2020-2021学年江苏省南通市崇川区二校联考九年级上期中数学试卷（含答案解析）

1、2020-2021 学年江苏省南通市崇川区学年江苏省南通市崇川区二校联考二校联考九年级上九年级上期中数学试卷期中数学试卷 一、 （本大题共一、 （本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，分在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的， 请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 2点（5，7）关于原点对称的点为（ ） A （5，7） B （5，7） C （5，7） D （5，7） 3下列事

2、件是随机事件的是（ ） A画一个三角形，其内角和是 360 B投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数小于 7 C在只装了红球的不透明袋子里，摸出黑球 D射击运动员射击一次，命中靶心 4在平面直角坐标系 xOy 中，以点（3，4）为圆心，4 为半径的圆与 y 轴所在直线的位置关系是（ ） A相离 B相切 C相交 D无法确定 5函数 y（m2m）是反比例函数，则（ ） Am0 Bm0 且 m1 Cm2 Dm1 或 2 6下列语句中不正确的有（ ） 相等的圆心角所对的弧相等； 平分弦的直径垂直于弦； 圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴； 半圆是弧 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 7如图

3、，点 E 是正方形 ABCD 的边 DC 上一点，把ADE 绕点 A 顺时针旋转 90到ABF 的位置若四 边形 AECF 的面积为 20，DE2，则 AE 的长为（ ） A4 B2 C6 D2 8如图，AB 是O 的直径，点 C 在O 上，CD 平分ACB 交O 于点 D，若ABC30，则CAD 的度数为（ ） A100 B105 C110 D120 9如图，点 O 是ABCD 的对称中心，ADAB，E、F 是 AB 边上的点，且 EFAB；G、H 是 BC 边上 的点， 且 GHBC， 若 S1， S2分别表示EOF 和GOH 的面积， 则 S1与 S2之间的等量关系是 （ ） A B C

4、 D 10 如图， 已知正方形 ABCD 的边长为 4， 点 E 是 AB 边上一动点， 连接 ED， 将 ED 绕点 E 顺时针旋转 90 到 EF，连接 DF，CF，则 DF+CF 的最小值是（ ） A4 B2 C5 D4 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，第小题，第 1113 小题每小题小题每小题 3 分，第分，第 1418 小题每小题小题每小题 3 分，共分，共 29 分不需写出分不需写出 解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11已知圆锥的底面圆的半径为 3cm，母线长为 5cm，则侧面展开图面积为 c

5、m2 （结果保留 ） 12已知反比例函数 y的图象经过点 A（1，3） ，则实数 k 的值为 13热爱劳动，劳动最美！某合作学习小组 6 名同学一周居家劳动的时间（单位：h） ，分别为：4，3，3， 5，5，6这组数据的中位数是 14 （4 分） 如图， 将 RtABC 绕点 B 按逆时针方向旋转 33到EBD 的位置， 斜边 AC 和 DE 相交于点 F， 则DFC 15 （4 分）如图，PA、PB 切O 于点 A、B，点 C 是O 上一点，且P38，则ACB 16 （4 分）如果一个正多边形的中心角为 36，那么这个多边形的对角线条数是 17 （4 分）若点 O 是等腰ABC 的外心，且B

6、OC60，底边 BC4，则ABC 的面积为 18 （4 分）如图，以 G（0，2）为圆心，半径为 4 的圆与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C、D 两点，点 E 为G 上一动点，CFAE 于 F，当点 E 在O 的运动过程中，线段 FG 的长度的最小值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 91 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤）演算步骤） 19（9 分） 如图， 在 1010 的网格中建立平面直角坐标系， ABC 是格点三角形 （顶点在网格线的交点上） （

7、1） 先作ABC 关于原点 O 的成中心对称的A1B1C1， 再把A1B1C1向上平移 4 个单位得到A2B2C2； （2）A2点的坐标为 ； （3）请直接写出 CC1+C1C2 20 （10 分）已知 yy1+y2，y1与（x1）成正比例，y2与（x+1）成反比例，当 x0 时，y3，当 x1 时，y1 （1）求 y 的表达式； （2）求当 x时 y 的值 21 （10 分）在 4 月 23 日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取 了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间 t（单位：小时） 把调查结果分为四档，A 档：t8； B 档：8t9；C 档：9t

