直平分线 DE，垂足为 D，交 AC 于 E，DE 即为所求， 如图所示： （2）ABE 是等边三角形，理由如下： 如图所示： DE 是 AB 的垂直平分线， AEBE， A60， ABE 是等边三角形； （3）BCE 的周长为 12， BC+BE+CE12， AEBE， BC+AC12， ABE 是等边三角形， ABAE5， ABC 的周长AB+BC+AC5+1217 【点评】本题考查了翻折变换的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握翻折 变换的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键