8、10；D 档：t10根据调查情况，给出了部分数据信息： A 档和 D 档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，7，7，10.5，10.5； 图 1 和图 2 是两幅不完整的统计图 根据以上信息解答问题： （1）求本次调查的学生人数，并将图 2 补充完整； （2）已知全校共 1200 名学生，请你估计全校 B 档的人数； （3）学校要从 D 档的 4 名学生中随机抽取 2 名作读书经验分享，已知这 4 名学生 1 名来自七年级，1 名 来自八年级，2 名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的 2 名学生来自不同年级的概率 22 （10 分）如图，已知ABC 是等边三角

9、形，在ABC 外有一点 D，连接 AD，BD，CD，将ACD 绕点 A 按顺时针方向旋转得到ABE，AD 与 BE 交于点 F，BFD97 （1）求ADC 的大小； （2）若BDC7，BD2，CD4，求 AD 的长 23 （12 分）如图，AB 为O 的直径，射线 AD 交O 于点 F，点 C 为劣弧的中点，CE 为O 的切线交 AD 于点 E，连接 AC （1）求证：CEAD； （2）若BAC30，AB4，求阴影部分的面积 24 （12 分）如图，O 是 RtABC 的外接圆，ABC90，弦 BDBA，BEDC 交 DC 的延长线于点 E （1）求证：BC 平分ECA； （2）求证：BE 是

10、O 的切线； （3）若 CE1，BE3，求 DE 的长 25 （14 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一 点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60得到 BN，连接 EN、AM、CM （1）求证：AMBENB； （2）当 M 点在何处时，AM+CM 的值最小； 当 M 点在何处时，AM+BM+CM 的值最小，并说明理由； （3）当 AM+BM+CM 的最小值为 2+2 时，求正方形的边长 26 （14 分）对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和图形 M，给出如下定义：Q 为图形 M 上任意一点，如果 P，Q 两点间的距离有最

11、大值，那么称这个最大值为点 P 与图形 M 间的开距离，记作 d（P，M） 已知直线 yx+b（b0）与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，O 的半径为 1 （1）若 b2， 求 d（B，O）的值； 若点 C 在直线 AB 上，求 d（C，O）的最小值； （2）以点 A 为中心，将线段 AB 顺时针旋转 120得到 AD，点 E 在线段 AB，AD 组成的图形上，若对 于任意点 E，总有 2d（E，O）6，直接写出 b 的取值范围 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、 （本大题共一、 （本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，恰

12、有一项是符合题目要求的，分在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的， 请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：C 2点（5，7）关于原点对称的点为（ ） A （5，7） B （

13、5，7） C （5，7） D （5，7） 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案 【解答】解：点（5，7）关于原点对称的点为（5，7） 故选：B 3下列事件是随机事件的是（ ） A画一个三角形，其内角和是 360 B投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数小于 7 C在只装了红球的不透明袋子里，摸出黑球 D射击运动员射击一次，命中靶心 【分析】直接利用不可能事件、随机事件的定义分别分析得出答案 【解答】解：A、画一个三角形，其内角和是 360，是不可能事件，不合题意； B、投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数小于 7，是必然事件，不合题意； C、在只装了红球的不透明袋子里，摸出黑球，是不可能

14、事件，不合题意； D、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，符合题意； 故选：D 4在平面直角坐标系 xOy 中，以点（3，4）为圆心，4 为半径的圆与 y 轴所在直线的位置关系是（ ） A相离 B相切 C相交 D无法确定 【分析】 可先求出圆心到 y 轴的距离， 再根据半径比较， 若圆心到 y 轴的距离大于圆心距， y 轴与圆相离； 小于圆心距，y 轴与圆相交；等于圆心距，y 轴与圆相切 【解答】解：依题意得：圆心到 y 轴的距离为：3半径 4， 所以圆与 y 轴相交， 故选：C 5函数 y（m2m）是反比例函数，则（ ） Am0 Bm0 且 m1 Cm2 Dm1 或 2 【分析】依据反

15、比例函数的定义求解即可 【解答】解：由题意知：m23m+11，整理得 m23m+20，解得 m11，m22 当 ml 时，m2m0，不合题意，应舍去 m 的值为 2 故选：C 6下列语句中不正确的有（ ） 相等的圆心角所对的弧相等； 平分弦的直径垂直于弦； 圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴； 半圆是弧 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据圆心角定理，以及轴对称图形的定义即可解答 【解答】解：、要强调在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等；故错误 、平分弦的直径垂直于弦，其中被平分的弦不能是直径，若是直径则错误 、对称轴是直线，而直径是线段，故错误 、正确 故选：C 7

16、如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 DC 上一点，把ADE 绕点 A 顺时针旋转 90到ABF 的位置若四 边形 AECF 的面积为 20，DE2，则 AE 的长为（ ） A4 B2 C6 D2 【分析】 利用旋转的性质得出四边形 AECF 的面积等于正方形 ABCD 的面积， 进而可求出正方形的边长， 再利用勾股定理得出答案 【解答】解：ADE 绕点 A 顺时针旋转 90到ABF 的位置 四边形 AECF 的面积等于正方形 ABCD 的面积等于 20， ADDC2， DE2， RtADE 中，AE2 故选：D 8如图，AB 是O 的直径，点 C 在O 上，CD 平分ACB 交O 于点 D

17、，若ABC30，则CAD 的度数为（ ） A100 B105 C110 D120 【分析】利用圆周角定理得到ACB90，则利用互余计算出BAC60，接着根据角平分线定义 得到BCD45，从而利用圆周角定理得到BADBCD45，然后计算BAC+BAD 即可 【解答】解：AB 是O 的直径， ACB90， BAC90ABC903060， CD 平分ACB， BCD45， BADBCD45， CADBAC+BAD60+45105 故选：B 9如图，点 O 是ABCD 的对称中心，ADAB，E、F 是 AB 边上的点，且 EFAB；G、H 是 BC 边上 的点， 且 GHBC， 若 S1， S2分别表

18、示EOF 和GOH 的面积， 则 S1与 S2之间的等量关系是 （ ） A B C D 【分析】如图，连接 OA，OB，OC设平行四边形的面积为 4s求出 S1，S2（用 s 表示）即可解决问题 【解答】解：如图，连接 OA，OB，OC设平行四边形的面积为 4s 点 O 是平行四边形 ABCD 的对称中心， SAOBSBOCS平行四边形ABCDs， EFAB，GHBC， S1s，S2s， ， 故选：B 10 如图， 已知正方形 ABCD 的边长为 4， 点 E 是 AB 边上一动点， 连接 ED， 将 ED 绕点 E 顺时针旋转 90 到 EF，连接 DF，CF，则 DF+CF 的最小值是（

19、） A4 B2 C5 D4 【分析】连接 BF，过点 F 作 FGAB 交 AB 延长线于点 G，通过证明AEDGFE（AAS） ，确定 F 点在 BF 的射线上运动；作点 C 关于 BF 的对称点 C，由三角形全等得到CBF45，从而确定 C点 在 AB 的延长线上；当 D、F、C三点共线时，DF+CFDC最小，在 RtADC中，AD4，AC8，求 出 DC4即可 【解答】解：连接 BF，过点 F 作 FGAB 交 AB 延长线于点 G， 将 ED 绕点 E 顺时针旋转 90到 EF， EFDE，且 EFDE， EDAFEG， 在AED 和GFE 中， ， AEDGFE（AAS） ， FGA

20、E， F 点在 BF 的射线上运动， 作点 C 关于 BF 的对称点 C， EGDA，FGAE， AEBG， BGFG， FBG45， CBF45， BF 是CBC的角平分线， 即 F 点在CBC的角平分线上运动， C点在 AB 的延长线上， 当 D、F、C三点共线时，DF+CFDC最小， 在 RtADC中，AD4，AC8， DC4， DF+CF 的最小值为 4， 故选：D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，第小题，第 1113 小题每小题小题每小题 3 分，第分，第 1418 小题每小题小题每小题 3 分，共分，共 29 分不需写出分不需写出 解答过程，请把最终结果直接填写

21、在答题卡相应位置上）解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11已知圆锥的底面圆的半径为 3cm，母线长为 5cm，则侧面展开图面积为 15 cm2 （结果保留 ） 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥 的母线长和扇形的面积公式计算 【解答】解：圆锥的侧面展开图面积23515（cm2） 故答案为 15 12已知反比例函数 y的图象经过点 A（1，3） ，则实数 k 的值为 3 【分析】根据待定系数法即可求得 【解答】解：反比例函数 y的图象经过点 A（1，3） ， k1（3）3， 故答案为：3 13热爱劳动，劳动最美！某合作学习

22、小组 6 名同学一周居家劳动的时间（单位：h） ，分别为：4，3，3， 5，5，6这组数据的中位数是 4.5 【分析】根据中位数的定义求解可得 【解答】解：将数据重新排列为：3，3，4，5，5，6， 所以这组数据的中位数为4.5， 故答案为：4.5 14 （4 分） 如图， 将 RtABC 绕点 B 按逆时针方向旋转 33到EBD 的位置， 斜边 AC 和 DE 相交于点 F， 则DFC 33 【分析】设 DE 与 BC 相交于 H，根据旋转的性质和三角形的内角和定理即可得到结论 【解答】解：设 DE 与 BC 相交于 H， 将ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转 33到EBD， DC，DBC3

23、3， BHDCHE， DFCDBC33， 故答案为：33 15 （4 分）如图，PA、PB 切O 于点 A、B，点 C 是O 上一点，且P38，则ACB 71 【分析】由 PA 与 PB 都为圆的切线，利用切线的性质得到两个角为直角，根据P 的度数，利用四边形 的内角和定理求出AOB 的度数，再利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的 2 倍，求出ACB 的度数 即可 【解答】解：如图所示，连接 OA、OB PA、PB 都为圆 O 的切线， PAOPBO90 P38， AOB142 CAOB14271 故答案为：71 16 （4 分）如果一个正多边形的中心角为 36，那么这个多边形的对角线条数是

24、35 【分析】一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是 360 度，用 360 度除以中心角的度数，就 得到中心角的个数，即多边形的边数，再根据一个多边形有条对角线，即可算出有多少条对角 线 【解答】解：由题意可得： 边数为 3603610， 所以这个多边形的对角线条数是（条） ， 故答案为：35 17 （4 分）若点 O 是等腰ABC 的外心，且BOC60，底边 BC4，则ABC 的面积为 84或 8+4 【分析】根据题意可以画出相应的图形，然后根据不同情况，求出相应的边的长度，从而可以求出不同 情况下ABC 的面积 【解答】解：由题意可得， 当ABC 为A1BC 时，连接 OB、OC

25、， 点 O 是等腰ABC 的外心，且BOC60，底边 BC4，OBOC， OBC 为等边三角形，OBOCBC4，OA1BC 于点 D， CD2， OD2， A1D42， ABC 的面积4（42）84， 当ABC 为A2BC 时，连接 OB、OC， A2D4+2 同理可得，ABC 的面积8+4， 故答案为：84或 8+4 18 （4 分）如图，以 G（0，2）为圆心，半径为 4 的圆与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C、D 两点，点 E 为G 上一动点， CFAE 于 F， 当点 E 在O 的运动过程中， 线段 FG 的长度的最小值为 22 【分析】过 G 作 GMAC 于 M，连接

26、 AG由AFC90，推出点 F 在以 AC 为直径的M 上推出当 点 F 在 MG 的延长线上时，FG 的长最小，最小值FMGM，想办法求出 FM、GM 即可解决问题 【解答】解：过 G 作 GMAC 于 M，连接 AG，如图所示： GOAB， OAOB， G（0，2） ， OG2， 在 RtAGO 中，AG4，OG2， AG2OG，OA2， GAO30，AB2AO4， AGO60， GCGA4， GCAGAC， AGOGCA+GAC， GCAGAC30， AC2OA4，MGCG2， AFC90， 点 F 在以 AC 为直径的M 上， 当点 F 在 MG 的延长线上时，FG 的长最小，最小值F

27、MMG22， 故答案为：22 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 91 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤）演算步骤） 19（9 分） 如图， 在 1010 的网格中建立平面直角坐标系， ABC 是格点三角形 （顶点在网格线的交点上） （1） 先作ABC 关于原点 O 的成中心对称的A1B1C1， 再把A1B1C1向上平移 4 个单位得到A2B2C2； （2）A2点的坐标为 （3，4） ； （3）请直接写出 CC1+C1C2 2+4 【分析】 （1）利用关于原点对称的点的

28、坐标特征写出 A1、B1、C1的坐标，再描点得到A1B1C1，然后利 用点平移的坐标特征写出 A2、B2、C2的坐标，然后描点得到A2B2C2； （2）由（1）得到 A2点的坐标； （3）利用两点间的距离公式计算 CC1和 C1C2的长度即可 【解答】解： （1）如图，A1B1C1和A2B2C2为所作； （2）A2点的坐标为（3，4） ； （3）CC1+C1C22+4 故答案为（3，4） ，2+4 20 （10 分）已知 yy1+y2，y1与（x1）成正比例，y2与（x+1）成反比例，当 x0 时，y3，当 x1 时，y1 （1）求 y 的表达式； （2）求当 x时 y 的值 【分析】 （1）

29、先根据题意得出 y1k1（x1） ，y2，根据 yy1+y2，当 x0 时，y3，当 x1 时，y1 得出 x、y 的函数关系式即可； （2）把 x代入（1）中的函数关系式，求出 y 的值即可 【解答】解： （1）y1与（x1）成正比例，y2与（x+1）成反比例， y1k1（x1） ，y2， yy1+y2，当 x0 时，y3，当 x1 时，y1 ， k22，k11， yx1； （2）当 x，yx11 21 （10 分）在 4 月 23 日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取 了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间 t（单位：小时） 把调查结果分为四档，A

30、 档：t8； B 档：8t9；C 档：9t10；D 档：t10根据调查情况，给出了部分数据信息： A 档和 D 档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，7，7，10.5，10.5； 图 1 和图 2 是两幅不完整的统计图 根据以上信息解答问题： （1）求本次调查的学生人数，并将图 2 补充完整； （2）已知全校共 1200 名学生，请你估计全校 B 档的人数； （3）学校要从 D 档的 4 名学生中随机抽取 2 名作读书经验分享，已知这 4 名学生 1 名来自七年级，1 名 来自八年级，2 名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的 2 名学生来自不同年级的概率 【分

31、析】 （1）用 A 档和 D 档所有数据数减去 D 档人数即可得到 A 档人数，用 A 档人数除以所占百分比 即可得到总人数；用总人数减去 A 档，B 档和 D 档人数，即可得到 C 档人数，从而可补全条统计图； （2）先求出 B 档所占百分比，再乘以 1200 即可得到结论； （3）分别用 A，B，C，D 表示四名同学，然后通过画树状图表示出所有等可能的结果数，再用概率公 式求解即可 【解答】解： （1）由于 A 档和 D 档共有 12 个数据，而 D 档有 4 个， 因此 A 档共有：1248 人， 820%40 人， 则 C 档的人数有 40816412（人） ，补全图形如下： （2）1

32、200480（人） ， 答：全校 B 档的人数为 480 （3）用 A 表示七年级学生，用 B 表示八年级学生，用 C 和 D 分别表示九年级学生，画树状图如下， 因为共有 12 种等可能的情况数，其中抽到的 2 名学生来自不同年级的有 10 种， 所以抽到的 2 名学生来自不同年级的概率是： 22 （10 分）如图，已知ABC 是等边三角形，在ABC 外有一点 D，连接 AD，BD，CD，将ACD 绕点 A 按顺时针方向旋转得到ABE，AD 与 BE 交于点 F，BFD97 （1）求ADC 的大小； （2）若BDC7，BD2，CD4，求 AD 的长 【分析】 （1）由旋转的性质可得 ABAC

33、，ADCE，CABDAE60，由三角形的内角和定 理可求出答案； （2）连接 DE，可证AED 是等边三角形，可得ADE60，ADDE，由旋转的性质可得ACD ABE，可得 CDBE4，由勾股定理可求出答案 【解答】解： （1）将ACD 绕点 A 按顺时针方向旋转得到ABE， ABAC，ADCE，CABDAE60， BFD97AFE， E180976023， ADCE23； （2）如图，连接 DE， ADAE，DAE60， AED 是等边三角形， ADE60，ADDE， 将ACD 绕点 A 按顺时针方向旋转得到ABE， ACDABE， CDBE4， BDC7，ADC23，ADE60， BDE9

34、0， DE2， ADDE2 23 （12 分）如图，AB 为O 的直径，射线 AD 交O 于点 F，点 C 为劣弧的中点，CE 为O 的切线交 AD 于点 E，连接 AC （1）求证：CEAD； （2）若BAC30，AB4，求阴影部分的面积 【分析】 （1）如图 1，连接 BF，连接 OC，由圆周角定理可证明 BFAD，由切线的性质得出 OCCE， 证明 BFCE，即可得到结论； （2）如图 2，连接 OF，求出扇形 FOC 的面积即可得到阴影部分的面积 【解答】解： （1）如图 1，连接 BF，OC， AB 是O 的直径， AFB90，即 BFAD， CE 是O 的切线，OC 是O 的半径，

35、 OCCE， 点 C 为劣弧的中点， OCBF， BFCE， CEAD； （2）如图 2，连接 OF，CF， OAOC，BAC30， BOC60， 点 C 为劣弧的中点， ， FOCBOC60， OFOC， OCFCOB， CFAB， SACFSCOF， 阴影部分的面积S扇形COF， AB4， FOOCOB2， S扇形FOC， 即阴影部分的面积为： 24 （12 分）如图，O 是 RtABC 的外接圆，ABC90，弦 BDBA，BEDC 交 DC 的延长线于点 E （1）求证：BC 平分ECA； （2）求证：BE 是O 的切线； （3）若 CE1，BE3，求 DE 的长 【分析】 （1）根据等

36、腰三角形的性质、圆内接四边形的性质证明即可； （2）连结 OB，OD，证明ABODBO，得到DBOABO，证明 OBED，根据平行线的性质得 到 EBBO，根据切线的判定定理证明结论； （3）证明BECDEB，即可求解 【解答】解： （1）BDBA， BDABAD， BCABDA， BCABAD， 四边形 BCDA 是O 的内接四边形， BCEBAD，即 CB 是ECA 的角平分线； （2）连结 OB，OD， 在ABO 和DBO 中， ， ABODBO（SSS） ， DBOABO， ABOOABBDC， DBOBDC， OBED， BEED， EBBO， BE 是O 的切线； （3）BE 是O

37、 的切线， 则EBC+CBO90， CBA90CBO+OBA， EBCOBACBABDE， BECBED90， BECDEB， ，即， 解得 DE9 25 （14 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，ABE 是等边三角形，M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一 点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60得到 BN，连接 EN、AM、CM （1）求证：AMBENB； （2）当 M 点在何处时，AM+CM 的值最小； 当 M 点在何处时，AM+BM+CM 的值最小，并说明理由； （3）当 AM+BM+CM 的最小值为 2+2 时，求正方形的边长 【分析】 （1）由题意得 MBNB，ABN15，

38、所以EBN45，容易证出AMBENB； （2）根据“两点之间线段最短” ，可得，当 M 点落在 BD 的中点时，AM+CM 的值最小； 根据“两点之间线段最短” ，当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时，AM+BM+CM 的值最小，即等于 EC 的长（如图） ； （3）作辅助线，过 E 点作 EFBC 交 CB 的延长线于 F，由题意求出EBF30，设正方形的边长为 x，在 RtEFC 中，根据勾股定理求得正方形的边长为 2 【解答】 （1）证明：ABE 是等边三角形， BABE，ABE60 MBN60， MBNABNABEABN 即MBANBE 又MBNB， AMBENB（SAS） （2

39、）解：当 M 点落在 BD 的中点时，A、M、C 三点共线，AM+CM 的值最小如图，连接 CE， 当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时， AM+BM+CM 的值最小 理由如下：连接 MN，由（1）知，AMBENB， AMEN， MBN60，MBNB， BMN 是等边三角形 BMMN AM+BM+CMEN+MN+CM 根据“两点之间线段最短”可知，若 E、N、M、C 在同一条直线上时，EN+MN+CM 取得最小值，最小 值为 EC 在ABM 和CBM 中， ABMCBM， BAMBCM， BCMBEN， EBCB， 若连接 EC，则BECBCE， BCMBCE，BENBEC， M、N 可

40、以同时在直线 EC 上 当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时，AM+BM+CM 的值最小，即等于 EC 的长 （3）解：过 E 点作 EFBC 交 CB 的延长线于 F， EBFABFABE906030 设正方形的边长为 x，则 BFx，EF 在 RtEFC 中， EF2+FC2EC2， （）2+（x+x）2（2+2）2 解得 x12，x22（舍去负值） 正方形的边长为 2 26 （14 分）对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和图形 M，给出如下定义：Q 为图形 M 上任意一点，如果 P，Q 两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点 P 与图形 M 间的开距离，记作 d（P，M）

41、 已知直线 yx+b（b0）与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，O 的半径为 1 （1）若 b2， 求 d（B，O）的值； 若点 C 在直线 AB 上，求 d（C，O）的最小值； （2）以点 A 为中心，将线段 AB 顺时针旋转 120得到 AD，点 E 在线段 AB，AD 组成的图形上，若对 于任意点 E，总有 2d（E，O）6，直接写出 b 的取值范围 【分析】 （1）直接利用圆外一点到圆上的一点的最大距离，即可得出结论； 先判断出 OCAB 时，OC 最短，即可得出结论； （2）、当 b0 时，当直线 AB 与O 相切时，d（E，O）最小，当点 E 恰好在点 D 时，d（E，O）

42、 最大，即可得出结论； 、当 b0 时，同的方法即可得结论 【解答】解： （1）如图 1， b2， B（0，2） ， d（B，O）2+13； 过点 O 作 OCAB 于 C，此时，直线上的点 C 到点 O 的距离最小，即 d（C，O）取最小值， 直线 yx+2 与 x 轴交于点 A， 令 y0，则 0 x+2， x2， A（2，0） ， OA2， 令 x0，则 y2， B（0，2） ， OB2， 根据勾股定理得，AB4， SAOBOAOBABOC， OC， d（C，O）的最小值为+1； （2）、当 b0 时，如图 2， 针对于直线 yx+b（b0） ， 令 x0，则 yb， B（0，b） ， OBb， 令 y0，则 0 x+b， xb， A（b，0） ， OAb， 则 AB2b，tanOAB， OAB30， 由旋转知，ADAB2b，BAD120， OAD90， 连接 OD， ODb， O 的半径为 1， 当线段 AB 与O 相切时，d（E，O）最小2， 同（1）的方法得，OF1， b（舍去负值） ， 对于任意点 E，总有 2d（E，O）6， b61， b， 即b； 、当 b0 时，如图 3， 同的方法得，b， 综上述，b或b